精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2024级高二第五次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 如图，在三棱锥中，，，，点在OA上，且，为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 A. B. C. D. 6. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值是1 C. 从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3 D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 11. 如图，在棱长为正方体中，分别是棱上的动点，且.则下列判断正确的有（ ） A 一定成立 B. 平面不可能成立 C. 当时，点到平面的距离为 D. 当三棱锥的体积最大时，平面与平面的夹角正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________． 13. 已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 14. 棱长为正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离为__________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分. 15. 已知空间三点 （1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标． 16. 已知直线l1：2x﹣y+2＝0与l2：x+y+4＝0． （1）若一条光线从l1与l2的交点射出，与x轴交于点P（3，0），且经x轴反射，求反射光线所在直线的方程； （2）若直线l经过点P（3，0），且它夹在直线l1与l2之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线：，椭圆上是否存在一点，它到直线距离最大？最大距离是多少？ 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求证：； （2）为何值时，的长最小? （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，在三棱锥中，平面与平面互相垂直，且，．求： （1）所在直线和平面所成角的大小； （2）二面角正弦值； （3）三棱锥外接球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第五次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中对称点的性质求解即可. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 所以，故C正确. 故选：C 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 3. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于第三边且三点共线时能取得最值，即得结果. 【详解】依题意，抛物线中，，点到准线的距离，故点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和为，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立. 所以距离之和的小值为. 故选：B. 4. 如图，在三棱锥中，，，，点在OA上，且，为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解. 详解】由题意，. 故选：A. 5. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两向量夹角是钝角，则两个向量数量积小于零，用坐标形式表示向量数量积，解不等式，即得x范围． 【详解】∵与的夹角为钝角， ∴cos＜＞＜0,且与不共线 ∴＜0,且（3，﹣2，﹣3）≠λ（﹣2，x﹣1，2） ∴﹣6﹣2（x﹣1）﹣6＜0且, 即x>-5且x ∴x的取值范围是． 故选B． 【点睛】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当与的夹角为钝角可得，＜0,与不共线，但是学生容易忽略两个向量共线的情况. 6. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一，作出直线在平面的射影为，得线面所成角，推导三余弦公式，代入计算即得；法二，建系，写出相关点和相关向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，则平面，直线与平面所成角为. 作于点H，连接，因平面，则， 又平面，则平面， 又平面，则. 于是有，， 即(*). 因由对称性知，，代入（*）得， ,故. 故选：A 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以，所以. 设直线与平面所成角为，所以， 故选:A 7. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示， 则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 8. 设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于，即可得出，由此即可求出的取值范围，从而求解 【详解】由题意得，，， 所以， 又因为双曲线的渐近线的斜率小于，得， 所以，即，得，故C正确 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于AC，由，可得M，A，B，C四点共面，即共面， 所以选项A中，不共面，可以构成基底，选项C中，不共面，可以构成基底； 对于BD，根据平面向量基本定理，B中，因为，得共面，无法构成基底，故B错误；选项D中，因为，得共面，无法构成基底，故D错误. 故选:AC. 10. 圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值是1 C. 从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3 D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】由题可知圆的圆心为，半径为，进而根据圆心到直线的距离和半径关系判断A选项；根据的最小值为判断B选项；根据当时，取得最小值，此时取得最小值判断C选项；由题知曲线为圆的上半圆，直线表示过点，再数形结合求解即可判断D选项. 【详解】解：圆的标准方程为，圆心为，半径为. 对于A选项，圆心C到直线l的距离为，所以，直线l与圆C相离，A错； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，如下图所示： 从Q点向圆C引切线，设切点分别为M、N，连接CM，则，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，C对； 对于D选项，由得，即，所以，曲线表示圆的上半圆，而直线表示过点且斜率为k的直线，如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时，则，解得， 当直线过点时，则，解得. 由图可知，当与曲线有两个不同的交点时，k的取值范围是，D错 故选：BC. 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且.则下列判断正确的有（ ） A. 一定成立 B. 平面不可能成立 C. 当时，点到平面的距离为 D. 当三棱锥的体积最大时，平面与平面的夹角正切值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解判断各个选项. 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，设，， 则. 对于A，由， 则， 所以，即，故A正确； 对于B，由于， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，即， 则， 要使平面，则， 又，，所以，即， 则（舍），即， 因此平面可能成立，故B错误； 对于C，当时，， 由B知，平面的一个法向量为，也可为， 而， 所以点到平面的距离为，故C正确； 对于D，由， 由二次函数性质得， 当时，取得最大值， 此时为的中点， 则平面的一个法向量为，也可为， 易得平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 13. 已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，且，结合两点间距离，代入整理可得， 结合单调性，可求得的最大值和最小值，加和即可. 【详解】设，因为点在圆上运动， 所以，且， 又点，，， 所以 ， 令，函数为减函数，又， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值. 所以取的最大值与最小值之和为. 故答案为： 14. 棱长为的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离. 【详解】如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，． 设平面的法向量为，则即令，则， 点到平面的距离． 又，且平面平面，平面， 故直线到平面的距离即点到平面的距离. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分. 15. 已知空间三点 （1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出，进而得出，根据 四边形的面积公式即可求解； （2）设出的坐标，利用向量垂直的充要条件及向量的摸的公式即可求解. 【小问1详解】 由，得 ， 所以，即， 又， 所以向量为一组邻边的平行四边形的面积为 . 【小问2详解】 设，则 因为且， 所以，即 ，即 联立，解得 解得或． 所以或. 16. 已知直线l1：2x﹣y+2＝0与l2：x+y+4＝0． （1）若一条光线从l1与l2的交点射出，与x轴交于点P（3，0），且经x轴反射，求反射光线所在直线的方程； （2）若直线l经过点P（3，0），且它夹在直线l1与l2之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 【答案】（1）2x+5y﹣6＝0．（2）22x+y﹣66＝0． 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点坐标，并写出这点关于的对称点，直线就是反射光线所在直线； （2）直线为l与l1的交点A（x1，y1），与l2交点B（x2，y2），由中点坐标公式得，即B（6﹣x1，﹣y1），把坐标代入各自所在直线方程可求得，从而得直线方程． 【详解】（1）由解得 ∴直线l1与l2的交点为（﹣2，﹣2）， 据题意反射光线应过（﹣2，﹣2）关于x轴的对称点（﹣2，2）和点P， 则， 所以反射光线所在直线方程为：2x+5y﹣6＝0． （2）设直线为l与l1的交点A（x1，y1），与l2交点B（x2，y2）， 则有，于是有，即B（6﹣x1，﹣y1）， 分别代入直线方程， 所以 解得，． 所以直线l的方程为：22x+y﹣66＝0． 【点睛】本题考查直线方程，考查关于直线的对称性和关于点的对称性．光线问题可求出光源点关于直线的对称点，此点必在反射光线所在直线上． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线：，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】（1） （2）存在，最大距离为 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据已知条件可得，，，求得、的值即可求解； （2）设平行于直线的直线的方程为：，与椭圆方程联立，令可得的值，再由两平行线间的距离公式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 小问2详解】 设平行于直线的直线的方程为：， 由消去，得，即， 由解得：或. 所以当时，直线：与椭圆的交点到直线的距离最远， 直线与直线间的距离为， 所以在椭圆上存在点到直线的距离最大，最大距离为. 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求证：； （2）为何值时，的长最小? （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，的长最小 （3） 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直的性质即可证明； （2）应用空间向量表示两点距离，转化为函数最值求解即可； （3）应用空间向量法求解两面的夹角余弦即可. 【小问1详解】 证明：因为平面平面， 且平面平面， 又四边形为正方形，所以， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 因为四边形为正方形，所以，由（1）知，， 所以以点B为坐标原点，分别以为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系（如图），则，，,,,, 因为正方形，的边长都是2，所以， 又， 所以，， 所以 所以当时， 【小问3详解】 因为取最小时，，所以，， 所以，，, 设平面的法向量为， 所以，即，取，所以， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 所以，即，取，所以， 所以平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以. 即平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，在三棱锥中，平面与平面互相垂直，且，．求： （1）所在直线和平面所成角的大小； （2）二面角的正弦值； （3）三棱锥外接球的表面积． 【答案】（1）． （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得平面，确定为所求的角，解三角形即可； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可； （3）法一：如图，确定为外接球的半径，根据正弦定理求出、外接圆的半径，利用勾股定理和球的表面积公式计算即可求解；法二：设外接球的球心，外接球半径为，根据和计算即可求解. 【小问1详解】 如图，在平面内过点作垂直于的延长线于点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，故为直线与平面所成角． 因为，， 则，， 所以与全等，则， 故在中，， 所以直线与平面所成角大小为． 【小问2详解】 由（1）可知平面，以点为原点， ，，的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 显然为平面的一个法向量， 设平面的法向量， 因为，， 则，即， 令，则，，． 所以，设二面角为， 则． 二面角的正弦值为． 【小问3详解】 方法一：设，分别是和的外接圆圆心． 过作面的垂线，过作面的垂线，两条垂线的交点即为外接球球心． 设外接圆的半径为，则，得， 同理外接圆的半径．过作于， 则为的中点，， 则球的半径， 所以三棱锥外接球表面积． 方法二：由（1）可知平面，以点为原点， ，，的方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 设三棱锥的外接球球心为，设，外接球半径为， 则，得， 解得，， 所以外接球表面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $