精品解析：江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

九年级素养测评数学试题 一、选择题 1. 在平面内的半径为，点到圆心O的距离为，则点P与的位置关系为（ ） A. 圆内 B. 圆外 C. 圆上 D. 无法确定 2. 在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（    ） A. B. C. 1 D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 4. 如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（ ） A. B. C. D. 5. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）． 10. 在中，、都是锐角，且，则的形状是______三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 11. 如图，河提横断面迎水坡的坡比（坡比也叫坡度，指点B向水平面做垂线，垂足为C，）是，河提的高米，则坡面的长度是______米． 12. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为_______ 13. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________． 14. 如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________． 15. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm． 16. 如图，半径为5的扇形中，，点C在上，点E在上，点D在弧上，四边形是正方形，则图中阴影部分的面积为________． 17. 如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为__． 18. 如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 三、解答题 19. 计算 （1）． （2） 20. 已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． （1）已知，，求； （2）已知，，求和． 21. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，，． 求的长； 求的正切值． 22. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，求的长度． 23. 如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 24. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____； （2）连接、，则的半径长为______，的度数为______； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_______．（结果保留根号） 25. 已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 26. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 27. 【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． （2）如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 （4）如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 28. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图①在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）　　;　　． （2）如图②，在中，，已知，试求的值． （3）直线与轴，轴分别交于点，点分别在线段上，且是等腰三角形，设的顶角为，当时，求点的坐标．（请直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级素养测评数学试题 一、选择题 1. 在平面内的半径为，点到圆心O的距离为，则点P与的位置关系为（ ） A. 圆内 B. 圆外 C. 圆上 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点P到圆心的距离，点P在圆内，根据点与圆的位置关系直接作出判断． 【详解】∵的半径为，点到圆心O的距离为， 即点到圆心O的距离小于圆的半径， ∴点在内， 故选：A． 2. 在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（    ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出∠C=30°，再求出的值即可． 【详解】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°， ∴∠C=180°-105°-45°=30°， ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查三角形内角和公式，正弦定理，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、三角形的外接圆与外心等知识，因为不在同一条直线上的三点确定一个圆，所以“三点确定一个圆”这一说法是错误的，可判断A不符合题意；如果一条直径平分的弦也是直径，那么这条直径不一定垂直于弦，可判断B不符合题意；相等的圆心角所对的弦长相等的前提是在同圆或等圆中，可判断C不符合题意；三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，可判断D符合题意，于是得到问题的答案，正确地理解和应用这些知识是解题的关键． 【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆， “三点确定一个圆”这一说法是错误的，故A不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， “平分弦的直径垂直于弦”这一说法是错误的，故B不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， “相等的圆心角所对的弦相等”这一说法是错误的，故C不符合题意； 三角形的外心到三个顶点的距离相等， 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D符合题意， 故选：D． 4. 如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，制作这把遮阳伞至少需要用布料； 故选B． 5. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理，切线的性质定理以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC=，从而得到tan∠ADC的值． 【详解】解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，tan∠ABC=， ∵∠ADC=∠ABC， ∴tan∠ADC=， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 7. 如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，设交于点G，根据正六边形性质证明是等边三角形， 推出，，推出，得到,． 【详解】连接、，设交于点G， ∵正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正三角形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正六边形性质，等边三角形的判断和性质，垂径定理，圆周角定理，含的直角三角形性质，是解决问题的关键． 8. 如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查的圆周角所对的弦是直径、切线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作的外接圆，圆心为点，由于点，得，所以是的直径，由，点是上的定点，于点，得，为定值，而，，可证明，得，，求得，因为当与相切时，最大，此时，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点， 于点， ， 是的直径， 是的中点， ，点是上的定点，于点， ，为定值， 点、分别是、上的动点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在上运动， 当与相切时，最大， ， ， ， 故选：． 二、填空题 9. 比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵50°＜60°，而锐角正弦值随着角度的增大而增大， ∴sin50°＜sin60°， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是正确判断的前提． 10. 在中，、都是锐角，且，则的形状是______三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【解析】 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，理解绝对值和偶次幂的非负性，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 11. 如图，河提横断面迎水坡的坡比（坡比也叫坡度，指点B向水平面做垂线，垂足为C，）是，河提的高米，则坡面的长度是______米． 【答案】20 【解析】 【分析】由题意得：，由勾股定理即可求得． 【详解】解：∵， ∴米， 由勾股定理得：（米）， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡比的含义是关键． 12. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为_______ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，正方形的性质与判定，由勾股定理可得，证明四边形是正方形，设，则，由切线长定理可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，，是的内切圆，且与分别切于点D，点E，点F， 由勾股定理得； 由切线的性质可得， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设，则， 由切线长定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的内切圆半径为1， 故答案为：1． 13. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， ， 又点是的中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 14. 如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得是解题的关键． 15. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm． 【答案】 【解析】 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 16. 如图，半径为5的扇形中，，点C在上，点E在上，点D在弧上，四边形是正方形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点F．由正方形的性质得出，．即根据扇形面积公式求出扇形的面积即可． 【详解】如图，连接，交于点F． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积公式．理解是解题关键． 17. 如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为__． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出，，过点D作交延长线于点E，证明，得到，设，则，，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：∵在中，，， ，； 过点D作交延长线于点E， ，， ， ， ， 设， 则，， ∵， 即， 解得， 即的长为， 故答案为：5． 18. 如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 【答案】1## 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算 （1）． （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，首先计算乘方并去绝对值符号，再计算乘方，最后进行加减运算； （2）首先代入特殊角的三角函数值，再进行乘方运算以及乘法运算，最后进行加减法． 【小问1详解】 解：原式= = =3； 【小问2详解】 原式= = = ． 【点睛】本题考查实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零指数幂以及负整数指数幂，掌握其性质和运算顺序是解决问题的关键． 20. 已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． （1）已知，，求； （2）已知，，求和． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知正弦、正切的定义及勾股定理是解题的关键． （1）借助于的正弦即可解决问题； （2）先利用勾股定理求出，再结合的正切即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解： ∵， ∴． 21. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，，． 求的长； 求的正切值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可知∠AOD=45°，由CD⊥AB可证明OE=AE，根据勾股定理可求出AE、OE的长度，由垂径定理可知AB=2AE即可求出AB的长；（2）根据OE的长度可求出CE的长度，根据正切的定义求出∠BAC的值即可. 【详解】连结． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由垂径定理，得； ∵，， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及锐角三角函数，垂直于弦的直径，平分弦且平分这条弦所对的两条弧；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；在直角三角形中，正切是对边与邻边的比，熟练掌握相关知识是解题关键. 22. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，求的长度． 【答案】（1）是等腰直角三角形， 证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形， ， ， 中，，，则， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 23. 如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）设交于点T，证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点T，如图， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴，即的直径为5； 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质, 勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题． 24. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____； （2）连接、，则的半径长为______，的度数为______； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_______．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）2，90° （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出点位置，结合图形得到点的坐标； （2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理的度数； （3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案． 【小问1详解】 解：分别作、的垂直平分线，两直线交于点， 则点即为该圆弧所在圆的圆心， 由图形可知，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 圆的半径长， ， ， ， 则， ， 故答案为：；90； 【小问3详解】 设圆锥的底面圆的半径长为， 则， 解得，． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 25. 已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， 平行于， ， ， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线、勾股定理以及圆的性质： （1）连接，利用，求出，得到平行于，可知． （2）过点作于点，根据，求得，再根据勾股定理计算出，最后将阴影部分的面积转化为，将每个面积求出来相减即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， ． 26. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 【答案】（1）端点距离地面的高度约为； （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 端点距离地面的高度约为； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 答：的长约为． 27. 【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． （2）如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 （4）如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 【答案】（1）， （2）或 （3） 如图所示， （4） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （2）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （3）根据圆内接四边形对角互补可得对角为，根据圆心角等于圆周角两倍即可得到圆心角为画出圆心角即可得到圆心与半径再画圆弧即可得到答案； （4）根据题意易得，即可得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当点P在优弧上点为，在劣弧上的点为， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 综上所述：弦所对的圆周角的度数为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴AB所在直线的下方点M，存在， 即A、B、P、M四点共圆， 作垂直平分线交于点N， 以点N为圆心为半径画下圆弧交垂直平分线于一点即为圆心O点， 以O为圆心为半径画圆弧； 满足条件的点C所组成的图形为以O为圆心、OA为半径的． 【小问4详解】 解：由题意可， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的路径是以为弦的圆弧， ∴弦所对圆周角为，圆心角为，半径为， ∴点P运动的路径长是：． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了辅助圆的知识、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半、一条弦所对的圆周角相等或互补、圆内接四边形对角互补、尺规作图——作垂线等内容，解题的关键是根据题意找到定角，确定动点轨迹． 28. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图①在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）　　;　　． （2）如图②，在中，，已知，试求的值． （3）直线与轴，轴分别交于点，点分别在线段上，且是等腰三角形，设的顶角为，当时，求点的坐标．（请直接写出结果） 【答案】（1）1；；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；②根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，再根据正对的定义解答； （2）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．则CE＝x．CD可求出，根据定义可求出答案． （3）分三种情况，①当时,作轴于D，则为，②当时，∠MON为，作MD⊥ON交x轴于D，③当时， 为，分别讨论即可． 【详解】解：（1）根据正对定义， 当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°， 则三角形为等边三角形， 则sad60°＝＝1． 当顶角为时，作底边上的高，底角为30°，底边是腰的倍，则 （2）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，如图． 在Rt△ADE中， ＝sinA＝， 设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x． ∴CE＝x． 在Rt△CDE中，CD＝ ， ∴sadA＝ ． （3）①当时,作轴于D，则为， ∴ ， ∵， ∴ ， 设OD为3a,则OM为5a， ， ∴ ， 又∵M在直线上， ∴代入 ，解得： ， ∴M； ②当时，∠MON为，作MD⊥ON交x轴于D， ∵， ∴ ， 设则 ， ∵ ， ∴ ， 则 ， ∴M点坐标为， ∵M点在直线上， 代入解得 ， ∴M点坐标为， ③当时， 为， 根据②的解法可求得 ， 代入直线解得 ， ∴ ， 综上，M坐标为或． 【点睛】此题是一道新定义的题目，考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的性质等，解题关键是要熟悉三角函数的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $