广东省广州市第六十五中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试卷

2025-2026学年广东省广州六十五中高三（上）月考数学试卷（11月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，则(    ) A. B. C. D. 2.在复平面内，对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.展开式中的系数是(    ) A. B. 10 C. D. 40 4.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为(    ) A. B. C. D. 5.双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.已知各项都不相等的数列，圆C：，圆，若圆平分圆C的周长，则的所有项的和为(    ) A. 2024 B. 2025 C. 4048 D. 4050 8.已知正实数a，b满足和则ab的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则t的值为 B. 若t的值为3，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是(    ) A. 甲与乙不互斥 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 11.设O为坐标原点，抛物线C：的准线l：，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M，N两点，则(    ) A. l始终与圆P相离 B. 无最值 C. 存在点P，使得 D. 时，P到l的距离为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则最小值为        . 13.设则满足的x的值为      . 14.在正方体的8个顶点和6个面的中心共14个点中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为        . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 求角A； 若，BC边中线AD长为1，求的面积. 16.本小题15分 如图，在四棱锥中，，，，为等腰直角三角形，AD为斜边，其中，， 证明：平面平面ABCD； 线段PB上是否存在一点T，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17.本小题15分 2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一.高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为优秀：竞赛成绩单位：分，现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. 从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； 以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； 若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求n为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 18.本小题17分 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点 求椭圆C的标准方程. 若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段AB于点Q，且：：，证明：直线l过定点. 在的条件下，求的最大值. 19.本小题17分 已知函数 当时，求曲线在点处的切线方程； 若的极小值小于，求m的取值范围； 当时，证明：有2个零点. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：集合， ； 所以 故选： 化简集合，结合数轴求交集． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 2.【答案】A  【解析】解：记， 对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选： 利用复数的四则运算和乘方运算求得复数，再根据复数的几何意义即可判断． 本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：展开式的通项公式为： ， 令，解得； 所以，展开式中的系数是： 故选： 利用展开式的通项公式，令x的指数为3，求出r的值，即可得出展开式中的系数． 本题考查了利用二项展开式的通项公式求特殊项的应用问题，是基础题目． 4.【答案】C  【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为 由弧长公式可得，解得， 又，解得， 所以 所以圆锥的体积为： 故选： 先根据条件确定圆锥的底面半径和高，根据锥体的体积公式求圆锥的体积． 本题考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】C  【解析】解；因为以为直径的圆与C在第二象限交于点P， 所以，取的中点M，连接OM， 因为O为的中点，所以，且， 故，即为坐标原点O到直线的距离，则， 所以， 由双曲线定义可得，所以， 又，由勾股定理得， 故，解得， 故离心率为 故选： 由题意得到，作出辅助线，结合双曲线定义求出，，由勾股定理得到方程，求出离心率． 本题考查双曲线方程的应用，属于中档题． 6.【答案】C  【解析】解：函数， 当时，； 要使函数有且只有两个零点， 则，  所以， 解得， 所以的取值范围是 故选： 根据时求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求出有且只有两个零点时的取值范围． 本题主要考查了三角函数的图象和性质的运用问题，也考查了转化与解决问题的能力，是中档题． 7.【答案】D  【解析】解：因为圆C：，圆， 联立， 两式相减可得公共弦所在直线方程为： ，即， 因为圆平分圆C的周长， 所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为…， 则…， 两式相加得…， 因为， 所以，则 故选： 先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案． 本题考查圆的方程的应用，以及倒序相加法求和，属于中档题． 8.【答案】A  【解析】解：， ，即， ， 两边同时取对数，可得，即， 则， 在上单调递增， 方程有唯一解，， ， 故选： 根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定a，b的关联，最后结合题给条件求解 本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题． 9.【答案】AB  【解析】解：向量，， 对于A：若，则，所以t的值为，故A正确； 对于B：由可得，所以， 所以，故B正确； 对于C：当时，，所以， 所以与同向，此时与的夹角为，故C错误； 对于D：若，则， 即，即，解得， 当时，，，， ，， 所以， 当时，，，， 所以，， 所以，故D错误． 故选： 结合向量平行的坐标表示列方程求t，判断A，先求，结合向量的模的坐标表示求，判断B，结合共线向量定理，举反例判断C，结合向量垂直关系求t，再求，，判断 本题主要考查向量的相关知识，考查计算能力，属于中档题． 10.【答案】AC  【解析】解：有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次， 每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”， 乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”， 由题意可知，有放回地随机取两次，共计36个基本事件， 两点数和为6的所有可能为，，，，， 两点数和为7的所有可能为，，，，，， 甲乙丙丁， 对于A选项，甲与乙可以同时发生，甲与乙不互斥，故A正确； 对于B选项，由上可知错误，故选项B错误； 对于C选项，甲丁甲丁，甲与丁相互独立，故C正确； 对于D选项，乙丙乙丙，乙与丙不相互独立，故D错误． 故选： 先分别计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，可判断B选项；直接由互斥事件的概念判断A选项；由独立事件概率公式判断C、D选项即可． 本题考查对立事件、互斥事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11.【答案】AB  【解析】解：对于选项A：因为抛物线C的准线l的方程为， 所以， 解得， 则抛物线C的方程为， 设，， 此时点P到l的距离为， 即直线l与圆相离，故选项A正确； 对于选项B；设， 此时， 因为， 所以四边形AMPN的面积为， 可得，故选项B正确； 对于选项C：因为，AP的斜率为，、 又OP的斜率为， 当且仅当时，等号成立， 此时与题意矛盾， 所以OP与MN不可能垂直，故选项C错误； 对于选项D：运用反向思考，若点P到l的距离为3， 易得， 取， 则， 因为， 又， 所以O，M，P三点共线， 因为， 所以， 此时， 又， 所以， 即AM与PM不垂直，这与题意矛盾，故选项D错误． 故选： 由题意，利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即得判断选项A；先求出的取值范围，再根据等面积求出的表达式，推得，即可判断选项B；通过计算AP，OP的斜率，利用，可判断AP，OP不重合，进而可判断选项C；通过反向思考，由结论作为条件，推出矛盾，从而排除选项 本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：数列为等差数列，为其前n项和，，， ， 解得，， ， 或时，取最小值为 故答案为： 利用等差数列通项公式、前n项和公式求解． 本题考查等差数列通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.【答案】3  【解析】解：由分段函数可知， 若，则由得： ，即 若，则由得： ， 即，解得，不满足条件， 故 故答案为： 根据分段函数，解方程即可解出x的值． 本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数解方程即可，注意讨论变量x的取值范围． 14.【答案】  【解析】解：从14个点中取4个点，共有种取法， 四点共面分下面三种情况： 正方体的6个面，每个面包含4个顶点和1个中心点，此时共有种， 3个中间平面，每个平面包含4个点，此时共有种， 6个对角面，每个对角面包含4个顶点和2个中心点，此时共有种， 四个点不共面共有种， 以这4个点为顶点可构成四面体的概率为概率 故答案为： 先求出总取法，再分正方体的6个面，3个中间平面和6个对角面三种情况讨论，求出四点共面的取法，再利用古典概型的概率公式即可得解． 本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15.【答案】；    【解析】解：因为，可得， 所以，可得， 又由于， 可得， 所以； 由题意，，BC边中线AD长为1， 可得， 将等式两边平方得， 又因为，可得， 解得， 可得 利用正弦定理，将化为，再结合三角函数恒等变换公式即可求解； 根据，两边平方可得b、c的等式，同时结合余弦定理再列出b、c相关的等式，联立求解bc的值，最后由三角形的面积公式即可求解． 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题． 16.【答案】证明：如图，设线段AD的中点为M，线段BC的中点为N，连接PM，MN，PN， 依题意，，则，由，得， 而，，MN是梯形ABCD的中位线， 于是，， 而MN，平面PMN，， 则平面PMN， 而平面PMN，于是，又AD，平面ABCD，且AD和BC相交， 因此平面ABCD，而平面PAD， 所以平面平面ABCD；   存在，  【解析】证明：如图，设线段AD的中点为M，线段BC的中点为N，连接PM，MN，PN， 依题意，，则，由，得， 而，，MN是梯形ABCD的中位线， 于是，， 而MN，平面PMN，， 则平面PMN， 而平面PMN，于是，又AD，平面ABCD，且AD和BC相交， 因此平面ABCD，而平面PAD， 所以平面平面ABCD； 依题意，，则，即， 由知平面ABCD，平面ABCD，则， 由，AD，平面PAD，可得平面PAD， 过D作平面ABCD，以D为原点，构建如下图空间直角坐标系， 则，， 令，， 则， 由平面PAD，则平面PAD的一个法向量为， 由题设， 所以，可得负值舍，所以时满足题设． 设线段AD的中点为M，线段BC的中点为N，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证． 根据已知，以D为原点，构建空间直角坐标系，令，，结合已知并利用线面角的向量求法列方程求参数，即可得． 本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 17.【答案】解：由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人， 从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人， 根据分层抽样，在中抽人，在中抽人， 则成绩优秀的学生人数X可取0，1，2， ， ， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 p 则期望 以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人， 记事件A：成绩优秀的学生，事件B：高一年级的学生， 由已知条件可知，， 所以 记随机抽取n人中竞赛成绩优秀的人数为Y， 由题意可知，， ，令， 则， 令，则，所以时，， 令，则，所以时，， 令，则，所以， 当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．  【解析】结合频率分布直方图和分层抽样，可得在中抽4人，在中抽2人，进而可得随机变量的取值，列出分布列，求得期望； 由全概率公式，即可求解； 由题设得，利用二项分布概率公式及不等性质解决最大概率问题． 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】；   证明：因为， 所以， 所以， 显然直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为，，且，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 整理得， 因为得， 所以， 整理得， 所以直线l的方程为， 此时直线l过定点；    【解析】因为椭圆C的右焦点为，且椭圆C过点， 所以，， 又， 解得，， 则椭圆C的标准方程为； 证明：因为， 所以， 所以， 显然直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为，，且，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 整理得， 因为得， 所以， 整理得， 所以直线l的方程为， 此时直线l过定点； 由得， 由， 解得， 所以， 又， 所以， 令，， 所以 所以当，即时， 根据焦点坐标，结合代入法、a，b，c三者之间的关系进行求解即可； 根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、直线的斜率公式进行求解即可； 根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可． 本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 19.【答案】；   ；   证明：，， 令，得， 令，则与有相同的零点， 且， 令，，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，r  ，所以，使得， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为， 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值， 当x趋近于0时，趋近于0或时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点  【解析】当时，，因此， 因此，， 因此曲线在点处的切线方程为， 整理得：； 函数的定义域为，且， ①当时，易得，在上单调递减，因此无极小值，不合题意； ②当时，由，得，因此在上单调递增； 由，得时，因此在上单调递减， 因此的极小值为：， 因为的极小值小于，因此，因此 令，因此， 因此当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 因为，因此由可得； 证明：， 令，得， 令，因此与有相同的零点， 且， 令，，因此， 因为，因此，因此在区间上单调递增， 又，，因此，使得， 因此当时，，因此；当时，，因此， 因此在单调递减，在单调递增， 因此的最小值为， 由，得， 因此， 令，，因此，因此在单调递增， 因为，因此，因此， 因此，从而，， 因此的最小值 当x趋近于0时，趋近于0或时，趋近于， 又因，因此， 因此有2个零点，故有2个零点． 利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； 函数求导后，根据参数m的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； 由得，令，则，令，，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数． 本题考查利用导数求解函数的极值，属于难题． 第2页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $