期末复习11用一次函数解决问题讲义(知识梳理+题型精析精练)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学讲义通过表格框架系统梳理一次函数应用的知识体系，涵盖分配方案、最大利润、行程等六大题型，每个题型以“核心要点-解题步骤-易错提醒”表格呈现，清晰呈现建模方法与实际问题的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与建模方法指导，基础题巩固步骤，提升题强化推理，拓展题培养创新意识。如手机资费套餐问题引导学生建立分段函数模型，培养模型意识与应用能力，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可精准突破难点。

期末复习11 用一次函数解决问题讲义 1.审清题意，确定变量 找出题目中的已知量、未知量。 明确自变量和因变量，通常设自变量为x，因变量为y。 2.建立一次函数关系式 根据题目中的等量关系，列出y与x的一次函数表达式y=kx+b（k≠0）。 3.确定自变量的取值范围 结合实际问题的意义，分析自变量x的取值限制（如人数为正整数、时间非负等），得到定义域。 4.利用函数性质解决问题 若求最值：根据k的正负判断函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出y的最大值或最小值。 若求特定值：将已知的x（或y）代入解析式，计算对应的y（或x）的值。 5.检验作答 检查计算结果是否符合实际意义。 写出最终的结论，确保答案完整。 题型1.一次函数应用之分配方案问题 一.核心：用一次函数 y=kx+b(k≠0) 解决分配的建模、范围、最优方案问题，x 为分配数量（人数 / 物品数），y 为总费用 / 总数量，需注意x 取正整数。 二.解题三步法 设自变量：设分配的数量为 x 列函数式：根据分配规则，找 y 与 x 的关系，写出 y=kx+b 求结果：利用k 的正负判断增减性，结合x 取值范围求解 三.易错点 1.漏写x 的取值范围（正整数 / 偶数等） 2.搞反一次函数增减性（k 的正负） 3.建模时遗漏固定量b 【典例】在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【基础题1】批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元，五一来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品件． (1)分别写出优惠方案一购买费用y（元）、优惠方案二购买费用y（元）与乙种商品x（件）之间的函数关系式； (2)当时，该公司选择哪一种方案更省钱？ 【提升题2】“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 【拓展题3】我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 题型2.一次函数应用之最大利润问题 一、核心公式 1.利润基本公式 单件利润 = 单件售价 - 单件成本 总利润 y = 单件利润 × 销售数量 x + 固定收益（若无则为 0） 最终建模为：y=kx+b (k≠0) x：销售 / 分配的数量（正整数，且受实际条件限制） k：单件利润（k>0 表示每多卖 1 件，利润增加；k<0 表示每多卖 1 件，利润减少） b：固定收益或固定成本（成本则为负） 2.最值求解公式（关键） 当 k>0 时，y 随 x 增大而增大 → x 取最大值时，y 最大 当 k<0 时，y 随 x 增大而减小 → x 取最小值时，y 最大 二、解题四步法 1.设自变量：设销售 / 分配的数量为 x 2.算单件利润：单件利润 = 售价 - 成本 3.列函数式：总利润 y= 单件利润 ×x+b，并确定 x 的取值范围 4.求最值：根据 k 的正负，结合 x 的范围确定最大利润 三.易错点 1.忽略 x 的取值范围（如库存限制、销量上限），直接取理论最值 2.混淆 “单件利润” 和 “总利润”，建模时漏乘销售数量 x 3.判断增减性时搞反 k 的正负 【典例】鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共束，设购进种鲜花束，销售完这束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示： 进价元束 售价元束 (1)求与之间的函数关系式； (2)该经销商计划最多投入元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 【基础题1】某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【提升题2】班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ (2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 【拓展题3】某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； (2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 题型3.一次函数应用之行程问题 一、核心公式与建模模板 1.基础行程公式 路程 = 速度 × 时间 速度 = 路程 ÷ 时间 时间 = 路程 ÷ 时间 2.一次函数建模模板 设自变量 x = 运动时间（单位：h/min） 设因变量 y = 运动路程（单位：km/m） 函数表达式：y=kx+b (k≠0) *k：表示运动速度（匀速运动时 k 为定值） *b：表示初始路程（如起点与原点的距离，起点为原点时 b=0） 二.解题步骤 1.设自变量 x（时间）、因变量 y（路程） 2.根据速度和初始位置，列一次函数解析式 3.确定 x 的取值范围（时间非负） 4.结合题意求交点、最值或特定时间的路程 三.易错点 1.混淆相向而行和同向而行的函数解析式，同向时需注意速度快的一方才能追上另一方 2.忽略单位统一（如速度单位是 km/h，时间单位要统一为 h） 3.忘记初始距离 b，把所有情况都写成 y=kx 【典例】汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 【基础题1】甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 【提升题2】某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 【拓展题3】一条笔直的公路上有三地，两地之间的路程为千米．甲从地出发匀速运往地，甲出发半小时后乙车从地出发匀速运往地，乙到达地停留半小时后按原路原速返回地．在两人行驶的过程中，甲、乙两人距地的路程(单位：千米)与甲行驶时间(单位：小时)之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)乙的速度为 千米/时，在图中括号内填入正确的数值； (2)求乙从地返回到地过程中与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在甲行驶过程中，乙出发多长时间，甲、乙两人相距千米？请直接写出答案． .题型4.一次函数应用之梯度计价问题 一、核心概念与解题原则 1.梯度划分：将计费数量（如水、电、燃气用量，商品购买量）划分为多个区间，每个区间单价不同。 2.解题关键：先判断自变量 x（计费数量）落在哪个区间，再代入对应区间的函数式计算总费用 y。 二、建模模板（分两段计价为例） 设 计费数量为 x，总费用为 y 1. 当 0<x≤a 时（第一段，基础用量） y=k1x（k1为第一段单价） 2. 当 x>a 时（第二段，超出基础用量部分） y=k1a+k2(x−a)（k2为第二段单价，k2>k1​） 整理后：y=k2x+(k1a−k2a) 拓展：三段及以上计价，方法相同，逐段计算再求和。 三.易错点提醒 1.分界点取值：注意区间端点（如 x=a）归属，避免重复计算或漏算。 2.超出部分计算：超出基础用量的部分是 (x−a)，不是直接用 x 乘第二段单价。 3.单位统一：确保计费数量与单价的单位一致（如吨与元 / 吨，千瓦时与元 / 千瓦时）。 【典例】.某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【基础题1】某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．已知月用电量（度）与相应电费（元）之间的函数图像如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)当月用电量为度时，应交电费多少元？ 【提升题2】为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． (1)当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； (2)该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； (3)该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 【拓展题3】为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ .题型5.一次函数应用之其他问题 核心：设自变量 x（数量 / 时间等），因变量 y（费用 / 工作量等），建 y=kx+b 模型，结合 x 范围求解。 一、方案选择问题 1.列不同方案的函数式 y1=k1x+b1、y2​=k2x+b2​ 2.求交点：令 y1​=y2​，得临界值 x0​ 3.分类：x<x0​ 选费用低的方案；x>x0​ 选另一方案 二、工程效率问题 模型 总工作量：y=kx（k 为日工作量） 剩余工作量：y=b−kx（b 为总工作量） 三.数据拟合问题 1.代入两组 (x1​,y1​)、(x2​,y2​) 到 y=kx+b 2.解方程组求 k、b，得解析式 四.易错点 1.方案选择漏算临界值 x0​ 2.工程问题混淆工作量正负 【典例】某音响设备的耗电量度与使用时间时成一次函数关系，已知使用2小时耗电5度，使用7小时耗电10度，求y与x之间的函数关系式． 【基础题1】陕西周至被誉为“中国猕猴桃之乡”，某超市以每千克6元的价格购进若干千克猕猴桃．销售了部分后，将余下的猕猴桃每千克降价2元进行促销，全部售完，销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题： (1)求降价后与的函数表达式； (2)若该超市全部销售完猕猴桃共盈利600元，请问该超市本次购进猕猴桃总量为多少千克． 【提升题2】某中学拟建一处劳动实践园，计划在2025年将其中120平方米的土地全部种植A，B两种蔬菜．已知A种蔬菜种植总成本y（单位：元）与A种蔬菜种植面积x（单位：平方米）的函数关系式为，其中当时，，种植B种蔬菜每平方米的成本为35元． (1)求A种蔬菜种植总成本y与A种蔬菜种植面积x的函数关系式． (2)若B种蔬菜种植面积为52平方米，求2025年A，B两种蔬菜总种植成本为多少元． 【拓展题3】某种液化石油气罐存储液态石油气千克，与其配套的石油气炉有大火和小火两个档位可调节．刚开始点燃石油气炉并调至大火档位，石油气炉每分钟消耗石油气千克，当气炉燃烧分钟后，调至小火档位．液化石油气的罐内剩余石油气的质量（千克）与燃烧时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)的值为 ； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，求石油气炉的燃烧时间． 题型6.一次函数与几何问题 核心：结合几何图形性质（边长、周长、动点距离），建立 y=kx+b（k≠0）函数模型，自变量取值范围受几何规则限制（如边长为正、三角形三边关系）。 一.两类常见题型 1.图形周长与边长的一次函数关系 *思路：周长公式转化为函数式，k、b 由图形性质确定 例：矩形一边长为 x，邻边长为 3−x（0<x<3），周长 y=2[x+(3−x)]=6（常函数，特殊一次函数） 例：等腰三角形腰长为 x，底边长为 4，周长 y=2x+4（x>2，满足三角形三边关系） 2.动点问题的一次函数关系 *思路：设动点运动时间为 x，运动距离为 y，速度为定值 k，初始距离为 b 例：点 P 从距离原点 2 cm 处出发，以 3 cm/s 向正方向运动，运动 x s 后，到原点的距离 y=3x+2（x≥0） 二、解题步骤 1.设自变量 x（边长 / 运动时间） 2.根据几何公式或动点规律，列 y 与 x 的函数式 3.结合几何性质确定 x 的取值范围（如边长 > 0、三角形三边关系） 4.按题意求函数值或自变量的值 三.易错点 1.忽略自变量取值范围，如边长取负数、不满足三角形三边关系。 2.混淆 “面积” 与 “周长” 的函数类型，面积多为二次函数，周长多为一次函数。 3.动点问题漏算初始距离，导致函数式缺少 b。 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知，． (1)若在第二象限内有一点，设三角形的面积为，请写出与的函数关系式； (2)在（1）条件下，线段与轴相交于点，若，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【基础题1】如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 【提升题2】已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点（，不重合），则称点为图形关于点的倍点．如图，在平面直角坐标系中，点，，，． (1)若点的坐标为，是正方形关于点的一个倍点，则和中，是正方形关于点的倍点的是______； (2)点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，若为正整数，求的所有可取值； (3)若点在正方形边或上运动，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，求的最小值． 【拓展题3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)如图1，点为射线上一动点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为射线上一动点，连接，将沿直线翻折得到．连接，若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习11 用一次函数解决问题讲义 1.审清题意，确定变量 找出题目中的已知量、未知量。 明确自变量和因变量，通常设自变量为x，因变量为y。 2.建立一次函数关系式 根据题目中的等量关系，列出y与x的一次函数表达式y=kx+b（k≠0）。 3.确定自变量的取值范围 结合实际问题的意义，分析自变量x的取值限制（如人数为正整数、时间非负等），得到定义域。 4.利用函数性质解决问题 若求最值：根据k的正负判断函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出y的最大值或最小值。 若求特定值：将已知的x（或y）代入解析式，计算对应的y（或x）的值。 5.检验作答 检查计算结果是否符合实际意义。 写出最终的结论，确保答案完整。 题型1.一次函数应用之分配方案问题 一.核心：用一次函数 y=kx+b(k≠0) 解决分配的建模、范围、最优方案问题，x 为分配数量（人数 / 物品数），y 为总费用 / 总数量，需注意x 取正整数。 二.解题三步法 设自变量：设分配的数量为 x 列函数式：根据分配规则，找 y 与 x 的关系，写出 y=kx+b 求结果：利用k 的正负判断增减性，结合x 取值范围求解 三.易错点 1.漏写x 的取值范围（正整数 / 偶数等） 2.搞反一次函数增减性（k 的正负） 3.建模时遗漏固定量b 【典例】在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 【基础题1】批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元，五一来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品件． (1)分别写出优惠方案一购买费用y（元）、优惠方案二购买费用y（元）与乙种商品x（件）之间的函数关系式； (2)当时，该公司选择哪一种方案更省钱？ 【答案】(1)； (2)该公司选择方案二更省钱 【分析】本题考查了分段函数的建立以及实际问题中的方案优化选择，涉及代数表达式的构建和数值比较． （1）明确两种方案的具体规则，尤其是方案一中“赠送”对乙商品数量的影响，根据购买数量，区分甲、乙商品的实际支付部分并列出关系式； （2）通过代入具体数值，计算两种方案的总费用并比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意得：优惠方案一购买费用， 优惠方案二购买费用． （2）解：当时，优惠方案一购买费用（元）， 优惠方案二购买费用（元）， ∵， ∴该公司选择方案二更省钱． 【提升题2】“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 【答案】(1)， (2)当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由图象可知，分别过点，然后根据待定系数法求解即可； （2）联立（1）中函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设直线，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴， 设直线，把点代入得：， ∴； （2）解：由（1）联立函数解析式得： ，解得：， 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同． 【拓展题3】我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【答案】(1) (2)种 (3)当转运A种脐橙的车辆，转运B种脐橙的车辆，转运C种脐橙的车辆时，利润最大为元 【分析】（1）根据题意列式：，整理后即可得到； （2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆，，，解不等式组即可； （3）设利润为W元，则，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y， ∴装运C种水果的车辆数为， ∴， 整理得． （2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x， 由题意得， 解得， ∵， ∴． ∵x为整数， ∴x的值为，，，，， ∴安排方案共有种． （3）设利润为W元， ∴ ， 因为，且x的值为，，，，， ∴W的值随x的增大而减小， ∴当时，销售利润最大． 当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大． 最大利润（元）． 【点睛】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值． 题型2.一次函数应用之最大利润问题 一、核心公式 1.利润基本公式 单件利润 = 单件售价 - 单件成本 总利润 y = 单件利润 × 销售数量 x + 固定收益（若无则为 0） 最终建模为：y=kx+b (k≠0) x：销售 / 分配的数量（正整数，且受实际条件限制） k：单件利润（k>0 表示每多卖 1 件，利润增加；k<0 表示每多卖 1 件，利润减少） b：固定收益或固定成本（成本则为负） 2.最值求解公式（关键） 当 k>0 时，y 随 x 增大而增大 → x 取最大值时，y 最大 当 k<0 时，y 随 x 增大而减小 → x 取最小值时，y 最大 二、解题四步法 1.设自变量：设销售 / 分配的数量为 x 2.算单件利润：单件利润 = 售价 - 成本 3.列函数式：总利润 y= 单件利润 ×x+b，并确定 x 的取值范围 4.求最值：根据 k 的正负，结合 x 的范围确定最大利润 三.易错点 1.忽略 x 的取值范围（如库存限制、销量上限），直接取理论最值 2.混淆 “单件利润” 和 “总利润”，建模时漏乘销售数量 x 3.判断增减性时搞反 k 的正负 【典例】鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共束，设购进种鲜花束，销售完这束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示： 进价元束 售价元束 (1)求与之间的函数关系式； (2)该经销商计划最多投入元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． （1）设购进种鲜花束，则购进种鲜花束，根据总利润，两种鲜花所得利润之和列出函数解析式； （2）先根据最多投入元用于购进这两种鲜花求出的取值范围，再根据函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：设购进种鲜花束，则购进种鲜花束， 根据题意得：， 与之间的函数关系式； （2）解：根据题意得：， 解得：， 对于， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元． 【基础题1】某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 【提升题2】班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ (2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 【答案】(1)每本笔记本30元，每支钢笔40元 (2)总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质的应用，根据题意找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设每本笔记本m元，每支钢笔n元，根据每笔花费为等量关系列二元一方程组进行求解； （2）先列出函数关系式，再根据一次函数的性质回答即可． 【详解】（1）解：设每本笔记本m元，每支钢笔n元， 买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元； ， 解得， 每本笔记本30元，每支钢笔40元； （2）根据题意得：， ， 随a的增大而减小， 而， 当时，w取最小值，最小值为， 总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元． 【拓展题3】某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； (2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解； （2）根据，代入（1）的解析式，即可求解；自变量的取值范围同（1）； （3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆， ∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨， ∴， 即， ∵， 解得，且为3的倍数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：， ∴， 解得， ∵，且为3的倍数， ∴，且为3的倍数， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当，，此时最大，最大值为（元） 即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元． 题型3.一次函数应用之行程问题 一、核心公式与建模模板 1.基础行程公式 路程 = 速度 × 时间 速度 = 路程 ÷ 时间 时间 = 路程 ÷ 时间 2.一次函数建模模板 设自变量 x = 运动时间（单位：h/min） 设因变量 y = 运动路程（单位：km/m） 函数表达式：y=kx+b (k≠0) *k：表示运动速度（匀速运动时 k 为定值） *b：表示初始路程（如起点与原点的距离，起点为原点时 b=0） 二.解题步骤 1.设自变量 x（时间）、因变量 y（路程） 2.根据速度和初始位置，列一次函数解析式 3.确定 x 的取值范围（时间非负） 4.结合题意求交点、最值或特定时间的路程 三.易错点 1.混淆相向而行和同向而行的函数解析式，同向时需注意速度快的一方才能追上另一方 2.忽略单位统一（如速度单位是 km/h，时间单位要统一为 h） 3.忘记初始距离 b，把所有情况都写成 y=kx 【典例】汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出s与t的函数关系式． （1）根据汽车与上海的距离南京与上海的距离汽车的行驶时间速度列出函数关系式即可； （2）根据南京与上海的距离以及汽车行驶速度求出汽车到达上海所需的时间，结合实际意义进一步确定t的取值范围即可； （3）将代入（1）的函数关系式中进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴t的取值范围是：． （3）解：当时，． 答：当汽车行驶时，汽车距离上海． 【基础题1】甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 【答案】(1)的函数关系式为，的函数关系式为； (2)出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据速度=路程÷时间求出甲、乙的速度，再由路程=速度×时间求出对应的函数关系式即可； （2）求出甲、乙相遇的时间，再根据图象可知何时甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离即可． 【详解】（1）解：甲的速度为， 则， 乙的速度为，则， ∴的函数关系式为，的函数关系式为； （2）解：当甲、乙相遇时，得， 解得， 根据图象，出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【提升题2】某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 【答案】(1)，桐桐步行从景点到达景点所用的时间 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）利用路程除以速度求出的值，根据点的位置，确定的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出小兴的函数解析式，再令两个函数解析式的差为，即可求解． 【详解】（1）解：桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点， （分钟）， 的实际意义为桐桐步行从景点到达景点所用的时间， 故答案为：，桐桐步行从景点到达景点所用的时间； （2）桐桐开始骑车的时间为第（分钟）， 桐桐骑车到达景点的时间为第（分钟）， 设桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ； （3）设小兴距景点的路程（米）与（分）之间的函数解析式为，将代入得， 解得， ， ， 解得或， 即当或时，两人相距米， 故答案为：或． 【拓展题3】一条笔直的公路上有三地，两地之间的路程为千米．甲从地出发匀速运往地，甲出发半小时后乙车从地出发匀速运往地，乙到达地停留半小时后按原路原速返回地．在两人行驶的过程中，甲、乙两人距地的路程(单位：千米)与甲行驶时间(单位：小时)之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)乙的速度为 千米/时，在图中括号内填入正确的数值； (2)求乙从地返回到地过程中与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在甲行驶过程中，乙出发多长时间，甲、乙两人相距千米？请直接写出答案． 【答案】(1)， (2) (3)乙出发小时或小时或 小时后，甲、乙两人相距千米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，涉及到根据函数图象获取信息、求解速度、函数解析式以及根据两车距离求时间等知识点． （）首先，从图像可知，甲出发小时，乙行驶的时间是小时，此时乙距地千米，根据速度公式速度路程时间，可求乙的速度，然后，根据甲从地出发匀速运往地共用小时，甲行驶小时时，距离地的距离为千米，到的距离：(千米)，这就是括号内的数值； （）根据（）中所得及图象，得到时，乙距离地为千米，当乙返回地时，，距离地距离为，设乙车从公司返回到地过程中与之间的函数关系式为，待定系数即可解答； （）设乙出发小时后，甲、乙两人相距千米，分乙从到时，乙从返回过程中，根据题意列出等式，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：乙的速度为(千米/时)， 当甲从地出发匀速运往地共用小时， 甲行驶小时后，距离地的距离为千米， ∴到的距离：(千米)， ∴括号内数值为， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，乙的速度为千米/时，到的距离为千米， ∵两地之间的路程为千米， ∴两地之间的路程为千米， ∴乙从地出发匀速运往地的时间为（小时）， ∵甲出发半小时后乙车从地出发，乙到达地停留半小时后按原路原速返回地， ∴当时，；当时，， 设乙车从地返回到地过程中与之间的函数关系式为， 则， 解得， ∴所求的函数关系式为． （3）解：甲的速度：(千米/时)， 甲距地的距离， 设乙出发小时后，甲、乙两人相距千米，则甲出发小时， 第一种情况：乙从到时， 则， ， 当时，， 当时，， 第二种情况：乙从返回过程中， ， 综上，乙出发小时或小时或小时后，甲、乙两人相距千米． .题型4.一次函数应用之梯度计价问题 一、核心概念与解题原则 1.梯度划分：将计费数量（如水、电、燃气用量，商品购买量）划分为多个区间，每个区间单价不同。 2.解题关键：先判断自变量 x（计费数量）落在哪个区间，再代入对应区间的函数式计算总费用 y。 二、建模模板（分两段计价为例） 设 计费数量为 x，总费用为 y 1. 当 0<x≤a 时（第一段，基础用量） y=k1x（k1为第一段单价） 2. 当 x>a 时（第二段，超出基础用量部分） y=k1a+k2(x−a)（k2为第二段单价，k2>k1​） 整理后：y=k2x+(k1a−k2a) 拓展：三段及以上计价，方法相同，逐段计算再求和。 三.易错点提醒 1.分界点取值：注意区间端点（如 x=a）归属，避免重复计算或漏算。 2.超出部分计算：超出基础用量的部分是 (x−a)，不是直接用 x 乘第二段单价。 3.单位统一：确保计费数量与单价的单位一致（如吨与元 / 吨，千瓦时与元 / 千瓦时）。 【典例】.某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】(1)（）； (2)21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 【详解】（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 【基础题1】某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．已知月用电量（度）与相应电费（元）之间的函数图像如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)当月用电量为度时，应交电费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可； （）求出时的值即可求解； 本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点和点代入得， ， 解得， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴应交电费元． 【提升题2】为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． (1)当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； (2)该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； (3)该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 【答案】(1)； (2)15.8元 (3)13立方米 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，建立函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费标准列出函数关系式即可； （2）根据（1）所求关系式代入求解即可； （3）先判断该户这月用水量大于8吨，然后把代入（1）所求式子求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：因为，所以． 所以当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元． （3）解：因为， 所以该用户这个月的用水量超过了8立方米． 所以， 解得． 所以该户这个月的用水量为13立方米． 【拓展题3】为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 【答案】(1) (2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． (3)元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键． （1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可； （2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答． （3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 答：当时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵200度电费为：，400度电费为：， ， ∴小强家该月的用电量处于第二档， 令，则，解得：． 答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． （3）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第三档， ∴ 元． 答：小强家这一个月实付金额元． .题型5.一次函数应用之其他问题 核心：设自变量 x（数量 / 时间等），因变量 y（费用 / 工作量等），建 y=kx+b 模型，结合 x 范围求解。 一、方案选择问题 1.列不同方案的函数式 y1=k1x+b1、y2​=k2x+b2​ 2.求交点：令 y1​=y2​，得临界值 x0​ 3.分类：x<x0​ 选费用低的方案；x>x0​ 选另一方案 二、工程效率问题 模型 总工作量：y=kx（k 为日工作量） 剩余工作量：y=b−kx（b 为总工作量） 三.数据拟合问题 1.代入两组 (x1​,y1​)、(x2​,y2​) 到 y=kx+b 2.解方程组求 k、b，得解析式 四.易错点 1.方案选择漏算临界值 x0​ 2.工程问题混淆工作量正负 【典例】某音响设备的耗电量度与使用时间时成一次函数关系，已知使用2小时耗电5度，使用7小时耗电10度，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求y与x之间的函数关系式． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值． 【详解】解：设， 把，；，分别代入得， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． 【基础题1】陕西周至被誉为“中国猕猴桃之乡”，某超市以每千克6元的价格购进若干千克猕猴桃．销售了部分后，将余下的猕猴桃每千克降价2元进行促销，全部售完，销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题： (1)求降价后与的函数表达式； (2)若该超市全部销售完猕猴桃共盈利600元，请问该超市本次购进猕猴桃总量为多少千克． 【答案】(1)降价后与的函数表达式为 (2)该超市本次购进猕猴桃总量为260千克 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设降价后与的函数表达式为，然后把点代入，解方程组即可得到结论； （2）根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵降价前西瓜售价每千克（元），降价2元后西瓜售价每千克8元． 降价后销售的西瓜为（千克）， 设降价后与的函数表达式为，将代入，得： ，解得：， ∴降价后与的函数表达式为； （2）解：根据题意得，， 解得， 答：该超市全部销售完猕猴桃共盈利600元，该超市本次购进猕猴桃总量为260千克． 【提升题2】某中学拟建一处劳动实践园，计划在2025年将其中120平方米的土地全部种植A，B两种蔬菜．已知A种蔬菜种植总成本y（单位：元）与A种蔬菜种植面积x（单位：平方米）的函数关系式为，其中当时，，种植B种蔬菜每平方米的成本为35元． (1)求A种蔬菜种植总成本y与A种蔬菜种植面积x的函数关系式． (2)若B种蔬菜种植面积为52平方米，求2025年A，B两种蔬菜总种植成本为多少元． 【答案】(1) (2)2025年，两种蔬菜总种植成本为3328元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求出一次函数解析式，是解题的关键． （1）把时，代入求出b的值，即可得出函数解析式； （2）由种蔬菜种植面积为52平方米可得，种蔬菜种植面积为平方米，把代入，得元，然后求出种蔬菜种植总成本为元，两者相加，即可求出总种植成本． 【详解】（1）解：把时，代入得： ， 解得：， 种蔬菜种植总成本与种植面积的函数关系式为； （2）解：种蔬菜种植面积为52平方米， 种蔬菜种植面积为：（平方米）， 把代入，得： （元）， 种蔬菜种植总成本为：（元）， 年两种蔬菜总种植成本为：（元）， 答：年、两种蔬菜总种植成本为元； 【拓展题3】某种液化石油气罐存储液态石油气千克，与其配套的石油气炉有大火和小火两个档位可调节．刚开始点燃石油气炉并调至大火档位，石油气炉每分钟消耗石油气千克，当气炉燃烧分钟后，调至小火档位．液化石油气的罐内剩余石油气的质量（千克）与燃烧时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)的值为 ； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，求石油气炉的燃烧时间． 【答案】(1) (2)当时，与之间的函数关系式为 (3)点燃分钟，罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一 【详解】（1）解：． 故答案为：6． （2）解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴（）． （3）解：当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时， ， 解得，． 答：石油气炉的燃烧时间为280分钟． 题型6.一次函数与几何问题 核心：结合几何图形性质（边长、周长、动点距离），建立 y=kx+b（k≠0）函数模型，自变量取值范围受几何规则限制（如边长为正、三角形三边关系）。 一.两类常见题型 1.图形周长与边长的一次函数关系 *思路：周长公式转化为函数式，k、b 由图形性质确定 例：矩形一边长为 x，邻边长为 3−x（0<x<3），周长 y=2[x+(3−x)]=6（常函数，特殊一次函数） 例：等腰三角形腰长为 x，底边长为 4，周长 y=2x+4（x>2，满足三角形三边关系） 2.动点问题的一次函数关系 *思路：设动点运动时间为 x，运动距离为 y，速度为定值 k，初始距离为 b 例：点 P 从距离原点 2 cm 处出发，以 3 cm/s 向正方向运动，运动 x s 后，到原点的距离 y=3x+2（x≥0） 二、解题步骤 1.设自变量 x（边长 / 运动时间） 2.根据几何公式或动点规律，列 y 与 x 的函数式 3.结合几何性质确定 x 的取值范围（如边长 > 0、三角形三边关系） 4.按题意求函数值或自变量的值 三.易错点 1.忽略自变量取值范围，如边长取负数、不满足三角形三边关系。 2.混淆 “面积” 与 “周长” 的函数类型，面积多为二次函数，周长多为一次函数。 3.动点问题漏算初始距离，导致函数式缺少 b。 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知，． (1)若在第二象限内有一点，设三角形的面积为，请写出与的函数关系式； (2)在（1）条件下，线段与轴相交于点，若，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了函数，点的坐标，根据面积关系求出线段的长是解题的关键； （1）根据三角形的面积公式即可得解； （2）设点P的坐标为， 根据面积关系可得，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 点在第二象限， 点到x轴的距离就是的高，高为， ， 与的函数关系式． （2）解：设点P的坐标为， 当时，代入，可得，即的面积为5． 的面积是面积的2倍， 的面积为． ， ， ， 当P点在C点上方时， ，解得 ，此时P点坐标为． 当P点在C点下方时，，解得，此时P点坐标为． 点P的坐标为或． 【基础题1】如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，．由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可． （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 【提升题2】已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点（，不重合），则称点为图形关于点的倍点．如图，在平面直角坐标系中，点，，，． (1)若点的坐标为，是正方形关于点的一个倍点，则和中，是正方形关于点的倍点的是______； (2)点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，若为正整数，求的所有可取值； (3)若点在正方形边或上运动，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)1，2，3； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式，“倍点”的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“倍点”的定义逐一判断即可； （2）设在直线上存在正方形关于点的倍点，在正方形的边上存在点，使点是线段的中点， 分两种情况：当两点重合时，当两点重合时，求出的取值范围，即可得出答案； （3）分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设点是正方形上一点， ∴， 解得：， ∵不在正方形上， ∴不是正方形关于点的倍点， 同理：， 解得：， ∵在正方形上， ∴是正方形关于点的倍点， 故答案为：； （2）解：设在直线上存在正方形关于点的倍点，在正方形的边上存在点，使点是线段的中点， 当两点重合时， 由图可知：为的中点， ， 点在直线上， ， 解得， 当两点重合时，如图： 由图可知：为的中点， ， 点在直线上， ， 解得， ∴， ∵t为正整数， ∴t的所有可取值为1，2，3； （3）解：当点在或边上时，点在线段 的下方，如图： ， 当直线经过点 时，线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，把点的坐标代入到中， 得， 解得， 当点在边上，且为的中点时，到的距离等于点到的距离， 点到的距离为，到原点的距离为， ， b的最小值为； 【拓展题3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)如图1，点为射线上一动点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为射线上一动点，连接，将沿直线翻折得到．连接，若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作于点Q，过点C作于点M，于点N；利用面积分割法解答即可． （3）根据折叠的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，分类解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，分割法求面积，折叠性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，折叠性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：过点， 故， 解得， ∴， 根据题意，得 ， 解得， ∴直线解析式为． 故一次函数的解析式为． （2）解：过点P作于点Q，过点C作于点M，于点N； ∵一次函数的解析式为， ∴． ∵， ∴， 根据题意，得的面积为， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴点； 故点P的坐标为． （3）解：当在x轴的下方时， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点C作于点S，过点作，交的延长线于点R， 则四边形是矩形， ∴， 根据题意，得， ∴, ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵H在x轴的负半轴， ∴； 当在x轴的上方时， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点C作于点T，交y轴于点N，过点C作于点M， 则四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴,， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∵H在x轴的正半轴， ∴． 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $