第4章 线段与角（知识清单）数学新教材沪教版五四制六年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“线段与角”章节内容，涵盖点与线的关系、线段的和差及中点、角的概念与度量等核心范畴，搭建了从概念辨析到性质应用再到作图推理的递进式学习支架。 清单通过表格对比线段射线直线特征、分类标注5类易错点（如线段和差忽略多位置情况），结合尺规作图步骤与实例分析，培养学生几何直观与推理意识。特别设计“细节剖析”模块解析中点等概念本质，助力学生自主构建知识体系，也为教师提供精准教学的重难点突破参考。

第4章 线段与角 知识点01.点与线 1.点与线之间的关系 2. 线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 概念 绷紧的琴弦、 黑板的边沿都可以近似地看作线段 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图形 端点个数 2 1 0 延伸情况 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 联系 射线、线段是直线的一部分；将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线；将射线反向无限延长就形成了直线 3. 线段、射线、直线的表示方法 名称 图例 表示方法 线段 (1)用一个小写字母表示，如线段 ； (2)用表示端点的两个大写字母表示，如线段 射线 用两个大写字母表示，表示端点的字母在前，如射线 直线 (1)用一个小写字母表示，如直线 ； (2)用表示直线上任意两点的两个大写字母表示，如直线 4.直线的基本事实： 5.射线表示方法的注意事项： (1) 表示射线时端点字母必须写在前面，如射线 OA 和射线 AO 表示的是不同的射线； (2)在字母前要加上“射线”两个字； (3)端点不同，所表示的射线一定不同； (4)只有端点和延伸方向都相同时，才表示同一条射线 . 6.线段的基本事实: 7.两点间距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 8.画一条线段等于已知线段 （1）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取 ，如下图： （2）测量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的 . 9.线段的比较： 比较两条线段的长短，常用三种方法， 知识点02.线段的和差与线段中点 1.线段的和与差的概念 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2.线段和、差的作法 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a-b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 3.线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的 ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的 等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点03.角 1. 角的定义 (1) 静态： 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫作角的边，如图 4.2-1 ①所示，角的顶点是 O，角的边是射线OA， OB. (2) 动态：角也可以看成 是由一条射 线绕 着它的端点旋转而成的 . 如图 4.2-1 ②所 示， ∠ AOB 可以看成是以 O 为端点的射线，从 OA 的位置绕点 O 旋转到 OB 的位 置而成的图形 . 2. 平角和周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 4.2-1 ③ . 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角，如图 4.2-1 ④ . 在小学数学中，我们已经知道 :1 平角 =180° ，1 周角 =360° . 3.角的四种表示方法 名称 图例 记法 表示方法 用三个大写字母表示 字母 O 表示顶点，A， B 分别表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 当以某一点为顶点的角只有一个时，可用顶点字母来表示角 用一个阿拉伯数字 表示 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 用希腊字母表示 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 4.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝ ，1平角＝ ，1°＝ ，1′＝ ． 5.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 6.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 7.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 8.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 9.余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1） 的余角相等．（2） 的补角相等 易错点1：直线、线段、射线的数量问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）经过一个点可作 条直线，经过个点最多可作 条线段； 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 3．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 易错点2：线段和差运算 计算线段 AC 长度时，仅默认点 C 在线段 AB 上，直接用 AC=AB+BC 计算，忽略 C 在 AB 延长线上的情况。 4．（24-25六年级上·上海·期末）在直线上有一点，已知，，则 ． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段，在直线上截取，则 ． 易错点3：线段中点 6．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 7．（24-25六年级上·上海·月考）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 9．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知点、、在直线上，若，，点是线段的中点，那么线段的长是多少？ 小明同学画出图形，做了如下解答： 因为，，在直线上， 所以， 因为，，∴， 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 小明考虑得全面吗？如果不全面，请画出图形并补全解题过程；如果全面，请说明理由． 易错点4：度分秒换算与运算 10．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 11．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 12．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 13．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 14．（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 易错点5：余角与补角 常见错误：忽略 “互为余角（和为 90°）、互为补角（和为 180°）” 的 “互为” 属性，误说 “∠1 是余角”；计算补角时，将 180° 与锐角相加，如认为 30° 角的补角是 30°+180°=210°。 15．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 16．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如果一个角的补角是这个角的2倍，那么这个角的大小为 度． 17．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 18．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 19．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题 2．（25-26六年级上·上海·期末）计算： ． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）若，则的余角大小为 ． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 5．（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 6．（24-25六年级上·上海·期末）在直线上顺次取三点，且使得，如果点是线段的中点，那么 7．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在射线上顺次截取，，在线段上截取，那么线段 就是所要画的段段． 8．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知，，，且点A、B、C在同一直线上，则 ． 三、解答题 9．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图所示，线段被点、分成了三部分，且，、分别为、的中点，求的长 10．（24-25六年级上·上海·期末）如图，线段，点是的中点，延长到点，使， (1)求线段的长； (2)线段占线段的几分之几？ 11．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段a和线段b． (1)用无刻度直尺和圆规画线段，使；（保留作图痕迹，不用写作图步骤） (2)如果点M是线段的中点，，，求线段b的长度． 12．（24-25六年级上·上海·期末）作图题 (1)画数轴表示下列各数，并用“”把他们从小到大排列起来． ，，，． (2)已知四点A、B、C、D，根据下列语句，在同一个图中画出图形． 第一步：作直线； 第二步：作射线，交于点P； 第三步：作线段，并延长线段到点E，使； 第四步：作线段，并将线段反向延长至点F，使． 13．（24-25六年级上·上海·期末）已知线段a、b（如图）． (1)用直尺和圆规在射线上画出线段，使．（保留画图痕迹、写出结论，不要求写出画法） (2)在（1）的图形中， ①画出线段的中点M（写出结论） ②如果厘米，线段厘米，那么__________厘米． 14．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 15．（24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 16．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 17．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 线段与角 知识点01.点与线 1.点与线之间的关系 2. 线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 概念 绷紧的琴弦、 黑板的边沿都可以近似地看作线段 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图形 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线、线段是直线的一部分；将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线；将射线反向无限延长就形成了直线 3. 线段、射线、直线的表示方法 名称 图例 表示方法 线段 (1)用一个小写字母表示，如线段 ； (2)用表示端点的两个大写字母表示，如线段 AB(或 BA) 射线 用两个大写字母表示，表示端点的字母在前，如射线OA 直线 (1)用一个小写字母表示，如直线 ； (2)用表示直线上任意两点的两个大写字母表示，如直线AB(或 BA) 4.直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线 5.射线表示方法的注意事项： (1) 表示射线时端点字母必须写在前面，如射线 OA 和射线 AO 表示的是不同的射线； (2)在字母前要加上“射线”两个字； (3)端点不同，所表示的射线一定不同； (4)只有端点和延伸方向都相同时，才表示同一条射线 . 6.线段的基本事实:两点之间，线段最短 7.两点间距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 8.画一条线段等于已知线段 （1）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=a，如下图： （2）测量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. 9.线段的比较： 比较两条线段的长短，常用三种方法，度量法、叠合法、截取法 知识点02.线段的和差与线段中点 1.线段的和与差的概念 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2.线段和、差的作法 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a-b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 3.线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点03.角 1. 角的定义 (1) 静态： 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫作角的边，如图 4.2-1 ①所示，角的顶点是 O，角的边是射线OA， OB. (2) 动态：角也可以看成 是由一条射 线绕 着它的端点旋转而成的 . 如图 4.2-1 ②所 示， ∠ AOB 可以看成是以 O 为端点的射线，从 OA 的位置绕点 O 旋转到 OB 的位 置而成的图形 . 2. 平角和周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 4.2-1 ③ . 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角，如图 4.2-1 ④ . 在小学数学中，我们已经知道 :1 平角 =180° ，1 周角 =360° . 3.角的四种表示方法 名称 图例 记法 表示方法 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，A， B 分别表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一点为顶点的角只有一个时，可用顶点字母来表示角 用一个阿拉伯数字 表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 用希腊字母表示 ∠ α 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 4.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 5.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 6.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 7.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 8.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 9.余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等 易错点1：直线、线段、射线的数量问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）经过一个点可作 条直线，经过个点最多可作 条线段； 【答案】 无数 【分析】本题考查了直线，线段定义，根据直线定义可知经过一个点可作无数条直线，根据经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），，找出规律即可求解，掌握直线，线段定义是解题的关键． 【详解】解：经过一个点可作无数条直线， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， ； ∴经过个点最多可作线段（条）， 故答案为：无数，． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 【答案】6 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是按照顺序，做到不重不漏． 根据线段有两个端点，写出所有的线段即可得到数量． 【详解】解：如图， 则图中线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段共6条． 故答案为：6． 3．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 易错点2：线段和差运算 计算线段 AC 长度时，仅默认点 C 在线段 AB 上，直接用 AC=AB+BC 计算，忽略 C 在 AB 延长线上的情况。 4．（24-25六年级上·上海·期末）在直线上有一点，已知，，则 ． 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，理解题意，数形结合，分类讨论是解题的关键． 根据线段的和差计算即可求解． 【详解】解：点在点右侧时， ； 点在点左侧时，， 故答案为：或 ． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段，在直线上截取，则 ． 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分点C在点A左侧和点C在点A右侧两种情况，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当点C在点A左侧时，则， 当点C在点A右侧时，则； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 易错点3：线段中点 6．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两线段的和、差，掌握线段中点和三等分点的定义是解题的关键． 根据题意得出，，进而得到，计算即可得到答案． 【详解】解：解：，， ， 故答案为： ． 7．（24-25六年级上·上海·月考）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的性质以及线段长度的计算，解题的关键是根据点的排列顺序明确各线段间的和差关系，利用中点将线段进行等分转化． 根据A、B、C、D的依次顺序，用、、表示出和的长度，结合已知条件求出、、的和；利用中点性质得到和分别为、的一半，进而通过线段和求出的长度． 【详解】解：如图， ∵在一条直线上且依次排列 ∴， ∵，， ∴，即， ∵M、N分别是、的中点， ∴，． ∴ ． 故答案为：6． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)线段的长为7或10 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了同解方程以及线段的中点的定义，熟练掌握同解方程性质，线段中点性质，线段的和差，分类讨论，是解题的关键． （1）先求出第一个方程的解，然后根据方程同解把第二个方程中的x换成m的值，求解即可得到n的值； （2）可得，，分当点P在线段上时，，得，再根据中点定义得的长度，即可求出；当点P在线段的延长线上时，，得，再根据中点定义得，即可得． 【详解】（1）解：解方程， 得， ∵方程的解也是的方程的解， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P在线段上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 当点P在延长线上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 故线段的长为7或10． 9．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知点、、在直线上，若，，点是线段的中点，那么线段的长是多少？ 小明同学画出图形，做了如下解答： 因为，，在直线上， 所以， 因为，，∴， 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 小明考虑得全面吗？如果不全面，请画出图形并补全解题过程；如果全面，请说明理由． 【答案】不全面，过程见解析 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了中点的定义，线段的和差， 根据题意画出图形，先求出，再根据中点的定义求出，最后根据得出答案． 【详解】解：当点C在线段外时，如图所示， 根据题意，得， 因为，， ∴． 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 当点C在线段之间时，如图所示， 根据题意，得， 因为，， ∴． 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 所以的长为或. 所以小明的解答不全面，的长为或. 易错点4：度分秒换算与运算 10．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、求一个角的补角、角度的四则运算 【分析】本题主要考查了补角的定义，角度的运算，掌握互补两角和等于是关键． 【详解】解：， 则的补角为 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握，． 根据度分秒的减法，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】本题考查了角度的计算，根据换算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题考查了角度的换算与比较，掌握角度的换算方法是解题的关键． 根据，将换算成以度为单位的角，再与比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 14．（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、求一个角的余角 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，解题的关键是熟练掌握余角的定义：和为的两个角互为余角．根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：． 易错点5：余角与补角 常见错误：忽略 “互为余角（和为 90°）、互为补角（和为 180°）” 的 “互为” 属性，误说 “∠1 是余角”；计算补角时，将 180° 与锐角相加，如认为 30° 角的补角是 30°+180°=210°。 15．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 【答案】45 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角，根据补角的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 16．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如果一个角的补角是这个角的2倍，那么这个角的大小为 度． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义进行求解是解决本题的关键． 设这个角为，则这个角的补角为，根据补角的定义进行求解即可得出答案． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为， ， 解得：． 故答案为：． 17．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【知识点】与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 18．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【知识点】求一个角的补角、与方向角有关的计算题、求一个角的余角 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 19．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可； （2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论； （3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵与互补， ∴ ∵ ∴ 解得，， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵是的平分线， ∴ 又 ∵ ∴； （3）解：∵且 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵与互余， ∴ ∴ ①若在内部时，如图， 则； ②若在外部时，如图， 则； 综上，或． 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键．利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，与一定相等的是②③． 故选：B． 二、填空题 2．（25-26六年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】先将度分进行单位统一，当分不够减时，从度借化为，再进行分和度的分别相减．本题主要考查了度分秒的减法运算，熟练掌握度分秒之间的进制（）并灵活进行单位转换是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）若，则的余角大小为 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角 【分析】本题考查了余角和补角、度分秒的换算，解题关键是明确和为的两个角互为余角．根据和为的两个角互为余角计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角是， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 【答案】/ 【知识点】求一个角的补角、角度的四则运算 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，解题的关键是熟练掌握互为补角的两个角和为． 【详解】解：， 即的补角的度数为． 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海·期末）在直线上顺次取三点，且使得，如果点是线段的中点，那么 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差、线段中点的定义，如图，由可求得的长，再根据线段中点的定义可求得的长，最后根据线段间的数量关系即可得答案 【详解】解：如图： ，， ， 点是线段的中点， ， ∴． 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在射线上顺次截取，，在线段上截取，那么线段 就是所要画的段段． 【答案】/ 【知识点】线段的和与差 【分析】此题考查了基本作图，画出图形是解题的关键． 根据题意画出图形，由线段的和差关系可得出结论． 【详解】解：由题画出图形如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 即所画的的线段就是的长． 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知，，，且点A、B、C在同一直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、一元一次方程的应用，由题意可得，从而得出关于的方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵点A、B、C在同一直线上， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图所示，线段被点、分成了三部分，且，、分别为、的中点，求的长 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段的中点，结合图形，灵活运用线段的和与差求值是解题的关键． 先根据题中条件求出，，的长，再利用中点求出，的长，最后求的长． 【详解】线段被点、分成了三部分，且， ，，， 、分别为、的中点， ，， ． 10．（24-25六年级上·上海·期末）如图，线段，点是的中点，延长到点，使， (1)求线段的长； (2)线段占线段的几分之几？ 【答案】(1)； (2)线段占线段的五分之二． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算． （1）根据线段中点的定义求得，再利用线段的和与差计算即可求解； （2）先求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴线段占线段的五分之二． 11．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段a和线段b． (1)用无刻度直尺和圆规画线段，使；（保留作图痕迹，不用写作图步骤） (2)如果点M是线段的中点，，，求线段b的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】线段的和与差、作线段(尺规作图)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段的尺规作图： （1）根据线段的尺规作图方法结合题意作图即可； （2）先由线段中点的性质得到的长，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵点M是线段的中点，， ∴， ∵， ∴． 12．（24-25六年级上·上海·期末）作图题 (1)画数轴表示下列各数，并用“”把他们从小到大排列起来． ，，，． (2)已知四点A、B、C、D，根据下列语句，在同一个图中画出图形． 第一步：作直线； 第二步：作射线，交于点P； 第三步：作线段，并延长线段到点E，使； 第四步：作线段，并将线段反向延长至点F，使． 【答案】(1)数轴见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，直线，射线，线段，数轴，相反数，绝对值，熟练掌握相关定理为解题关键． （1）先去括号，算出绝对值，再画出数轴，再在数轴上找到各数对应的点，用“”把他们从小到大排列起来即可； （2）根据画图的步骤即可画出图形． 【详解】（1）解：，，， 在数轴上表示如图所示： ； （2）如图即为所求 13．（24-25六年级上·上海·期末）已知线段a、b（如图）． (1)用直尺和圆规在射线上画出线段，使．（保留画图痕迹、写出结论，不要求写出画法） (2)在（1）的图形中， ①画出线段的中点M（写出结论） ②如果厘米，线段厘米，那么__________厘米． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②7 【知识点】线段的和与差、作线段(尺规作图)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查作图—基本作图，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握作一线段等于已知线段的尺规作图及线段中点的性质． （1）以点A为圆心，线段a为半径画弧，交于点D，以点D为圆心，线段a为半径画弧，交于点E，以点E为圆心，线段b为半径画弧，交线段于点B即可； （2）①画出线段的中点M即可； ②根据中点的定义得出厘米， 根据，厘米，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段． （2）解：①如图，点M即为所求作的点； ②∵点M为的中点，厘米， ∴厘米， ∵，厘米， ∴， 解得：厘米． 14．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 15．（24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或时，；（3）或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 16．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 17．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不会发生变化，见解析 (3)或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可； ②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1）解：，为的分位线，且； ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①，分别为与的分位线，（，） ，， ， ， ，， ， ， ； ②不变； ，分别为与的分位线，（，）， ，， ； 若，的度数不会改变； （3）解：根据题意作图，如图所示， 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设， 则，， ∵点、、在同一条直线上， ， ， 解得； ∴； 的度数为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $