精品解析：山西省晋中市榆次区2025—2026学年上学期期中测试九年级数学试卷

榆次区2025-2026学年第一学期期中学业水平质量监测题（卷） 九年级数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中，的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：B． 2. 某校为表彰积极参与“绿色校园”创建的环保实践小卫士，定制了如下的纪念徽章，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：C． 3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较选项得出正确结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴（添加配方）， ∴． 故选：B． 4. 小华将一支油画棒放在画有横线笔记本上，如图是抽象出的部分图案，其中，横线都互相平行且相邻两条横线间的距离相等．线段表示长度为的油画棒，则油画棒的一部分的长度为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所截线段对应成比例是解题的关键．过点A作交点B所在直线于点E，交点C所在直线于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：过点A作交点B所在直线于点E，交点C所在直线于点D， 横线都互相平行且相邻两条横线间的距离相等， ，即． ． 故选：C． 5. 下列图形中，相似多边形是（ ） A. 甲与乙 B. 乙与丙 C. 丙与丁 D. 乙与丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 6. 为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》分别记为，画树状图如下： ∴共有6 种等可能的结果，其中恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果有 2 种， ∴选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为， 故选：B． 7. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线互相垂直，则线段与一定满足的关系为( ) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理与特殊四边形的判定，涉及的知识点是三角形中位线平行且等于第三边的一半、矩形的判定与性质，解题方法是利用中位线定理证明四边形为矩形，再逐一判断即可． 【详解】解：如图所示： 连接四边形的对角线， 根据三角形中位线定理，且，且， 且， 四边形是平行四边形， 同理，且， ， ， 平行四边形是矩形， ， 即线段与互相平分且相等， 故选：B． 8. 下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（ ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 9. 在不透明袋子中，装有16个红球和若干个白球．每次摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀，再重复上述操作；经多次试验后，摸到红球的频率稳定在，据此估计袋中小球的总数约为（ ） A. 24个 B. 26个 C. 38个 D. 40个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率．根据频率估计概率的原理，摸到红球的概率为，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：∵经多次试验后，摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∵红球有16个， ∴估计袋中小球的总数约为个． 故选：D 10. 某地为庆祝粮食丰收举办大型无人机灯光秀，数千架无人机两两等距、整齐排布于空中．表演时，其中一幕为两个独立的无人机矩形阵分别呈现“丰”“收”二字．其中“丰”字矩形阵如图，该矩形阵的边排布架无人机，边排布架无人机；通过变换部分无人机颜色，形成了黄色笔画（图中阴影部分）的“丰”字．“丰”字所有笔画的宽度均由架无人机排布．已知呈现“丰”字时，该矩形阵中未改变颜色的无人机为架．根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是通过分析实际情境，利用长方形的面积公式来建立一元二次方程．“丰”字所有笔画的宽度均由架无人机排布，故未改变颜色部分长方形的长由架无人机排布，宽由架无人机排布，根据长方形面积公式列方程即可解答． 【详解】解：由题意可知，未改变颜色部分长方形的长由架无人机排布，宽由架无人机排布， 根据长方形的面积公式：面积=长×宽，可列方程， 故选：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 是成比例线段，其中，则线段的长为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的问题，解方程等知识点，根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵线段、、、成比例线段， ， ， ， 解得． 故答案为：6． 12. 某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，列举所有可能结果是解题的关键． 列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，共有、、、、、这种等可能的结果，其中恰好从入口进入且从出口驶出的结果有种； ∴． 故答案为：． 13. 如图，四边形为菱形，过点作于点，连接．若，且点恰好为边的中点，则线段的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】该题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，连接交于点O，根据四边形为菱形，得出，根据，点恰好为边的中点，得出，证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，点恰好为边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴（等底等高）， 故答案为：3． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程的解与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点分别是边上的点，连接．若点为的中点，平分，则线段的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质及勾股定理的应用，涉及的知识点是 “矩形的对边相等且四个角为直角”“角平分线的定义”“勾股定理”．解题方法是先利用矩形和中点条件求，再通过角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）或构造全等三角形，结合勾股定理列方程求解，最终求．解题关键是正确利用角平分线的性质建立线段关系，避免角的等量关系推导错误．解题思路为：先求，再作（或利用角平分线的对称性质），结合勾股定理列方程求，最后计算． 【详解】在矩形中，，，是中点，故． 在中，由勾股定理得： 因平分，故． 设，则． 如图所示： 在上截取，连接，， 则． ∵平分，， ∴， ∴． 在中，； 在中，； 故，解得，即． 在中，，， 由勾股定理得： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再利用配方法解方程即可； （2）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可. 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 即或 ∴． 【小问2详解】 解：， 移项：， ∴， ∴或， ∴ 17. 随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． （1）小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为___________； （2）小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，涉及的知识点是“古典概型的概率公式（）”“用列表法或树状图法列举等可能事件”．解题方法是：第（1）题直接利用古典概型公式计算；第（2）题通过列表或树状图列举所有选两款软件的可能结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算．解题关键是准确列举所有等可能结果，避免重复或遗漏．易错点是列举结果时出现重复、遗漏，导致概率计算错误．解题思路为：（1）确定总软件数和“DeepSeek”的数量，代入概率公式；（2）用列表法列出选两款软件的所有组合，数出包含“可灵AI”和“即梦AI”的组合数，计算概率． 【小问1详解】 总共有4款软件，“DeepSeek”是其中1款，根据古典概型概率公式： 【小问2详解】 根据题意，列表如下：5分 第二种 第一种 Y K W J Y K ） W J 或 由列表（或画树状图）可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中，选中两种软件的结果有2种． （选中两种软件） 18. 下面是小明解方程的过程： 解：当时，方程两边同时约去，得． 所以原方程的解为：． （1）方程两边同时约去时，为什么要强调？ （2）请仿照小明的方法解方程：． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法（因式分解法），涉及的知识点是“等式的基本性质（等式两边同时除以的数不能为0）”“解一元二次方程的因式分解法”．解题方法是利用等式性质时注意除数不为0的限制，通过移项、因式分解求解方程；解题关键是避免“两边同时除以含未知数的式子”导致漏解，正确的做法是移项后提公因式分解因式．易错点是直接除以含未知数的式子，遗漏使该式子为0的解． （1）根据等式性质，除数不能为0，故需强调； （2）仿照小明的方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵等式的基本性质是等式两边同时除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式， ∴方程两边同时约去时，要强调； 【小问2详解】 解： 当时，方程两边同时约去，得，得． 当时，． 所以原方程的解为． 19. 随着我国科技创新能力的持续提升，国产智能手机品牌凭借核心技术突破与优质用户体验，在全球市场的认可度显著提高．某国产手机品牌，年全球手机销量为万部，依托技术迭代与全球化布局，年销量稳步攀升至万部．求该手机品牌年至2024年全球手机销量的年平均增长率． 【答案】该手机品牌年至年销量的年平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），涉及的知识点是“增长率公式：现期量基期量+增长率（为增长次数）”．解题方法是设年平均增长率为未知数，根据增长率公式列方程，求解后结合实际意义取舍结果；解题关键是准确应用增长率公式，注意增长次数的确定（到年是次增长）．易错点是混淆增长次数，或解方程后未舍去不合理的负根．解题思路为：设年平均增长率为，根据年销量和年销量，利用增长率公式列方程，求解后得到符合实际的增长率． 【详解】设该手机品牌2022年至2024年销量的年平均增长率为， 根据题意，得． 解这个方程，得（不合题意，舍去）． 答：该手机品牌年至年销量的年平均增长率为 20. 如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．判断四边形的形状并证明； 【答案】矩形，证明见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和E为的中点，易得，得到，，结合得到四边形是平行四边形，再利用，得到，最后利用矩形的判定定理判定即可． 【详解】证明：四边形是矩形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵E为的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，延长交的延长线于点F， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到是解答关键． 21. 刺绣布老虎是山西传统手工艺品，起源于商周时期以虎为图腾的民俗，后经3000多年历史演变，逐步完善定型．某工艺品店售卖一款布老虎，请根据以下材料完成相应任务．以下是乐学小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 市场调查素材 素材一 此工艺品的进价为元． 素材二 经过市场调查，销售单价是元时，每天的销售量为件． 素材三 销售单价每降低元，每天就多售出件． 素材四 该店为促进资金流转，决定尽可能清空库存． 问题解决 任务一 若销售单价为元，求每天销售这款布老虎的利润； 任务二 若计划每天销售这款布老虎盈利元，那么每件布老虎的售价为多少元？ 【答案】（1）若销售单价为元，每天的销售利润为元；（2）每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元 【解析】 【分析】本题考查销售利润的实际计算与一元二次方程的应用，涉及的知识点是 “利润公式（利润 = 单件利润 × 销售量）”“根据售价变化分析销售量的变化关系”“一元二次方程的求解及实际意义的取舍”．解题方法是利用 “售价降低→销售量增加” 的关系，结合利润公式计算实际利润；通过设未知数表示售价、销售量，列方程求解后根据 “清空库存（销售量最大）” 的需求选择合适的解．解题关键是准确建立售价与销售量的变化关系，注意方程解的实际意义取舍．易错点是忽略 “清空库存” 对应的售价选择，或计算销售量变化时出错．解题思路为：任务一，先算单件利润和变化后的销售量，再用利润公式计算；任务二，设售价（或降价金额）为未知数，结合销售量变化列方程，求解后根据实际需求确定售价． 【详解】（1）（元）． 答：若销售单价为元，每天的销售利润为元． （2）解法1： 设每件工艺品降低元时，每天的销售利润为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 尽可能清空库存，． （元）． 答：每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元 解法2： 设每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 尽可能清空库存，． 答：每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元． 22. 阅读与思考 以下是乐学小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务。 关于邻等对补四边形的探索 对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定等方面进行研究，且一般从图形的组成元素及相关元素之间的关系展开探索．依照这样的研究路径我们小组对邻等对补四边形的性质展开探索． 【概念理解】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形．如图1，四边形中，，则四边形是邻等对补四边形． 【性质探索】类比特殊平行四边性质的学习，从此四边形的组成元素边、角、对角线展开探索． 边：一组邻边相等． 内角：对角互补． 对角线：在图1中连接，猜想平分． 在验证对角线的性质猜想时，我们用了多种方法，具体方法如下： 小华：从结论出发，我想到了构造两个全等的三角形．．． 小伟：从条件出发，由于，如果将绕点顺时针旋转，使与重合．．． 任务： （1）下列四边形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，其中是邻等对补四边形的有___________（填序号）； （2）求证：平分（可以借助学习报告中小华或者小伟的方法）； （3）如图2，在中，，，，请利用尺规作邻等对补四边形，其中，点分别在边上．连接，并直接写出此时线段长．（要求：作出一种情况即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）④ （2）见解析 （3）见解析；的长为或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的应用，角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“邻等对补四边形”即可判断； （2）依据题意可按照小华或小伟的思路解答； （3）先确定相邻边等的线段，再确定互补角，根据勾股定理，含的直角三边形边的关系求解即可． 【小问1详解】 解：因为至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形，所以正方形是邻等对补四边形，填④． 【小问2详解】 按照小华的思路： 证明：过点作于点交的延长线于点． 则． ， ． 又， ． ． 又， 平分． 按照小伟的思路： 证明：将绕点顺时针旋转，使与重合，点的对应点为点． 由旋转可得：． ， ，即点三点共线． ， ． ． 平分． 【小问3详解】 如图所示，邻等对补四边形即为所求． 方法一：在上截取，以为圆心画弧交于、两点，作中垂线交于，连接，邻等对补四边形即为所求． ∵在中，，，， ∴， ∴； 方法二：在上截取，以为圆心画弧交于、两点，作的中垂线交于，连接，邻等对补四边形即为所求． ∵在中，，，， ∴， ∴垂直平分， ∴； 方法三：作的角平分线交于，以为圆心，为半径画弧交于，连接，邻等对补四边形即为所求． 设，则， ∵在中，，，， ∴，， 即， 解得， ∴． （画出一种即可） 线段的长为或或，（注意线段的长要与所作图形对应．） 23. 综合与实践 问题情境： 在矩形纸片中，．同学们通过对矩形进行折叠开展了探究活动．如图1，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将矩形纸片展开并再次折叠，折痕与，分别交于点，，点的对应点分别为点． ①如图2，若点恰好落在线段上，连接．求证：； ②若点恰好落在边上，连接与相交于点，连接，点为的中点，连接．若．请直接写出线段的长度． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据正方形的判定即可得； （2）①设与折痕交于点，过点作于点，先得出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； ②分两种情况：当点在上时，连接；当点在上时，连接；先利用勾股定理求出的长，再求出与的长，利用勾股定理可得的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质得：，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． （2）①证明：如图，设与折痕交于点，过点作于点． ∴， 由（1）已得：四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②解：∵在矩形纸片中，，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 如图，当点在上时，连接， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：垂直平分， ∴，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵在中，点为斜边的中点， ∴； 如图，当点在上时，连接， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：垂直平分，， ∴，，， ∴在中，， ∴此时，即点与点重合， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∵在中，点为斜边的中点， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、正方形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆次区2025-2026学年第一学期期中学业水平质量监测题（卷） 九年级数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中，的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 某校为表彰积极参与“绿色校园”创建的环保实践小卫士，定制了如下的纪念徽章，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小华将一支油画棒放在画有横线的笔记本上，如图是抽象出的部分图案，其中，横线都互相平行且相邻两条横线间的距离相等．线段表示长度为的油画棒，则油画棒的一部分的长度为（ ） A B. C. D. 5. 下列图形中，相似多边形是（ ） A. 甲与乙 B. 乙与丙 C. 丙与丁 D. 乙与丁 6. 为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线互相垂直，则线段与一定满足的关系为( ) A 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 8. 下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（ ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 在不透明袋子中，装有16个红球和若干个白球．每次摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀，再重复上述操作；经多次试验后，摸到红球的频率稳定在，据此估计袋中小球的总数约为（ ） A. 24个 B. 26个 C. 38个 D. 40个 10. 某地为庆祝粮食丰收举办大型无人机灯光秀，数千架无人机两两等距、整齐排布于空中．表演时，其中一幕为两个独立的无人机矩形阵分别呈现“丰”“收”二字．其中“丰”字矩形阵如图，该矩形阵的边排布架无人机，边排布架无人机；通过变换部分无人机颜色，形成了黄色笔画（图中阴影部分）的“丰”字．“丰”字所有笔画的宽度均由架无人机排布．已知呈现“丰”字时，该矩形阵中未改变颜色的无人机为架．根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 是成比例线段，其中，则线段的长为_______． 12. 某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为___________． 13. 如图，四边形为菱形，过点作于点，连接．若，且点恰好为边的中点，则线段的长为___________． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 15. 如图，在矩形中，，点分别是边上的点，连接．若点为的中点，平分，则线段的长度为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 随着人工智能技术兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． （1）小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为___________； （2）小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 18. 下面是小明解方程的过程： 解：当时，方程两边同时约去，得． 所以原方程的解为：． （1）方程两边同时约去时，为什么要强调？ （2）请仿照小明的方法解方程：． 19. 随着我国科技创新能力的持续提升，国产智能手机品牌凭借核心技术突破与优质用户体验，在全球市场的认可度显著提高．某国产手机品牌，年全球手机销量为万部，依托技术迭代与全球化布局，年销量稳步攀升至万部．求该手机品牌年至2024年全球手机销量的年平均增长率． 20. 如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．判断四边形的形状并证明； 21. 刺绣布老虎是山西传统手工艺品，起源于商周时期以虎为图腾的民俗，后经3000多年历史演变，逐步完善定型．某工艺品店售卖一款布老虎，请根据以下材料完成相应任务．以下是乐学小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 市场调查素材 素材一 此工艺品的进价为元． 素材二 经过市场调查，销售单价是元时，每天的销售量为件． 素材三 销售单价每降低元，每天就多售出件． 素材四 该店为促进资金流转，决定尽可能清空库存． 问题解决 任务一 若销售单价为元，求每天销售这款布老虎的利润； 任务二 若计划每天销售这款布老虎盈利元，那么每件布老虎的售价为多少元？ 22. 阅读与思考 以下是乐学小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务。 关于邻等对补四边形的探索 对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定等方面进行研究，且一般从图形的组成元素及相关元素之间的关系展开探索．依照这样的研究路径我们小组对邻等对补四边形的性质展开探索． 【概念理解】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形．如图1，四边形中，，则四边形是邻等对补四边形． 【性质探索】类比特殊平行四边性质的学习，从此四边形的组成元素边、角、对角线展开探索． 边：一组邻边相等． 内角：对角互补． 对角线：在图1中连接，猜想平分． 在验证对角线性质猜想时，我们用了多种方法，具体方法如下： 小华：从结论出发，我想到了构造两个全等的三角形．．． 小伟：从条件出发，由于，如果将绕点顺时针旋转，使与重合．．． 任务： （1）下列四边形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，其中是邻等对补四边形的有___________（填序号）； （2）求证：平分（可以借助学习报告中小华或者小伟的方法）； （3）如图2，在中，，，，请利用尺规作邻等对补四边形，其中，点分别在边上．连接，并直接写出此时线段的长．（要求：作出一种情况即可，保留作图痕迹，不写作法） 23. 综合与实践 问题情境： 在矩形纸片中，．同学们通过对矩形进行折叠开展了探究活动．如图1，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将矩形纸片展开并再次折叠，折痕与，分别交于点，，点的对应点分别为点． ①如图2，若点恰好落在线段上，连接．求证：； ②若点恰好落在边上，连接与相交于点，连接，点为的中点，连接．若．请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $