2025年第七十七届AMC12A国际数学竞赛

MAA AMC然= COMPETITIONS 第77届 MAA American Mathematics Competitions AMC 12 A Chinese Version 2025年11月5日（星期三) 中文版 说明 1.在未收到监考老师指示前，请不要翻开此封面。 2.这是一套包括25道选择题的竞赛。每道题目只有一个正确答案。 3.请用#2铅笔将答题卡上各题对应的圆圈完全涂黑。检查已涂黑的答案以确保准确， 并彻底擦掉错误的答案。只有在答题卡上规范填涂且颜色足够深的答案才会被计 分。 4.评分规则：每道题目答对得6分，不答得1.5分，答错得0分。 5.只能使用空白的草稿纸、尺子、圆规和橡皮作为辅助工具。不允许的器具包括计算 器、智能手表、手机、计算设备、量角器或坐标纸。竞赛中没有任何问题必须要使 用计算器。 6.图形不一定按比例绘制。 7.当监考老师宣布开始后，你将有75分钟的时间完成竞赛。 8.在竞赛结束后，请遵循监考老师的指示。 本届AMC12A的题目及解答由Gary Gordon和Carl Yerger 担任共同主编的MAAAMC10/12命题委员会编制。 如果MAAAMC办公室认定参赛者有违规行为，将保留取消其成绩的权利。所有参赛者均须遵守MAA关于竞赛诚信的 政策，该政策可通过maa.org/amc查阅。 在允许学生正式参加竞赛的时间窗口内，发布、复制或传播本次竞赛的题目或解答会严重损害竞赛结果的公正性。在此 期间，通过电话、电子邮件或其他任何类型数字媒体传播相关内容的行为均构成违规。 2025 Mathematical Association of America 2025AMC12A试题 2 问题1： Andy和Betsy都住在数学村.Andy于1：30骑自行车离开数学村，向正北方以每小时8英里的 恒定速度行进.Bsy于2：30从同一地点骑自行车出发，向正东方以每小时12英里的恒定速度 行进.问何时他们与共同出发点的距离会完全相同？8：2-》=2今20+2m二43为 (A)330(B)3:45(C)4:00(D)4:15(E)430 问题2： 一个盒子里装有10磅的混合坚果，其中花生占50%，腰果占20%，杏仁占30%.在盒子中后来 加入了另一种混合坚果，其中花生占20%，腰果占40%，杏仁占40%，而最终形成的新混合坚 果中花生占40%.问现在盒子中共有多少磅腰果？ -为冰4A≥： (A)3.5(B)4(C)4.5(D)5(E)6 (0x2以*5×7二4 问题3： -组学生将与一组长师进行知识比零.掌生和3的总人教为15人.A品是其中一名学生的表 亲，他也想参加比赛，如果Ash加入学生队，该队的平均年龄将从12岁增加到14岁；如果Ash 加入教师队，该队的平均年龄将从55岁减少到52岁，问Ash的年龄是多少岁？ (A)28(B)29(C)30(D)32(E)33 2*+=44)可 问题4： U5￥)55+y=525x+)⑦ OT4F T3F器在白纸上写下以下四个论断：TIF LTOF 可-①：61￥-25=6bx-8 E T T 。这些论断中至少有一个是真的.T ×=7 ·这些论断中至少有两个是真的.了 4y=12 T 个 T·这些论断中至少有两个是假的F Q y=28 T·这些论断中至少有一个是假的.T/ E Y每论断非真即假.问Ages在纸上写的假论断有几个？ (A)0(B)1(C)2(D)3(E)4 2025AMC12A试题 3 问题5： 在下图中，最外面的正方形内包含无限多个正方形，每个正方形都有相同的中心，且边与最外 面正方形的边平行.每个正方形与其相邻的内部正方形的边长之比为k,其中0<k<1.如图 所示，正方形之间的区域交替涂色（图形未必按比例绘制） 2+4-+ 上k2 3 1* 1 04 回 0.6936 k岩 kza7 若图形中阴影部分的面积是原正方形面积的64%，问k是多少？ 3 (A) 16 4 问题6： 六把椅子围绕一张圆桌摆放.两名学生和两名教师随机选择其中的四把椅子就座.问两名学生 坐在相邻椅子上，且两名教师也坐在相邻椅子上的概率是多少？ 63 bu"L 与 问题7： 在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度)取决于它的脚趾数量和眼睛数量m.在速度以厘米 每小时为单位时，两者的关系可表示为⑦=knm,其中k,a,b均为整数常数.所有生物都有5 根脚趾的种群满足log)=4+21og1m;所有生物都有25只眼晴的种群满足log7=4+41ogn, 2的对费药以0列+的植是多少长红 (A)20(B)21(C22(D)23(E)24 *%=八t2+4=1Z 问题8： 在圆内接五边形ABCDE中，∠BEC=∠CED=30°.设AC与BD相交于点F,已知AB=9 且AD=24.问BF的长度是多少？ 无 BD2 42-294c 二0+57-26 二24 A 24 号袋4景呼：子即片4子 B 2025AMC12A试题 W2=)=3+4i A2) B(34) (AB y=3x-5 4=子 问题9： 设0为复数2+i,其中i=V一1.问哪个实数r可以使得r,w和w在复平面上是共线的三 点 (B)1 (D) (E) 5 5 问题10： 在下图中，优孤AD与劣孤BC有相同的圆心O.并且，，点A位于O与B之间，点D位于O 与C之间.优孤AD,劣孤BC以及线段AB和CD的长度均为2π. 2L=Y+还) Y22-次±4(*) 2í二Y.2f-) 元2r还） D 之下+刊 l=r) 丫-K+州 rtr还-) B r2+x-2r-泳 问O到A的距离是多少？ (A)1(B)1-元+V1+元2( x(D)2V1+元（国2 问题11： A 三角形的垂心是指其三条高（可能需延长)的交，点.已知某三角形的三个顶点分别为A(2,31), B(8,27,C(18,27,问该三角形垂心的坐标之和是多少？：y21A(:y=~+31.5 A5B)17(©10+4V7+2V3D)113 5团54 V A州：X-=2.UH门4w-5 问题12： HU3.3)2≥5 一组数的调和平均数是指该组数倒数的算术平均数的倒数.例如，4,4,5的调和平均数为 1 30 3(年++) 7 问4050次多项式 r-4红-3)=2-4-32r2--38r2-43)…225r2-4r-3》. 2025 下rXX4w50 所有实根的调和平均数是多少？ 不太+…0 Ty7o52t4YicYm p a)号B)3©号D,吾田3 二40· 的 m 二4510 二ko心)w= 二503 2051 2 2025AMC12A试题 ④I④l①r④1①④①④④ 3 问题13：N=川 设集合C={1,2,3,·,13}.设N为最大的整数，使得存在C的一个子集，该子集包含 N个元素且不含五个连续的整数，现从C中无放回地随机选取N个整数，问选出的元素中不含 五个连续整数的概率是多少？ 问题14： 点F,G,H共线，且G位于F与H之间，如图所示，以G和H为焦，点的椭圆与以F和G为 焦点的椭圆内切 45U++二5M H240 失受 这两个精圆有相同的离心率c,且它们的面积北为2025。（注意，精国的高心率e=行其中c 是椭圆中心到一个焦点的距离，2是椭圆长轴的长度.)问e是多少？ 16 问题15： 若一个数集满足：对于其中任意两个元素x,y(x与y未必不同)，x十y都不在该集中，则 称此数集称为“无和集”.例如，{1,4,6}与空集均为无和集，但{2,4,5}则不是.问在集合 ,2,3,,20y的所有无和子条中，元泰数日的最大可能位是多少？m从==-0 (A)8(B)9(C)10(D)11(E)12 6935,,风rfm,,可 问题16： 在△ABC中，AB=80,BC=45,AC=75.∠B的角平分线与边AB上的高相交于点P.问 BP的长度是多少？ 4灯15-8-为C0=43-些】 (A)18(B)19(C)20(D)21(E)22 25-565+00×-(40=至 儿￥二2) =艺而 D三吵-7 问题17： 0=也 多项式亿+十2c+3列+10在复平面内有三个根，其中1=V气.月由这三个根将藏西 三角形面积是多少？ 5+53网 (A)6(B)8(C)10(D)12(E)14 一n州二元nL 2+6i22川2-收4oo 2,≥-6u-2-28 2 21)Q25t)元t6=o 回>Cr24x3L(g 22+6i4WL+-1o20 72=-6-1+(64-4.6 -1.9,t) 2 =-+1西二i15-n_-6tB-卫1+- 2 2 ≥4 星纸不能右.考mn=2:23,4-5:3122 2,4,5-7：33=8 2025AMC12A试题 2,5-8:c,3=为 6 若nn:6(y3l-2el=2 66t口→( 问题18： 在由不同的非负整数组成，且每个数都不大于8的有序三元组(x,y,z)中，同时满足xy>z, zx>y,yz>x的有多少个？ (A)36(B)84(C)186(D)336(E)486 问题19： 设a,b,c为多项式x3+kx十1的三个根.问下面和式的值是多少？ bC≥ ++C=Y a3b2+a2b3+be2+b2c3+c2a2+c2n3=66+6c4+)+c4ctr) 0tt(:3 =av)+d6c)+cacb) (A)-k(B)-k+1(C)1(D)k-1(E)k 二-h((rb+6(+() 二-)二k 问题20： 五面体如下图所示，其底面是一个13×8的矩形，侧面由两个等腰三角形和两个等腰梯形组成 其中等腰三角形的底边长为8，且两条相等的腰长为13；等腰梯形的两条底边长分别为7和13， 且非平行的腰长为13 ×位吃+2*x3x宁 二33l+41 =528 13 13 问该五面体的体积是多少？ (A)416(B)520(C)528(D)676(E)832 问题21： 存在唯一的由非负整数组成的有序三元组(a,k,m),使得 40+4+k+4+2k+…+4+mk 2+20+k+20+2k+,.…+20+m=964.=224 问a+k+m的值是多少？ (A)8(B)9(C)10(D)11(E)12 4(4r) F90 (t)) 24)H）224 2.e)-142+241 2)) 2些)÷242+56 -2k 2'=l4: 6m1-256-6:0 M1-3 M22 0tkn=+业+28 2025AMC12A试题 7 ×600 问题22：wmeL5neCt,yt(9) P(×元cny59=习 从0到1之间独立且随机的选取三个实数.问这三个数中最大的数大于另外两个数中每一个数 的2倍的概率是多少？（也就是说，如果选取的数是a≥b≥c,那么需满足a>2b.) 问题23： 如果一个正整数中没有数字重复出现，不包含数字0，且没有任何一个数字的两个相邻数字都 比它大，那么称其为“平衡数”例如，23,196,12463均为平衡数，但1546,320,34321则不是 问共有多少个平衡的正整数？ ∠：(t…+%55川 入ig+40rtd (A)511(B)2,584(C)9,841(D)17,711(E)19,682 195(rt44L7t -82+66+4t543o+为62+nl 问题24： +↓254=8+s+门叶15o421+l1州 +54-42,,5+5I4+9428 一个半径为1的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且 相邻的两个圆也互相外切.此时r可表示为V+V+c的形式，其中口，b,c均为整数.问%4 a+b+c是多少？ 四- r≥几+f C6+l:6*1+)7 (A)3(B)5(C)7(D)9(E)11 问题25： 多项式P(x)与Q(x)的次数均为3且首项系数均为1，它们的根均为集合{1,2,3,4,5}中的元素. 函数f()=铝具有如下性质：存在实数a<b<c<d,使得满足fx)≤0的所有实数x构 成的集合是闭区间[a,b]与开区间(C,d)的并集.问这样的函数f(x)有多少个？ (A)7(B)9(C)11(D)12(E)13 9≥exbr) C1÷C￥C))y-】 34 2 35 f=GYxb￥r) 23 3. 2- 5 (Y-t)4-)x-r) ®5 34 2345 0⑤MAA AMC COMPETITIONS 第77届 MAA American Mathematics Competitions AMC 12 A Chinese Version 2025年11月5日（星期三) 中文版 说明 1.在未收到监考老师指示前，请不要翻开此封面。 2.这是一套包括25道选择题的竞赛。每道题目只有一个正确答案。 3.请用#2铅笔将答题卡上各题对应的圆圈完全涂黑。检查已涂黑的答案以确保准确， 并彻底擦掉错误的答案。只有在答题卡上规范填涂且颜色足够深的答案才会被计 分。 4.评分规则：每道题目答对得6分，不答得1.5分，答错得0分。 5.只能使用空白的草稿纸、尺子、圆规和橡皮作为辅助工具。不允许的器具包括计算 器、智能手表、手机、计算设备、量角器或坐标纸。竞赛中没有任何问题必须要使 用计算器。 6.图形不一定按比例绘制。 7.当监考老师宣布开始后，你将有75分钟的时间完成竞赛。 8.在竞赛结束后，请遵循监考老师的指示。 本届AMC12A的题目及解答由Gary Gordon和Carl Yerger 担任共同主编的MAAAMC10/12命题委员会编制。 如果MAAAMC办公室认定参赛者有违规行为，将保留取消其成绩的权利。所有参赛者均须遵守MAA关于竞赛诚信的 政策，该政策可通过maa.org/amc查阅。 在允许学生正式参加竞赛的时间窗口内，发布、复制或传播本次竞赛的题目或解答会严重损害竞赛结果的公正性。在此 期间，通过电话、电子邮件或其他任何类型数字媒体传播相关内容的行为均构成违规。 2025 Mathematical Association of America AMC12 2025AMC12A试题 2 问题1： Andy和Betsy都住在数学村.Andy于1：30骑自行车离开数学村，向正北方以每小时8英里的 恒定速度行进.Besty于2：30从同一地，点骑自行车出发，向正东方以每小时12英里的恒定速度 行进.问何时他们与共同出发点的距离会完全相同？ (A)330(B)3:45(C)4:00(D)4:15(E)430 问题2： 一个盒子里装有10磅的混合坚果，其中花生占50%，腰果占20%，杏仁占30%.在盒子中后来 加入了另一种混合坚果，其中花生占20%，腰果占40%，杏仁占40%，而最终形成的新混合坚 果中花生占40%.问现在盒子中共有多少磅腰果？ (A)3.5(B)4(C)4.5(D)5(E)6 问题3： 一组学生将与一组教师进行知识比赛.学生和教师的总人数为15人·Ash是其中一名学生的表 亲，他也想参加比赛.如果Ash加入学生队，该队的平均年龄将从12岁增加到14岁；如果Ash 加入教师队，该队的平均年龄将从55岁减少到52岁.问Ash的年龄是多少岁？ (A)28(B)29(C)30(D)32(E)33 问题4： Ages在白纸上写下以下四个论断： ·这些论断中至少有一个是真的。 ·这些论断中至少有两个是真的. ●这些论断中至少有两个是假的 ·这些论断中至少有一个是假的. 每个论断非真即假.问Ages在纸上写的假论断有几个？ (A)0(B)1(C)2(D)3(E)4 2025AMC12A试题 3 问题5： 在下图中，最外面的正方形内包含无限多个正方形，每个正方形都有相同的中心，且边与最外 面正方形的边平行.每个正方形与其相邻的内部正方形的边长之比为k,其中0<k<1.如图 所示，正方形之间的区域交替涂色（图形未必按比例绘制）. 回 若图形中阴影部分的面积是原正方形面积的64%，问k是多少？ 4 问题6： 六把椅子围绕一张圆桌摆放.两名学生和两名教师随机选择其中的四把椅子就座.问两名学生 坐在相邻椅子上，且两名教师也坐在相邻椅子上的概率是多少？ 名⑧专o号o國B個 问题7： 在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度)取决于它的脚趾数量和眼睛数量m.在速度以厘米 每小时为单位时，两者的关系可表示为v=knm,其中k,a,b均为整数常数.所有生物都有5 根脚趾的种群满足1og)=4+21ogm;所有生物都有25只眼睛的种群满足1og)=4+41ogn, 这里的对数均以10为底.问k+a+b的值是多少？ (A)20(B)21(C)22(D)23(E)24 问题8： 在圆内接五边形ABCDE中，∠BEC=∠CED=30°.设AC与BD相交于点F,已知AB=9 且AD=24.问BF的长度是多少？ 贸国日o9o9田 2025AMC12A试题 4 问题9： 设0为复数2+i,其中i=V一1.问哪个实数r可以使得r,w和w在复平面上是共线的三 点？ a (B)1(O7 (D) (E) 5 问题10： 在下图中，优孤AD与劣孤BC有相同的圆心O.并且，点A位于O与B之间，点D位于O 与C之间.优孤AD,劣孤BC以及线段AB和CD的长度均为2π. B 问O到A的距离是多少？ A)1⑧)1-π+V1+元©r(D21+元田2 问题11： 三角形的垂心是指其三条高（可能需延长）的交点，已知某三角形的三个顶点分别为A(2,31), B(8,27),C(18,27,问该三角形垂心的坐标之和是多少？ A)5B)17(©10+4V7+2V13D)113 (E)54 问题12： 一组数的调和平均数是指该组数倒数的算术平均数的倒数.例如，4,4,5的调和平均数为 30 3(金++) 7 问4050次多项式 202 Πk2-4x-3)=(a2-4x-3)2x2-4x-3)3x2-4x-3)…(2025x2-4x-3) k 所有实根的调和平均数是多少？ 2025AMC12A试题 5 问题13： 设集合C={1,2,3,·,13}.设N为最大的整数，使得存在C的一个子集，该子集包含 N个元素且不含五个连续的整数.现从C中无放回地随机选取N个整数，问选出的元素中不含 五个连续整数的概率是多少？ 问题14： 点F,G,H共线，且G位于F与H之间.如图所示，以G和H为焦，点的椭圆与以F和G为 焦点的椭圆内切. 这两个精圆有相同的离心率c,且它们的面积北为2025。（注意，精国的高心率e=其中c 是椭圆中心到一个焦点的距离，2是椭圆长轴的长度.)问e是多少？ B) 16 22 4 ()45 问题15： 若一个数集满足：对于其中任意两个元素x,y(x与y未必不同)，x十y都不在该集中，则 称此数集称为“无和集”.例如，{1,4,6}与空集均为无和集，但{2,4,5}则不是.问在集合 {1,2,3,·,20}的所有无和子集中，元素数目的最大可能值是多少？ (A)8(B)9(C)10(D)11(E)12 问题16： 在△ABC中，AB=80,BC=45,AC=75.∠B的角平分线与边AB上的高相交于点P.问 BP的长度是多少？ (A)18(B)19(C)20(D)21(E)22 问题17： 多项式(2+)(z+2)(z+3i)+10在复平面内有三个根，其中i=V一1.问由这三个根构成的 三角形面积是多少？ (A)6(B)8(C)10(D)12(E)14 2025AMC12A试题 6 问题18： 在由不同的非负整数组成，且每个数都不大于8的有序三元组(x,y,z)中，同时满足Xy>z, zx>y,yz>x的有多少个？ (A)36(B)84(C)186(D)336(E)486 问题19： 设，b,c为多项式x3+kx+1的三个根.问下面和式的值是多少？ a3b2+a2b3+b3c2+b2c3+c3a2+c2a3 (A)-k(B)-k+1(C)1(D)k-1(E)K 问题20： 五面体如下图所示，其底面是一个13×8的矩形，侧面由两个等腰三角形和两个等腰梯形组成 其中等腰三角形的底边长为8，且两条相等的腰长为13；等腰梯形的两条底边长分别为7和13， 且非平行的腰长为13. 13 13 问该五面体的体积是多少？ (A)416(B)520(C)528(D)676(E)832 问题21： 存在唯一的由非负整数组成的有序三元组(a,k,m),使得 49+4+k+4+2k+…+4+mk 20+20+k+20+2k+.…+22+mk=964 问a+k+m的值是多少？ (A)8(B)9(C)10(D)11(E)12 2025AMC12A试题 7 问题22： 从0到1之间独立且随机的选取三个实数，问这三个数中最大的数大于另外两个数中每一个数 的2倍的概率是多少？（也就是说，如果选取的数是a≥b≥c,那么需满足a>2b.) 问题23 如果一个正整数中没有数字重复出现，不包含数字0，且没有任何一个数字的两个相邻数字都 比它大，那么称其为“平衡数”例如，23,196,12463均为平衡数，但1546,320,34321则不是. 问共有多少个平衡的正整数？ (A)511(B)2,584(C)9,841(D)17,711(E)19,682 问题24： 一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且 相邻的两个圆也互相外切.此时r可表示为V√a十V仍十c的形式，其中a,b,c均为整数.问 a+b+c是多少？ (A)3(B)5(C)7(D)9(E)11 问题25： 多项式P(x)与Q(x)的次数均为3且首项系数均为1，它们的根均为集合{1,2,3,4,5}中的元素. 函数f)=器具有如下性质：存在实数a<b<c<d,使得满足f)≤0的所有实数x构 成的集合是闭区间[a,b]与开区间(C,d)的并集.问这样的函数f(x)有多少个？ (A)7(B)9(C)11(D)12(E)13