专题37：双曲线 （6大考点+17大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

该高中数学高考复习讲义围绕双曲线专题，系统覆盖定义、标准方程、几何性质及直线与双曲线位置关系等核心考点，按“定义-方程-性质-应用”逻辑架构知识点，通过考点精析、方法指导、真题训练环节帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于分层教学与素养导向，如焦点三角形问题中引导学生用定义结合余弦定理培养数学思维，离心率计算中借助几何直观提升数学眼光。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈，助力学生高效构建解题模型，为教师把控复习节奏提供清晰指导，有效提升应考能力。

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题37 双曲线 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数; 双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点三、点与双曲线的益关系 （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线， 点在双曲线内部等价于． 点在双曲线外部等价于 ． 知识点四、直线与双曲线的位置关系 1、研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 2．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 3．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的 这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将 转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 考点一 双曲线的定义及应用 题型01：双曲线定义的理解 【名师点拨】双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系． [提醒]　在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．　 【例1】（2025上海高二课时练习）已知A（0，﹣4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，当a＝3和4时，点P轨迹分别为（　　） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线 【解题思路】由题意可得|AB|＝8，当a＝3时，|PA|﹣|PB|＝6＜8，由双曲线定义即可判断；当a＝4时，|PA|﹣|PB|＝8＝|AB|，从而可判断出点P的轨迹． 【解答过程】解：∵A（0，﹣4），B（0，4），| ∴|AB|＝8， 又|PA|﹣|PB|＝2a， ∴当a＝3时，|PA|﹣|PB|＝6＜8，由双曲线定义可得点P的轨迹为双曲线的上支； 当a＝4时，|PA|﹣|PB|＝8， ∴点P的轨迹为y轴上的以点B为端点的方向向上的射线； 故选：D． 【例2】（2025上海高二课时练习）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________． 【答案】x2－＝1(x≤－1) 【解析】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B.根据两圆外切的条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，所以 |MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8. 故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 【跟踪训练】 1、（2025上海高二课时练习）已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 【答案】D 2.（2025上海高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用双曲线定义并结合点是的左支上一点可得结果. 【解答过程】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B. 3.（2025上海高二课时练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【解题思路】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【解答过程】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A. 题型02：双曲线的焦点三角形问题 【名师点拨】对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用. 【例3】（2025上海普陀高三三模）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为________ 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解答过程】如图所示： ∵双曲线的左焦点为， ∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴． ∵①，②， ∴①+②得， ∴的周长． 【例4】（2022·全国·高三专题练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________. 【答案】9 【解析】由双曲线定义可知：，， 由已知，因为，所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形，故， 即，又， 所以， 解得:，所以 故答案为：9 【例5】（2025上海大同中学高三模拟）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则________ 【解析】解法一：设，，则. 由双曲线定义知，，又，故， 由于在以为直径的圆上，所以，故有 从而 解法二：同解法一，得到，，则，从而得到双曲线方程为. 设， 联立， 解得，即. 因此，选项A正确. 【跟踪训练】 1.(2024上海高三阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为________ 【解析】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为.故选：D 2.(2024上海高三阶段练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为_______ 【解题思路】设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案 【解答过程】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，， ∴，，， ∴，的周长为． ∵当，，三点共线时，最小，最小值为， ∴的周长的最小值为． 3.(2025上海七宝中学高三阶段练习）已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是________. 【答案】 【解析】不妨令在双曲线右支，依题意可得，，， 解得，，又， 由余弦定理 即，解得， 所以， 所以的面积． 故答案为： 4.(2025上海松江二中高三开学考试）已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是_______ 【解析】不妨令在双曲线右支， 依题意可得，，， 解得，，又， 由余弦定理 即，解得， 所以， 所以的面积． 5.已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是________ 【解析】不妨令在双曲线右支， 依题意可得，，， 解得，，又， 由余弦定理 即，解得， 所以， 所以的面积． 题型03：双曲线中距离和差的最值问题 【名师点拨】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【例6】(2025上海徐汇中学高三阶段练习）若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________ 【解析】　由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．所以|PF|＋|PA|的最小值为9. 【例7】(2025上海闵行高三三模）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为________ 【解题思路】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可. 【解答过程】因为双曲线方程为，故，则其焦点为， 根据题意，作图如下： 则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； ，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； 则， 故可得， 故的最大值为：. 【跟踪训练】 1.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________． 【答案】10 【解析】由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝ 故答案为：10. 2.已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【解题思路】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【解答过程】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 3.已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 ，又，故 ， 所以 ，则双曲线方程为 ， 结合双曲线定义可得， 如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线， 即Q在M位置时，取最小值， 此时直线方程为 ，联立， 解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)， 故， 故选：B 4.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值． 【解答过程】由题意可设双曲线的方程为， 则，即，得到，所以， 由双曲线的定义可得， 则， 当三点共线时，取得等号，则的最大值为， 故选：C． 5.若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点， 记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上， 所以，. 故选：B. 6.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2； 圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1， 设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）， 连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得 |PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22） ＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1） ＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3 ＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13． 当且仅当P为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选D． 考点二 双曲线的标准方程 题型04：定义法求双曲线方程 【名师点拨】理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”. 【例8】－＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 【答案】C 【解析】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合. 根据双曲线定义可知， 所以   由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大 所以 即曲线方程为 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可设双曲线标准方程为，进而确定的值，求得，即得答案. 【解答过程】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c， 则由双曲线的左､右焦点分别为，可知， 由，知，故， 故双曲线的标准方程为， 故选：A. 2.已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线C上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是8，则曲线C的方程为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由双曲线的定义判断出动点的轨迹，然后利用双曲线中三各参数的关系求出b，即可写出双曲线的方程． 【解答过程】解：据双曲线的定义知：P的轨迹是以F1（5，0）， F2（﹣5，0）为焦点，以实轴长为8的双曲线． 所以c＝5，a＝4，b2＝c2﹣a2＝9， 所以双曲线的方程为： 故选：B． 3.平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（　　） A．1（x≤﹣4） B．1（x≤﹣3） C．1（x≥4） D．1（x≥3） 【解题思路】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可． 【解答过程】解：由|PF1|﹣|PF2|＝6＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支， 得c＝5，2a＝6， ∴a＝3， ∴b2＝16， 故动点P的轨迹方程是1（x≥3）． 故选：D． 题型05：利用双曲线的几何性质求标准方程 【例9】与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【解析】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 【例10】（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意根据点到直线的距离公式、离心率公式和平方关系即可求出，由此即可得解. 【解答过程】设双曲线的下焦点为，一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离，因为， 联立解得， ∴双曲线方程为：. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可. 【解答过程】由题意双曲线的焦点在轴上，则，， 又，则，故C的标准方程为. 故选：C. 2.已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由顶点位置可假设双曲线方程，结合顶点坐标和渐近线方程可求得，由此可得结果. 【解答过程】双曲线顶点在轴上，可设其方程为， 顶点坐标为，渐近线方程为，即， ，解得：，双曲线方程为：. 故选：A. 3.过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意得到A点坐标与渐近线方程，写出直线方程，与双曲线另一渐近线方程联立，求得坐标，代入三角形面积公式求解，则答案可求． 【解答过程】由题意可知双曲线的右顶点为，双曲线的渐近线方程为， 则过A与平行的直线方程为， 联立，解得，即， 则， 又，，解得． 双曲线. 故选：A． 题型06：待定系数法求双曲线方程 【名师点拨】(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 ①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)； ②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)； ③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．　 【例11】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； (4)渐近线方程为，焦点坐标为和． (5)，经过点； (6)与双曲线有相同的焦点，且经过点． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】 根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程. （1）由题设，且，则，， 又顶点在x轴上，故双曲线的标准方程为. （2）由题设，，则， 又一个焦点为，故双曲线的标准方程为. （3）由题设，，又焦点在y轴上，令双曲线的标准方程为， 又一条渐近线方程为，即，则， 所以双曲线的标准方程为. （4）由题设，且焦点在x轴上，令 又渐近线方程为，则，而， 所以，故双曲线的标准方程为 【解析】（5）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为， 把点A的坐标代入，可得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为， 把A点的坐标代入，可得，故所求双曲线的标准方程为． 综上，所求双曲线的标准方程为． （6）设所求双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以，解得或-14（舍）. 所以双曲线的方程为 【跟踪训练】 1．求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上． （2）双曲线经过两点， (3)焦点坐标为，且经过点； (4)焦点在坐标轴上，经过点. 【解析】(2)因为双曲线的焦点在y轴上， 所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 因为由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上， 所以 所以解得a2＝20，b2＝16， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 【2】解：设双曲线方程为：， 由双曲线过、两点，得，解得， 所以双曲线的标准方程为：． 故答案为：． (3)因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a， 则有 ，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有， 所以所求双曲线的标准方程为. (4)依题意，设双曲线的方程为：， 于是得，解得：， 所以所求双曲线的标准方程为. 2．与双曲线有相同焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 ． 【答案】/ 【分析】求出双曲线的焦点坐标，根据椭圆的定义求出的值，进而可求出的值，由此可得出所求椭圆的标准方程. 【解析】双曲线的焦点为、， 设所求椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义可得 ， 所以，，， 因此，所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 3.若双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点(4，)，则双曲线的方程为________． 【答案】　(1)B　(2)－y2＝1 【解析】　(1)法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，所以－＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1. 法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为－y2＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，)，所以λ＝16－4×()2＝4， 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. 法二：因为渐近线y＝x过点(4，2)，而<2， 所以点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)． 所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 由已知条件可得解得 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. 4.设F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q(，)，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【答案】　D 【解析】　 F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，∵F1，F2，P(0,2b)构成正三角形， ∴2b＝c，即有3c2＝4b2＝3(a2＋b2)，∴b2＝3a2.∵双曲线－＝1过点Q(，)，∴－＝1，解得a2＝4，∴b2＝12，∴双曲线的方程为－＝1.故选D. 题型07：双曲线方程的充要条件 【名师点拨】表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【例12】【黄浦2023一模13】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【例13】曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆 B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆 C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线 D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确； 对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确； 对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确； 对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值； 当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确， 故选：A 【跟踪训练】 1.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据题意对方程变形，然后列出关于的不等式组，可求得答案. 【解答过程】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：A. 2.“”是“为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为方程表示双曲线，所以， 又当时，方程表示双曲线， 因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件. 故选：C 3.“k<2”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵方程为双曲线，∴， ∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 4.设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ， 对于A，是充要条件，A不是； 对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是； 对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是； 对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是.故选：B 考点三 双曲线的几何性质 题型08：双曲线的长轴、短轴、焦距 【例14】双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定. 【解析】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为. 由双曲线的方程可得：,. 双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误； 因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误； 因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确； 因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误. 故选：C. 【例15】已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是(　　) A．32 B．16 C．84 D．4 【答案】　B 【解析】　由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B. 【跟踪训练】 1．（2023上·上海松江·高三统考期末）双曲线的右焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】因为，所以， 且焦点在x轴上，所以右焦点为. 故答案为：. 2．离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为 ． 【答案】8 【分析】求出椭圆的焦距，再利用给定条件结合双曲线离心率求出双曲线实轴长. 【解析】椭圆的半焦距， 依题意，双曲线的半焦距为，而双曲线的离心率，则双曲线实半轴长， 所以该双曲线的实轴长为. 故答案为：8 3．已知，分别为双曲线的左、右焦点，C的离心率为，过且倾斜角为120°的直线l与C交于A，B两点，若的内切圆的面积为，则C的虚轴长为 ． 【答案】6 【分析】由题意可得， C的渐近线方程为，的内切圆的半径为，结合双曲线的定义可得，联立直线和双曲线方程，由韦达定理及弦长公式可得，从而有，求解即可得答案. 【解析】解：由C的离心率为可知，则，所以C的渐近线方程为． 经过的直线l的倾斜角为120°， 所以A，B都在C的左支上．    因为的内切圆的面积为， 所以的内切圆的半径为， 所以的面积为， 由双曲线的定义可知， 所以． 又， 所以，解得， 由题可知， 所以直线l的方程为， 联立得， 所以，， 则， 所以，解得，则，故C的虚轴长为． 故答案为：6 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线综合性问题要紧扣圆锥曲线的定义、韦达定理及弦长公式求解. 题型09：双曲线的渐近线 【例16】若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【解析】由双曲线的虚轴长为4，可得，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 【例17】已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】设双曲线的标准方程为1（a＞0，b＞0），由2c＝4，则c＝2，由渐近线方程为，即，c2＝a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程． 【解答过程】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为1（a＞0，b＞0）， 由2c＝4，则c＝2，渐近线方程为，即， 由c2＝a2+b2，解得：b＝1，a， ∴双曲线的标准方程为：． 故选：B． 【例18】（浦东新区2023二模）双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为 ． 答案：2 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（　　） A．y＝±2x B． C． D． 【解题思路】直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可． 【解答过程】解：双曲线的渐近线方程：y＝±2x． 故选：A． 2.已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C．或 D．2或 【解题思路】由题意结合焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程求得，与隐含条件联立求解双曲线的离心率． 【解答过程】解：∵焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y， 结合已知可得，即，得4a2＝5b2， ∴4a2＝5（c2﹣a2）＝5c2﹣5a2， 则9a2＝5c2， ∴． 故选：A． 3.（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 　 　． 【解析】双曲线的方程是， 双曲线渐近线为 又离心率为，可得 ，即，可得 由此可得双曲线渐近线为 故答案为： 4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 【解析】(1)设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形， 所以S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8， 由可得y＝±，则|MN|＝＝2，即b2＝c， 所以b＝2，c＝4，所以a＝＝2，所以C的渐近线方程为y＝±x， 故选B. 5．（2022·上海松江·统考一模）已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______ 【答案】 【分析】根据是的角平分线，，推出，，结合以及双曲线的定义推出，再根据推出，即可得到双曲线的渐近线方程. 【解析】因为是的角平分线，， 所以是等腰三角形，，为的中点， 又为的中点，所以是的中位线， 所以，因为， 当点在双曲线的右支上时，， 当点在双曲线的左支上时，， 所以，即， 所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 5.已知双曲线E：的离心率为，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是________. 【答案】2 【解析】双曲线E：的离心率为，解得， 所以E的右顶点A，双曲线E的渐近线方程为， 设过点的直线与渐近线平行，则其方程为，则， 所以 故答案为：2 6．（2024·上海静安·一模）以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程、离心率及右焦点坐标，再利用圆的切线性质列式计算得解. 【详解】双曲线的渐近线为，离心率，右焦点， 依题意，，所以. 故答案为： 题型10：求双曲线的离心率的值或取值范围 【例19】双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【答案】A 【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断. 【解析】因为，， 又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，即，即， 所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔. 故选：A. 【例20】已知椭圆：()的短轴长为4，上顶点为，为坐标原点，点为的中点，双曲线：(，)的左､右焦点分别与椭圆的左､右顶点，重合，点是双曲线与椭圆在第一象限的交点，且，，三点共线，直线的斜率，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的短轴长为4得的坐标，的坐标 设的中点为连接得，， 直线的方程得的坐标，的坐标，求出双曲线的实轴长， 解得双曲线的离心率. 【解析】因为椭圆：()的短轴长为4，所以，. 设的中点为，连接，则，而，， 所以，得，所以直线的方程为， 与直线的方程联立，得解得 所以的坐标为，的坐标为， 又双曲线：的左､右焦点分别为，， 所以根据双曲线的定义， 得双曲线的实轴长， 所以双曲线的离心率， 故选：D 【点睛】充分利用椭圆和双曲线的几何特征，特别是双曲线的左右焦点与椭圆的左右顶点重合. 结论拓展已知直线：与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则. 【跟踪训练】 1.【闵行2023一模3】双曲线的离心率为 . 【答案】 【提示】 2..【奉贤2023一模5】己知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它的渐近线方程为，则它的离心率等于 .【答案】 3.【虹口2023一模12】已知是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于A， B 两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为 . （注意：不填或错填得分，漏填得分.） ① 双曲线的离心率为2； ② 双曲线的一条渐近线的斜率为； ③ 线段A B的长为6a； ④ △的面积为. 【答案】①④ 【解析】 ，③ 错误； ，①正确； ②错误； ， ，④ 正确； 所以选①④ 4.（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______. 【答案】## 【分析】根据P点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出，，在△中结合余弦定理即可列出方程求解． 【解析】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为， 设双曲线标准方程为，双曲线离心率为， 由题可知：． 设，， 则， 由①②得，，， 代入③整理得，， 两边同时除以得，， 即， 即， 解得，即． 故答案为： 【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解. 5.（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________. 【答案】 【解析】设，，， ，则， ，则，， ，则，，点在渐近线上， 所以，， 由得，所以，又， 所以，所以． 故答案为：． 6.【杨浦2023一模8】若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 . 【答案】或 【提示】或，①若，令，则； ②若，令，则；综上，双曲线的离心率为或． 7．（2022·上海嘉定·统考一模）已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（    ） ①的开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同. A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 【答案】D 【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较. 【解析】依题意，依次计算出各自的离心率可得： ，比较大小知： 可知：三个结论均为错误； 故选：D 8．（2022·上海宝山·统考一模）双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上.双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为______. 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性，可得与轴平行.双曲线的渐近线方程为，可得出.根据，可得，代入相关数值，可得，进而得出离心率. 【解析】 如图，交轴于.根据双曲线的对称性，知与轴平行，且. 设，则，，所以. 双曲线渐近线方程为.，由已知直线斜率为， 则直线的方程为，则，. 因为，所以有，即， 整理可得，，则，则， 所以有，所以. 故答案为：. 9.（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在以为直径的圆上，， ，，，， 由双曲线定义知：，即， ； ，，， 则，， 即双曲线离心率的取值范围为. 故选：D. 考点四 直线与双曲线的位置关系 题型11：直线与双曲线的位置关系的判断 【例21】过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（    ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】双曲线方程为：， 当k不存在时，直线为x＝4，与1的图象有且只有一个公共点， 当k存在时，直线为：y＝k（x﹣4）+4，代入双曲线的方程可得： ， （1）若＝0，k时，y＝（x﹣4）+4与双曲线的渐近线yx平行， 所以与双曲线只有1个公共点， （2）k时， ， 即k，此时直线y（x﹣4）+4与双曲线相切，只有1个公共点． 综上过点P（4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条． 故选：D. 【例22】已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，所以，解得，所以实数k的取值范围为.选：D. 【跟踪训练】 1.“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与进行平行.故充分性不满足； 必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足. 所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件. 故选：B 2.直线x＝4与双曲线1的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交且过焦点 【解题思路】由双曲线的方程可得焦点在x轴上，且求出c2，进而可得焦点的坐标，可得x＝4与双曲线的位置关系可确定． 【解答过程】解：由双曲线的定义可得：a2＝m+5，b2＝11﹣m，所以c2＝a2+b2＝（m+5）+（11﹣m）＝16， 所以可得双曲线的焦点在x轴上，且焦点坐标为：（±4，0）， 所以可得直线x＝4过双曲线的焦点且与双曲线相交， 故选：D． 3.直线yx+2与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【解题思路】可联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线相交，并且交点只有一个． 【解答过程】解：由得，； 整理得，﹣24x＝52； ∴； ∴直线和双曲线只有一个交点； 即直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B． 4.渐近线的斜率能否用来判断某些直线与双曲线的位置关系及交点位置． 【解题思路】由于需要判断的直线有多种情形，故可举例说明，例如举过一个定点P的直线，当其斜率处于渐近线斜率某范围时，与曲线的位置关系和交点情况 【解答过程】解：能 举例说明，如图，设此双曲线的渐近线斜率为±k 当直线的斜率等于±k时，直线与双曲线相交于一点，如图直线①③均与双曲线右支交于一点 当直线过P点且斜率在（﹣k，k）上时，直线与曲线左右两支各交于一点，如图直线② 当直线过点P且斜率在（﹣∞，﹣k）∪（k，+∞）上时，直线可能与曲线的右支交于两点，如直线⑥，也可能与曲线右支相切，如直线④，还可能与曲线相离，如直线⑤ 5.已知直线y＝x+m与双曲线1，试讨论直线与双曲线位置关系及相应的m的取值范围． 【解题思路】直线y＝x+m与双曲线1联立，消去y，可得7x2+32mx+16m2+144＝0，利用判别式，即可得出结论． 【解答过程】解：直线y＝x+m与双曲线1联立，消去y，可得7x2+32mx+16m2+144＝0， △＝（32m）2﹣28（16m2+144）＝576m2﹣28×144， △＞0，m或m，直线与双曲线有两个交点； △＝0，m＝±，直线与双曲线有1个交点； △＜0，m，直线与双曲线无交点． 6.过双曲线M：x2－＝1的左焦点F作圆C：x2＋(y－3)2＝的切线，此切线与M的左支、右支分别交于A，B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意知，切线过双曲线的左焦点F(－2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y－0＝k(x＋2)，易知＝，解得k＝1或k＝.当k＝时，切线不与双曲线M的右支相交，故舍去，所以切线方程为y＝x＋2，与双曲线方程联立，消元得2y2－12y＋9＝0，所以y1＋y2＝6，即线段AB中点的纵坐标为3，所以线段AB的中点到x轴的距离为3. 7.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. (1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 【解析】　(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点， 则方程组有两个不同的实数根， 整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 所以 解得－<k<且k≠±1. 即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)． (2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，所以 当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|； 当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|. 所以S△OAB＝|x1－x2|＝， 所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2， 即2＋＝8，解得k＝0或k＝±. 又因为－<k<且k≠±1， 所以当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为. 8.（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 【解析】（1）将点代入双曲线方程得， 化简得，，故双曲线方程为， 由题显然直线的斜率存在，设，设，，， 则联立双曲线得：， 故，， ， 化简得：， 故， 即，而直线不过点，故； （2）设直线的倾斜角为，由， ，得 由，， 得，即， 联立，及得， 同理， 故， 而，由，得， 故． 题型12：双曲线的弦长问题 【名师点拨】①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化 运算过程. ②涉及弦长问题，应联立直线与双曲线的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方 程，由韦达定理得到 (或)，代入到弦长公式即可. 【例23】已知双曲线C：2x2﹣y2＝2，过点P（1，2）的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（　　） A． B． C． D． 【解题思路】设出过P（1，2）点的直线MN方程，然后代入双曲线方程，利用设而不求以及韦达定理求出k的值，求出MN的斜率，利用弦长公式求解即可． 【解答过程】解：设过P（1，2）点的直线MN方程为y﹣2＝k（x﹣1）， 代入双曲线方程得 （2﹣k2）x2+（2k2﹣4k）x﹣（k4﹣4k+6）＝0． 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则有x1+x2， 由已知xp＝1， ∴2．解得k＝1．x1+x2＝2， x1x2＝﹣3． 弦长|MN|4． 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|． 【答案】(1)y2＝1(2)2 【解析】(1)由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为y2＝1． (2)由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±, ,∴|AB|2． 2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|． 【解题思路】（1）确定双曲线的几何量，即可求双曲线C的方程； （2）由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±，利用弦长公式，即可求弦长|AB|． 【解答过程】解：（1）由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1， 所以双曲线C的方程为y2＝1． （2）由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±． ∴|AB|2． 3.已知双曲线1（0＜a＜b）的实轴长为4，截直线y＝x﹣2所得弦长为20．求： （1）双曲线的方程； （2）渐近线方程． 【解题思路】（1）由直线与双曲线联立得（b2﹣4）x2+16x﹣16﹣4b2＝0，利用截直线y＝x﹣2所得弦长为20，即可求出双曲线的方程； （2）利用双曲线方程，求出渐近线方程． 【解答过程】解：（1）∵2a＝4，∴a＝2， 由直线与双曲线联立得（b2﹣4）x2+16x﹣16﹣4b2＝0， ∴|x1﹣x2|， 又弦长为|x1﹣x2|＝20，∴|x1﹣x2|＝20， ∴20，解得b2＝5或b24（舍去）， ∴双曲线的方程为1． （2）∵双曲线的方程为1， ∴渐近线方程为y＝±x． 4.已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线y＝x+m被双曲线C截得的弦长为4，求实数m的值． 【解题思路】（1）由双曲线的离心率为，实轴长为2，列出方程组，求出a＝1，c，b＝2，由此能求出双曲线C的方程． （2）联立，得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出实数m的值． 【解答过程】解：（1）∵双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2． ∴由题意，得，解得a＝1，c，b＝2， ∴所求双曲线C的方程为． （2）联立，得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0， ∵直线y＝x+m被双曲线C截得的弦长为4， ∴△＝4m2+4m2+8＞0， 设直线与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 由弦长公式得， 解得m＝±1． 题型13：双曲线的中点弦问题 【名师点拨】解决“中点弦”问题常用点差法，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题 也与弦中点和斜率有关. 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线 方程等. 在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系. 【例24】已知双曲线方程：x21，则以A（2，1）为中点的弦所在直线l的方程是　　． 【解题思路】设直线l斜率为k，与双曲线方程联立方程组，由根与系数的关系及中点坐标列方程解出k． 【解答过程】解：设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+1． 联立方程组，消元得：（3﹣k2）x2+2k（2k﹣1）x﹣（2k﹣1）2﹣3＝0， ∴x1+x24，解得k＝6． ∴直线l的方程为：y＝6x﹣11．即6x﹣y﹣11＝0． 故答案为：6x﹣y﹣11＝0． 【跟踪训练】 1.已知双曲线方程：x21，则以A（2，1）为中点的弦所在直线l的方程是（　　） A．6x+y﹣11＝0 B．6x﹣y﹣11＝0 C．x﹣6y﹣11＝0 D．x+6y+11＝0 【解题思路】设直线l斜率为k，与双曲线方程联立方程组，由根与系数的关系及中点坐标列方程解出k． 【解答过程】解：设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+1． 联立方程组，消元得：（3﹣k2）x2+2k（2k﹣1）x﹣（2k﹣1）2﹣3＝0， ∴x1+x24，解得k＝6． ∴直线l的方程为：y＝6x﹣11．即6x﹣y﹣11＝0． 故选：B． 2.已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：C 3.已知双曲线x21，过点P（2，1）作一条直线交双曲线于A，B，并使P为AB的中点，求AB所在直线的方程和弦AB的长 【解题思路】设出直线AB的方程与双曲线方程联立消去y，设两实根为x1，x2，利用韦达定理可表示出x1+x2的值，根据P点坐标求得x1+x2＝4进而求得k，则直线AB的方程可得，进而利用弦长公式求得|AB|． 【解答过程】解：易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣1＝k（x﹣2） 由 得（3﹣k2）x2+2k（2k﹣1）x﹣4（k2﹣k+1）＝0 设此方程两实根为x1，x2， 则x1+x2 又P（2，1）为AB的中点， 所以4 解得，k＝6 当k＝6时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0所求直线AB的方程为y﹣1＝6（x﹣2）化成一般式为6x﹣y﹣11＝0． ∴|AB|． 4.已知双曲线3x2﹣y2＝3，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，若P为AB的中点． （1）求直线AB的方程； （2）求弦AB的长． 【解题思路】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则3x12﹣y12＝3，3x22﹣y22＝3，两式相减，利用P恰为AB中点，得直线的斜率为6，从而可求直线AB的方程； （2）利用弦长公式求弦AB的长． 【解答过程】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，1）， 则3x12﹣y12＝3，3x22﹣y22＝3， 两式相减得6（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，从而直线的斜率为6， 故所求直线方程为6x﹣y﹣11＝0； （2）6x﹣y﹣11＝0与双曲线3x2﹣y2＝3联立，消去y，可得33x2﹣132x+124＝0， ∴x1+x2＝4，x1x2， ∴|AB|•． 考点五 双曲线综合 题型14：双曲线的面积问题 【名师点拨】双曲线中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与双 曲线方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三角形面积公式求解即可；四边 形面积问题可化为两个三角形面积来求解. 【例25】已知a＞b＞0，曲线Γ由曲线C1：1（y≥0）和曲线C2：1（y＜0）组成，其中曲线C1的右焦点为F1（2，0），曲线C2的左焦点F2（﹣6，0）． （1）求a，b的值； （2）若直线l过点F2交曲线C1于点A，B，求△ABF1面积的最大值． 【解题思路】(1)由题意及椭圆和双曲线的定义可得a，b的值； （2）设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|的值，再求F1到直线AB的距离，代入面积公式，换元，由均值不等式求出面积的最大值． 【解答过程】解（1）由题意可得,解得:a＝2,b＝4, 所以a,b的值分别为2,4； (2)由（1）可得椭圆的方程：1,(y≥0), 双曲线的方程为:1,(y＜0), 设过F2的直线方程为x＝my﹣6,m＞0 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立整理可得:(5+4m2)y2﹣48my+64＝0, △＝482m2﹣4×64(5+4m2)＞0,可得m2＞1 所以m＞1,且y1+y2,y1•y2, 可得弦长|AB|2, F1到直线AB的距离为d, 所以S|AB|•d•2•64•64•, 令t＝m2﹣1＞0, 所以S64•64•64•, 当且仅当：16t,即t时取等号； 所以△ABF1面积的最大值为 【跟踪训练】 1.已知双曲线，斜率为k（k≠0）的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点． （1）若直线l过P（0，1），且PB＝3AP，求直线l的斜率k； （2）若线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． 【解题思路】（1）过点B作BH⊥x轴，AH⊥y轴，AH交BH于点H，AH交y轴于点M，设直线l的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，直线l与双曲线交于A，B，PB＝2AP，BH∥PM，推出△APM∽△ABH，由对应边成比例得，解得k． （2）设直线l的方程为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立双曲线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，由△＞0，得m2﹣k2+2＞0（*），求出直线MN的垂直平分线与x轴，y轴交点的坐标，进而可得S||||，解得m2，代入（*），即可得出k的取值范围． 【解答过程】解：过点B作BH⊥x轴，AH⊥y轴，AH交BH于点H，AH交y轴于点M， （1）设直线l的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得（2﹣k2）x2﹣2kx﹣3＝0， 所以x1+x2，x1x2， 所以△＝（﹣2k）2+3×4（2﹣k2）＞0， 因为直线l与双曲线交于A，B，PB＝2AP，BH∥PM， 所以△APM∽△ABH， 所以， 所以AB＝AP+BP＝4AP， 所以， 因为xA＜0，xB＞0， 所以AM＝﹣x1，AH＝﹣x1+x2， 所以，即x2＝﹣3x1， 又因为x1+x2， 所以x1，x2， 又因为x1x2， 所以•， 解得k＝±1． （2）设直线l的方程为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得（2﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣2＝0， 所以x1+x2，x1x2， △＝（﹣2km）2﹣4（2﹣k2）（﹣m2﹣2）＝8m2﹣8k2+16＞0，即m2﹣k2+2＞0，（*） 所以AB中点的坐标为（，），即（，）， 所以线段AB的垂直平分线的方程为y（x）， 令y＝0，得x， 令x＝0，得y， 所以直线MN的垂直平分线与x轴，y轴交点的坐标为（，0），（0，）， 所以S||||，解得m2，k≠0， 所以可得2﹣k2＞0， 整理得（k2﹣2）（k2﹣|k|﹣2）＞0，k≠0， 即为k2﹣2＜0，且k2﹣|k|﹣2＜0， 解得k＜0，或0＜k． 综上所述，k的取值范围为（，0）∪（0，）． 2．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF1的面积为． （1）求双曲线C的离心率； （2）动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）由△OPF1的面积为，可得a，b的比值，再求离心率即可， （2）先求得A，Bd的坐标，及△OAB的面积恒为8，得直线l的方程，再联立双曲线的方程，得△＝0，即可求得双曲线的方程． 【解答过程】解：（1）由双曲线性质知，由PF2＝b，OP＝a， 得， 解得， 所以双曲线C的离心率． （2）由 （1）得渐近线l1：y＝2x，l2：y＝−2x，设双曲线得方程为， 依题意得直线l的斜率不为零，因此设直线l的方程为， 设直线l交x轴于点C（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 得， 同理得． 由△OAB的面积， 得， 即t2＝4|1−4m2|＝4（1−4m2）＞0， 联立 得（4m2−1）y2+8mty+4（t2−a2）＝0，， 因为4m2−1＜0，所以，直线l与双曲线只有一个公共点当且仅当Δ＝0， 即Δ＝64m2t2−16（4m2−1）（t2−a2）＝0，将（1）式代入可得a2＝4， 因此双曲线的方程为， 因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线，双曲线C的方程为． 题型15：双曲线的定点、定值、定直线问题 【例26】如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求的值； (3)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)直线过定点,证明见解析. 【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程； （2）利用韦达定理运算求解即可； （3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解. 【详解】（1）因为点和点在双曲线上， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为， 设， 联立，整理得， 若，即，直线的斜率为，与渐近线平行， 此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以， 所以 ， ， 因为,所以 ，所以. （3）（i）当轴时，且， 所以，则， 联立，整理得， 即，解得或， 当时，，所以， 由于对称性，，此时直线过定点； （ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为， 因为，所以联立， 即，所以， 解得或， 当时，， 所以, 同理，将上述过程中替换为可得， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以三点共线，即此时直线恒过定点， 综上直线过定点. 【例27】（2023上·上海宝山·高三上海交大附中阶段练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，. (1)求双曲线的方程； (2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； (3)求的取值范围. 【答案】(1)； (2)是，定值； (3)； 【分析】（1）根据题意，直接列式计算可得答案； （2）直线与双曲线联立，利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值； （3）根据题意，利用韦达定理得出的范围，然后根据，可得，进而可得取值范围. 【详解】（1）由题意可设双曲线：， 则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，直线AB的方程为， 由，消元得. 则，，且， ∴ ； 或由韦达定理可得，即， ∴ ， 即与的比值为定值.    （3）思路一：设直线AM：，代入双曲线方程并整理得： ， 由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为， 由韦达定理得：，解得. 因为点A在双曲线的右支上，所以， 解得，即， 同理可得， 由（2）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在，上单调递减， 故， 故的取值范围为. 思路二：由于双曲线的渐近线方程为， 如图，过点M作两渐近线的平行线与，    由于点A在双曲线的右支上， 所以直线AM介于直线与之间（含x轴，不含直线与）， 所以， 同理，过点N作两渐近线的平行线与，    由于点B在双曲线的右支上， 所以直线BN介于直线与之间（不含x轴，不含直线与）， 所以. 由（2）中结论可知， 得，所以， 故. 【点睛】本题的解题关键是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断斜率的比值是否为定值，注意非对称韦达的使用技巧，第三问，由第二问较容易得到函数关系式，难点是准确找到斜率的取值范围，从而得到精确的的范围. 【例28】（2022届上海市松江区高三一模） （1）求双曲线的方程； （2）若对任意的,直线与双曲线总有公共点,求实数的取值范围； （3）若过点的直线与双曲线交于两点,问在轴上是否存在定点,使得为常数？若存在,求出点的坐标及此常数的值,若不存在,请说明理由. 【分析】（1）由离心率及渐近线方程求出即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程,消元得方程,分类讨论,当方程为一元一次方程时不符合题意,当方程为一元二次方程时利用判别式求解即可; （3）假设存在P, 计算,根据韦达定理化简,当满足时,为常数. 【解析】（1）由题意可知,, 因为, 所以, 所以双曲线的方程为； （2）联立得, 当时, 此时易知时,直线与双曲线没有公共点,不符合题意, 所以,且, 即, 所以, 所以, 解得, 所以； （3） 设, 所以, 当斜率不存在时,可知不符合,所以设直线, 所以 ,① 联立,得, 所以 ②, 把②代入①化简得：, 所以当时,得, 此时. 题型16：双曲线的最值与范围问题 【例29】（2023延安中学模拟）在平面直角坐标系内，已知双曲线：()， （1）若的一条渐近线方程为，求的方程； （2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值； （3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围. 【解析】（1）由双曲线：()可得其渐近线方程为， 而的一条渐近线方程为，故即的方程为：. （2）不妨设在第一象限，、分别为左右焦点， 则，， 而，所以， 所以，故的面积为，所以，因为，故. （3）设，因为坐标原点O始终在以AB为直径的圆内， 故为钝角，所以即， 故即. 由可得，所以， 又，故，故且. 又可化简为， 该不等式对任意的且恒成立.故且. 【例23】（2025届普陀区一模）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点． （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求△的面积的取值范围． 【解答】解：（1）直线经过点， 令，则，即， 因为，所以点在左支， 所以； （2）点、、、满足，， 所以四边形为平行四边形，因为双曲线， 由，得， 所以，， 所以， ， 的中点，即中点与中点相同， 所以，所以； （3）设，，，，，， ，所以，所以， 所以， 令，， 因为在单调递减，在单调递增，所以在时取得最小值为12， 所以，． 题型17：双曲线的存在性问题 【例30】（2024复旦附中开学考试）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围． （3）若过点的直线与双曲线交于、两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 日期：2021/11/3 11:11:07；用户：阮晓明；邮箱：13764286303；学号：2736141522 解：（1），， 又因为渐近线方程为．， ，，， ． （2）将代入，得． 当即时，方程在时无解．． 方程对恒有解，△， 即恒成立， 即恒成立，． 又，，． （3）假设存在，设定点为，设直线的方程为， 联立方程组，消可得， 则，且△，解得且， 设，，，， 可得，， 所以， ， 所以，， 要使为常数，即与无关． ∴，解得， 此时． 故存在，使得． 【例31】（2025届松江一模）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由见解析 【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案； （2）设，由，可得，代入方程与方程联立，即可求得点P的坐标； （3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值. 【详解】（1）根据题意双曲线， 因为，解得， 双曲线的方程为； （2）    由（1）知，，， 设， 已知，又， 所以， 由点Q在椭圆上，则， 又点为双曲线上任意一点，则， 联立，解得，或， 所以点P的坐标为或或； （3）当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下， 当重合时，由题意，则，则， 当不重合时，，设直线的方程为，， 由得， 因为双曲线的渐近线方程为， 又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定值. 1．【2022年上海市高考数学第2题】双曲线y2＝1的实轴长为 　　　　． 【答案】6 【解答】解：由双曲线y2＝1，可知：a＝3， 所以双曲线的实轴长2a＝6． 故答案为：6． 2．【2024年上海市高考数学第2题】双曲线y2＝1的渐近线方程为　　　　． 【答案】y＝± 【解答】解：∵双曲线的a＝2，b＝1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y＝± ∴双曲线的渐近线方程为y＝± 故答案为：y＝± 3．（2023•全国）若双曲线焦点在轴上，渐近线为，则离心率为 　　． 【解析】因为双曲线焦点在轴上，一条渐近线方程为，所以， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：． 4．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 　　． 【解析】（法一）如图，设，，， 设，则， 又，则，可得， 又，且， 则，化简得． 又点在上， 则，整理可得， 代，可得，即， 解得或（舍去）， 故． （法二）由，得， 设，由对称性可得， 则， 设，则， 所以，解得， 所以， 在△ 中，由余弦定理可得， 即，则． 故答案为：． 5．（2023•乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是　　 A． B． C． D． 【解析】设，，，，中点为，， ， ①②得， 对于选项：可得，，则， 联立方程，消去得， 此时△， 所以直线与双曲线没有交点，故错误； 对于选项：可得，，则， 联立方程，消去得， 此时△， 所以直线与双曲线没有交点，故错误； 对于选项：可得，，则， 由双曲线方程可得，，则为双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线没有交点，故错误； 对于选项，，则， 联立方程，消去得， 此时△，故直线与双曲线有交两个交点，故正确． 故选：． 6．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则　　 A． B． C． D． 【解析】双曲线的离心率为， 可得，所以， 所以双曲线的渐近线方程为：， 一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1， 圆的圆心到直线的距离为：， 所以． 故选：． 7．（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为， 设过的切线与圆相切于点， 则，，又， 所以， 过点作于点， 所以，又为的中点， 所以，， 因为，，所以， 所以，则， 所以， 由双曲线的定义可知， 所以，可得，即， 所以的离心率． 情况二：当直线与双曲线交于一支时， 如图，记切点为，连接，则，， 过作于，则，因为，所以，， ，即， 所以，正确． 故选：． 8．（2023•北京）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 　　． 【解析】根据题意可设所求方程为，， 又，解得，，， 所求方程为． 故答案为：． 9．【2024年上海市高考数学第20题】已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，则，． （2）当时，双曲线，其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，则 , 联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即． 综上所述：. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数， 其中， ①，②，   ， 则，因为在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以 , 代入到 , 得 , 所以 , 且，解得，又因为，则， 综上知，，． 10．【2020年上海市高考数学第20题】已知双曲线Γ1：1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（xA，yA）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足|x|＞xA的部分． （1）若xA，求b的值； （2）当b，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2； （3）过点D（0，2）斜率为的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围． 【答案】(1)b＝2； (2)arccos； (3)答案见解析. 【解答】解：（1）由xA，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得yA，b＝2； （2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点， 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4， 所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b，则c3， 所以|F1F2|＝6， 在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2 ， 由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos； （3）设直线l：yx，可得原点O到直线l的距离d， 所以直线l是圆的切线，设切点为M， 所以kOM，并设OM：yx与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2x2＝4+b2， 可得x＝b，y＝2，即M（b，2）， 注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当yA＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点， 由，可得， 所以有4，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去）， 因为为在上的投影可得，•4+b2， 所以•4+b2＞6+2， 则•∈（6+2，+∞）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题37 双曲线 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数; 双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点三、点与双曲线的益关系 （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线， 点在双曲线内部等价于． 点在双曲线外部等价于 ． 知识点四、直线与双曲线的位置关系 1、研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 2．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 3．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的 这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将 转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 考点一 双曲线的定义及应用 题型01：双曲线定义的理解 【名师点拨】双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系． [提醒]　在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．　 【例1】（2025上海高二课时练习）已知A（0，﹣4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，当a＝3和4时，点P轨迹分别为（　　） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线 【例2】（2025上海高二课时练习）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________． 【跟踪训练】 1、（2025上海高二课时练习）已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 2.（2025上海高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 3.（2025上海高二课时练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 题型02：双曲线的焦点三角形问题 【名师点拨】对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用. 【例3】（2025上海普陀高三三模）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为________ 【例4】（2022·全国·高三专题练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________. 【例5】（2025上海大同中学高三模拟）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则________ 【跟踪训练】 1.(2024上海高三阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为________ 2.(2024上海高三阶段练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为_______ 3.(2025上海七宝中学高三阶段练习）已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是________. 4.(2025上海松江二中高三开学考试）已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是_______ 5.已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是________ 题型03：双曲线中距离和差的最值问题 【名师点拨】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【例6】(2025上海徐汇中学高三阶段练习）若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________ 【例7】(2025上海闵行高三三模）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为________ 【跟踪训练】 1.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________． 2.已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 3.已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 4.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 5.若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为 A． B． C． D． 考点二 双曲线的标准方程 题型04：定义法求双曲线方程 【名师点拨】理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”. 【例8】－＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 【跟踪训练】 1.已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2.已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线C上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是8，则曲线C的方程为（　　） A． B． C． D． 3.平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（　　） A．1（x≤﹣4） B．1（x≤﹣3） C．1（x≥4） D．1（x≥3） 题型05：利用双曲线的几何性质求标准方程 【例9】与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【例10】（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2.已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 3.过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 题型06：待定系数法求双曲线方程 【名师点拨】(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 ①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)； ②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)； ③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．　 【例11】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； (4)渐近线方程为，焦点坐标为和． (5)，经过点； (6)与双曲线有相同的焦点，且经过点． 【跟踪训练】 1．求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上． （2）双曲线经过两点， (3)焦点坐标为，且经过点； (4)焦点在坐标轴上，经过点. 2．与双曲线有相同焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 ． 3.若双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点(4，)，则双曲线的方程为________． 4.设F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q(，)，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 题型07：双曲线方程的充要条件 【名师点拨】表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【例12】【黄浦2023一模13】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【例13】曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆 B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆 C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线 D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值 【跟踪训练】 1.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.“”是“为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.“k<2”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 考点三 双曲线的几何性质 题型08：双曲线的长轴、短轴、焦距 【例14】双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【例15】已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是(　　) A．32 B．16 C．84 D．4 【跟踪训练】 1．（2023上·上海松江·高三统考期末）双曲线的右焦点坐标是 ． 2．离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为 ． 3．已知，分别为双曲线的左、右焦点，C的离心率为，过且倾斜角为120°的直线l与C交于A，B两点，若的内切圆的面积为，则C的虚轴长为 ． 题型09：双曲线的渐近线 【例16】若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为 . 【例17】已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【例18】（浦东新区2023二模）双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为 ． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（　　） A．y＝±2x B． C． D． 2.已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C．或 D．2或 3.（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 　 　． 4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 5．（2022·上海松江·统考一模）已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______ 5.已知双曲线E：的离心率为，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是________. 6．（2024·上海静安·一模）以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 题型10：求双曲线的离心率的值或取值范围 【例19】双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【例20】已知椭圆：()的短轴长为4，上顶点为，为坐标原点，点为的中点，双曲线：(，)的左､右焦点分别与椭圆的左､右顶点，重合，点是双曲线与椭圆在第一象限的交点，且，，三点共线，直线的斜率，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.【闵行2023一模3】双曲线的离心率为 . 2..【奉贤2023一模5】己知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它的渐近线方程为，则它的离心率等于 . 3.【虹口2023一模12】已知是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于A， B 两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为 . （注意：不填或错填得分，漏填得分.） ① 双曲线的离心率为2； ② 双曲线的一条渐近线的斜率为； ③ 线段A B的长为6a； ④ △的面积为. 4.（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______. 5.（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________. 6.【杨浦2023一模8】若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 . 7．（2022·上海嘉定·统考一模）已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（    ） ①的开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同. A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 8．（2022·上海宝山·统考一模）双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上.双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为______. 9.（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四 直线与双曲线的位置关系 题型11：直线与双曲线的位置关系的判断 【例21】过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（    ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例22】已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2.直线x＝4与双曲线1的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交且过焦点 3.直线yx+2与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 4.渐近线的斜率能否用来判断某些直线与双曲线的位置关系及交点位置． 5.已知直线y＝x+m与双曲线1，试讨论直线与双曲线位置关系及相应的m的取值范围． 6.过双曲线M：x2－＝1的左焦点F作圆C：x2＋(y－3)2＝的切线，此切线与M的左支、右支分别交于A，B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 7.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. (1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 8.（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 题型12：双曲线的弦长问题 【名师点拨】①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化 运算过程. ②涉及弦长问题，应联立直线与双曲线的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方 程，由韦达定理得到 (或)，代入到弦长公式即可. 【例23】已知双曲线C：2x2﹣y2＝2，过点P（1，2）的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|． 2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|． 3.已知双曲线1（0＜a＜b）的实轴长为4，截直线y＝x﹣2所得弦长为20．求： （1）双曲线的方程； （2）渐近线方程． 4.已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线y＝x+m被双曲线C截得的弦长为4，求实数m的值． 题型13：双曲线的中点弦问题 【名师点拨】解决“中点弦”问题常用点差法，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题 也与弦中点和斜率有关. 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线 方程等. 在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系. 【例24】已知双曲线方程：x21，则以A（2，1）为中点的弦所在直线l的方程是　　． 【跟踪训练】 1.已知双曲线方程：x21，则以A（2，1）为中点的弦所在直线l的方程是（　　） A．6x+y﹣11＝0 B．6x﹣y﹣11＝0 C．x﹣6y﹣11＝0 D．x+6y+11＝0 2.已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线x21，过点P（2，1）作一条直线交双曲线于A，B，并使P为AB的中点，求AB所在直线的方程和弦AB的长 4.已知双曲线3x2﹣y2＝3，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，若P为AB的中点． （1）求直线AB的方程； （2）求弦AB的长． 考点五 双曲线综合 题型14：双曲线的面积问题 【名师点拨】双曲线中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与双 曲线方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三角形面积公式求解即可；四边 形面积问题可化为两个三角形面积来求解. 【例25】已知a＞b＞0，曲线Γ由曲线C1：1（y≥0）和曲线C2：1（y＜0）组成，其中曲线C1的右焦点为F1（2，0），曲线C2的左焦点F2（﹣6，0）． （1）求a，b的值； （2）若直线l过点F2交曲线C1于点A，B，求△ABF1面积的最大值． 【跟踪训练】 1.已知双曲线，斜率为k（k≠0）的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点． （1）若直线l过P（0，1），且PB＝3AP，求直线l的斜率k； （2）若线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． 2．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF1的面积为． （1）求双曲线C的离心率； （2）动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由． 题型15：双曲线的定点、定值、定直线问题 【例26】如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求的值； (3)证明：直线过定点. 【例27】（2023上·上海宝山·高三上海交大附中阶段练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，. (1)求双曲线的方程； (2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； (3)求的取值范围. 【例28】（2022届上海市松江区高三一模） （1）求双曲线的方程； （2）若对任意的,直线与双曲线总有公共点,求实数的取值范围； （3）若过点的直线与双曲线交于两点,问在轴上是否存在定点,使得为常数？若存在,求出点的坐标及此常数的值,若不存在,请说明理由. 题型16：双曲线的最值与范围问题 【例29】（2023延安中学模拟）在平面直角坐标系内，已知双曲线：()， （1）若的一条渐近线方程为，求的方程； （2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值； （3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围. 【例23】（2025届普陀区一模）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点． （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求△的面积的取值范围． 题型17：双曲线的存在性问题 【例30】（2024复旦附中开学考试）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围． （3）若过点的直线与双曲线交于、两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 【例31】（2025届松江一模）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．【2022年上海市高考数学第2题】双曲线y2＝1的实轴长为 　　　　． 2．【2024年上海市高考数学第2题】双曲线y2＝1的渐近线方程为　　　　． 3．（2023•全国）若双曲线焦点在轴上，渐近线为，则离心率为 　　． 4．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 　　． 5．（2023•乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是　　 A． B． C． D． 6．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则　　 A． B． C． D． 7．（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 8．（2023•北京）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 　　． 9．【2024年上海市高考数学第20题】已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 10．【2020年上海市高考数学第20题】已知双曲线Γ1：1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（xA，yA）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足|x|＞xA的部分． （1）若xA，求b的值； （2）当b，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2； （3）过点D（0，2）斜率为的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $