3.4 一元一次方程的应用 第3课时　行程问题 课件 2025-2026学年湘教版数学 七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的行程问题应用，涵盖相遇、追及、航行等类型。通过小明与小红骑车相遇等生活情境导入，以线段图为学习支架，从基础同时出发相遇问题，逐步过渡到追及、航行等复杂问题，构建连贯的知识脉络。 其亮点在于突出几何直观与模型观念，如用线段图清晰呈现路程关系，归纳相遇、追及问题的等量关系公式。融入《算学启蒙》等数学文化题，培养应用意识。例题分层设计，帮助学生发展推理能力，教师可直接利用系统例题与练习提升教学效率。

3.4第三课时 行程问题 第三章 一元一次方程的应用 1. 能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题. 2. 经历画“线段图”找等量关系的过程，直观感受“线段图”表达数量关系的优点. 重点：分析行程问题中的数量关系，找等量关系. 难点：学会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，找出等量关系列方程. 教学目标 例3 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h. （1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？ 解:设他们经过x小时相遇。 小明 小红 相遇点 小明走的路程13x 小红走的路程12x 20km 小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km). 等量关系： 13x + 12x = 20 3 例3 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h. （2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？ 解:设小红骑车走了y小时后与小明相遇. 小明 小红 相遇点 小明先走 的路程 小红走的路程 20km 小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km). 等量关系： 13（0.5+y） + 12y = 20 小红出发后小明走 的路程 例3 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h. （1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？ 解:(1)设他们经过x小时相遇。根据题意得： 13x+12x = 20 解得 x = 0.8 （2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？ (2)设小红骑车走了y小时后与小明相遇。根据题意得： 13（0.5+y）+ 12y = 20 解得 y = 0.54 答：（1）经过0.8 h他们两人相遇. （2）小红骑车走0.54h后与小明相遇. 小结 相遇问题 S甲＋S乙=S总 甲出发地 乙出发地 甲走的路程 乙走的路程 相遇地 甲、乙两车自南向北行驶，甲车的速度是每小时48千米，乙车的速度是每小时72千米，甲车开出24分钟后，乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？ 解：设x小时后乙车能够追上甲车。根据题意得： 0.4×48＋48x＝72x 解得 x＝0.8 答：0.8小时后乙车能够追上甲车。 甲车先走的路程 乙车走的路程 甲后走的路程 甲、乙出发地 追及地 S甲先＋S甲后=S乙 等量关系： 拓展 小结 追及问题 甲先走的路程 乙走的路程 甲后走的路程 甲、乙出发地 追及地 S甲先＋S甲后=S乙 知识梳理 1. 设未知数的方法有两种： 和 ⁠. 2. 路程＝ ×时间. 3. 相遇问题：甲的路程＋乙的路程＝总路程. 4. 追及问题：快者的路程－ ＝追及时相差的路程. ​　直接法　 ​　间接法　 ​　速度　 ​　慢者的路程　 　相遇问题 1. 小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后 两人相遇，设小刚的速度为 x 千米/时，列方程得（　C　） A. 4＋3 x ＝25.2 B. 3×4＋ x ＝25.2 C. 3×4＋3 x ＝25.2 D. 3 x －3×4＝25.2 2. 甲、乙两车分别从 A ， B 两地同时出发，相向而行.若快车甲的速度为60km/h， 慢车乙的速度比快车甲慢4km/h， A ， B 两地相距80km，求两车从出发到相遇所用 的时间.设 x h后两车相遇，则根据题意可列方程为 ⁠. C 60 x ＋（60－4） x ＝80　 　追及问题 3. 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米，设甲跑 x 秒后可追上乙，则下列四个方程中不正确的是（　D　） A. 7 x ＝6.5 x ＋5 B. 7 x －5＝6.5 x C. （7－6.5） x ＝5 D. 6.5 x ＝7 x ＋5 4. （数学文化类）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之.”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马 x 天可以追上慢马，则可列方程为 ⁠ ⁠. D 150（12＋ x ）＝240x 　航行问题 5. 一艘轮船在 A ， B 两个码头间航行，已知 A ， B 间的路程是80千米，水流速度是2 千米/时，从 A 到 B 顺流航行需4小时，那么从 B 返回到 A 需要 小时. 6. 一架飞机在两个城市间飞行，无风时每小时飞行552公里，在一次往返飞行中， 飞机顺风飞行用了5.5小时，逆风飞行用了6小时，求这次飞行的风速. 解：设这次飞行的风速为每小时 x 公里. 依题意，得5.5（552＋ x ）＝6（552－ x ）. 解得 x ＝24. 答：这次飞行的风速为每小时24公里. 5　 解：设这次飞行的风速为每小时 x 公里. 依题意，得5.5（552＋ x ）＝6（552－ x ）. 解得 x ＝24. 答：这次飞行的风速为每小时24公里. 　其他行程问题 7. 某人从家里步行去上班，每小时行走5km，下班时按原路返回，每小时行走4km，结果下班比上班多用了10min，设上班所用时间为 t h，则可列方程为（　B　） A. 5 t ＝4（ t － ） B. 5 t ＝4（ t ＋ ） C. 5（ t － ）＝4 t D. 5（ t ＋ ）＝4 t B 　相遇问题 8. 小明和小刚从相距14千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，2小时后两 人相遇.设小刚的速度为x千米/时，列方程得（　C　） A. 4＋2x＝14 B. 2×4＋x＝14 C. 2×4＋2x＝14 D. 2x－2×4＝14 9. 甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向跑，甲的速度是6 米/秒，乙的速度是4米/秒，而他们首次相遇时，两人都跑了（　A　） A. 40秒 B. 50秒 C. 60秒 D. 70秒 C A 10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者 追之，问几何步及之？”其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60 步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 ⁠ 步才能追上速度慢的人. ​　250　 11. （答题模板）电气机车和磁浮列车从相距1192千米的两地同时出发相对而行，磁 浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时，2小时后两车相遇，则电气机车 的速度是多少？ 解：设电气机车的速度为x千米/时，则磁浮列车的速度为 千米/时. 根据题意，列方程得 ⁠， 解得x＝ ⁠. 答：电气机车的速度为 千米/时. ​　（5x＋20）　 ​　2x＋2（5x＋20）＝1192　 ​　96　 ​　96　 　航行、飞行问题 12. 一架飞机在甲、乙两城之间飞行，顺风需2小时45分，逆风需3小时，已知风速为 20千米/时.设飞机在无风时的速度为x千米/时，则可列方程 ⁠ ⁠. （x＋20）＝3（x －20）　 　追及问题 13. 甲、乙两人驾车从A地出发，同向而行，甲先出发，半小时后乙以每小时80千米 的速度追赶甲.若乙行走了3.5小时后追上甲，则甲的速度为每小时（　C　） A. 60千米 B. 65千米 C. 70千米 D. 75千米 14. 自行车每小时行驶15公里，汽车每小时行驶40公里.两车同时同向行驶，如果自 行车在汽车前面10公里，那么汽车用 小时可以追上自行车. C ​　0.4　 【易错点】　环行问题中忽略分类讨论而漏解 【易错点】　环行问题中忽略分类讨论而漏解 15. （原创题）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地出 发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，则他们第一次相遇时，两人跑 了 秒. 40或200　 16. 甲、乙两人在一条笔直的跑道上练习跑步，已知甲跑完全程需要4分钟，乙跑完 全程需6分钟.如果两人分别从跑道的两端同时出发，相向而行，那么两人相遇所需 的时间是（　A　） A. 2.4分钟 B. 2.5分钟 C. 2.6分钟 D. 3分钟 17. （易错题）一列火车长150m，以15m/s的速度通过600m的隧道，从火车进入隧 道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是（　C　） A. 30s B. 40s C. 50s D. 60s A C 解：设学校离家有x km. 由题意，得 － ＝ ，解得x＝4. 答：学校离家有4km. 解：设学校离家有x km. 由题意，得 － ＝ ，解得x＝4. 答：学校离家有4km. 18. 兄弟两人由家里步行去学校，弟弟每小时走6km，哥哥每小时走8km，哥哥晚出 发10min，结果两人同时到校，学校离家有多远？ 19. 某行军纵队以7km/h的速度行进，队尾的通讯员以11km/h的速度赶到队伍前送一 封信，送交后又立即返回队尾，共用13.2min，则这支队伍的长度为 km. 20. （数学文化类）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五 日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲乃发长安.问几何日相逢？译 文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才 从长安出发，问甲经过多少日与乙相逢？ 解：设甲经过 x 日与乙相逢，则乙已出发（ x ＋2）日，依题意，得 ＋ ＝1， 解得 x ＝ . 答：甲经过 日与乙相逢. 0.72　 解：设甲经过 x 日与乙相逢，则乙已出发（ x ＋2）日，依题意，得 ＋ ＝1， 解得 x ＝ . 答：甲经过 日与乙相逢. 21. 家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息： ①他下山时的速度比上山时的速度每小时快1km； ②他上山2h到达的位置，离山顶还有1km； ③抄近路下山，下山路程比上山路程近2km； ④下山用1h. 根据上面信息，他做出如下计划： a.在山顶游览1h； b.中午12：00回到家吃午餐. 若依据以上信息，则孔明同学应该在什么时间从家里出发？ 解：设孔明同学上山的速度为 x km/h，则下山的速度为（ x ＋1）km/h，则上山路程 为（2 x ＋1）km. 依题意，得1×（ x ＋1）＝（2 x ＋1）－2. 解：设孔明同学上山的速度为 x km/h，则下山的速度为（ x ＋1）km/h，则上山路程 为（2 x ＋1）km. 依题意，得1×（ x ＋1）＝（2 x ＋1）－2. 解得 x ＝2. 所以上山路程为2×2＋1＝5（km）， 路途上总用时为5÷2＋1＝3.5（h）， 加上游玩总用时为3.5＋1＝4.5（h）， 12－4.5＝7.5. 答：孔明同学应该在早晨7：30从家里出发. 　考虑问题不全而出错 8. 某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3h.已知轮船 在静水中的速度为8km/h，水流速度为2km/h.若A，C两地相距为2km，求A，B两 地的距离. 解：设A，B两地的距离为x km. 当C地在A地的下游时， ＋ ＝3，解得x＝12.5； 当C地在A地的上游时， ＋ ＝3，解得x＝10. 答：A，B两地的距离为12.5km或10km. 解：设A，B两地的距离为x km. 当C地在A地的下游时， ＋ ＝3，解得x＝12.5； 当C地在A地的上游时， ＋ ＝3，解得x＝10. 答：A，B两地的距离为12.5km或10km. 解：设甲、乙两个码头的距离是x千米，由题意，得 ＋ ＝6， 解得x＝72. 答：甲、乙两个码头的距离是72千米. 解：设甲、乙两个码头的距离是x千米，由题意，得 ＋ ＝6， 解得x＝72. 答：甲、乙两个码头的距离是72千米. 12. （教材第111页思考变式）一艘船在静水中的速度为25千米/时，水流速度为5千 米/时，这艘船从甲码头到乙码头顺流航行，再返回到甲码头共用了6个小时，求 甲、乙两个码头的距离. 13. 小明和他哥哥早晨起来沿长为400m的环形跑道练习跑步，小明跑2圈用的时间 和他哥哥跑3圈用的时间相等.两人同时同地同向出发，结果经过2分40秒他们第一 次相遇.若他们两人同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？ 解：设小明的速度为x m/s，则他哥哥的速度为 x m/s. 由题意，得160x＝160× x－400， 解得x＝5， 则小明的哥哥的速度为5× ＝7.5（m/s）. 设经过y s他们第一次相遇. 由题意，得（5＋7.5）y＝400， 解得y＝32. 答：经过32s他们第一次相遇. 解：设小明的速度为x m/s，则他哥哥的速度为 x m/s. 由题意，得160x＝160× x－400， 解得x＝5， 则小明的哥哥的速度为5× ＝7.5（m/s）. 设经过y s他们第一次相遇. 由题意，得（5＋7.5）y＝400， 解得y＝32. 答：经过32s他们第一次相遇. 22. （一题多设问）（核心素养·模型观念·应用意识） A ， B 两地相距64km，甲从 A 地出发，每小时行14km，乙从 B 地出发，每小时行18km. （1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？ 解：（1）设两人同时出发相向而行，需经过 x h两人相遇.根据题意，得14 x ＋18 x ＝64，解得 x ＝2. 答：若两人同时出发相向而行，需经过2h两人相遇； （2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16km？ 解：（2）设两人同时出发相向而行，需 y h两人相距16km. ①两人没有相遇而相距16km.根据题意，得14 y ＋18 y ＋16＝64，解得 y ＝1.5. ②两人已经相遇后相距16km.依题意，得14 y ＋18 y ＝64＋16，解得 y ＝2.5. 答：两人同时出发相向而行，需1.5h或2.5h两人相距16km； 解：（1）设两人同时出发相向而行，需经过 x h两人相遇.根据题意，得14 x ＋18 x ＝64，解得 x ＝2. 答：若两人同时出发相向而行，需经过2h两人相遇； 解：（2）设两人同时出发相向而行，需 y h两人相距16km. ①两人没有相遇而相距16km.根据题意，得14 y ＋18 y ＋16＝64，解得 y ＝1.5. ②两人已经相遇后相距16km.依题意，得14 y ＋18 y ＝64＋16，解得 y ＝2.5. 答：两人同时出发相向而行，需1.5h或2.5h两人相距16km； （3）若甲在前，乙在后，两人同时出发同向而行，则几小时后乙超过甲10km？ 解：（3）设甲在前，乙在后，两人同时出发同向而行，则 z h后乙超过甲10km. 根据题意，得18 z ＝14 z ＋64＋10，解得 z ＝18.5. 答：甲在前，乙在后，两人同时出发同向而行，则18.5h后乙超过甲10km. 解：（3）设甲在前，乙在后，两人同时出发同向而行，则 z h后乙超过甲10km. 根据题意，得18 z ＝14 z ＋64＋10，解得 z ＝18.5. 答：甲在前，乙在后，两人同时出发同向而行，则18.5h后乙超过甲10km. 教材第116页习题第6题变式与拓展 23. A，B两地相距720千米，一列慢车从A地开出，每小时行80千米，一列快车从 B地开出，每小时行100千米. 【变式1】两车同时开出，相向而行，x小时相遇，则可列方程为 ⁠ ⁠； 【变式2】两车同时开出，同向而行，x小时后快车追上慢车，则可列方程为⁠ ⁠； 【变式3】两车同时开出，背向而行，x小时后，两车相距1080千米，则可列方程为⁠ ⁠； ​　80x＋100x＝ 720　 ​　 100x－80x＝720　 ​　 80x＋100x＋720＝1080　 【拓展】慢车先开出1小时，两车相向而行，问慢车开出多少小时后两车相距 280千米？ 解：设慢车开出x小时后，两车相距280千米. 依题意，得80x＋100（x－1）＋280＝720或80x＋100（x－1）－280＝720， 解得x＝3或x＝6 ， 则慢车开出3小时或6 小时后两车相距280千米. 解：设慢车开出x小时后，两车相距280千米. 依题意，得80x＋100（x－1）＋280＝720或80x＋100（x－1）－280＝720， 解得x＝3或x＝6 ， 则慢车开出3小时或6 小时后两车相距280千米. $