精品解析：河南省许昌市第二中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

许昌市二中教育集团2025-2026学年九年级上学期数学期中学业质量评估 一、单选题（30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下面能用来说明“直径是圆中最长的弦”的图形是（ ） A. B. C. D. 6. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，点C、D是弧的三等分点，，则的度数为（ ） A. 32 B. 60 C. 80 D. 120 10. 已知二次函数（m为常数），当时，函数值y 的最小值为，则m的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 2或 D. 2或 二、填空题（15分） 11. 已知方程，求它的二次项系数、一次项系数、常数项的和为___________． 12. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是______点    13. 如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为________． 14. 如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为______． 15. 如图，中，，，将线段绕点旋转至，当时，的度数是______． 三、解答题（75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）画出关于原点对称的图形，写出对称点坐标 ； ； ； （2）将绕原点顺时针旋转得到，请写出坐标 ． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 19. 如图，利用函数的图象，解决下列问题： （1）该函数图象的顶点坐标是 ． （2）方程的解是 ． （3）当时，的取值范围是 ． （4）当时，的取值范围是 ． 20. 中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，．求这个月亮门的最大宽度 （的直径）． 21. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m． （1）求抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度． 23. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 许昌市二中教育集团2025-2026学年九年级上学期数学期中学业质量评估 一、单选题（30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为， 故选：A． 4. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，求出，即可求得的度数． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 下面能用来说明“直径是圆中最长的弦”的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本概念和有关性质、三角形三边关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． 逐一分析每个选项中的图形，通过比较弦与直径的长度关系，判断能否说明“直径是圆中最长的弦”即可． 【详解】解：A、是弦，是直径，在此图中，但不能说明其他情况，故选项A不符合题意； B、 是弦，是直径，，能用来说明“直径是圆中最长的弦”，故选项B符合题意； C、 不是弦，不能用来说明“直径是圆中最长的弦”，故选项C不符合题意； D、 是弦，是直径，在此图中，但不能说明其他情况，故选项D不符合题意． 故选：B 6. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 7. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴是y随x的增大而增大， 是y随x的增大而减小， 又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键． 8. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形，两对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故选：C． 9. 如图，为的直径，点C、D是弧的三等分点，，则的度数为（ ） A. 32 B. 60 C. 80 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，圆心角的关系．根据C、D是弧的三等分点易得度数为度数的． 【详解】解：∵， ， ∵点、是的三等分点， ∴ ， ， 故选：C． 10. 已知二次函数（m为常数），当时，函数值y 的最小值为，则m的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 2或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，解答时，分，两种情形求解即可． 【详解】解：∵二次函数（为常数）， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，函数图象开口向上， 当时，当时，函数取最小值， ∴，解得：， 当时，函数图象开口向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小， ∵，， ∴当时，函数取最小值， ∴， 解得：， 综上所述，m的值为2或， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减性确定最值是解题的关键． 二、填空题（15分） 11. 已知方程，求它的二次项系数、一次项系数、常数项的和为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义确定二次项系数，一次项系数，常数项即可求解． 【详解】解：方程 的二次项系数为2，一次项系数为，常数项为1，它们的和为 ； 故答案为：0． 12. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是______点    【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故答案为：． 13. 如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用图象法进行求解即可． 【详解】解：由题意得，关于x的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 14. 如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：将代入， ， 解得：（舍去） 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为， ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为：． 15. 如图，中，，，将线段绕点旋转至，当时，的度数是______． 【答案】或 ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质可以求出，当点在点左侧时，根据平行线的性质可求，再根据等腰三角形的两个底角相等可求；当点在点右侧时，根据平行线的性质可求，再根据等腰三角形的两个底角相等可求． 【详解】解：中，，， ， 如下图所示，当点在点左侧时， ， ， ， 又， 在中， ； 如下图所示，当点在点右侧时， ， ， 又， 在中， ； 故答案为：或 ． 三、解答题（75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， 解得； 【小问2详解】 ， ， 或， 解得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）画出关于原点对称的图形，写出对称点坐标 ； ； ； （2）将绕原点顺时针旋转得到，请写出坐标 ． 【答案】（1） 如图，即为所求作．由图可知：，，． （2） 如图，即为所求作．由图可知：． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出A，B，C的对应点，然后连线即可得到，然后根据图形写出点的坐标； （2）利用旋转变换的性质，分别作出A，B，C的对应点，然后连线即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 19. 如图，利用函数的图象，解决下列问题： （1）该函数图象的顶点坐标是 ． （2）方程的解是 ． （3）当时，的取值范围是 ． （4）当时，的取值范围是 ． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）将解析式化为顶点式，即可作答； （2）根据图象作答即可； （3）求出当时，的最大值和最小值即可求解； （4）求出时的的值，即可求解． 【小问1详解】 解：， 即函数图象的顶点坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可得：方程的解是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：； 【小问4详解】 解：由图象可得： 函数的对称轴为：直线， 由图象可知，当时，； 再由对称性可知，当时，； ∴当时，或． 故答案为：或． 20. 中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，．求这个月亮门的最大宽度 （的直径）． 【答案】 【解析】 【分析】由垂径定理得到，连接，设的半径是，由勾股定理得到，据此列方程求出，这个月亮门的最大宽度是，解答即可． 本题考查了勾股定理，垂径定理，圆的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵经过圆心O，且弦，垂足为M．，， ∴， 连接，设的半径是， ∵， ∴， 由勾股定理得到， 故 解得， ∴这个月亮门的最大宽度是． 21. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转的性质得，，通过等边三角形性质可得，所以，可得为等边三角形，然后通过等边三角形性质即可求解； （）由旋转的性质得：，，从可得，在中，由勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：，， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． 22. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m． （1）求抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度． 【答案】（1） （2）水面上涨的高度为m 【解析】 【分析】（1）先建立适当的平面直角坐标系，然后根据题意确定函数解析式； （2）根据题意将代入求解即可． 【小问1详解】 如图： 以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 根据题意，得A（5，0），C（0，5）， 设抛物线解析式为：， 把A（5，0）代入，得， 所以抛物线解析式为：， 【小问2详解】 当时，， 所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，建立适当的平面直角坐标系是解决本题的关键． 23. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长． 【答案】（1）AE＝BD，AE⊥BD （2）结论成立，AE＝BD，AE⊥BD． 理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．     ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠OHB＝90°， 即AE⊥BD． （3）满足条件的AD的值为17或7 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD． （2）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD． （3）作CH⊥AD于H，利用等腰直角三角形的性质求出CH＝DE＝5，利用勾股定理求出AH＝12，然后分射线AD在直线AC的下方和上方两种情况求解． 【小问1详解】 如图1中，延长AE交BD于H． ∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH， ∴∠BEH+∠EBH＝90°， ∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD， 故答案为AE＝BD，AE⊥BD． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD于H． ∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE， ∴EH＝DH，CH＝DE＝5， 在Rt△ACH中， ∵AC＝13，CH＝5， ∴AH＝＝12， ∴AD＝AH+DH＝12+5＝17． ②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD于H． 同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7， 综上所述，满足条件的AD的值为17或7． 【点睛】本题考查几何变换，解决问题的思路是从特殊到一般，注意解决后面问题参照前面的思路方法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $