专题07 角的计算5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题07 角的计算 目录 典例详解 类型一、角的分类 类型二、三角板中角度计算问题 类型三、与角平分线有关的计算 类型四、与余角、补角有关的计算 类型五、角的计算综合题 压轴专练 类型一、角的分类 【例1】下列叙述中，正确的是（    ） A．由两条射线组成的图形叫做角 B．一个角的余角一定比这个角小 C．钝角没有余角只有补角 D．平分一个角的直线叫做这个角的平分线 【例2】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】在、、、、各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个数之比为（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为 个． 类型二、三角板中角度计算问题 【例3】将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 【变式2-1】如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【变式2-2】如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【变式2-3】将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 类型三、与角平分线有关的计算 【例5】如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【例6】已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【变式3-1】如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 【变式3-2】如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【变式3-3】如图所示：点在直线上．    (1)如图（1），过点作射线，若．求的度数； (2)如图（2），在内部过点作，平分，若，直接写出的度数（用表示）； (3)如图（3），在（2）问的条件下，过点作的平分线，若，求的值． 类型四、与余角、补角有关的计算 【例7】如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 【例8】已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 【变式4-1】有两个角，若第一个角割去它的后，与第二个角互余；若第一个角补上它的后，与第二个角互补，求这两个角的大小． 【变式4-2】O是直线AC上一点．已知射线OB，OD是不与OC重合的两条射线，且射线OB，OD在直线AC的同一侧，与互为补角，OE平分． (1)如下图，若，则的度数为________，的度数为________． (2)若，求的度数． 【变式4-3】如图，与互为补角，与互为余角． (1)若，求的度数． (2)若平分，求的度数． 类型五、角的计算综合题 【例9】如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 【例10】定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【变式5-1】已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ． 【变式5-2】如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【变式5-3】已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 1．如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 2．如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 3．如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 4．如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒 C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分 5．如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 6．如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 7．已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 8．已知，平分，平分，则的度数为 ． 10．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 11．已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 12．如图：中，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果题目中，其它条件不变，求的度数； (3)如果题目中（为锐角），其它条件不变，求的度数； (4)从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 13．已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07角的计算 目录 典例详解 类型一、角的分类 类型二、三角板中角度计算问题 类型三、与角平分线有关的计算 类型四、与余角、补角有关的计算 类型五、角的计算综合题 压轴专练 典例详解 ≈类型一、角的分类 【例1】下列叙述中，正确的是( ) A.由两条射线组成的图形叫做角 B.一个角的余角一定比这个角小 C.钝角没有余角只有补角 D.平分一个角的直线叫做这个角的平分线 【答案】C 【详解】具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故A错误： 如30°的余角是60°，60°>30°，故B错误： 钝角没有余角只有补角，故C正确： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，故D 错误： 故选C. 1/40 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题主要考查了角的定义、角平分线的定义、角的认识，准确分析判断是解题的关键。 【例2】下列各图中有关角的表示正确的个数有( AO B A B ∠ABC ∠AOB是平角 射线AB是周角 ∠(CAB A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：图1中，角的顶点为A,应表示为∠CAB: 图2表示正确： 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角： 图4表示正确， 所以表示正确的个数为2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键。 【变式1-1】下列四个图中，对于图形的描述正确的有( A(B) B A B ∠BOA ∠AOB 射线AB ∠ABC 是周角 是平角 是周角 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：第1个图形：表示应该是∠BAC,则原描述错误： 第2个图形：射线绕点O旋转一周形成∠BOA,符合周角的定义，则原描述正确： 第3个图形：∠AOB的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确： 第4个图形：射线AB是从点A出发向点B方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描 述错误： 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B. 【变式1-2】在12：15、6：45、9：00、2：20、6：48各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个 2/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数之比为( A.3:1:1 B.2:1:2 C.4:1:0 D.1:3:1 【答案】C 【分析】 【详解】解：：12：15时针与分针所成角是：82.5°， 6:45时针与分针所成角是：67.5°， 9:00时针与分针所成角是：90°， 2:20时针与分针所成角是：50°， 6:48时针与分针所成角是：84°， .锐角有：12：15、6：45、2：20、6：48， 直角有：9：00， 钝角：没有， ∴锐角、直角、钝角的个数之比为：4：1：0， 故选：C 【变式1-3】一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为个. 【答案】3或4或5 【详解】解：如图所示，当按照①减去一个角时，剩下5个角： 当按照②减去一个角时，剩下4个角： 当按照③减去一个角时，剩下3个角； 综上所述，一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为3个或4个或5个： ③②① 故答案为：3或4或5. 3/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、三角板中角度计算间题 【例3】将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则∠1，∠2，∠3三个角 的数量关系是( A.∠1+∠3=2∠2 B.∠1+∠2+∠3=90° C.∠2+∠3=∠1+90° D.∠2+∠3-1=45° 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得：∠1+∠4+∠5=90°①，∠2+∠4=90°②，∠3+∠5=90°③， 由②+③得：∠2+∠4+∠3+∠5=180°， .∠4+∠5=180°-∠2-∠3④， 将④代入①得：∠1+180°-∠2-∠3=90°， .∠2+∠3=∠1+90°， 故选：C 【例4】如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起. 4/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()若∠DCE=35°，则∠BCA=_: (2)若∠ACB=150°，则∠DCE=_; (3)若∠DCE:∠ACB=2:7,求∠DCE的度数. 【答案】(1)145°： (2)30°： (3)40°. 【分析】 【详解】(1)解：由题意得，∠ACD=∠BCE=90°， ∠DCE=35°， ∴，∠BCD=∠BCE-∠DCE=90°-35°=55°， ∴.∠BCA=∠BCD+∠ACD=55°+90°=145°， 故答案为：145°： (2)解：由题意得，∠ACD=∠BCE=90°， ∠ACB=150°， .∠BCD=∠ACB-∠ACD=150°-90°=60°， .∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-60°=30°， 故答案为：30°： (3)解：∠DCE:∠ACB=2:7, 设∠DCE=2x,∠ACB=7x, 由题意得，∠ACD=∠BCE=90°， ∴.∠BCD=∠ACB-∠ACD=7x-90°， :∠DCE+∠BCD=∠BCE, .2x+7x-90°=90°， 解得：x=20°， .∠DCE=2x=40°. 5/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变武2.】如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若∠BCD-写4CE,则∠4CD的度数为 B E 【答案】60° 【分析】 【详解】解：：一副三角板的顶点重合在一起， ∴.∠ACB=∠DCE=90° :∠BCD=∠ACB-∠ACD,∠ACE=∠DCE+∠ACD, .∠BCD=90°-∠ACD①，∠ACE=90°+∠ACD②， _L ZACE, ∠BCD= .∠ACE=5∠BCD, .5∠BCD=90°+∠ACD③， ①+③，得6∠BCD=180°， .∠BCD=30°， .∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-30°=60°. 故答案为：60° 【变式2-2】如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线AB上，射线OE平分∠BOC,∠AOC=&,将三 角板绕点O旋转（旋转过程中∠AOC与∠BOC均大于0°且小于180°）一周，∠DOE的度数为（用 含0的代数式表示)· B 【容案10夜10-0 【详解】解：当点C在AB上方时，如图， 6/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B.:∠AOC=a .∠B0C=180°-a, OE平分∠BOC, ∠C0E=∠B0C=90- 2 3 ∠C0D=90°， ∴.∠DOE=90°-∠COE=90° 当点C在AB下方时，如图， D B E 同理可得∠C0E=90° 2a, :∠C0D=90°， ∠D0E=90°+∠C0E=90°+90°-1 180°- 2, 故答案为：24或180- a 【变式2-3】将一副三角尺叠放在一起。 图(1) 图(2) (①)如图(1)，若∠1=23°，求∠2的度数 (2)如图(2)，若∠CAE=3∠BAD,求∠CAD的度数. 7/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)23° (2)105 【分析】 【详解】(1)解：∠EAD=∠CAB=90°， ∴.∠1=90°-∠DAC,∠2=90°-∠DAC, ∴.∠1=∠2=23°， (2)解：设∠BAD=x,则∠CAE=3x, :∠EAB+∠DAB=60°， .90°-3x+x=60°， 解得x=15°， 即∠BAD=15°， ∴.∠CAD=90°+15°=105% 类型三、与角平分线有关的计算 ,B,y 【例5】如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则 三个角的数量关系为( A. a+B+y=90 B.+B-y=90 C.a-B+y=90 D.+2B-y=90 【答案】C 【分析】 【详解】如图， 8/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正方形的每个角都是 90° .a+∠1=90°，y+∠2=90°，B+∠1+∠2=90° ∴.a+y+∠1+∠2=180°， 又B+∠1+∠2=90°， a-B+y=90 故选：C. 【例6】已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC D A B 0 B 图1 图2 D ()如图1.若∠40C=30°.求∠D0E的度数： (2)在图1中，若∠AOC=a,直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系.写出 你的结论，并说明理由. 【答案】(1)15 1 22a 2D0E=方A0C,理由见解析 【分析】 【详解】(1)解：：∠COD是直角，∠AOC=30°， ∴.∠B0D=180°-90°-30°=60°， .∠COB=180°-∠AOC=150°， OE平分∠BOC, 9/40 学科网·上好课 ww .zx xk .com 上好每一堂课 $$\therefore \angle B O E = \frac { 1 } { 2 } \angle B O C = 7 5 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle D O E = \angle B O E - \angle B O D = 7 5 ^ { \circ } - 6 0 ^ { \circ } = 1 5 ^ { \circ }$$ (2)解： ∵∠COD 是直角， ∠AOC=a， $$\therefore \angle C O B = 1 8 0 ^ { \circ } - a ，$$ ∵ 平分 ∠BOC， $$\therefore \angle B O E = \frac { 1 } { 2 } \angle B O C = 9 0 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } a ，$$ ∵ $$： \angle B O D = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A O C - \angle C O D ，$$ $$\therefore \angle B O D = 9 0 ^ { \circ } - \alpha ，$$ .. $$3 O E - \angle B O D = 9 0 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } a - \left( 9 0 ^ { \circ } - a \right) = \frac { 1 } { 2 } a ， 且 D ： ： D O E = \frac { 1 } { 2 } \alpha$$ (3)解：4 $$\angle D O E = \frac { 1 } { 2 } \angle A O C .$$ 理由如下：因为 $$\angle B O C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A O C ， O E$$ 平分 ∠BOC， $$\angle C O E = \frac { 1 } { 2 } \angle B O C = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A O C \right) = 9 0 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle A O C$$ 所以 ∠ D E =90 $$E = 9 0 ^ { \circ } - \angle C O E = 9 0 ^ { \circ } - \left( 9 0 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle A O C \right) = \frac { 1 } { 2 } \angle A O C .$$ 【变式3-1】如图，小文同学为研究12点t分 (0<t<60) 时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A 把时针记为 OB， 分针记为 OC. 当 OA，OB，OC 两两所夹的三个角 ∠AOB，∠AOC，∠BOC 中有两个角相等时， t的值为(本题中所有角的度数均不超过 $${ 1 8 0 ^ { \circ } } \right) .$$ A 12 9 3 6 6 【答案】 $$\frac { 7 2 0 } { 2 3 } 或 \frac { 7 2 0 } { 1 3 }$$ $$3 6 0 ^ { \circ }$$ 【详解】解：·钟表一周为360° ∴ 分针每分钟走 $$3 6 0 \div 6 0 = 6 ^ { \circ }$$ ^{∘}， 时针每分钟走3 $$3 6 0 ^ { \circ } \div 1 2 \div 6 0 = 0 . 5 ^ { \circ } ，$$ 依题意得 $$\angle A O B = 0 . 5 t ^ { \circ } ，$$ ， ①当 0<t≤30 时， $$\angle A O B = 0 . 5 t ^ { \circ } ， \angle A O C = 6 t ^ { \circ } ， \angle B O C = \angle A O C - \angle A O B = 5 . 5 t ，$$ ，不存在相等的两个角， 10/40