甘肃省金昌市金川高级中学教育集团2025-2026学年高二上学期学业质量检测（二）数学试题

金川高级中学教育集团2025-2026学年度第一学期高二年级学业质量检测（二） 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 2．直线l的一个方向向量为，则它的斜率（  ） A． B． C．1 D．32 3．的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（  ） A． B． C．20 D．160 4.已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ）A．2 B． C． D． 5.若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（   ） A. B. 2 C. D. 6.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（　 　） A．60种 B．144种 C．120种 D．300种 7.已知点M为抛物线上一动点，点Q为圆C：上一动点，点F为抛物线的焦点，点M到y轴的距离为d.若的最小值为3.则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（    ） 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过两点的所有直线，其方程均可写为 D. 已知，若直线与线段有公共点，则 10. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线与圆一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 11. 已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（ ） A. 当不与左、右端点重合时，的周长为定值 B. 当时， C. 有且仅有4个点，使得为直角三角形 D. 当直线的斜率为1时，直线的斜率为 第II卷（非选择题92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.若两平行直线l1：x-2y+m=0(m>0)与l2：2x+ny-8=0之间的距离是，则m-n= .  13.在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是 ． 14．若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如.若数列的前n项和为，则 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 15（13分）（1）求的值；（2）解不等式. （3）已知二项式，求展开式的第4项； 16（15分）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 17（15分）（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程． 18（17分）数列满足：,各项均为正数的等差数列的前n项和为，4是的等比中项，且-=12． （1）求的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 19（17分）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围； (3)若动直线与交于点，，点是轴正半轴上异于的一定点，若直线，的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 高二年级数学试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ DABBCCBD ACD AD ABD 1【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解. 【详解】的焦点是, 故选：D 2【分析】直接计算得到答案. 【详解】直线l的一个方向向量为，则斜率. 故选：A 3．B【分析】根据二项式系数的性质得，再根据通项公式可求出结果. 【详解】因为的展开式中只有第四项的二项式系数最大， 则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则， 则展开式的通项为， 展开式中常数项，必有，即， 所以展开式中常数项为. 故选：B 4．B 【答案】B 【分析】先根据直线平行得出正切值为，再应用二倍角正弦及余弦公式结合齐次式计算求值. 【详解】因为角的终边与直线平行， 即角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：B 5【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解. 【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线两条渐近线的夹角为60°，， 所以，即， 所以，即，即， 所以，则. 故选：C. 6.【答案】C 【分析】由题意知，为需要考虑特殊位置、特殊元素的排列问题，分步解决问题. 【详解】第一步，要在该时间段只保留其中的2个商业广告，即先从5个中选择2个，有种，第二步，增播一个商业广告，共3个广告，排好有种， 第三步，在2个空中，插入两个不同的公益宣传广告，有种方法， 根据乘法原理，共有10×6×2＝120种方法． 故选：C． 7.【答案】B 8【答案】D【解析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】：几何法，双曲线定义的应用 M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 9.【答案】ACD 【解析】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立； 若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立； “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误； 对于B，由直线得：， 直线的斜率，即， 又，，B正确； 对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误； 对于D，由得：，直线恒过定点； ，， 结合图象可知：，，D错误. 故选：ACD. 10.【答案】AD 【解析】 【分析】确定直线过定点，点在圆内，A正确，当时，最大，计算得到B错误，最大值为，C错误，确定直线过圆心，，D正确，得到答案. 【详解】圆：，圆心，半径， 直线过定点，， 对选项A：，点在圆内，故直线与圆一定相交，正确； 对选项B：当过圆心时，最大为，错误； 对选项C：圆上点到直线距离的最大值为，错误； 对选项D：直线：，圆心在直线上，， 故圆上存在四个点到直线的距离为1，正确； 故选：AD 11.【答案】ABD 【解析】对于A：因为，当且仅当为右顶点时取等号， 又因为的最大值为，所以， 因为，所以，所以椭圆的方程为， 因为的周长为，故A正确； 对于B：当时，，所以， 所以，所以， 因为，所以，故B正确； 对于C：设椭圆的上顶点为，因为， 所以，所以的最大值为， 所以存在个点，使得， 又因为存在个点使，存在个点使， 所以存在个点，使得为直角三角形，故C错误； 对于D：因为，设， 则，所以， 所以， 因为，所以，故D正确， 故选：ABD. 12.【答案】10 【解析】 【分析】根据直线平行关系和距离公式即得. 13.或 【分析】将条件坐标化，先转化为恒成立，即圆上所有动点到定点距离的最小值大于，再转化为与圆心距离的不等关系求解可得. 【详解】设，由点， 即点满足，即， 设点，即恒成立 则，圆上所有点到定点最小值大于， 又圆，半径为， 圆上所有点到定点最小值即为：. . 即，化简得， 解得或. 故答案为：或.    14． 【分析】根据的定义求得和，进而是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】小于等于的正整数有， 与不互质的数是2的倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 小于等于的正整数有， 与不互质的数是3倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故答案为：6； 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 15.（1）280；（2）（3） 【分析】（1）根据排列数以及组合数公式计算，即得答案； （2）根据排列数公式，解不等式，即得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. （3）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. 16.(1)；【分析】（1）利用圆心距来求弦长，即可由点到直线的距离公式求解直线方程； (2)利用分类讨论斜率是否存在，然后设直线方程与圆联立方程组，利用根与系数关系来求解定值即可. 【详解】（1）由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， (2)由题意知，，    当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 17.【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设所求双曲线方程为，代入点求解参数即可． 【详解】（1）因为到其焦点的距离为5，根据定义，到准线距离也为5， 抛物线的准线方程为， 故 ，则抛物线方程． （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线经过点，所以，故， 所以双曲线标准方程为， 即． 18.【答案】(1)=3n-1 (2)或 【解题思路】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【解答过程】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 19．(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用点差法列方程，根据点和椭圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. （3）设，联立直线与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，由此化简已知条件，求得点坐标以及的值. 【详解】（1）由已知，将代入椭圆方程得，解得， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，是椭圆上关于直线：对称的两个点， 设是线段的中点，则点在直线上，且. 则两式相减， 得. ，故， 联立解得. ， 点应在椭圆的内部， ，解得. 实数的取值范围是. （3）设，（且），，， 将与联立得， 则， 又分别为直线的倾斜角， 因为， 所以为定值， 又， 又为定值，则，所以， 当时，为定值， ，所以.    高二年级数学试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $