专题三十一 图形的相似-【冲刺2026】2025年中考数学真题汇编

专题三十一 图形的相似 一．选择题（共15小题） 1．（2025•乐山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2025•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　） A．10 B．8 C．5 D．4 3．（2025•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 4．（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　） A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 5．（2025•长春）将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQNQ D． 6．（2025•绥化）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　） A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm 7．（2025•攀枝花）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论错误的是（　　） A．MN⊥BD B．MN＝2 C． D．△BAD∽△COD 8．（2025•哈尔滨）如图，AB∥CD∥EF，若BC＝5，CE＝8，则（　　） A． B． C． D． 9．（2025•宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF.当BF最短时，则AE的长度为（　　） A． B．4 C．2 D．2 10．（2025•连云港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．（2025•贵州）如图，已知△ABC∽△DEF；AB：DE＝2：1，若DF＝2，则AC的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（2025•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．已知BC：B′C′＝1：2，则B（2，0）的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0） 13．（2025•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN•BF＝EC•HN；④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 14．（2025•浙江）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　） A． B．4 C． D．5 15．（2025•云南）如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC．若，则（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共12小题） 16．（2025•西藏）如图，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，若，则的值是 　 　 ． 17．（2025•青岛）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为CD，AD的中点．连接BF并延长交AE于点G，交CD的延长线于点M，H为BE的中点，连接GH，CH，CG．下列结论：①CH∥AE；②∠M＝30°；③S△CGHS正方形ABCD；④AG•MF＝CD•AF．正确的是 　 　 （填写序号）． 18．（2025•绥化）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A′B′C′．若点A和它的对应点A′的坐标分别为（3，7），（﹣9，﹣21），则△ABC与△A′B′C′的相似比为　 　 ． 19．（2025•盐城）如图，在△ABC中，DE∥BC．若AD：AB＝1：3，DE＝4，则BC＝　 　 ． 20．（2025•广州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若，则　 　 ． 21．（2025•宿迁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则的最小值是 　 　 ． 22．（2025•宁夏）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则yx＝ 　 　 ． 23．（2025•兰州）如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 　 　 ．（结果用π表示） 24．（2025•青海）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，则的值是 　 　 ． 25．（2025•广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 　 　 ． 26．（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　 　 ． 27．（2025•甘肃）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　 　 cm． 三．解答题（共11小题） 28．（2025•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 29．（2025•新疆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点． （1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； （2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值； （3）当a时，求MN+ND的最小值． 30．（2025•滨州）如图，△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H，以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连接AG并延长交BC于点D． （1）求证：△ACD∽△BCA； （2）当AB＝4时，求BC的长． 31．（2025•南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G． （1）求证：AG＝2GC； （2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I． ①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离； ②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值． 32．（2025•济南）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为AC的中点．在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，DB＝3，BE＝4，连接EO并延长到点F，使OF＝EO，连接AF． 初步感知： （1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，请完成填空：∠DAF＝　 　 °．　 　 ． 深入探究： （2）如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），连接AD，CE，AE，CF． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长． 33．（2025•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，连接BD． （1）求证：∠CBD＝∠BDC； （2）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：． 34．（2025•广州）如图1，AC＝4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC． （1）尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD、DC，并证明四边形ABCD为平行四边形； （2）如图2，延长AC至点F，使得CF＝AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC＝45°，且△ABC∽△FCE． ①求证：△ABC∽△CBE； ②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 35．（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°． （1）求证：AB＝AC； （2）若，AB＝8，求DG的长． 36．（2025•湖北）在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE． （1）如图1，求证：△BCE∽△ACD； （2）如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长； （3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K． ①求证：AC＝CF； ②当时，直接写出的值． 37．（2025•上海）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF． （1）求证：AB∥CD； （2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB． 38．（2025•成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F． （1）求证：BE∥CD； （2）若sinD，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长． 参考答案 一．选择题 1．【答案】B 【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF＝6，故选：B． 2．【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，∵点E是AB的中点， ∴AE＝BEAB＝2， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE， ∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC， ∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝∠AEF，∴△BCE∽△AEF， ∴，∴EF， ∴△CEF的面积为：CE•EF5． 故选：C． 3．【答案】B 【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，△OA′B′与△OAB的相似比为2：1， ∴点A（2，1）的对应点A′的坐标为（﹣2×2，﹣2×1），即（﹣4，﹣2）． 故选：B． 4．【答案】D 【解答】解：∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B， 当添加∠B+∠4＝180°时，∵∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意； 当添加CD∥AB时，∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意； 当添加∠1＝∠4时，∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意； 当添加∠2＝∠3时，∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°， ∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND,∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意．故选：D． 5．【答案】D 【解答】解：由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC， ∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意；∴△ADE∽△ACB∽△AMN， ∴，，∴BC＝2DE，DE＝2MN，∴BC＝4MN， ∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意；∵MN∥PQ∥BC， ∴，，， ∴，，故C正确，不符合题意； ∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意，故选：D． 6．【答案】B 【解答】解：设较小三角形的周长为xcm，则较大三角形的周长为（48﹣x）cm， ∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm， ∴x：（48﹣x）＝6：10，解得x＝18，即较小三角形的周长为18cm．故选：B． 7．【答案】C 【解答】解：连接MD，MB，如图， ∵∠ABC＝90°，M为AC的中点，∴BMAC，∵∠ADC＝90°，N为BD的中点， ∴DM＝CMAC，∴DM＝BM，∵N为BD的中点，∴MN⊥BD． 故A选项正确，不符合题意；∵DM＝CMAC，∴∠DMC＝∠ACD＝15°， ∴∠AMD＝∠DMC+∠ACD＝30°， ∵OD＝OM，∴∠ODM＝∠AMD＝30°，∵AC＝8，∴DMAC＝4， ∵MN⊥BD，∴∠DNM＝90°，∴MNDM＝2，故B选项正确，不符合题意； ∵∠BDC＝∠ODM+∠MDC＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°， ∵MA＝MD＝MC＝MBAC＝4， ∴点A，B，C，D四点在以点M为圆心，半径为4的圆上， ∴∠BCA＝∠BDA＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝BCAC＝4，∴C选项错误，符合题意； ∵∠ABD＝∠ACD，∠ADB＝∠BDC＝45°，∴△BAD∽△COD， ∴D选项正确，不符合题意．故选：C． 8．【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴， ∵BC＝5，CE＝8，∴．故选：D． 9．【答案】B 【解答】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H， ∵直线l∥BC，∠ACB＝90°，∴∠CAG＝90°， ∵EF⊥CE，，∴， ∴，∵∠CEF＝∠CAG＝90°， ∴△CEF∽△CAG， ∴，∠ECF＝∠ACG， ∴，∠GCF＝∠ACE， ∴△GCF∽△ACE， ∴∠CGF＝∠CAE＝90°， ∴∠ACG+∠AGC＝90°，∠AGC+∠HGF＝90°， ∴∠HGF＝∠ACG， ∵tan∠ACG， ∴∠ACG和∠HGF都是定值， ∴点F在射线GF上运动， ∴当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示），延长HF，CB相交于点N， ∵∠ACB＝∠CAH＝∠AHN＝90°， ∴四边形ACNH是矩形， ∴HN＝AC＝4，AH＝CN， ∵BF⊥GF，∠CGF＝90°， ∴BF∥CG， ∴∠FBN＝∠GCN， ∵AH∥CN， ∴∠CGA＝∠GCN， ∴∠FBN＝∠CGA， ∵∠FNB＝∠CAG＝90°， ∴△FNB∽△CAG， ∴， ∵AGAC， ∴FN＝2BN， 设BN＝x，则FN＝2x，CN＝5+x， ∴FH＝4﹣2x， ∴AH＝CN＝x+5， ∴GH＝（x+5）﹣2＝x+3， ∵tan∠ACG＝tan∠HGF， ∴， ∴， 解得x＝1， ∴BN＝1，FN＝2，FH＝2，GH＝4， ∴GF2，， ∵△GCF∽△ACE， ∴， ∴， 解得AE＝4， ∴当BF最短时，则AE的长度为4． 故选：B． 10．【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴AB＝2BC，， 设BC＝x，则AB＝2x，， ∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°， ∴点D到AC，AB的距离相等均为CD的长，∠CAD＝∠BAD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD， ∴sin∠CAD＝sin∠BAD， ∴，即：， ∴， ∴； 解法二：延长AC与BE相交于点F， 利用相似三角形求出比值； 故选：A． 11．【答案】C 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝2：1， ∴AC：DF＝AB：DE＝2：1， 又∵DF＝2， ∴AC＝2DF＝4， 故选：C． 12．【答案】B 【解答】解：∵△ABC与A′B′C的位似比为BC：B′C′＝1：2，且位似中心是原点O， 而点B（2，0）， ∴B点对应点B′的坐标为（4，0）． 故选：B． 13．【答案】C 【解答】解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K， 在正方形ABCD中， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD， ∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB， ∴△AEB≌△AFB（SAS）， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵EG⊥AF， ∴∠NEC+∠AFE＝90°， 又∵∠BAF+∠AFE＝90°， ∴∠NEC＝∠BAF， ∵BK∥EN， ∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC， ∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE， 设∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α， ∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°， ∴∠EAH＝∠AHE，故结论②正确； ∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形， ∵在△ABF和△BCK中， ， ∴△ABF≌∠BCK（AAS）， ∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α， ∵BK∥EN，AB∥CD， ∴四边形BMNK是平行四边形， ∴MN＝BK， ∴MN＝AF，故结论①正确， ∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴△NEC﹣△BAF， ∴， ∴EN•BF＝CN•AF， ∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°， ∴△AEC∽△HNC， ∴， ∴CN•AE＝EC•HN， ∵AE＝AF， ∴CN•AF＝EC•HN， ∴EN•BF＝EC•HN，故结论③正确， 过点F作FP⊥AC，如图2； 设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x， ∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2， ∵ ∴AP5， ∴， 故结论④正确，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°， ∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°， ∴△CNH不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选：C． 14．【答案】C 【解答】解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0）， ∴， ∵∠DOE＝∠DOE， ∴△DOE∽△D'OE'， ∴， ∵DE＝3， ∴， 故选：C． 15．【答案】A 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴． 故选：A． 二．填空题（共12小题） 16．【答案】2． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴2． 故答案为：2． 17．【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴∠AED＝∠BEC， ∵点H为BE的中点， ∴， ∴∠HCE＝∠BEC， ∴∠HCE＝∠AED， ∴CH∥AE，故①正确； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，即AB∥DM， ∴∠M＝∠ABF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAF＝90°， ∵点F为AD的中点， ∴， ∴， ∴∠M≠30°，故②错误； ∵CH∥AE， ∴S△CGH＝S△CEH， 设正方形ABCD的边长为2a， ∴S正方形ABCD＝（2a）2＝4a2，， ∴S正方形ABCDS正方形ABCD，故③错误； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ADE＝∠BAF＝90°， ∵点E，F分别为CD，AD的中点， ∴DE＝AF， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠EAD＝∠FBA， ∵∠M＝∠FBA， ∴∠M＝∠EAD， ∵AB∥DM， ∴△ABF∽△DMF， ∴， ∵点F为AD的中点， ∴． ∴DM＝AB＝CD， ∵∠AFG＝∠MFD，∠M＝∠EAD， ∴△AFG∽△MFD， ∴， ∵DM＝CD， ∴． ∴AG•MF＝CD•AF，故④正确； 故答案为：①④． 18．【答案】． 【解答】解：∵把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'， ∵点A和它对应点A'的坐标分别为（3，7），（﹣9，﹣21）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为， 故答案为：． 19．【答案】12． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD：AB＝1：3，DE＝4， ∴BC＝12． 故答案为：12． 20．【答案】． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故答案为：． 21．【答案】1． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，如图，作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K， 由勾股定理得：， ∵， ∴． ∵CF⊥AB，EK⊥AB， ∴∠EKD＝∠CFD＝90°， 又∵∠EDK＝∠CDF， ∴△EDK∽△CDF， ∴， ∵，是定值， ∴EK取最大值时，取最小值； ∵点D运动过程中，始终保持AE⊥CD， ∴点E在以AC中点O为圆心，长为半径的圆上， 当点E在弧AF上时，当点E，K，O共线时，即点E在E′位置时，EK取最大值， ∵∠AK′O＝∠ACB＝90°，∠K′AO＝∠CAB， ∴△K′AO∽△CAB， ∴，即， 解得：， ∴，即EK的最大值为， ∴， ∴的最小值是3； 当点E在弧CF上时， 同理可知，E与点C重合时，D与B重合，EK最大， ∴的最小值是1， 综上所述，的最小值是1， 故答案为：1． 22．【答案】1． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 则yx＝（﹣6）0＝1， 故答案为：1． 23．【答案】． 【解答】解∵黄金矩形ABCD中，且 AD＝2， ∴， ∵四边形ABFE是正方形， ∴， ∴， ∵四边形FGHC是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形LKDH是正方形， ∴， ∴“黄金螺线”AFHK的长为 ， 故答案为：． 24．【答案】． 【解答】解：∵AD＝3，DB＝2， ∴AB＝AD+DB＝3+2＝5， ∵DE∥BC， ∴， 故答案为：． 25．【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△AOB放大后得到△COD， ∴△AOB∽△COD， ∴△AOB与△COD的相似比＝OB：OD＝2：6＝1：3． 故答案为：1：3． 26．【答案】2． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＝∠BAD＝90°， ∴AC是⊙O的直径， ∵AF＝1，EG＝FG＝3， ∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB， ∵∠BEC＝∠BAC， ∴∠AFB＝∠BAC， ∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC， ∵∠ABE＝∠ACG， ∴∠GAC＝∠ACG， ∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4， ∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE， ∴△CDG∽△AEG， ∴1， ∴DG＝EG＝3， ∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD， ∴AC2， ∴⊙O的直径为2，故答案为：2． 27．【答案】195． 【解答】解：∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm， ∴小风筝两条对角线长的和为30+35＝65（cm）， ∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为3：1， ∴大风筝两条对角线长的和：小风筝两条对角线长的和＝3：1， ∴大风筝两条对角线长的和＝3×65＝195（cm）， 故答案为：195． 三．解答题（共11小题） 28．【答案】（1）画图见解答；点D的坐标为（﹣2，﹣1）． （2）见解答． 【解答】解：（1）如图，点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 29．【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4， ∴AB＝AC． 当点D和点N分别是AC和BC的中点时， 可得ADAC，BNBC＝2， 故a． （2）∵，AD＝aBN， ∴ADBN，设BN＝x，则，CN＝BC﹣BN＝4﹣x， ∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4， ∴，， ∵M是AB的中点， ∴， ∴∠B＝∠C＝45°， 当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况： ①当△CDN∽△BMN时，则， 即，此方程无解，不符合题意； ②当△CND∽△BMN时，则， ∴解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 综上可得． （3）法一（几何法）： ∵，AD＝aBN， ∴． 以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，则∠ADE＝∠C＝45°， 如图所示： ∴， ∴AE＝DE＝BN， ∵∠ADE＝∠C＝45°， ∴DE∥BN， ∴四边形EDNB为平行四边形， ∴BE＝DN， 将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF， 则BF＝AB＝2，∠ABF＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠NBF＝45°＝∠BAE， 又∵AB＝BF，AE＝BN， ∴△AEB≌△BNF（SAS）， ∴BE＝NF， ∴DN＝NF， ∴MN+ND＝MN+NF≥MF， ∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长， 在Rt△MBF中，，， 故， ∴MN+ND的最小值为． 法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BM， ∴BE＝ME＝1，设BN＝x， 则AD，CD＝AC﹣AD， ∵∠C＝45°， ∴DF＝CFCD＝2﹣x， ∴EN，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2， 由勾股定理可得MN+ND ， 上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和， 欲求和最小，根据将军饮马原理，作点（1，1）关于x轴的对称点（1，﹣1）， 则MN+ND的最小值为． 30．【答案】（1）由作图得∠CAD＝∠B， ∵∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA． （2）BC的长是2+2． 【解答】（1）证明：由作图得∠CAD＝∠B， ∵∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA． （2）解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，且∠BAC＝108°， ∴2∠C+108°＝180°， ∴∠B＝∠C＝36°， ∴∠CAD＝∠B＝36°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝72°，∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°， ∴∠BAD＝∠BDA， ∴DB＝AB＝AC＝4， ∴DC＝BC﹣4， ∵△ACD∽△BCA， ∴， ∴BC•DC＝AC2＝42＝16， ∴BC（BC﹣4）＝16， 解得BC＝2+2或BC＝2﹣2（不符合题意，舍去）， ∴BC的长是2+2． 31．【答案】（1）证明见解析过程； （2）①点I到BC的距离为2； ②． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADG∽△CMG， ∴， ∵M是BC的中点， ∴BC＝2CM， ∴AD＝2CM， ∴， ∴AG＝2GC； （2）解：①在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8， ∴， ∴BD＝AC＝10， 如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H， 设IH＝r，则（BC+CD+BD）•rBC•CD， ∴r＝2， 即IH＝2， ∴点I到BC的距离为2； ②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q， 设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b， 由AB+AC＝2BC得， 在△BCD中，， ∴， ∵GQ∥AB， ∴△CGQ∽△CAB， ∴， ∵AG＝2GC， ∴AC＝3GC， ∴， ∴， ∴GQ＝IH， ∵IH⊥BC，GQ⊥BC， ∴GQ∥IH， ∴四边形GQHI是平行四边形， ∴GI∥BC， 即EF∥BC， ∴， ∴△DEF∽△DBC， ∴， ∴． 32．【答案】（1）； （2）①（1）中的结论仍然成立； ②． 【解答】解：（1）∵点O为AC的中点， ∴OA＝OC， ∵OF＝EO，∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（SAS）， ∴∠OAF＝∠C，AF＝CE， ∴AF∥BC， ∴∠ABC+∠DAF＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DAF＝90°； ∵AB＝6，BC＝8，DB＝3，BE＝4， ∴AD＝3，CE＝4， ∴AF＝4， ∴； 故答案为：； （2）①中的结论仍然成立，理由如下： ∵点O为AC的中点， ∴OA＝OC， ∵OF＝EO， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴AF＝CE， ∴AF∥CE， ∴∠OAF＝∠C， ∵AB＝6，BC＝8，DB＝3，BE＝4， ∵， ∵∠DBE＝∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠CBE， ∴△ABD∽△CBE， ∴∠BAD＝∠BCE，， ∴∠DAF＝∠BAD+∠BAC+∠CAF＝∠BCE+∠BAC+∠ACE＝∠BAC+∠ACB＝90°，； ②在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴， 由①得四边形AECF为平行四边形， ∴四边形AECF的面积等于2S△AEC， ∴当S△AEC最小时，四边形AECF的面积最小， 即当E到AC的距离最小时，S△AEC最小，四边形AECF的面积最小， 如图，过点E作EM⊥AC于点M，连接BM，则当EM最小时，四边形AECF的面积最小， ∵BE+EM≥BM，BE＝4， ∴EM≥BM﹣4， 即当点B，E，M三点共线时，EM取得最小值，最小值为BM﹣4， 此时BM⊥AC时，BM最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴． 33．【答案】（1）∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴， ∴∠CBD＝∠CDB． （2）∵， ∴DC＝BC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵点E在AB的延长线上， ∴∠EBC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠EBC， 在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC（SAS）， ∴AD＝EB，∠DAC＝∠E， ∴AE＝AB+EB＝AB+AD， ∵∠DAC＝∠BDC， ∴∠E＝∠BDC， ∵∠EAC＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠DBC， ∴△EAC∽△DBC， ∴， ∴， ∴． 【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴， ∴∠CBD＝∠CDB． （2）∵， ∴DC＝BC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵点E在AB的延长线上， ∴∠EBC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠EBC， 在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC（SAS）， ∴AD＝EB，∠DAC＝∠E， ∴AE＝AB+EB＝AB+AD， ∵∠DAC＝∠BDC， ∴∠E＝∠BDC， ∵∠EAC＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠DBC， ∴△EAC∽△DBC， ∴， ∴， ∴． 34．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②存在，最大值为2，理由见解析． 【解答】（1）解：如图，连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD＝OB，点D即为所作， ∵O为AC中点， ∴AO＝OC， 根据作图可得BO＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， （2）①∵△ABC∽△FCE， ∴∠F＝∠BAC，∠ACB＝∠FEC， ∵∠ACE＝∠F+∠CEF＝∠ECB+∠ACB， ∴∠BCE＝∠F＝∠BAC， ∵△ABC∽△FCE， ∴且CF＝AC， ∴， ∴△ABC∽△CBE； ②∵∠AEC＝45°，AC＝4， ∴E在△AEC的外接圆上运动， 设△AEC的外接圆为⊙O，如图，设EF与⊙O交于点G，连接AG，OA，OC， ∴∠AOC＝2∠AEC＝90°， ∴， ∵， ∴∠GAF＝∠CEF， ∵∠CEF＝∠ACB， ∴∠GAF＝∠BCA， 又∵∠F＝∠BAC， ∴△BAC∽△GFA， 又∵CF＝AC，则AF＝2AC， ∴， 若， ∴当AG为⊙O的直径时，AG取得最大值为， ∴BC的最大值为． 35．【答案】（1）证明见解答； （2）DG的长是． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵∠F＝45°， ∴∠DOE＝2∠F＝90°， ∵⊙O与AB相切于点D， ∴AB⊥OD于点D， ∴∠ODA＝∠DOE＝90°， ∴AB∥OE， ∵OC＝OE， ∴∠B＝∠OEC＝∠C， ∴AB＝AC． （2）解：∵sinA， ∴OAOD， ∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°， ∴OD+OD＝8， ∴OF＝OD＝3， ∴OA3＝5，DFOF＝3， ∴AD4， ∵AD∥OF， ∴△AGD∽△OGF， ∴， ∴DGDFDF3， ∴DG的长是． 36．【答案】（1）见解析； （2）； （3）①见解析；②． 【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上， ∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE， ∴， ∴△BCE∽△ACD； （2）解：∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°， ∴AC＝CD＝1，， ∴， 过D作DH⊥AC， ∴， ∴DH＝2AH， 在△CDH中，CH2+DH2＝CD2， 即（1﹣AH）2+（2AH）2＝12， 解得：，AH＝0（舍去）， ∴， 在△ADH中，AH2+DH2＝AD2， ∴， ∵△BCE∽△ACD， ∴，即， ∴； （3）①证明：设旋转角为α，则∠ACD＝∠BCE＝α，AC＝CD，CB＝CE， ∴，， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝90°，∠DCB＝90°﹣α， ∴∠ECF＝90°﹣α， ∴∠DCB＝∠ECF， ∵GF∥AB， ∴∠F+∠A＝180°， ∴∠CDA+∠CDB＝180°，∠CDA＝∠A， ∴∠CDB＝∠F， ∵∠DCB＝∠ECF，∠CDB＝∠F，CB＝CE， ∴△BCD≌△ECF（AAS）， ∴CD＝CF， ∵CD＝AC， ∴AC＝CF； ②解：∵， ∴设GF＝5k，GB＝6k， ∵GF∥AB，BG∥AF， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB＝GF＝5k，AF＝BG＝6k，∠G＝∠A， 由①得CD＝AC＝CF＝3k， 在Rt△ADC中，AB2＝BC2+AC2， ∴， ∴， ∴， ∵△CBD≌△CEF， ∴∠CBD＝∠CEF， ∵GF∥AB， ∴∠FEB+∠ABE＝180°， 即∠CEF+∠CEB+∠CBE+∠CBD＝180°， 即2（∠CEF+∠CEB）＝2∠FEB＝180°， ∴∠FEB＝90°， ∴∠BEG＝90°， ∴sin，即， ∴， 由①可得，∠ADC+∠CDB＝180°， ∴∠CEB+∠CDB＝180°， ∴点C，D，B，E四点共圆， ∴∠BED＝∠BCD， ∵∠BEK＝∠KCD，∠BKE＝∠DKC， ∴△BEK∽△DCK， ∴， 设DK＝5x，BK＝8x，CK＝5y，EK＝8y， 则BC＝BK+CK＝8x+5y＝4k①， 根据旋转可得DE＝AB＝5k， ∴DE＝DK+EK＝5x+8y＝5k②， 联立①②可得， ∴． 37．【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】证明：（1）连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CE＝DF， ∴△OCE≌△ODF（SAS）， ∴OE＝OF， ∴， ∴EF∥AB， ∴CD∥AB； （2）∵△OCE≌△ODF， ∴∠COE＝∠DOF， ∵AB＝BD， ∴∠AOB＝∠DOF， ∴∠AOB＝∠DOF＝∠COE， 连接AF， ∵OA＝OD， ∴△AOF≌△DOF（SAS）， ∴∠OAF＝∠ODF＝∠OCE， ∵∠OCE＝∠OAF，∠OEC＝∠AEF， ∴△OEC∽△FEA， ∴∠COE＝∠AFE， ∴∠AOB＝∠FAB＝∠AFE， ∴△BAF∽△BOA， ∴， ∴AB2＝BF•OB． 38．【答案】（1）见解析；（2）半圆C的半径为2，． 【解答】（1）证明：连接AE，OC，则OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D， ∴OC⊥CD， ∴∠BCD+∠OCB＝90°， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCA+∠OCB＝90°， ∴∠OCA＝∠BCD， ∴∠CAB＝∠BCD， ∵， ∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD， ∵∠CAE＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠BCD， ∴BE∥CD； （2）解：设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r． ∵BD＝1， ∴OD＝r+1， ∵OC⊥CD， ∴， 解得 r＝2， ∴半圆O的半径为2， ∴AB＝2r＝4， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∵， ∴∠EAF＝∠BAF， ∴AF平分∠BAE， 如图，连接AE，过点F作FH⊥AB于点H，则EF＝FH， ∵BE∥CD， ∴∠ABE＝∠HBF＝∠D， 在 Rt△ABE中，， 在 Rt△HBF 中，， ∵，∴， 由 AB＝4，解得， ∴， ∵EF＝FH，∴，∴， EF． 学科网（北京）股份有限公司 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