专题十二 二元一次方程组-【冲刺2026】2025年中考数学真题汇编

专题十二 二元一次方程组 一．选择题（共20小题） 1．（2025•南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　） A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3 2．（2025•广安）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•眉山）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•淮安）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 5．（2025•宁夏）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•德州）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 8．（2025•甘孜州）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 9．（2025•浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表． 材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（　　） A． B． C． D． 10．（2025•巴中）《九章算术》中记载：今有共买班，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 11．（2025•齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 12．（2025•凉山州）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则x+y的平方根是（　　） A．8 B．±8 C．±2 D．2 13．（2025•泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程x+2y＝3恰有一个正整数解x＝1，y＝1．类似地，方程2x+3y＝21的正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025•宿迁）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 15．（2025•自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长40cm，则小地砖短边长（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 16．（2025•成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 17．（2025•资阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的，五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（　　） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 18．（2025•兰州）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 19．（2025•青海）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则还差8两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为x人，银两为y两．根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 20．（2025•黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（　　） A．6 B．7 C．4 D．5 二．填空题（共4小题） 21．（2025•南通）把一根长10m的钢管截成3m长和1m长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 　 　 （写出一种情况即可）． 22．（2025•盐城）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 　 　 分． 23．（2025•徐州）若二元一次方程组的解为，则a+b的值为　 　 ． 24．（2025•河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝ 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 25．（2025•滨州）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算等图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 26．（2025•淄博）解方程组：． 27．（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 28．（2025•海南）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19～21万元，每辆B型汽车的进价约为11∼13万元． （1）求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； （2）现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 29．（2025•云南）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等； 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 30．（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗） （1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ （2）若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 31．（2025•湖北）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元/千克，B水果标价18元/千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果m千克． ①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围； ②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求m的值． 32．（2025•德阳）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 33．（2025•连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？ 参考答案 一．选择题 1．【答案】A 【解析】解：根据题意得：3x+2＝5y+3． 2．【答案】B 【解析】解：由题意可得，，故选：B． 3．【答案】C 【解析】解：由题意得：，故选：C． 4．【答案】A 【解析】解：设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意得， ，故选：A． 5．【答案】C 【解析】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，得：，故选：C． 6．【答案】D 【解析】解：根据题意得：，故选：D． 7．【答案】B 【解析】解：关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，即1， x+2y＝5的正整数解有2组，即2，x+2y＝7的正整数解有3组，即3， ……，x+2y＝n（n为正奇数），其正整数解有组， 已知关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15， 设y+z＝k，则x+2k＝15，其正整数解的组数为7， ∵x为正整数，∴k＝1，2，3，4，5，6，7， ∴y+z＝1，2，3，4，5，6，7， ∵y，z都是正整数，∴当y+z＝1时，不符合题意， 当y+z＝2时，有1组正整数解，当y+z＝3时，有2组正整数解， 当y+z＝4时，有3组正整数解，当y+z＝5时，有4组正整数解， 当y+z＝6时，有5组正整数解，当y+z＝7时，有6组正整数解， 则1+2+3+4+5+6＝21（组），即关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有21组， 故选：B． 8．【答案】D 【解析】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，∴5x+2y＝10； ∵2头牛、5只羊，共值金8两，∴2x+5y＝8． ∴根据题意可列出方程组．故选：D． 9．【答案】C 【解析】解：根据题意可列方程组．故选：C． 10．【答案】A 【解析】解：根据题意可列方程组．故选：A． 11．【答案】B 【解析】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：45x+60y＝900，整理得：x＝20y， ∵x、y均为正整数，∴或或或， ∴租车方案有4种，故选：B． 12．【答案】C 【解析】解：∵（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0， ∴， ②×2，得4x+2y﹣22＝0③， ①﹣③，得﹣x+3＝0， 解得：x＝3， 把x＝3代入②，得2×3+y﹣11＝0， 解得：y＝5， ∴x+y＝3+5＝8， ∴， ∴x+y的平方根是．故选：C． 13．【答案】C 【解析】解：方程2x+3y＝21的正整数解是，，，共3组， 故选：C． 14．【答案】D 【解析】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得5x+2y＝10， 由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得2x+5y＝8，因此可列方程组， 故选：D． 15．【答案】B 【解析】解：设小地砖的长边长为xcm，短边长为ycm， 由题意得：，解得：，即小地砖短边长为8cm，故选：B． 16．【答案】A 【解析】解：依题意有：，故选：A． 17．【答案】A 【解析】解：由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得，故原本持金为斤，故选：A． 18．【答案】A 【解析】解：由题意得：，故选：A． 19．【答案】D 【解析】解：由题意得：，故选：D． 20．【答案】C 【解析】解：设购买x个足球，y个篮球，根据题意得：80x+120y＝1200， ∴y＝10x，又∵x，y均为正整数，∴或或或， ∴共有4种购买方案．故选：C． 二．填空题 21．【答案】8或6或4． 【解析】解：设可以截成x根3m长的钢管，y根1m长的钢管， 根据题意得：3x+y＝10，∴y＝10﹣3x，又∵x、y均为正整数， ∴或或，∴共有3种不同的截法，x+y＝8或6或4， ∴可能截得钢管的总根数为8或6或4，故答案为：8或6或4． 22．【答案】6． 【解析】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分， 根据题意得：，解得：，即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 23．【答案】1． 【解析】解：∵二元一次方程组的解为， ∴，①+②得5a＝5，解得a＝1， 将a＝1代入①得b＝0，∴a+b＝1+0＝1，故答案为：1． 24．【答案】99． 【解析】解：根据题意得，， 解得，∴a+b＝99，故答案为：99． 三．解答题 25．【答案】算筹图2所表示的方程组为，该方程组的解为． 【解析】解：根据题意得：， 解得：，∴算筹图2所表示的方程组为，该方程组的解为． 26．【答案】． 【解析】解：，由①得：x＝2③，把③代入②得：4+y+3y＝12， ∴y＝2，把y＝2代入③得：x＝2+1＝3，∴原方程组的解为． 27．【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 【解析】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 根据题意得：，解得， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 28．【答案】（1）A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为12万元，该销售经理的估计正确； （2）代入消元法，加减消元法． 【解析】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意得：，解得：， 即A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为12万元， ∵19＜20＜21，11＜12＜13，∴该销售经理的估计正确； （2）解二元一次方程组的常用方法：代入消元法，加减消元法． 29．【答案】（任务一）每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元； （任务二）当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低． 【解析】解：（任务一）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元， 根据题意得：，解得：． 答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元； （任务二）设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买（60﹣m）个排球， 根据题意得：w＝150m+100（60﹣m）＝50m+6000，∵k＝50＞0， ∴w随m的增大而增大，又∵60﹣m≤2m，解得：m≥20， ∴当m＝20时，w取得最小值，此时60﹣m＝60﹣20＝40（个）． 答：当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低． 30．【答案】（1）每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单价为10元； （2）至少需加工A等级农产品2000千克． 【解析】解：（1）设每千克A等级农产品的销售单价为x元，每千克B等级农产品的销售单价为y元，由题意得：，解得：， 答：每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单价为10元； （2）设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品（6000﹣m）千克， 由题意得：（12﹣8）m+（10﹣8）（6000﹣m）≥16000， 解得：m≥2000，答：至少需加工A等级农产品2000千克． 31．【答案】（1）A种水果买了2千克，B种水果买了1千克； （2）①0＜m≤1；②1.25． 【解析】解：（1）设A种水果买了x千克，B种水果买了y千克， 由题意得：，解得：， 答：A种水果买了2千克，B种水果买了1千克； （2）①设小明买A水果m千克，则小明买B水果（m+1）千克， 由题意得：14m+18（m+1）≤50，解得：m≤1，又∵m＞0， ∴m的取值范围为0＜m≤1； ②设小明买A水果m千克，则小明买B水果（m+1）千克， 由题意得：14×0.75m+18×1+18×0.75×（m+1﹣1）＝48，解得：m＝1.25， 答：m的值为1.25． 32．【答案】（1）A型挂面的单价是20元，B型挂面的单价是30元； （2）共有6种购买方案，最低花费为900元． 【解析】解：（1）设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元， 由题意得：解得： 答：A型挂面的单价是20元，B型挂面的单价是30元； （2）设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面为（40﹣a）袋， 由题意得：，解得：10≤a≤15，∵a为正整数， ∴a＝10，11，12，13，14，15，∴共有6种购买方案，设总花费为w元， 由题意得：w＝（40﹣a）×20+30a＝10a+800， ∵10＞0，∴w随a的增大而增大． ∴a＝10时，w有最小值，最小值＝10×10+800＝900， 答：共有6种购买方案，最低花费为900元． 33．【答案】（1）恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个； （2）至少需要134张正方形硬纸片． 【解析】解：（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 根据题意得：，解得：． 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个； （2）设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片，则制作甲种纸盒（100﹣m）个， 根据题意得：w＝2m+（100﹣m）＝m+100，∵k＝1＞0， ∴w随m的增大而增大，又∵m（100﹣m），解得：m，∵m为正整数， ∴当m＝34时，w取得最小值，最小值为34+100＝134（张）． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $