精品解析：河南省周口市鹿邑县2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题

2025年秋季学期初中期中试卷八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前将装订线内的信息填写清楚． 一、选择题（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里每题3分，共30分） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 3. 如图，，平分，若，则点D到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】考查知识点：角平分线的性质．解题方法与技巧：利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质，将点D到的距离转化为已知的的长度．解题关键：明确角平分线的性质，准确找到点D到的距离与的关系．易错点：容易忽略角平分线性质的应用条件，或者找不到对应的距离线段，从而无法将已知条件和所求距离建立联系． 首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．题目中是的平分线，，说明是点D到的距离，那么根据角平分线的性质，点D到的距离就等于的长度．已知，所以点D到的距离就是3，从而得出答案． 【详解】解：如图所示， 平分，， ， 过点D作于E， ， ， 所以点D到的距离． 故选：C． 4. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出，又因为，证明，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 7. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 8. 如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，，若的面积为18，则与的面积之和为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积计算等知识点，熟练掌握以上知识点，是解此题的关键． 证明得到，推出，计算出即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， 在和中， ， ， ， ， ∵的面积为18，， ， ， 故选：A． 9. 如图，在中，，是的平分线，是的外角的平分线，是的外角的平分线，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据等腰三角形的判定及角的关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∵是的外角的平分线，， ∴， 由于题干并未给出，所以无法得到，也就无法得到； 故选D． 10. 如图，在等腰直角中，，，D为边上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交于点E，有以下结论：①；②当时，；③当D为的中点时，垂直平分；④当时，，其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，结合及平角的意义，可说明①； 先得出，再得出，然后利用等边对等角结合三角形内角和定理求出，即可说明②； 两次运用利用三线合一，可说明③； 证明，即可说明④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②错误； 当D为的中点时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴，是边上的中线， ∴垂直平分， 故③正确； 当时， ， ， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者）， 线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和判定，等边对等角，三线合一等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 12. 老君台，又名升仙台、拜仙台，原为明道宫的一部分，是河南省鹿邑县的国家级景区．如图①是老君台正殿梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，，若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的三线合一直接进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴； 故答案为5． 13. 如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查角平分线的判定和性质，根据，，，得到，由此得到，再根据角平分线的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为10． 14. 如图，是一副叠放在一起的三角板，若，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确得出，的长是解题关键． 直接利用直角三角形的性质得出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 15. 如图，在一个长方形公园中，，，凉亭P在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点E在点F左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时的长为________m． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，，，则有，要使四边形的周长最小，则需满足的值最小，在边上取一点H，使得，作点H关于的对称点G，连接，，然后根据轴对称的性质可进行求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ∵凉亭P在的中点处， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，则需满足的值最小， 在边上取一点H，使得，作点H关于的对称点G，连接，，如图所示： 由轴对称的性质可知：， 在长方形中，，即，且， 由平移的性质可知：， ∴， 根据三角形三边不等关系可得， ∴当且仅当点G、F、P三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 过点P作于点M，如图， ∴，， ∴；即是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）如图，在平面直角坐标系中．已知的三个顶点坐标分别为，，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在中，，，，求m的取值范围． 【答案】（1）所作如图所示： ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称与坐标及三角形三边关系，熟练掌握轴对称与坐标及三角形三边关系是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可列出不等式组，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由图可知：； （2）∵，，， ∴由三角形三边关系可得：， 解得：． 17. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE∠DAC＝40° 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB ∴DB＝DA ∴∠DAB＝∠B＝30° ∵∠C＝40° ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110° ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80° ∵AE平分∠DAC ∴∠DAE∠DAC＝40°． 【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法． 18. 如图，的外角的平分线交的延长线于点E．若平分，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形外角的性质求出，根据平分，得出，从而得到，再利用角平分线的定义以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19. 如图，在和中，，，，点B、D、E在同一条直线上，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，则有，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 20. 如图，在中，点，点分别是边上的点，且，连接交于点，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件直接利用判定，得到，推出，结合可推出，即可判定为等腰三角形； （2）先由和求出的度数，然后根据得到，再由可推出为等边三角形，利用，即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． 21. 鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【答案】（1）甲，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用， （1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【小问1详解】 甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， 故甲同学的方案可行． 【小问2详解】 ； 理由： ∵， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 22. 数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？在等腰中，，D是边的中点，同学们就这个问题展开如下探究． 【初步探究】 小明根据题意画出相应的图①，在等腰中，，D是边的中点，，． 他得出的结论是， 并且展示了证法如下： 证明：连接， ，D是的中点， 是的平分线， ，， ． 小丽的证法： （1）小丽认为：不用连接，通过证明也能得到这个结论．请在上面的表格中写出小丽的证法； 【类比探究】（2）连接，请选择下列其中一个问题进行证明： 问题Ⅰ：如图②，，分别是和的中线，那么和还相等吗？ 问题Ⅱ：如图③，，分别是和的角平分线，那么和还相等吗？ 【拓展应用】（3）如图④，老师提出：若在等腰中，作腰上的高，则与存在确定的数量关系请你直接写出这个数量关系：____________． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据垂线的性质得到，再根据等腰三角形的性质证得和，进而证得，根据全等三角形的性质证得； （2）问题Ⅰ：根据，分别是和的中线证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得； 问题Ⅱ：根据，分别是和的角平分线证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得； （3）连接，根据等腰三角形的性质证得，，进而证得，根据，列式证明即可． 【详解】（1）证明：， 是边的中点 在和中， ； （2）选择问题Ⅰ： 证明：，分别是和的中线 、 ， 是边的中点 在和中， ； 选择问题Ⅱ： 证明：，D是边的中点 ，， ，分别是和的角平分线， 、 在和中， ； （3）解：，理由如下： 连接， ，D是边的中点 是的平分线 ， ． 故答案为：． 23. 【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及线段垂直平分线性质， （1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接，证明是等边三角形，得出即可； （2）先证明，进而证明，证明是的垂直平分线即可证明结论； （3）取的中点F，连接，得出，再证明，得出是的垂直平分线即可证明结论． 【详解】解：（1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ，即． （2）．理由如下： F是的中点， ∴． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ，即． 在和中， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． （3）．理由如下： 取的中点F，连接， ． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即． 在和中，， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期初中期中试卷八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前将装订线内的信息填写清楚． 一、选择题（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里每题3分，共30分） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 3. 如图，，平分，若，则点D到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（ ） A. B. C. D. 5. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 7. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，，若的面积为18，则与的面积之和为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 9. 如图，在中，，是的平分线，是的外角的平分线，是的外角的平分线，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角中，，，D为边上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交于点E，有以下结论：①；②当时，；③当D为的中点时，垂直平分；④当时，，其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 12. 老君台，又名升仙台、拜仙台，原为明道宫的一部分，是河南省鹿邑县的国家级景区．如图①是老君台正殿梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，，若，则________． 13. 如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为_____． 14. 如图，是一副叠放在一起的三角板，若，则阴影部分的面积为___________． 15. 如图，在一个长方形公园中，，，凉亭P在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点E在点F左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时的长为________m． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）如图，在平面直角坐标系中．已知的三个顶点坐标分别为，，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在中，，，，求m的取值范围． 17. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 18. 如图，的外角的平分线交的延长线于点E．若平分，，，求的度数． 19. 如图，在和中，，，，点B、D、E在同一条直线上，，，求的度数． 20. 如图，在中，点，点分别是边上的点，且，连接交于点，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 21. 鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 22. 数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？在等腰中，，D是边的中点，同学们就这个问题展开如下探究． 【初步探究】 小明根据题意画出相应的图①，在等腰中，，D是边的中点，，． 他得出的结论是， 并且展示了证法如下： 证明：连接， ，D是的中点， 是的平分线， ，， ． 小丽的证法： （1）小丽认为：不用连接，通过证明也能得到这个结论．请在上面的表格中写出小丽的证法； 【类比探究】（2）连接，请选择下列其中一个问题进行证明： 问题Ⅰ：如图②，，分别是和的中线，那么和还相等吗？ 问题Ⅱ：如图③，，分别是和的角平分线，那么和还相等吗？ 【拓展应用】（3）如图④，老师提出：若在等腰中，作腰上的高，则与存在确定的数量关系请你直接写出这个数量关系：____________． 23. 【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $