精品解析：黑龙江省大庆外国语学校2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷

大庆外国语学校 初四年级数学学科第三次月考试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知的直径为，点在外，则长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，本题先求解圆的半径，再利用点在圆外，可得，从而可得答案；熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的直径为，点在外， ∴的半径为， ∴， ∴长可能是． 故选：A． 2. 如图，点A，D，B，C都在上，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直接利用此性质即可得出答案． 【详解】解：和所对的弧都为， 故选：D． 3. 若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 4. 下列说法中，正确的是（　　） 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；圆中的直径是弦，弦是直径；在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；三点可以确定一个圆． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括圆心角与弧的关系、弦与直径的定义、弦的垂直平分线的性质以及确定圆的条件．掌握这些是解题的关键．根据圆心角与弧的关系、弦与直径的定义、弦的垂直平分线的性质以及确定圆的条件等知识点，逐个判断即可． 【详解】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故符合题意； 直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径弦），故不符合题意； 在同圆中，弦的垂直平分线必过圆心，故符合题意； 只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，三点共线时不能确定圆，故不符合题意，所以正确的是． 故选：B． 5. 用半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是，则该圆锥的底面周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图、勾股定理，扇形半径作为圆锥母线，与圆锥高和底面半径构成直角三角形，利用勾股定理求底面半径，再求底面周长． 【详解】解：如下图所示， 圆锥母线，高， 底面半径满足， 即， 解得：， 底面周长． 故选：D． 6. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为―（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是掌握相关的圆的面积公式． 根据四边形的内角和为得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积． 【详解】解：∵四边形内角和为， ∴四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：B． 7. 如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线长定理得到，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∵与三边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点E，F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，，若，，则的半径是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理；能熟练利用垂径定理，勾股定理进行求解是解题的关键．过圆心作交于点，交于点，连接、，由垂径定理得，由圆的基本性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过圆心作交于点，交于点，连接、， ， ， ， ， ， ， ， 设半径为，则， ， ， ， 解得， 故的半径是， 故选：B． 10. 如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 的两直角边长分别为5、12，则该三角形的外接圆半径是_____． 【答案】##6.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及直角三角形外接圆半径的性质，先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形外接圆半径与斜边的关系求出外接圆半径． 【详解】解：∵的两直角边长分别为5、12， ∴斜边长为：，即为三角形的外接圆直径， ∴三角形的外接圆半径是． 故答案为：． 12. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，根据圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及所对的直角边是斜边的一半，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 正六边形是的内接正六边形， ． ，， ． 在中，，， ． ， 即正六边形的边心距是． 故答案为：． 14. 如图，点在内，已知的半径为，，则经过点的最短弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正确理解过的最短的弦的位置是关键．先证出弦与垂直时，弦最短，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作弦，过点作，， ， ， ， 当弦与垂直时，弦最短，如图所示： ， 则， 故答案为：． 15. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，过8点和12点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有关扇形面积的计算．连接、，过点O作于点C，求得，根据三角形面积公式求出，再根据扇形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点O作于点C，如图： 由题意可知：， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 16. 的内切圆半径为，的周长为，则的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内心的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键． 利用三角形内切圆的性质，三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半． 【详解】设的内切圆圆心为，切点为点，，，连接，，，，，， 则到各边的距离均等于内切圆半径， ，，， ， 的面积可表示为、、的面积之和，即，， ； 故答案是：． 17. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则__． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为， ∴顺时针转动2周时，点P移动的弧长为， ∴， 解得：． 故答案为：． 18. 如图，四点都在上，是的直径，且，若，弦的长______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接，根据圆周角定理，得到，，进而得到，得到，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 故答案为：． 19. 点A，B，C在上的位置如图，已知，则__________°． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键； 连接，通过等腰三角形的性质得到，，进而得到，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： ． 20. 如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，，，作于点，求出，然后在中利用三角形的三边关系可得，从而求的最小值． 【详解】解：如图，连接、，，，作于点， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，连接， ∵为中点， ∴由三线合一性质可得：， ∵， ∴由垂径定理可得：为中点， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，圆的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是辅助线的作法． 三、解答题（共60分） 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，有理数乘方，化简绝对值，最后再计算加减法即可． 【详解】解： 22. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，原式． 23. 国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【答案】30元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批跳绳的数量是第一批的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批跳绳进货单价30元． 24. 为了深化教育改革，某校计划开设四个课外兴趣活动小组：音乐、体育、美术、舞蹈，学校要求每名学生都自主选择其中一个兴趣活动小组，为此学校采取随机抽样的方式进行了问卷调查，对调查结果进行统计并绘制了如下统计表． 选择课程 音乐 体育 美术 舞蹈 所占百分比 a b c 根据以上统计图表中的信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 人；其中 %； %； %； （2）请把条形图补充完整； （3）若该校共有学生1000名，请估计该校选择“美术”的学生有多少人． 【答案】（1）100，20，40，10； （2） 补全的条形统计图如图所示； （3）400． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）用体育的人数除以其所占的百分比即可求出抽样调查的学生总人数，用音乐、美术、舞蹈的人数除以总人数即可求出a、b、c的值； （2）用总人数乘以美术兴趣小组的人数所占的百分比求出其的人数，再把条形统计图补充即可； （3）用该校总人数乘以全校选择“美术”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，本次调查的总人数为：人， ， ， ， 故答案为：100，20，40，10； 【小问2详解】 解：美术兴趣小组的人数为：， 补全的条形统计图略 【小问3详解】 解：， 答：该校共有学生1000名，该校选择“美术”的学生有400人． 25. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子的长为，求大树的高． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，则， 在中，， 设米，米， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 答：大树的高度为． 26. 某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： （1）求两款木偶工艺品的售价各为多少元； （2）某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】（1）每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元 （2）至多购买款木偶工艺品10件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系列出方程组，找准不等关系列出不等式． （1）根据甲、乙的销售情况，设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元，列二元一次方程组求解两款木偶的售价． （2）设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件，列一元一次不等式求解A款的最大购买量． 【小问1详解】 解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则， 解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； 【小问2详解】 解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， 答：至多购买款木偶工艺品10件． 27. 如图，线段是的直径，延长至点C，使 ，E是线段的中点， 交于点 D，连接． （1）求所对的圆心角的度数． （2）求证：是的切线． （3）点P是上一动点（不与点A，B重合），连接，，求 的值． 【答案】（1） （2） 证明：，且为 的外角， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． （1）连接，，利用线段垂直平分线的性质，同圆的半径相等，得到为等边三角形，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）连接，利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图1中，连接，， 点是线段的中点，交于点， 垂直平分， ，． ， ， 是等边三角形， ， 即所对的圆心角的度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图2， 由已知可得：． ， ， ， ． 28. 如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； （3）连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），点P的坐标为； （2）点E的坐标为； （3）存在，点N的坐标为或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【小问1详解】 解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； 【小问2详解】 解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆外国语学校 初四年级数学学科第三次月考试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知的直径为，点在外，则长可能是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，点A，D，B，C都在上，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 3. 若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（　　） 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；圆中的直径是弦，弦是直径；在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；三点可以确定一个圆． A. B. C. D. 5. 用半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是，则该圆锥的底面周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为―（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 9. 如图，在中，，若，，则的半径是（ ） A. 3 B. C. D. 4 10. 如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 的两直角边长分别为5、12，则该三角形的外接圆半径是_____． 12. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为______． 13. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是___________． 14. 如图，点在内，已知的半径为，，则经过点的最短弦长为__________． 15. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，过8点和12点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为_________． 16. 的内切圆半径为，的周长为，则的面积是______． 17. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则__． 18. 如图，四点都在上，是的直径，且，若，弦的长______． 19. 点A，B，C在上的位置如图，已知，则__________°． 20. 如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共60分） 21. 计算： 22. 先化简再求值：，其中． 23. 国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 24. 为了深化教育改革，某校计划开设四个课外兴趣活动小组：音乐、体育、美术、舞蹈，学校要求每名学生都自主选择其中一个兴趣活动小组，为此学校采取随机抽样的方式进行了问卷调查，对调查结果进行统计并绘制了如下统计表． 选择课程 音乐 体育 美术 舞蹈 所占百分比 a b c 根据以上统计图表中的信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 人；其中 %； %； %； （2）请把条形图补充完整； （3）若该校共有学生1000名，请估计该校选择“美术”的学生有多少人． 25. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子的长为，求大树的高． 26. 某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： （1）求两款木偶工艺品的售价各为多少元； （2）某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 27. 如图，线段是的直径，延长至点C，使 ，E是线段的中点， 交于点 D，连接． （1）求所对的圆心角的度数． （2）求证：是的切线． （3）点P是上一动点（不与点A，B重合），连接，，求 的值． 28. 如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； （3）连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $