精品解析：吉林省四平市实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

吉林省四平市实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节～第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式为（    ） A B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 若方程表示双曲线，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点.已知从点（）沿平行于轴的方向射入一条光线，经抛物线：反射后交抛物线于另外一点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A B. C. D. 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ） A. B. 2 C. D. 11. 已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B. 线段PM的长度的最小值为 C. 四边形PMCN的面积的最小值为 D. 直线MN过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为______． 13. 已知等差数列的前项和为，若，则______________. 14. 已知正方体的棱长为4，空间中的一点满足，则的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知直线和. （1）求证：直线过定点，且此定点内； （2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知直线与抛物线：（）交于，两点（为坐标原点）.的中点为，过点作轴的垂线，交于点，过点且与相切的直线交直线于点. （1）若，求的方程； （2）求证：点与点关于点对称. 19. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省四平市实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节～第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可求出渐近线方程． 【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是． 故选：B． 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】应用等差中项的性质得，再由即可得出. 【详解】由题设，而， 所以. 故选：B 4. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义列式计算即可得. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，然后求出圆心距，再与两圆的半径和与差比较大小即可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为， 所以圆与圆外切． 故选：D． 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 7. 抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点.已知从点（）沿平行于轴的方向射入一条光线，经抛物线：反射后交抛物线于另外一点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设反射光线的方程为，联立其与抛物线的方程，消去后，利用韦达定理可得，继而可求解. 【详解】根据题意可知，从点射入的光线经反射后， 一定经过抛物线的焦点， 设反射光线与抛物线的交点为，， 其中， 直线的方程为， 联立得，所以， 因为，所以， 所以点的纵坐标为. 故选:A. 8. 已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，用表示点B的坐标，代入椭圆C的方程结合，利用椭圆的离心率求解即可. 【详解】设椭圆C的焦距为2c，，则，， 所以，， 因为，所以，即，即， 因为点B在椭圆C上，所以， 则，得到C的离心率为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解. 【详解】由，，得. , 由，得. 在中，由余弦定理得， 得或，所以或. 故选：AC 11. 已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B. 线段PM的长度的最小值为 C. 四边形PMCN的面积的最小值为 D. 直线MN过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，求出圆心和半径，分别讨论过的直线无斜率和有斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求解；选项B，求出，求的最小值转化为求的最小值，由点P是直线l：上一动点，转化为的最小值为圆心到直线的距离，求解即可；选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成，则四边形PMCN的面积，利用最小时最小，求解即可；选项D，设，得到直线MN的方程为， 求出直线MN过定点即可. 【详解】选项A，圆C：的圆心为，半径为， 当过的直线无斜率时，此直线方程为，圆心到的距离为2， 故直线与圆相切； 当过的直线有斜率时，设此直线方程为， ，圆心到的距离为， 直线方程为与圆相切，， ，，过的切线方程为， 即， 综上可知，若P的坐标为，则PM，PN的方程为和， 故选项A正确； 选项B，，求最小值转化为求的最小值， 点P是直线l：上一动点， 的最小值为圆心到直线的距离， ，故选项B错误； 选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成， 则四边形PMCN的面积， 当最小时，最小，由选项B中可知，， 即则四边形PMCN的面积的最小值为，故选项C正确； 选项D，点P是直线l：上一动点，设， 过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N， 直线MN的方程为， 即， 整理得， ，解得，则直线MN过定点，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据过两点的直线斜率公式求出直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系求出倾斜角. 【详解】由直线经过，两点，得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以，解得． 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，若，则______________. 【答案】56 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的性质结合等差中项即可求解 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为4，空间中的一点满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件求出点的轨迹方程，再利用向量坐标运算求出的表达式，最后结合点的轨迹求出其取值范围. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体的棱长为4，则， 设，可得，. 因为，所以， 化简得：. 由，， 得，得到， 又由，解得， 则， 得到. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和. （1）求证：直线过定点，且此定点在内； （2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）令求得直线过定点，代入圆的方程判断点与圆位置关系； （2）利用和圆的半径，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出，即可得到直线方程. 【小问1详解】 直线的方程可变形为， 令，则，所以直线过定点， 因为，所以点在内部； 【小问2详解】 的方程可化为，所以的圆心为，半径. 因为，所以圆心到直线的距离， 即，解得，所以直线的方程为. 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用等差数列的定义即可证明； (2)由（1）先写出数列的通项，即得数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以数列是公差为1的等差数列. 【小问2详解】 因为数列是公差为1的等差数列，，所以， 所以于是 设数列的前项和为， 则. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质得平面，进而得，再根据即可结合证明平面，最后证明结论； （2）分别取的中点，连结，进而证明对应的垂直关系，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 证明：因为四边形是正方形，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面PAD，所以， 又平面， 所以平面， 又平面PCD，所以平面平面PCD. 【小问2详解】 解：分别取的中点，连结， 因为，所以，且， 因为四边形ABCD是正方形，分别是的中点， 所以， 所以四边形是平行四边形，， 又平面平面， 所以，即， 又，所以， 以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 设为平面的一个法向量，则 令，得，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知直线与抛物线：（）交于，两点（为坐标原点）.的中点为，过点作轴的垂线，交于点，过点且与相切的直线交直线于点. （1）若，求的方程； （2）求证：点与点关于点对称. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，解得点的坐标，根据，利用两点间的距离公式建立方程，解出即可； （2）根据中点坐标公式求得点，继而可得直线的方程为，代入抛物线方程，可得.设出直线的方程，与抛物线方程联立，可得，继而可以证明结论. 【小问1详解】 联立，化为，解得或， 所以，. 因为， 解得，所以的方程是. 【小问2详解】 由（1），得，， 所以的中点为，所以直线的方程为，如下图所示： 将代入（），得，即点， 设过点且与相切的直线的方程为（）， 与抛物线联立，得. 因为，解得. 所以直线的方程为，即， 令，得，即. 因为，所以点与点关于点对称. 19. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则由题意得，解得. 所以， 所以的方程为. 小问2详解】 由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线斜率都存在时，如图： 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值. 【小问3详解】 由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $