专题03 一元一次方程5大常考题型汇总（期末复习专项训练）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 一元一次方程 题型1 方程与列方程（常考点） 题型4 一元一次方程的解法（重点） 题型2 判断是否是一元一次方程（常考点） 题型5 一元一次方程的应用（难点） 题型3 等式的性质（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 方程与列方程（共4小题） 1．（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 4．（23-24六年级下·上海·期末）若是方程的解，则 . 题型二 判断是否是一元一次方程（共6小题） 5．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25六年级上·上海·期末）在下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 10．（24-25六年级上·上海·期末）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 题型三 等式的性质（共3小题） 11．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 12．（23-24六年级上·上海嘉定·期末）将方程变形为用含y的式子表示x： ． 13．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 题型四 一元一次方程及其解法（共25小题） 14．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 15．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在解方程时，对该方程进行化简正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于m的方程解为3，那么x的值为（   ） A． B． C．3 D．5 17．（24-25六年级上·上海·期末）关于等式 ，下列说法正确的是（    ） A．它不是方程 B．未知数的系数是1 C．常数项是 D．它的解是0 18．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 19．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 20．（24-25六年级上·上海·期末）若是关于的方程的解，则的值为 ． 21．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 22．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 23．（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知关于的方程与有相同的解，则 ． 24．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）若方程是一元一次方程，则的值为 ． 25．（24-25六年级上·上海·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 26．（24-25六年级上·上海·期末）已知是一元一次方程的解， 那么a的值是 ． 27．（23-24六年级上·上海金山·期末）如果，那么 ． 28．（25-26六年级上·上海·期末）解方程： 29．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1) (2) (3) 30．（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 31．（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 32．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程：． 33．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）解方程： 34．（24-25六年级上·上海·期末）解方程：． 35．（24-25六年级上·上海·期中）解方程 36．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 37．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 38．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 题型五 一元一次方程的应用（共20小题） 39．（24-25六年级上·上海普陀·期末）某寄宿制学校为六年级学生提供住宿，如果每间宿舍安排住6人，将会空出9间宿舍；如果每间宿舍安排住4人，就会有42人没有床位．为确保每个学生都能入住，以下方案中最合理的是（   ） A．每间宿舍安排住5人 B．其中34间宿舍每间安排5人，剩余的宿舍每间安排4人 C．其中20间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 D．其中21间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 40．（24-25六年级上·上海青浦·期末）小海和乐乐从学校出发沿相同的道路去图书馆，小海先行2分钟后乐乐再出发，已知乐乐的平均速度为75米／分，8分钟后追上小海，则小海的平均速度是 米／分． 41．（24-25六年级上·上海青浦·期末）若学校一共购买了台电脑分配给学生，每组一台电脑．若每6名学生为一组，那么恰好空出5台电脑；如果每4名学生为一组，那么电脑恰好分完．根据题意，可列方程为： ． 42．（24-25六年级上·上海宝山·期末）甲车队有汽车辆，乙车队有汽车辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出辆汽车给乙队，则可得方程 ． 43．（24-25六年级上·上海·期末）点表示的数是，点表示的数是8，点从点出发，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，速度为每秒1个单位长度，都同时往轴正方向运动，运动 秒时，． 44．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程： ． 45．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如果一个角的补角是这个角的2倍，那么这个角的大小为 度． 46．（22-23六年级上·上海宝山·期末）原售价为200元的一双鞋，先涨价10%，再降价10%，那么出售价为 元． 47．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 48．（24-25六年级上·上海青浦·期末）数学兴趣小组原来女生占小组的，后来又加入了4名女生，现在女生占全组人数的一半，求原来这个小组共有多少名学生． 49．（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 50．（24-25六年级上·上海·期末）一个长方形的周长是厘米，若将长减少厘米，宽增加厘米，则长方形就变成了正方形，求长方形的面积． 51．（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 52． （24-25六年级上·上海徐汇·期末）一个长方形正好可以分成两个相同大小的正方形．已知这个长方形的周长为，求这个长方形的长和宽． 53．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 54．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知，是内部的一条射线，． (1)求的度数； (2)画出的角平分线，并求的度数． 55．（23-24六年级上·上海金山·期末）一台组装电脑的售价是5000元，因市场竞争激烈，商家以售价的八折出售，仍可盈利25%． 求： (1)打折后便宜了多少元？ (2)这台电脑的成本是多少元？ 56．（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 57．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． (1)若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； (2)若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； (3)设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 58．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． $专题03 一元一次方程 题型1 方程与列方程（常考点） 题型4 一元一次方程的解法（重点） 题型2 判断是否是一元一次方程（常考点） 题型5 一元一次方程的应用（难点） 题型3 等式的性质（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 方程与列方程（共4小题） 1．（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列方程 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 2．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解．根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将分别代入各选项，进行判断即可． 【详解】解：A、将代入得，，本选项不符合题意； B、将代入得，左边，右边，左边不等于右边，本选项不符合题意； C、将代入得，左边，右边，左边等于右边，本选项符合题意； D、将代入得，，本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入即可求解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24六年级下·上海·期末）若是方程的解，则 . 【答案】3 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】把解代入方程，解方程求得k值即可． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：3． 题型二 判断是否是一元一次方程（共6小题） 5．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D 6．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A.方程整理后为，不含未知数，不符合一元一次方程的定义，不符合题意； B. ，方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C. ，未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； D. 是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 7．（24-25六年级上·上海·期末）在下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； C、是一元一次方程，故符合题意； D、未知数的最高次数为2，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 8．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义是正确解答的关键． 把分别代入各个选项中的方程的左边和右边进行检验即可． 【详解】解：A. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     B. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     C. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     D. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边=右边，∴是该方程的解，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程、判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数、并且含未知数的项的次数是1次的整式方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义可得关于的绝对值方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海·期末）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，理解一元一次方程的概念，由一元一次方程的定义求参数的方法是解题的关键． 根据一元一次方程的定义“含义一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程”可得，由此即可求解． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得，，， ∴， 故答案为： ． 题型三 等式的性质（共3小题） 11．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边同乘和（或除以）同一个数（除数不为），结果仍相等．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、可变形为， 故该选项不符合题意； B、可变形为， 故该选项不符合题意； C、可变形为， 故该选项不符合题意； D、可变形为， 故该选项符合题意； 故选： D． 12．（23-24六年级上·上海嘉定·期末）将方程变形为用含y的式子表示x： ． 【答案】 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程移项和等式基本性质是解题的关键； 先将方程中的常数项移项，然后在根据等式的基本性质两边同时除以2，即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等式的性质2 【分析】此题考查了利用分数的运算解方程． （1）先根据乘法分配律化简方程，再把方程两边同时除以求解； （2）先计算，再把方程两边同时乘以求解； （3）先整理左面的部分，方程两边先同时除以求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型四 一元一次方程及其解法（共25小题） 14．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，分数的基本性质．把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选：B． 15．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在解方程时，对该方程进行化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查分数的基本性质．把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选：B． 16．（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于m的方程解为3，那么x的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入方程中求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于m的方程解为3， ∴， ∴， 故选：A． 17．（24-25六年级上·上海·期末）关于等式 ，下列说法正确的是（    ） A．它不是方程 B．未知数的系数是1 C．常数项是 D．它的解是0 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的定义及其解法，熟练掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次方程的定义及解法可进行排除选项． 【详解】解：方程可变形为，解得：； ∴该方程的未知数的系数为，常数项是，方程的解为； 综上正确的选项为C； 故选：C． 18．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 【答案】C 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．此题属于易错题，学生往往忽略了这一情况．需要对的取值进行分类讨论：和两种情况． 【详解】解：当，时，方程有无数个解； 当，时，方程只有一个解． 综上所述，方程的解只有一个解或无数个解． 故选：C． 19．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 20．（24-25六年级上·上海·期末）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟记一元一次方程的解的概念（使方程等号左右两边的值相等的未知的值是方程的解）是解题关键． 将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：2． 21．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， 解得：， 故答案为：1． 22．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查方程的解，题中含有一个未知的系数，将方程的解代入方程可得未知系数的值． 把代入方程，得到关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入方程得到：， 解得， 故答案为： ． 23．（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知关于的方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，再将解代入，进行求解即可． 【详解】解：由得：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 24．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）若方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，由此解答即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：1． 25．（24-25六年级上·上海·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值进而解方程即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为 整理得：，即， 解得， 故答案为：． 26．（24-25六年级上·上海·期末）已知是一元一次方程的解， 那么a的值是 ． 【答案】3 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；由题意可把代入方程进行求解即可 【详解】解：把代入方程得：， ∴； 故答案为3． 27．（23-24六年级上·上海金山·期末）如果，那么 ． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，先去分母，然后移项，合并同类项即可得出答案，解题关键是掌握解一元一次方程的方法． 【详解】解：去分母得：， 移项得：， 解得：， 故答案为：2． 28．（25-26六年级上·上海·期末）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；先去括号，然后再移项合并同类项进行求解方程即可． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得： ． 29．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，包括含有分数系数、百分数系数的方程求解．熟练掌握等式的基本性质，即等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，等式依然成立，是解题的关键． （1）方程左边有分数系数和常数项，需要通过等式性质，先消去常数项，再将系数化为1来求解． （2） 此方程含有百分数系数，可先将百分数化为小数，然后利用等式性质，通过移项、合并同类项，再将系数化为1来求解． （3） 该方程是含有分数系数的一元一次方程，需要先合并同类项，再将系数化为1来求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 30．（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1，得． 31．（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程时去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，． 32．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值． 【详解】解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， ． 33．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解： ． 34．（24-25六年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 35．（24-25六年级上·上海·期中）解方程 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把原方程变形为，进一步变形得到，再去括号解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （3）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （4）解： 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 37．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【答案】(1)等式的性质1；① (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据等式的性质判断即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化为即可． 【详解】（1）解：小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是等式的性质1； 他的解答过程从第①步开始出现错误，因为右边的1没有乘以12． 故答案为：等式的性质1，① （2）解： 方程两边同乘以12，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 解得：． 38．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 题型五 一元一次方程的应用（共20小题） 39．（24-25六年级上·上海普陀·期末）某寄宿制学校为六年级学生提供住宿，如果每间宿舍安排住6人，将会空出9间宿舍；如果每间宿舍安排住4人，就会有42人没有床位．为确保每个学生都能入住，以下方案中最合理的是（   ） A．每间宿舍安排住5人 B．其中34间宿舍每间安排5人，剩余的宿舍每间安排4人 C．其中20间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 D．其中21间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题，有理数四则运算的实际应用，理解数量关系，正确列式是解题的关键．设学校有宿舍x间，根据每间宿舍安排住6人，将会空出9间宿舍，每间宿舍安排住4人，就有42人没床位，由此可得宿舍的数量是不变的，列出方程求解出宿舍的间数和学生人数，再逐一判断即可． 【详解】解：设学校有宿舍x间， 根据题意：， 解得：，则（人） A、每间宿舍安排住5人，则（人），则空出间宿舍； B、34间宿舍每间安排5人，剩余的宿舍每间安排4人，则（人），234-226=8人没有床位； C、20间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人，则（人）则有人没有床位； D、21间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人，则（人），刚好住满，且每个学生都能入住， 故选项D最合理， 故选：D． 40．（24-25六年级上·上海青浦·期末）小海和乐乐从学校出发沿相同的道路去图书馆，小海先行2分钟后乐乐再出发，已知乐乐的平均速度为75米／分，8分钟后追上小海，则小海的平均速度是 米／分． 【答案】60 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先小海的平均速度是x米/分，再根据小海分行走的路程等于乐乐8分钟行走的路程列出方程，求出解． 【详解】解：小海的平均速度是x米/分，根据题意，得 ， 解得， 所以小海的平均速度是60米/分． 故答案为：60． 41．（24-25六年级上·上海青浦·期末）若学校一共购买了台电脑分配给学生，每组一台电脑．若每6名学生为一组，那么恰好空出5台电脑；如果每4名学生为一组，那么电脑恰好分完．根据题意，可列方程为： ． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，根据每6名学生为一组，一共分组，可表示总学生数，再根据每4名学生为一组，可表示总学生数，最后根据总学生数相等可得答案． 【详解】解：根据题意，得 ． 故答案为：． 42．（24-25六年级上·上海宝山·期末）甲车队有汽车辆，乙车队有汽车辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出辆汽车给乙队，则可得方程 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，表示出抽调后两车队的汽车辆数是解题的关键．表示出抽调后两车队的汽车辆数，然后根据两车队汽车一样多列出方程即可． 【详解】解：设由甲队调出辆汽车给乙队，则甲车队有汽车辆，乙车队有汽车辆， 根据题意得：， 故答案为：． 43．（24-25六年级上·上海·期末）点表示的数是，点表示的数是8，点从点出发，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，速度为每秒1个单位长度，都同时往轴正方向运动，运动 秒时，． 【答案】8或16 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离， 根据A，B两点表示的数求出，再设运动的时间是t，分两种情况讨论：并根据相遇前，后列出方程，求出解即可． 【详解】解：∵A，B两点表示的数为， ∴． 设运动的时间是t，可知，则点P，Q表示的数是， 当相遇前距离是4时，， 解得； 当相遇后距离是4时，， 解得． 所以运动8或16秒时，． 故答案为：8或16． 44．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程： ． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程； 根据题意可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量，由等量关系可列出方程，解方程即可 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 45．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如果一个角的补角是这个角的2倍，那么这个角的大小为 度． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义进行求解是解决本题的关键． 设这个角为，则这个角的补角为，根据补角的定义进行求解即可得出答案． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为， ， 解得：． 故答案为：． 46．（22-23六年级上·上海宝山·期末）原售价为200元的一双鞋，先涨价10%，再降价10%，那么出售价为 元． 【答案】198 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设售价为x元，根据题意，得计算即可． 【详解】设售价为x元，根据题意，得， 解得． 故答案为：198． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用-销售问题，熟练掌握方程的应用是解题的关键． 47．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 【答案】40公里 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、比的应用 【分析】本题考查了方程的应用，比的应用，理解题意正确列出方程是解题的关键；设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里，则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间可以求得；由速度关系得丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇关系得丙行驶的路程为公里，丙一共行驶的路程为公里，剩下的路程为甲丙骑车的路程，可求得此时骑车行驶的时间，利用三人同时到达终点建立方程即可求解． 【详解】解：设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里， 则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间为小时；由于甲丙的速度比为，t小时丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇时甲丙路程的比等于速度的比知，甲行驶的路程是丙行驶的路程的3倍，则丙行驶的路程为公里， 所以丙从出发到C点一共行驶的路程为公里，行驶的时间为小时，剩下的路程为甲丙骑车的路程公里，需要的时间为小时； 由于三人同时到达终点B城，则， 解得：， 则乙步行的路程为（公里）； 答：乙步行的路程为40公里． 48．（24-25六年级上·上海青浦·期末）数学兴趣小组原来女生占小组的，后来又加入了4名女生，现在女生占全组人数的一半，求原来这个小组共有多少名学生． 【答案】原来这个小组共有名学生． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先设原来这个小组有x名学生，再根据全组人数的一半相等列出一元一次方程，求出解即可． 【详解】解：设原来这个小组有x名学生，根据题意，得 ， 解得． 所以原来这个小组共有名学生． 49．（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 【答案】应先安排3个工程队单独修6天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应先安排x个工程队先修6天，根据“前6天完成的工程量+后2天完成的工程量=总工程量”列出关于x的一元一次方程即可解答． 【详解】解：设应先安排x个工程队单独修6天’ ， 解得：． 答：应先安排3个工程队单独修6天． 50．（24-25六年级上·上海·期末）一个长方形的周长是厘米，若将长减少厘米，宽增加厘米，则长方形就变成了正方形，求长方形的面积． 【答案】平方厘米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设长方形的长为厘米，则长方形的宽为厘米，根据“将长减少厘米，宽增加厘米，则长方形就变成了正方形”，列方程求出，再求出宽，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为厘米， 长方形的周长是厘米， 长方形的宽为：厘米， 根据题意得：， 解得：， ， 即长方形的长为厘米，宽为厘米， 长方形的面积为（平方厘米）． 51．（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 【答案】年后，小郑的年龄是妈妈的一半 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解题的关键．设年后，小郑的年龄是妈妈的一半，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设年后，小郑的年龄是妈妈的一半， 根据题意得： 答：年后，小郑的年龄是妈妈的一半． 52．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）一个长方形正好可以分成两个相同大小的正方形．已知这个长方形的周长为，求这个长方形的长和宽． 【答案】长为cm，宽为cm 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这个长方形的宽为xcm，则长为cm，根据这个长方形的周长为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即这个长方形的宽），再将其代入中，即可求出这个长方形的长． 【详解】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为cm， 根据题意得：， 解得：， ∴（cm）． 答：这个长方形的长为cm，宽为cm． 53．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1)30天； (2)分配给甲队万元，分配给乙队万元，理由见解答 【知识点】有理数除法的应用、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出甲、乙两队的工程量，按完成工程的比例来分配即可． 【详解】（1）解∶甲队单独完成这项工程需40天，且甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的． 乙队单独完成这项工程需 (天)． 设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天， 根据题意得∶， 解得∶． 答∶完成这项工程总共用了30天； （2）分配给甲队万元，分配给乙队万元， 理由如下∶甲队完成的工程量为，乙队完成的工程量为． 该企业为了这项工程一共支付a万元的费用， 按照完成工程量的比例来分配，应该分配给甲队万元，乙队万元． 54．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知，是内部的一条射线，． (1)求的度数； (2)画出的角平分线，并求的度数． 【答案】(1) (2)见解析， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的运算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握角的运算是解题的关键． （1）由，设，则，利用解方程求出的值，即可得到的度数； （2）根据角平分线的定义，先画出的角平分线，以及，再利用角的和差即可得到的度数． 【详解】（1）解：， 设，则， ， ， 解得：， ． （2）解：如图所示，的角平分线即为所求： 是的角平分线， ， 由（1）得，， ． 55．（23-24六年级上·上海金山·期末）一台组装电脑的售价是5000元，因市场竞争激烈，商家以售价的八折出售，仍可盈利25%． 求： (1)打折后便宜了多少元？ (2)这台电脑的成本是多少元？ 【答案】(1) (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题的关键． （1）根据原售价×折扣=折后价，原售价－折后价=便宜价格，计算即可． （2）根据成本=折后价÷（1+利润率），成本+利润=售价，计算即可． 【详解】（1）法一： （元） 法二： （元）； 答：打折后便宜了1000元； （2）法一： 法二：设这台电脑成本为x元， 答：这台电脑的成本是3200元． 56．（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 【答案】(1)C1； (2)①点P所表示的数为或； ②P表示的数为19或16或22 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点表示的数和相关线段的长度． （1）求出，知是点A、B的“关联点”；求出，知不是点A、B的“关联点”；求出，知不是点A、B的“关联点”； （2）设点P表示的数为x，①求出，可或，即可解得解得或； ②求出，，然后分三种情况求解：当A是B，P“关联点”时；当B是A，P“关联点”时；当P为A，B的“关联点”时． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数1，表示数， ∴， ∴， ∴是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数2， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数6， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； 故答案为：； （2）解：设点P表示的数为x， ①∵，点P在点A，B之间， ∴， ∵点P是点A、B的“关联点”， ∴或， ∴或， 解得或； 即点P所表示的数为或； ②∵，点P在点B的右侧， ∴，，， ∴． 当A是B，P“关联点”时， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 当B是A，P“关联点”时， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 即此时P表示的数为16或22； 当P为A，B的“关联点”时， ∴， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 综上所述，P表示的数为19或16或22． 57．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． (1)若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； (2)若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； (3)设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)20 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用时间=路程÷速度，可求出点M及点N到达终点所需时间．当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N重合，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出重合点在数轴上所表示的数； （2）当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N之间距离为30，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N之间距离为30，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P、Q重合，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P、Q重合，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：t的值为，重合点在数轴上所表示的数为； （2）当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为或； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为． 58．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． 【答案】(1)两人第一次相遇的时间为5分钟 (2)①分钟；②a一定要是8的倍数 (3)每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处，理由见解析 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设两人第一次相遇的时间为x分钟，根据两人相遇时，小明比小丽多走400米列出方程求解即可； （2）①根据二人速度不变，可知每次相遇后，下一次相遇的时间都为5分钟，则可求出第a次相遇的时间；②求出第a次相遇时两人的路程，再根据相遇点为起点，则路程一定要是400的倍数，据此求解即可； （3）根据两人相遇时，小明和小丽的路程之和为400米列出方程求出每次相遇后，下一次相遇的时间，进而求出第n次相遇时，两人的路程，再根据相遇点为起点，则路程一定要是400的倍数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设两人第一次相遇的时间为x分钟， 由题意得，， 解得， 答：两人第一次相遇的时间为5分钟； （2）解：①由（1）可知出发5分钟时，两人第一次相遇，即出发5分钟小明比小丽多走400米，则第二次相遇时，小明比小丽多走800米，第三次相遇时，小明比小丽多走1200米，……第a次（a为正整数）相遇，小明比小丽多走米， ∴两人第a次相遇的时间分钟； ②由（2）7①可知，两人第a次相遇的时间的时间为分钟， ∴两人第a次相遇的时间为分钟， ∴两人第a次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴小明和小丽所走的路程都要为400的整数倍， ∴都能被400整除， ∵，， ∴和一定要是整数， ∴a一定要是8的倍数； （3）解：每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处，理由如下： 设两人第一次相遇的时间为y分钟， 由题意得，， 解得， ∴两人第一次相遇的时间为分钟； ∵每一次相遇后到下一次相遇，二者的路程之和都为400米， ∴每一次相遇后到下一次相遇的时间都为分钟； ∴第n次相遇的时间为分钟， ∴第n次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴和是400的整倍数， ∵， ∵都是整数， ∴n一定是42的倍数， ∴每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处． $