精品解析：山西省晋中市榆次区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

榆次区2024－2025学年第一学期期中学业水平质量监测题（卷） 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 我国是最早认识和使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中首次出现负数，后来，数学家刘徽在为《九章算术》作注时明确正负数表示相反意义的量．如果收入100元记作元，那么元表示（ ） A. 支出60元 B. 收入60元 C. 支出40元 D. 收入40元 2. 下图是2024年巴黎奥运会公布的一些视觉标识和体育图标，既展示了法国的风情，又体现了体育项目本身的美感，达到了宣传国家特色及赛事主旨的效果．其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 观察下列各组多边形，其中是相似多边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程 的一个根，则的值是（ ）． A 1 B. 3 C. -3 D. -1 5. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 当时，该方程有两个相等的实数根 B. 当时，该方程有两个不相等的实数根 C. 当时，该方程没有实数根 D. 当时，该方程没有实数根 8. 小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（ ） A. 若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B. 小明获胜的概率是 C. 小凡获胜的概率是 D. 这个游戏是公平的 9. 如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 2021年我国新增高效节水灌溉面积188万，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知线段是成比例线段，其中，，，则______cm． 12. 一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有139次摸到红球．由此可估计这个口袋中红球的数量为______个． 13. 在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是______（写出一个符合要求的条件）． 14. 学校有块矩形劳动实践基地，其中长为20米，宽为15米．现准备在其四周铺设小路，要求扩建后的矩形与原矩形相似．如图，若相对的两条小路的宽度相等，小路宽度分别为x米，y米，当______时则满足扩建要求． 15. 如图，点在正方形边上，连接，过点作交于点，以为边，在右侧作正方形，连接．已知，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 17. 在国产游戏《黑神话：悟空》的带动下，山西众多旅游景点成为全国游客心心念念的打卡之地，远在广东的小明也想利用十一假期来山西旅游，于是他收集了四张与《黑神话：悟空》有关的山西著名旅游景点图片（大小、形状及背面完全相同）：太原以南的隰县小西天和平遥镇国寺，太原以北的悬空寺和应县木塔．他和爸爸准备通过玩游戏决定旅游景点，游戏规则：把这四张图片背面朝上洗匀，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两个景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则，只能去一个景点旅游．请你用列表或画树状图的方法求小明能去两个景点旅游的概率．（四张图片分别用A，B，C，D表示） 18. 如图，菱形的对角线，交于点O，，．求证：四边形是矩形． 19. 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内每个街区空地搭建一个面积为平方米的快递投放点．如图是其中一个街区的快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙，这堵墙长米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道米宽的门．准备施工时，王师傅却忘记了该快递投放点的具体长宽，只记得围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材米．请你帮助王师傅求出这个快递投放点的边和的长． 20. 已知：如图，在中，，为中线． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点E，在射线上截取，连接，； （2）试判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 21. 中秋节前夕，某品牌月饼厂家为扩大销售量，采用了“直播带货”的营销方式，主打销售一款每盒成本价为38元的月饼礼盒．经调查发现，当每盒销售价为68元时，平均每天能售出1000盒；在每盒降价幅度不超过10元的情况下，若每盒销售价降低1元，则平均每天可多售出100盒．若厂家想一天通过销售该款月饼获利37500元，请问当天这款月饼礼盒每盒销售价应降低多少元？ 22. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于一些二元二次方程组解法的研究报告 善思小组 研究对象：二元二次方程组 研究思路：先明晰定义，然后探索其解法．类比之前解二元一次方程组、一元二次方程的思路探究，尝试将其通过消元、降次转化为已学过的方程（或方程组）． 研究内容： 【明晰定义】满足以下四个条件的方程组叫做二元二次方程组：①共有两个方程：②含有两个未知数；③含有未知数的项的最高次数为2；④方程组中各方程都是整式方程． 如或等． 【解法探究】尝试求解一些特殊二元二次方程组． 例如：解方程组： 解：由②，得．③ 运用了___▲___消元法，实现将二元方程转化为一元方程． 将③代入①，得， 解这个方程，得，． 将它们分别代入③，得，． 所以原方程组的解是 …… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容； （2）请尝试解二元二次方程组： 23. 综合与探究 问题情境：在正方形中，为对角线，点M，N分别是直线，上的点，连接，，且满足． 数学思考： （1）如图①，当点M边上时． ①试猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②在图1的情况下，______； （2）如图2，当点M在边的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 深入思考： （3）“善思小组”提出问题，在图1中，若直线分别交直线，于点P，Q，，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 榆次区2024－2025学年第一学期期中学业水平质量监测题（卷） 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 我国是最早认识和使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中首次出现负数，后来，数学家刘徽在为《九章算术》作注时明确正负数表示相反意义的量．如果收入100元记作元，那么元表示（ ） A. 支出60元 B. 收入60元 C. 支出40元 D. 收入40元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数在实际生活中的意义．根据题意可知收入100元记作元，那么继而得到元表示支出60元． 【详解】解：∵收入100元记作元， ∴元表示支出60元， 故选：A． 2. 下图是2024年巴黎奥运会公布的一些视觉标识和体育图标，既展示了法国的风情，又体现了体育项目本身的美感，达到了宣传国家特色及赛事主旨的效果．其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称和中心对称图形定义．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵沿着一条线折叠后两边能完全重合的图形及轴对称图形，将一个图形绕着中心旋转后能与原图形重合即为中心对称图形， ∴A选项是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， ∴B选项不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， ∴C选项是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， ∴D选项是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 3. 观察下列各组多边形，其中是相似多边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似图形识别．根据题意利用相似多边形的定义逐一分析选项即可得到本题答案． 【详解】解：∵形状相同，大小不一定相同的图形为相似图形， ∴B选项符合题意， 故选：B． 4. 若是方程 的一个根，则的值是（ ）． A. 1 B. 3 C. -3 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程，即可得到一个关于c的方程，进而求得c． 【详解】将代入得， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线截线段的比值关系，熟悉掌握线段的比值关系是解题的关键． 根据平行线中线段的比值关系列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 6. 在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与二次函数关系．根据题意可知函数值正负之间即为一个根的范围． 【详解】解：∵，， ∴一元二次方程的一个根x的大致范围是：， 故选：C． 7. 已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 当时，该方程有两个相等的实数根 B. 当时，该方程有两个不相等的实数根 C. 当时，该方程没有实数根 D. 当时，该方程没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式的意义；先求得一元二次方程根的判别式，根据的值进行判断即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程， ∵ ∴当，即时，该方程有两个不相等的实数根 当，即时，该方程有两个相等的实数根 当，即时，该方程没有实数根 故选：D． 8. 小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（ ） A. 若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B. 小明获胜的概率是 C. 小凡获胜的概率是 D. 这个游戏是公平的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查画树状图求概率．根据题意画出树状图，再分别求出概率逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中： 小明获胜概率：， 小颖获胜概率：， 小凡获胜概率：即， 这个游戏不公平，故选项C说法正确，符合题意， 故选：C． 9. 如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，交于点，根据菱形的性质和中位线定理可知四边形是矩形，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可求，，利用矩形的面积公式可求结果． 详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 四边形是菱形， ，， 又， 是等边三角形， ， 则， ， 点、、、分别是、、、的中点， ，， 同理可得，， 四边形矩形， 四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、矩形的面积公式、等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形的中位线定理证明四边形是矩形． 10. 2021年我国新增高效节水灌溉面积188万，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，分别用2021年的高效节水灌溉面积表示出2022年、2023年的高效节水灌溉面积，利用总高效节水灌溉面积为622.28万列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知线段是成比例线段，其中，，，则______cm． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查线段成比例计算．根据题意列式计算即可． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：2． 12. 一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有139次摸到红球．由此可估计这个口袋中红球的数量为______个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，熟悉掌握频率与概率的概念是解题的关键． 根据摸球情况求出摸到红球的频率，推算出概率后求解即可． 【详解】解：∵摸到红球的频率为：， ∴估计摸到红球的概率为， ∴估计红球的个数（个） 故答案为：． 13. 在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是______（写出一个符合要求的条件）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用， 【详解】解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 学校有块矩形劳动实践基地，其中长为20米，宽为15米．现准备在其四周铺设小路，要求扩建后的矩形与原矩形相似．如图，若相对的两条小路的宽度相等，小路宽度分别为x米，y米，当______时则满足扩建要求． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似的性质得出，代入计算即可． 【详解】解：∵矩形与原矩形相似 ∴ ∴ 即 则 ∴ 故答案为：． 15. 如图，点在正方形的边上，连接，过点作交于点，以为边，在右侧作正方形，连接．已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，由四边形是正方形，得，，然后证明，由性质可得，通过勾股定理求出，过作，交延长线于点，再证明，由全等三角形的性质得，，最后由勾股定理即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 如图，过作，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）利用配方法解方程； （2）先移项，再利用提公因式法解方程． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， ， 两边开平方，得， 所以，，； 【小问2详解】 解：原方程可变形为：， 因式分解法， 所以，或， 所以，，． 17. 在国产游戏《黑神话：悟空》的带动下，山西众多旅游景点成为全国游客心心念念的打卡之地，远在广东的小明也想利用十一假期来山西旅游，于是他收集了四张与《黑神话：悟空》有关的山西著名旅游景点图片（大小、形状及背面完全相同）：太原以南的隰县小西天和平遥镇国寺，太原以北的悬空寺和应县木塔．他和爸爸准备通过玩游戏决定旅游景点，游戏规则：把这四张图片背面朝上洗匀，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两个景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则，只能去一个景点旅游．请你用列表或画树状图的方法求小明能去两个景点旅游的概率．（四张图片分别用A，B，C，D表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两个景点都在太原以南或都在太原以北的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 第二张 第一张 A B C D A B C D 由上表可知，共有12种等可能的结果，两个景点都在太原以南或都在太原以北的有、、、，共4种， ∴P（小明能去两个景点旅游）． 18. 如图，菱形的对角线，交于点O，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形．熟练掌握菱形性质，矩形的判定，是解题关键． 先根据，证四边形是平行四边形，结合即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵四边形为菱形， ∴，即． ∴． ∴四边形矩形． 19. 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内每个街区的空地搭建一个面积为平方米的快递投放点．如图是其中一个街区的快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙，这堵墙长米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道米宽的门．准备施工时，王师傅却忘记了该快递投放点的具体长宽，只记得围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材米．请你帮助王师傅求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】长米，长米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设长为米，根据围建投放点的三边的长度需要的板材长为米，可以把的长度用含的代数式表示出来，根据矩形的面积公式和投放点的面积为平方米可列一元二次方程，解方程可得：，，根据墙长米把不符合题意的解舍去． 【详解】解：设长为米，则米， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍掉）， 当时，， 答：这个快递投放点的边长米，长米． 20. 已知：如图，在中，，为中线． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点E，在射线上截取，连接，； （2）试判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据要求作图即可； （2）先证出是平行四边形，再根据即可求得结果． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 四边形是菱形． 证明：∵在中，为中线， ∴． 又∵平分， ∴，． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 21. 中秋节前夕，某品牌月饼厂家为扩大销售量，采用了“直播带货”的营销方式，主打销售一款每盒成本价为38元的月饼礼盒．经调查发现，当每盒销售价为68元时，平均每天能售出1000盒；在每盒降价幅度不超过10元的情况下，若每盒销售价降低1元，则平均每天可多售出100盒．若厂家想一天通过销售该款月饼获利37500元，请问当天这款月饼礼盒每盒销售价应降低多少元？ 【答案】5元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实际应用．根据题意设当天这款月饼礼盒降价x元，列出关于x的一元二次方程解出即为本题答案． 【详解】解：设当天这款月饼礼盒降价x元，则由题意可得： ， 解，得（舍），（不合题意，舍去）． 答：当天这款月饼礼盒每盒销售价应降低5元． 22. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于一些二元二次方程组解法的研究报告 善思小组 研究对象：二元二次方程组 研究思路：先明晰定义，然后探索其解法．类比之前解二元一次方程组、一元二次方程的思路探究，尝试将其通过消元、降次转化为已学过的方程（或方程组）． 研究内容： 【明晰定义】满足以下四个条件的方程组叫做二元二次方程组：①共有两个方程：②含有两个未知数；③含有未知数的项的最高次数为2；④方程组中各方程都是整式方程． 如或等． 【解法探究】尝试求解一些特殊的二元二次方程组． 例如：解方程组： 解：由②，得．③ 运用了___▲___消元法，实现将二元方程转化为一元方程． 将③代入①，得， 解这个方程，得，． 将它们分别代入③，得，． 所以原方程组的解是 …… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容； （2）请尝试解二元二次方程组： 【答案】（1）代入 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查解二元二次方程组，解一元二次方程． （1）根据题意观察题干解法即可得到本题答案； （2）先将②代入①中得到关于的一元二次方程，解出即可． 【小问1详解】 解：∵变形得到③，再将其代入①求解， ∴利用代入消元法求解方程， ∴研究报告中“▲”处空缺的内容为：代入； 【小问2详解】 解： 由②得， ③， 将③代入①中，得， 解得，． 将它们分别代入③，得，． 所以，原方程组的解是或． 23. 综合与探究 问题情境：在正方形中，为对角线，点M，N分别是直线，上的点，连接，，且满足． 数学思考： （1）如图①，当点M在边上时． ①试猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②在图1的情况下，______； （2）如图2，当点M在边的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 深入思考： （3）“善思小组”提出问题，在图1中，若直线分别交直线，于点P，Q，，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，见解析；②；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形性质结合证明，即得；②证明，结合，即得； （2）根据正方形性质结合证明，得．根据，，即得； （3）将绕点D顺时针旋转得到，连接，则，，得，得．证明，推出，得，得，即得． 【详解】（1）①． 理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： （2） 理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴； （3），理由： 将绕点D顺时针旋转得到，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形和三角形．熟练掌握正方形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$