专题4.3 角（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

本讲义聚焦“角”的核心知识，系统梳理角的静态与动态概念、四种表示方法、五类角的分类、度分秒换算及方向角应用，从基础定义到实际应用层层递进，构建完整学习支架。 资料亮点在于“即学即练”即时巩固，结合钟表夹角计算、方向角确定位置等生活实例培养应用意识，角的个数规律探究题发展推理能力，课中助力教师突破重难点，课后练习题覆盖全面帮助学生查漏补缺。

专题4.3 角 教学目标 1.掌握角的定义、表示方法及度量单位换算，能准确识别锐角、直角、钝角等角的类型。 2.感受角在生活中的应用，培养几何直观与严谨的数学思维，激发学习几何的兴趣。 教学重难点 一、教学重点： 角的表示方法（符号表示、顶点字母表示等）、度分秒换算规则。 二、教学难点： 准确区分不同角的表示方法（避免混淆顶点相同的角），度分秒换算中六十进制的灵活运用，以及钟表中角实际问题中的应用。 知识点01 角的概念 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有 公 共 端 点 的两 条 射 线 所 组成的图形叫作角 这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边 “动”态的观点 角 可 以 看 作 是一 条 射 线 绕 着其 端 点 从 一 个位 置 旋 转 到 另一 个 位 置 所 形成的图形 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边 【即学即练】下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 知识点02 角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 表示方法 示例 记法 方法解读 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，要写在中间， A， B 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一个点为顶点的角只有一个时，可用表示这个顶点的字母来表示该角 用数字表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 . 该表示法形象直观 用希腊字母表示 ∠ α 【即学即练】如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 知识点03 角的分类 角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图例 角度范围 0°<α <90° α =90° 90°<α<180° α =180° α =360° 【即学即练】看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 知识点04 角的度量与换算 1.角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360 等分，每一等份是 1 度的角，记作 1 ° ；把 1 ° 的角 60 等分，每一等份是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60等分，每一等份是 1 秒的角，记作 1″ . 2. 角的换算：1 周角 =360° ， 1 平角 =180° ， 1° =60′， 1′ =60″， 1′ = () ° ， 1″ = () ′， 1° =60′ =3 600″， 1″ = () ′ = () ° . 【即学即练】（1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 知识点05 方向角 1. 方向角：平面测量时， 通常以正北、 正南方向为基准，描述物体运动的方向， 这种表示方向的角叫作方向角，在测绘、 航海中经常用到 . 示例： 如图 4.4-4， 射线 OA 的方 向 是 北 偏 东 30 ° ， 射 线 OB 的 方向是南偏西 60 ° ， 这里的 “北偏东30° ”和 “南偏西 60° ”就是方向角 . 2. 方向角的描述：一般地方向角是以第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角 . 特殊方向角： (1)东北方向表示以正北为角的始边， 向东转 45° 时的射线的方向， 又叫北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ；(3) 西南方向为南偏西 45° ；(4) 西北方向为北偏西 45° . 【即学即练】填一填，画一画． (1)图书馆在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (2)人民会堂在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (3)人民会堂在图书馆的_______偏_______方向． (4)绿园在图书馆的南偏东方向400米处，在图上画出绿园的位置． 题型01 角度的计算 【例1-1】（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”） 【例1-2】计算： (1) (2) 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算： ． 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）计算： ． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）计算： ． 题型02 钟表上时针与分针夹角的计算 【例2-1】（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）时钟面上的时针与分针夹角是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）时钟在点分时，时针与分针的夹角为 度 【例2-3】（25-26七年级上·安徽六安·开学考试）在钟面上，时针和分针离“3”的距离相等，并且在3的两旁边，那么此时刻为3时 分． 【变式2-1】（2025七年级上·安徽·专题练习）小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）当时钟时，时针与分针所夹的角(小于平角)的度数是 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）时钟在13时30分时，钟面上时针与分针形成的夹角的度数为 ． 【变式2-4】（2024七年级上·安徽·专题练习）同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题： (1)三点整时时针与分针所夹的角是 ___________度． (2)点分时针与分针所夹的角是 ___________度． (3)一昼夜（点到点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？ 题型03 用方向角确定位置 【例3-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，聪聪在明明的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 【例3-2】（22-23七年级上·安徽·期末）如图，点和点表示两个码头，点表示海面上一只船，下列方位描述正确的是（    ） A．码头在码头西偏南50°方向 B．码头在码头北偏东50°方向 C．船在码头东偏南60°方向 D．船在码头西偏南80°方向 【例3-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在点的东北方向，点在点的南偏东方向，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级上·安徽淮北·开学考试）从下图可看出书店在学校的（　　）方向上．    A．东偏北 B．北偏东 C．西偏南 D．南偏西 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，是北偏西方向的一条射线，则（    ） A．99° B． C． D． 【变式3-3】（25-26七年级上·安徽阜阳·开学考试）一架飞机从机场向南偏东方向飞行了，原路返回时要向（   ） A．南偏东方向飞行 B．北偏西方向飞行 C．北偏西方向飞行 D．南偏西方向飞行 【变式3-4】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ，则射线的方向是 ； 题型04 关于角的个数的规律探究题 【例4】在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 【变式4-1】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表： 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 （2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论． 【变式4-2】分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 【变式4-3】推理能力如图是锐角，以O为端点向内部作1条射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作n条射线时有多少个角？ 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．两点之间直线最短 B．射线是直线的一半 C．若A，M，B三点在同一直线上，且，则M为线段的中点 D．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角 2．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在灯塔处观测到轮船位于南偏西的方向，轮船在西北方向上，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．若线段，则点是线段的中点 B．绝对值等于它本身的数是正数 C．任何有理数的绝对值都是非负数 D．角的大小与角两边的长度有关，边越长角越大 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，的度数是，以为一边，在的外部作 ，接着以为一边，在的外部作 ，再以为一边，在的外部作 ，……则的度数是（n是正整数）（    ） A． B． C． D． 5．如图，，下列结论：其中正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图，甲船在灯塔的北偏西方向上的点，同时乙船在灯塔南偏东方向上的点，那么的度数为 ． 7．如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 8．已知点在点的北偏东30°方向上，点在点的正东方向上，若，则的度数为 度． 9．时钟在14点30分时，这时刻钟面上时针与分针夹角的度数为 ． 10．有一个时钟现在显示3时整，那么经过 分钟，分针和时针第一次重合． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．计算． (1)； (2)． 13．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 14．（1）时钟的时针旋转多少度？ （2）时钟的分针旋转多少度？ （3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？ 15．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 角 教学目标 1.掌握角的定义、表示方法及度量单位换算，能准确识别锐角、直角、钝角等角的类型。 2.感受角在生活中的应用，培养几何直观与严谨的数学思维，激发学习几何的兴趣。 教学重难点 一、教学重点： 角的表示方法（符号表示、顶点字母表示等）、度分秒换算规则。 二、教学难点： 准确区分不同角的表示方法（避免混淆顶点相同的角），度分秒换算中六十进制的灵活运用，以及钟表中角实际问题中的应用。 知识点01 角的概念 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有 公 共 端 点 的两 条 射 线 所 组成的图形叫作角 这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边 “动”态的观点 角 可 以 看 作 是一 条 射 线 绕 着其 端 点 从 一 个位 置 旋 转 到 另一 个 位 置 所 形成的图形 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边 【即学即练】下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 【答案】D 【分析】本题主要考查角的定义，根据具有公共点的两条射线组成的图形叫做角，即可判断出选项A、B的正误；根据一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，即可判断出选项C和D的正误． 【详解】解：角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角． 角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 依据上述知识，可得选项A、B、C是错误的． 故选：D． 知识点02 角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 表示方法 示例 记法 方法解读 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，要写在中间， A， B 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一个点为顶点的角只有一个时，可用表示这个顶点的字母来表示该角 用数字表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 . 该表示法形象直观 用希腊字母表示 ∠ α 【即学即练】如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 【答案】(1)图中可以用一个大写字母表示的角是． (2)以A为顶点的角有3个，分别是． (3)与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同． 【分析】此题考查了角和角的表示，熟练掌握角的表示方法是关键． （1）根据角的表示方法解答即可； （2）根据角的表示方法解答即可； （3）根据角的表示方法解答即可． 【详解】（1）解：图中可以用一个大写字母表示的角是． （2）以A为顶点的角有3个，分别是． （3）与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同 知识点03 角的分类 角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图例 角度范围 0°<α <90° α =90° 90°<α<180° α =180° α =360° 【即学即练】看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2)见解析 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2）解：直角是， 锐角是， 钝角是． 知识点04 角的度量与换算 1.角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360 等分，每一等份是 1 度的角，记作 1 ° ；把 1 ° 的角 60 等分，每一等份是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60等分，每一等份是 1 秒的角，记作 1″ . 2. 角的换算：1 周角 =360° ， 1 平角 =180° ， 1° =60′， 1′ =60″， 1′ = () ° ， 1″ = () ′， 1° =60′ =3 600″， 1″ = () ′ = () ° . 【即学即练】（1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了度分秒之间的转化，熟练掌握度分秒的关系是解题的关键． （1）先把分化成度，再加上原来的度数即可； （2）把度化成分，即可得到答案． 【详解】解：（1）先把化成度，即，所以． （2）因为，所以，因此． 知识点05 方向角 1. 方向角：平面测量时， 通常以正北、 正南方向为基准，描述物体运动的方向， 这种表示方向的角叫作方向角，在测绘、 航海中经常用到 . 示例： 如图 4.4-4， 射线 OA 的方 向 是 北 偏 东 30 ° ， 射 线 OB 的 方向是南偏西 60 ° ， 这里的 “北偏东30° ”和 “南偏西 60° ”就是方向角 . 2. 方向角的描述：一般地方向角是以第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角 . 特殊方向角： (1)东北方向表示以正北为角的始边， 向东转 45° 时的射线的方向， 又叫北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ；(3) 西南方向为南偏西 45° ；(4) 西北方向为北偏西 45° . 【即学即练】填一填，画一画． (1)图书馆在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (2)人民会堂在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (3)人民会堂在图书馆的_______偏_______方向． (4)绿园在图书馆的南偏东方向400米处，在图上画出绿园的位置． 【答案】(1)北，东，，800 (2)南，西，，200 (3)南，西 (4)见解析 【分析】本题考查方向图，掌握知识点是解题的关键． (1)由图可直接看出方向与距离，即可解答； (2) 由图可直接看出方向与距离，即可解答； (3)由图可直接看出方向，即可解答； (4)按照方向图作图即可． 【详解】（1）解：图书馆在区政府的北偏东方向800米处． 故答案为：北，东，，800． （2）人民会堂在区政府的南偏西方向200米处． 故答案为：南，西，，200． （3）人民会堂在图书馆的南偏西方向． 故答案为：南，西． （4）作图如图 题型01 角度的计算 【例1-1】（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算成度分秒的形式． 将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例1-2】计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是根据度分秒的换算来计算．根据1度分，把当成来进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键，根据度、分、秒的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的换算关系是正确解答的前提．根据度、分、秒的换算关系进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型02 钟表上时针与分针夹角的计算 【例2-1】（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）时钟面上的时针与分针夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，首先求出时针每分钟旋转，然后得到数字10个数字2之间的夹角为，时针10分钟旋转了，进而求解即可．解题的关键是掌握时针每分钟旋转． 【详解】解：钟表上共有12个刻度， ∴相邻两个刻度间的度数为， ∴时针每分钟旋转， 数字10与数字2之间的夹角为， ∴当时，时针10分钟旋转了 ∴分针和时针的夹角为． 故选：A． 【例2-2】（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）时钟在点分时，时针与分针的夹角为 度 【答案】 【分析】本题考查的是钟面角的计算，分针：分钟转一圈，每分钟转动的角度为：，时针：小时转一圈，每分钟转动的角度为：．根据分针：分钟转一圈，每分钟转动的角度为：，时针：小时转一圈，每分钟转动的角度为：解答即可． 【详解】解：点分时，时针旋转， 分针旋转， 则时针与分针的夹角为：； 故答案为：． 【例2-3】（25-26七年级上·安徽六安·开学考试）在钟面上，时针和分针离“3”的距离相等，并且在3的两旁边，那么此时刻为3时 分． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角的认识，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握钟面上时针和分针每分钟转过的角度．设从3点整到现在过了x分，根据时针和分针离“3”的距离相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设从3点整到现在过了x分，根据题意得： ， 解得：， 即即现在3时分． 故答案为：． 【变式2-1】（2025七年级上·安徽·专题练习）小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 【答案】C 【分析】本题考查的是钟面角，分别计算各选项中时针和分针的位置角度，判断是否满足直角条件即可． 【详解】解：选项A（9时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 选项B（12时）： 时针和分针均指向12，角度差为，不满足直角条件． 选项C（15时）： 此时角度为，，满足直角条件． 选项D（3时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 综上，只有选项C（15时）满足时针和分针成直角． 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）当时钟时，时针与分针所夹的角(小于平角)的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面平均分成份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：钟面每份是，上午时时针与分针相距份， 此时时钟的时针与分针所夹的角(小于平角)的度数是． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）时钟在13时30分时，钟面上时针与分针形成的夹角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为． 由于钟表上的时间为下午1点30分，即时针和分针中间相差4.5大格，每大格为即可得到它们的夹角． 【详解】解：13点30分时即下午1点30分时，时针和分针中间相差4.5大格． ∵钟表12个数，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴1点30分时分针与时针的夹角是． 故答案是：． 【变式2-4】（2024七年级上·安徽·专题练习）同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题： (1)三点整时时针与分针所夹的角是 ___________度． (2)点分时针与分针所夹的角是 ___________度． (3)一昼夜（点到点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程，钟面角，熟练掌握钟面角的运算是解题的关键； （1）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示； （2）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示，分针每分走度，时针每分走度，计算求解即可； （3）时针与分针垂直时，夹角为，先得到经过多少分就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：从重合到第一次垂直所需要的时间为， 设一次垂直到下一次垂直经过分钟，则 ， （次 取整为次． 故总次数为（次 答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为次． 题型03 用方向角确定位置 【例3-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，聪聪在明明的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的意义是解答本题的关键．在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角． 【详解】解：聪聪在明明的南偏西方向上． 故选C． 【例3-2】（22-23七年级上·安徽·期末）如图，点和点表示两个码头，点表示海面上一只船，下列方位描述正确的是（    ） A．码头在码头西偏南50°方向 B．码头在码头北偏东50°方向 C．船在码头东偏南60°方向 D．船在码头西偏南80°方向 【答案】C 【分析】根据已知条件即可得到结论． 【详解】解：A. 码头在码头南偏西50°方向，故不符合题意， B. 码头在码头南偏西50°方向，故不符合题意， C. 船在码头东偏南60°方向，故符合题意，     D. 船在码头东偏南60°方向，故不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是方向角问题，理解方向角的定义是解决本题的关键． 【例3-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在点的东北方向，点在点的南偏东方向，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角，根据方向角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故选B． 【变式3-1】（23-24七年级上·安徽淮北·开学考试）从下图可看出书店在学校的（　　）方向上．    A．东偏北 B．北偏东 C．西偏南 D．南偏西 【答案】A 【分析】根据方位角的定义及表示直接即可得到答案． 【详解】解：由图可看出书店在学校的东偏北方向上， 故选A 【点睛】本题考查方位角的定义及表示，熟记方位角定义及表示方法是解决问题的关键． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，是北偏西方向的一条射线，则（    ） A．99° B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了方位角及其计算，熟练掌握方位角的定义是解题的关键． 由方位角得到，而，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：D． 【变式3-3】（25-26七年级上·安徽阜阳·开学考试）一架飞机从机场向南偏东方向飞行了，原路返回时要向（   ） A．南偏东方向飞行 B．北偏西方向飞行 C．北偏西方向飞行 D．南偏西方向飞行 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，解题的关键是掌握和理解方向的相对性，将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离．根据方向的相对性，南偏东对北偏西，角度和距离不变，进行选择即可． 【详解】解：根据分析可知：返回时飞机要按北偏西方向飞行， 故选：C． 【变式3-4】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ，则射线的方向是 ； 【答案】南偏东 【分析】本题考查的是方向角的含义，先标注字母，求解，，从而可得答案. 【详解】解：如图，标注字母， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则射线的方向是南偏东． 故答案为：南偏东 题型04 关于角的个数的规律探究题 【例4】在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 【答案】2043231 【分析】考查了角的概念，解决该题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是，分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画2020条不同的射线，可得锐角 故答案为：2043231． 【变式4-1】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表： 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 （2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论． 【答案】（1）3，6，10，15；（2） 【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，根据图形发现规律是解题的关键． （1）对内射线的条数为1，2，3，4时，角的总个数分别统计出填表即可； （2）根据表格数据变化规律，写出内射线的条数是n时，角的总个数即可． 【详解】解：（1）内射线的条数为1条时，角的总个数为：（个）， 内射线的条数为2条时，角的总个数为：（个）， 内射线的条数为3条时，角的总个数为：（个）， 内射线的条数为4条时，角的总个数为：（个）， 故答案为：3，6，10，15； （2）由（1）中几个数据规律可知：若内射线的条数是n，角的总个数为：（个）， 答：若内射线的条数是n，用含n的式子表示角的总个数为个． 【变式4-2】分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 【答案】(1)共有6个角，它们分别是，，，，， (2)个角 【分析】本题主要考查了角的概念，有理数的运算等知识点， （1）按照图示罗列出所有角即可； （2）罗列射线的条数n与角的个数，得出规律即可； 在规律探究时，按规则罗列一些代数式能够发现其中的规律是解本题的关键． 【详解】（1）共有6个角，它们分别是，，，，，； （2）如果在的内部作1条射线，这样一共有（个）角； 如果在的内部作2条射线，一共有（个）角； 如果在的内部作3条射线，一共有（个）角； ……以此类推； 如果在的内部以点O为端点作n条射线，一共有个角． 【变式4-3】推理能力如图是锐角，以O为端点向内部作1条射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作n条射线时有多少个角？ 【答案】作1条射线时，图中有（个）角；作2条射线时，图中有（个）角；作3条射线时，图中有（个）角；作条射线时，图中有（个）角 【分析】此题考查了角的概念及角的数量统计，根据具体数值得出角的数量变化和射线条数的关系是解题的关键． 根据图①，图②，图③中角的个数找出规律，然后根据这一规律即可得出在内部作条射线时，角的个数． 【详解】解：向内部作1条射线时，图中有（个）角； 向内部作2条射线时，图中有（个）角； 向内部作3条射线时，图中有（个）角；； 向内部作条射线时，图中有（个）角． 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．两点之间直线最短 B．射线是直线的一半 C．若A，M，B三点在同一直线上，且，则M为线段的中点 D．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线、直线的定义，角的定义，线段有两个端点，可以测量；射线和直线不可以测量，由一个点出发的两条射线组成的图形叫角，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、两点之间线段最短，故该选项是错误； B、因为射线和直线不可以测量，所以射线是直线的一半是错误的； C、若A，M，B三点在同一直线上，且，M在线段上，则M为线段的中点，故该选项是错误； D、两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，故该选项是正确的； 故选：D 2．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在灯塔处观测到轮船位于南偏西的方向，轮船在西北方向上，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方向角； 根据方向角的概念得出，，然后计算即可． 【详解】解：如图，    ∵轮船位于南偏西的方向，轮船在西北方向上， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．若线段，则点是线段的中点 B．绝对值等于它本身的数是正数 C．任何有理数的绝对值都是非负数 D．角的大小与角两边的长度有关，边越长角越大 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、线段的中点和角的定义，掌握相关定义是解题关键．根据绝对值、线段的中点和角的定义判断即可． 【详解】解：A、当点、不在一条直线上时，点不是线段的中点，原说法错误，不符合题意； B、绝对值等于它本身的数是正数和0，原说法错误，不符合题意； C、任何有理数的绝对值都是非负数，原说法正确，符合题意； D、角的大小与角两边的长度无关，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，的度数是，以为一边，在的外部作 ，接着以为一边，在的外部作 ，再以为一边，在的外部作 ，……则的度数是（n是正整数）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的运算、图形变化的规律，熟练掌握角的运算，结合图形找出隐含的规律是解题的关键．根据题意，依次计算出、、……，观察找到隐含的规律即可得到的度数． 【详解】解：的度数是， ， ，， ，， ， …… ． 故选：D． 5．如图，，下列结论：其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的和差关系，由已知条件进行解答即可． 【详解】解：， ， 即，故正确； 又， ，故正确； ，故正确； ，故正确． 正确的是， 故选：D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图，甲船在灯塔的北偏西方向上的点，同时乙船在灯塔南偏东方向上的点，那么的度数为 ． 【答案】158 【分析】本题考查了与方向角有关的计算，根据方向角得到各个角度，然后相加即可求得结果，准确找到方向角是解题的关键． 【详解】解：∵甲船在灯塔的北偏西方向上的点， ∴甲船在灯塔的西偏北方向上的点， ∴， 故答案为：． 7．如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 【答案】 10 【分析】由题意根据图形数出即可得出画3条射线，图中角的个数，进而依据结果得出规律即可. 【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，3= ； 画2条射线，图中共有6个角，6= ； 画3条射线，图中共有10个角，10= ； …， ∴画n条射线，图中共有个角. 故答案为：10，． 【点睛】本题考查对角的概念和规律探索，解题的关键是能够根据求出的结果探索得出规律． 8．已知点在点的北偏东30°方向上，点在点的正东方向上，若，则的度数为 度． 【答案】10或130/130或10 【分析】根据题意画出图形，根据角的位置求出∠AOC，即可求出∠BOC． 【详解】解：如图1，由题意得∠AOC=90°-30°=60°， ∵∠AOB=70°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=10°； 如图2，∵∠AOC=90°-30°=60°，∠AOB=70°， ∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=130°； 故答案为：10或130． 9．时钟在14点30分时，这时刻钟面上时针与分针夹角的度数为 ． 【答案】105° 【分析】由于钟表上的时间为下午2点30分，即时针和分针中间相差3.5大格，每大格为30°即可得到它们的夹角． 【详解】解：14点30分时即下午2点30分时，时针和分针中间相差3.5大格． ∵钟表12个数，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴2点30分时分针与时针的夹角是3.5×30°=105°． 故答案是：105°． 【点睛】本题考查了钟面角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°． 10．有一个时钟现在显示3时整，那么经过 分钟，分针和时针第一次重合． 【答案】 【分析】本题考查钟表问题，时针走1大格，分针走1圈，1分钟分针走度，时针走度，所以分针每分钟追赶度，3 时整时，时针指向 3，分针指向 12，两者之间的夹角是 （相当于分针需要 “追上” 时针的距离是 ），列方程即可得出答案． 【详解】解：1分钟分针走：（度） 时针走：（度） 设经过x分钟，分针和时针第一次重合， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 12．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分，秒与秒相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 13．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2，5 【分析】（1）根据直线和线段中点的定义，即可求解； （2）根据射线的定义，即可求解； （3）根据题意可得锐角有∠AOC，∠BOD，小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，直线AB，点O即为所求； （2）射线OC、OD即为所求； （3）锐角有∠AOC，∠BOD，共有2个， 小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，共5个． 【点睛】本题主要考查了直线、射线和线段中点的定义，角的分类，熟练掌握直线、射线和线段中点的定义，角的分类是解题的关键． 14．（1）时钟的时针旋转多少度？ （2）时钟的分针旋转多少度？ （3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？ 【答案】（1）时钟的时针旋转；（2）时钟的分针旋转；（3） 【分析】本题考查钟面角． （1）时钟的时针旋转一个“大格”，即； （2）时钟的分针1min旋转一个“小格”，即； （3）根据钟面角的定义以及钟面上时针、分针旋转过程中所成角度的变化规律进行计算即可． 【详解】解：（1）时钟的时针旋转的度数为， 答：时钟的时针旋转； （2）时钟的分针旋转的度数为， 答：时钟的分针旋转； （3）如图， 由钟面角的定义可知，， ， ∴， 即3时25分，时钟的时针与分针所成的角是． 15．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 【答案】 任务： 任务：点分 任务：点分 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 任务：根据时针每分钟转，一大格之间是即可求解； 任务：设此时为点分，根据题意构建方程求解即可； 任务：设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作，时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数），根据题意列出，进而根据到的正整数求解即可． 【详解】解：任务： 时针每分钟转动， ， 又每一数字之间的角度为， 点分，钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务： 设此时为点分， 则， 解得：， 此时为点分； 任务： 设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作， 时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数）， ， 当，时，，此时重合，但不符合题意（舍去）； 当，时，，，即此时为点分． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $