3.4.1和、差、倍、分问题-课件---2026-2027学年湘教版数学七年级上册

# 湘教版数学七年级上册 3.4.1 和、差、倍、分问题 专项练习（约1112字） ## 知识点梳理 和差倍分问题是一元一次方程应用题基础类型。解题核心：读懂题意，找准等量关系。常见关键词：和（一共、总和）、差（多、少、剩余）、倍（几倍）、分（几分之几）。解题步骤：①审题，找出已知量未知量；②设未知数；③根据和差倍分关系列出方程；④解方程；⑤检验并写答。常用等量句式：A是B的n倍；A比B多m；A比B少m；A与B的和等于……易错点：分不清“A比B多”和“B比A多”；倍数关系列方程时加减写反；审题忽略“一半、三分之一”这类分数描述。这类题目是后续行程、工程应用题的基础，重点训练文字翻译成方程的能力。 ## 一、填空题（每空3分，共24分） 1. 甲数是$x$，乙数是甲数的3倍，则乙数为________。 2. 甲数为$x$，乙数比甲数大5，则乙数是________。 3. 甲数为$x$，乙数比甲数的2倍少4，乙数为________。 4. 两数之和为36，一个数是$x$，另一个数是________。 5. 某数$x$的一半加上6等于10，列方程：________________。 6. A比B的4倍多2，若B为$x$，则A=________。 7. 甲乙两数，甲是乙的2倍，两数之和为30，设乙为$x$，方程：________________。 ## 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 一个数$x$，比它的3倍少8的数是22，方程为（） A.$3x-8=22$ B.$x-8=22$ C.$3(x-8)=22$ D.$8-3x=22$ 2. 甲乙两数和是45，甲数是乙数的2倍，乙数为$x$，方程是（） A.$\(x+\(2x=45\)\)$ B.$\(x+2=45\)$ C.$\(2x=45\)$ D.$x-\(2x=45\)$ 3. 某数的2倍与5的差等于15，这个数是（） A.5 B.10 C.15 D.20 4. 甲数$x$，乙数比甲数多$\dfrac13$，乙数可表示为（） A.$x+\dfrac13$ B.$x+\dfrac13x$ C.$\dfrac13x$ D.$x-\dfrac13x$ 5. 两数之差是12，大数是小数的3倍，设小数为$x$，正确方程（） A.$3x-x=12$ B.$\(3x+x=12\)$ C.$x-\(3x=12\)$ D.$\(3x=12\)$ ## 三、解答题（共46分） 1. 列一元一次方程求解（每题5分，共30分） （1）一个数的4倍加上12等于40，求这个数。 （2）一个数的6倍减去9等于这个数的2倍，求这个数。 （3）甲乙两数和为56，甲数是乙数的3倍，求甲乙两数。 （4）一个数的$\dfrac12$比它的$\dfrac13$大4，求这个数。 （5）甲数为$x$，乙数比甲数的2倍少7，甲乙两数和是41，求甲数。 （6）一个数的5倍比它本身多24，求这个数。 2. 改错（8分） 题目：一个数，它的3倍比它多16，求这个数。 小明列方程：$\(3x+16=x\)$，找出错误并正确解答。 3. 应用题（8分） 某校共有学生240人，男生人数是女生人数的2倍，求男、女生各多少人。 ## 四、拓展思考题（10分） 甲仓库粮食是乙仓库的3倍，从甲仓库运20吨到乙仓库，两仓库粮食相等。求原来乙仓库粮食有多少吨。 --- ## 参考答案 ### 一、填空题 1.$3x$　2.$\(x+5\)$　3.$2x-4$　4.$36-x$ 5.$\dfrac12x+6=10$　6.$\(4x+2\)$　7.$\(x+2x=30\)$ ### 二、选择题 1.A　2.A　3.B　4.B　5.A ### 三、解答题 1.（1）解：设这个数为$x$，$\(4x+12=40\)$，$\(4x=28\)$，$\(x=7\)$。答：这个数是7。 （2）解：设这个数为$x$，$6x-9=2x$，$\(4x=9\)$，$x=\dfrac94$。答：这个数是$\dfrac94$。 （3）解：设乙数为$x$，甲数$3x$，$\(x+3x=56\)$，$\(4x=56\)$，$\(x=14\)$，$\(3x=42\)$。答：甲42，乙14。 （4）解：设这个数为$x$，$\dfrac12x-\dfrac13x=4$，$\dfrac16x=4$，$\(x=24\)$。答：这个数24。 （5）解：甲数$x$，乙数$2x-7$，$x+2x-7=41$，$\(3x=48\)$，$\(x=16\)$。答：甲数16。 （6）解：设这个数$x$，$5x-\(x=24\)$，$4\(x=24\)$，$\(x=6\)$。答：这个数是6。 2. 解：错误：等量关系写反，3倍比原数多16，应该是$3x-\(x=16\)$。 正确：$2\(x=16\)$，$\(x=8\)$。答：这个数是8。 3. 解：设女生$x$人，男生$2x$。$x+2\(x=24\)0$，$3\(x=24\)0$，$\(x=8\)0$，$2\(x=16\)0$。 答：女生80人，男生160人。 ### 四、拓展题 解：设乙仓库原有$x$吨，甲仓库$3x$吨。 $3x-20=x+20$ $3x-\(x=20\)+20$ $\(2x=40\)$，$\(x=20\)$ 答：原来乙仓库20吨。 ## 解题小结 和差倍分应用题，关键抓关键词翻译等式。看到“是几倍”直接乘；看到“A比B多”，$\(A=B+\)$差；“A比B少”，$A=B-$差。设未知数时，一般设较小量为$x$，方便表达另一个量，减少分数计算。解方程完成后，一定要检验结果是否符合现实意义（人数不能负数）。高频错误：倍数关系写反；“多、少”分不清加减；分数倍分漏写乘以未知数。这一节重在文字理解，多练习把句子转化方程，熟练之后就可以学习配套、工程、行程类应用题。 （全文1111字） 需要我生成**无答案纯题目版本**，方便直接打印做题吗？ 湘教版（新教材）数学七年级上册 3.4.1和、差、倍、分问题 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/25 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一次方程（组） 分析实际问题中的数量关系，建立方程模型，解决实际问题. 领悟数学来源于生活，服务于生活，会用方程的思想解决实际生活中的问题. 根据等量关系列出正确的一元一次方程. 动脑筋 新课导入 一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行,顺水航行时需4h,逆水航行时需5h.已知水流速度为2km/h,则轮船在静水中的航行速度是多少? 3 在这个问题中有如下等量关系： 轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度， 轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度-水流速度， 轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程. 4 设轮船在静水中的航行速度为x km/h. 根据上述等量关系，可列出方程： 4(x+2)= 5(x-2) . 去括号，得 4x + 8 = 5x - 10 ， 移项，得 4x-5x= -8-10 ， 合并同类项，得 -x =-18 ， 两边都除以-1，得 x = 18 . 因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h. 5 例 1 例题讲解 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 分析 本问题中有如下等量关系： 椅子数+凳子数=16， 椅子腿数+凳子腿数=60. 6 解：设有x 张椅子，则有（16-x）把凳子. 根据题意，得4x+ 3(16-x)=60 . 去括号，得4x+48-3x=60 .移项、合并同类项，得 x = 12 . 因此，凳子有16-12=4（把）. 答：有12张椅子，4把凳子. 例 1 例题讲解 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 7 应用1 顺逆流问题 1.母题教材P111思考 有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而 下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上到达C地执行任 务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是 ，水流速度为 ，A，C两地间的距离为 .如果乙船由A地经B地再到达C地共用了 .问：乙船 从B地到达C地时，甲船距离B地有多远？ 举一反三 8 【解】设乙船由B地航行到C地用了 . ①若C地在A，B两地之间，根据A地到B地的距离地到 地 的距离 ，C两地之间的距离，得 ，解得 . 所以甲船距离B地 ②若C地不在A，B两地之间，根据B地到C地的距离 地到B 地的距离 ，C两地之间的距离，得 ， 举一反三 9 解得 . 所以甲船距离B地 答：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地或 . 举一反三 航行问题的基本等量关系：①顺水速度 静水速度 水流速度；②逆水速度 静水速度-水流速度；③顺水速度- 逆水速度水流速度 .此题C地可能在A，B两地之间，也 可能不在A，B两地之间，所以应分两种情况讨论. . . 返回 举一反三 11 例 2 例题讲解 刺绣是我国民间传统手工艺之一.我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品,甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成．现在甲先单独绣1天,接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣．试问：再合绣多少天可以完成这件作品？ 12 例 2 例题讲解 本题中等量关系为： 甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 总工作量. 分析 设工作总量为1，则甲每天完成工作总量的 ，乙每天完成工作总量的 .若甲、乙两人合绣了x天，则甲共绣了(x+1)天，乙共绣了(x+4)天. 13 例 2 例题讲解 解得 x=4. 答：甲、乙两人再合绣4天就可完成这件作品． 解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣x天可以完成，则根据题意，得 14 结合上述3个实例,用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤,并与同学交流. 实际问题 设未知数列方程 解方程 检验解的合理性 分析题目 找出等量关系 做一做 15 航行问题的几个公式 （1）船在静水中速度+水速=船的顺水速度； （2）船在静水中速度-水速=船的逆水速度； （3）船的顺水速度=船的逆水速度+水速×2. 航行问题 1.工程问题中的基本量: 工作量、工作效率、工作时间. 2.工程问题中的基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各单独做的效率和； 总工作量=各部分工作量之和. 工程问题 几何图形问题 等积(等长)变形问题 形状发生了变化，而体积(周长)没变，此时，相等关系是变化前后体积(周长)相等. 特别提醒 （1）列方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量； （2）设未知数时多将图形的长、宽、半径等设为未知数； （3）列方程时要注意所有单位要统一. 归纳 列一元一次方程解应用题的一般步骤 在认真审题的前提下，找出题中蕴含的相等关系.关键是要抓住题中关键的字、词、句加以分析，有时候还可借助图、表分析. （3）找相等关系 （2）设未知数 （1）审题 弄清其中各种数、量之间的关系 （4）建立方程模型 （5）解方程 不但要检验方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义. （6）检验解得合理性 19 补充练习 1.某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个.若分配 x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是( ) A. 22x=16(27-x) B. 16x =22(27-x) C. 2×16x=22(27-x) D. 2×22x=16(27-x) D 解析：由题意，得由 x 名工人生产螺栓，则由(27-x)名工人生产螺母. 根据螺栓数目的2倍与螺母的数目相等，列出方程 2×22x=16(27-x).故选D. 当堂检测 20 2. 电影院的门票售价：成人票每张40元，学生票每张20元．某日电影院售出门票200张，共得6 400元．设学生票售出x张，依题意可列方程为(　　) A．20x＋40(200－x)＝6 400 B．40x＋20(200－x)＝6 400 C．20x－40(200－x)＝6 400 D．40x－20(200－x)＝6 400 3．笼子里有鸡、兔12只，共40条腿．设鸡有x只，根据题意可列方程为(　　) A．2(12－x)＋4x＝40 B．4(12－x)＋2x＝40 C. 2x+4x=40 D.4(12-x)+x=40÷2 A B 当堂检测 4.某次知识竞赛共20道题，每答对一题得8分，答错或不答要扣3分. 某选手在这次竞赛中共得 116 分，那么他答对几道题？ 解：设答对了 x 道题，则有 (20－x) 道题答错或不答，由题意，得8x－(20－x)×3＝116. 解得x＝16. 答：他答对16道题． 当堂检测 应用2 配套问题 2. 第13周七年级语文学科活动超精彩，操场 上像欢腾的海洋呢 班和9班负责投壶游戏，彦宏妈妈、语晗妈妈等 家长为准备道具花费了不少心思.已知1个投壶和6支羽箭配成一套道具， 其中一个投壶15元，每支羽箭3元，两班在投壶道具上的经费是132元， 请问如何分配经费才能使购买的道具刚好配套？设用 元购买投壶，下 面所列方程正确的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 3. 湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南 游玩并品尝湖南美食，臭豆腐是长沙的特色名小吃.某厂有60 名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋臭豆腐包装里有1个 汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包 或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包 刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？ 举一反三 24 【解】设安排名工人去加工汤料包，则安排 名工人 去加工配料包， 根据题意，得 ， 解得 . 答：安排20名工人去加工汤料包. 返回 举一反三 25 课堂小结 一元一次方程的应用 比例问题 和、差、倍、分、配套、工程、形积等问题 步骤 方法：采用间接设元法，通常设每一份为x. 1.审题；2.设未知数；3.找等量关系；4.列方程；5.解方程；6.检验；7.作答 方法：设其中一个未知量为x，用含x的代数式表示另一个未知量 26 工程问题中的基本数量关系 工作量=工作效率×工作时间 总工作量=各部分工作量之和 合作的效率=各单独做的效率和 课堂小结 谢谢观看 THANKS $