第三节 单摆（导学案）物理沪科版2020选择性必修第一册

该高中物理导学案聚焦单摆核心知识，涵盖单摆模型、回复力来源、简谐运动条件及周期公式。通过“思考与讨论”关联弹簧振子与秋千、钟摆等生活实例，搭建前后知识支架，引导学生构建认知脉络。 资料以新课标核心素养为导向，通过知识回顾、自主预习等环节培养自主学习能力，借助小角度近似推导与受力分析深化科学推理和模型建构，例题与训练题分层设计，渗透科学史教育，助力学生提升物理观念与科学探究能力。

3. 单摆 导学案 1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源。 2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。 重点： 1. 单摆回复力的来源及其与位移的函数关系。 2. 单摆周期公式的理解与应用。 难点： 1 运用受力分析与小角度近似证明单摆做简谐运动。 2 正确区分“摆球合外力”“向心力”“回复力”三者关系。 【知识回顾】 1．使振动物体回到平衡位置的力叫回复力。回复力总是指向平衡位置。回复力可能由合力、某个力或某个力的分力提供。 2．如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。简谐运动回复力公式：，其中k是比例系数。简谐运动的振动图像是一条正弦或余弦图像。 【自主预习】 1．单摆由细线和小球组成。单摆是理想化模型，条件是①细线的质量与小球相比可以忽略；②小球的直径与线的长度相比可以忽略。 2．单摆的回复力是细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。 3．在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 4．单摆振动的x-t图象是一条正弦（余弦）函数图像。 5．惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 思考与讨论： 在弹簧振子的学习中，明白了其运动是“周期”+“往返”的振动。 我们日常生活中看到的秋千、钟摆在竖直平面内的运动也是周期性地在最低点附近来来回回地“摆动”。 那么，这种摆动是否和弹簧振子的振动具有相同的规律呢？今天，我们就来研究这种摆动。 　　 一、单摆 1. 单摆 （1）单摆的组成：由细线和小球组成。 （2）理想化模型： ①细线的质量与小球相比可以忽略。 ②小球的直径与线的长度相比可以忽略。 2. 单摆振动的原因 【情境问答】 ①单摆的回复力就是摆球所受的合外力吗？ 【答案】单摆的回复力不是摆球所受的合外力。单摆的运动可看成变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力提供使摆球沿圆弧振动的回复力。 ②单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？ 【答案】单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零。 （1）单摆的回复力 ①摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。 ②向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。 ③回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供了使摆球振动的回复力。 ④回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 （2）单摆做简谐运动的推证 在偏角很小时，，又回复力，所以单摆的回复力为（式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反），由此知回复力符合，单摆做简谐运动。 【例1】图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（　　） A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用 B.摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零 C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大 D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 【答案】C 【解析】 摆球在摆动过程中只受到重力和拉力作用，A错误； 摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误。 二、单摆的振动图像和周期 1. 单摆的振动图像 结论：单摆振动的x-t图象是一条正弦（余弦）函数图像。 综上，在摆角很小的情况下，单摆做简谐振动。 【例2】如图所示为一单摆的振动图像，则（　　） A. t1和t3时刻摆线的拉力等大 B. t2和t3时刻摆球速度相等 C. t3时刻摆球速度正在减小 D. t4时刻摆线的拉力正在增大 【答案】A 【解析】 由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线的拉力大小相等，故A正确； t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误； t3时刻摆球正靠近平衡位置，速度正在增大，故C错误； t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线的拉力也减小，故D错误。 2. 单摆的周期 【问题情境】单摆的周期公式为。 ①单摆的摆长l等于悬线的长度吗？ 【答案】不等于。单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和。 ②将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？ 【答案】可能会。单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同。 （1）惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 （2）单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 （3）周期公式 ①提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 ②公式：，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 （4）对周期公式的理解 ①单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立（偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%）。 ②公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋r球。 ③公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 ④周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。 【例3】如图所示，图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像回答： （1）单摆振动的频率是多大？ （2）开始时刻摆球在何位置？ （3）若当地的重力加速度为9.86m/s2，则这个摆的摆长是多少？ 【答案】（1）1.25Hz；（2）在B点；（3）0.16m。 【解析】 （1）由单摆振动图像得T＝0.8s，故。 （2）开始时刻摆球在负方向最大位移处，故开始时刻摆球在B点。 （3）根据公式，得。 【针对训练】甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定（　　） A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4 B.甲、乙两单摆振动的频率之比是4∶9 C.甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2 D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4 【答案】D 【解析】 解析根据题图图像可知，单摆振动的周期关系为，所以周期之比为，所以频率之比，故B、C错误； 若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则重力加速度相同，根据周期公式，可得摆长之比为4：9，故A错误； 若甲、乙两单摆在不同地点摆动，摆长相同，根据得重力加速度之比为9：4，故D正确。 【例4】如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处（弧BC所对圆心角小于5°），今使两小球同时静止释放，则（　　） A.球A先到达C点 B.球B先到达C点 C.两球同时到达C点 D.无法确定哪个球先到达C点 【答案】A 【解析】 球A做自由落体运动，到达C点的时间为。 当弧BC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动（与单摆类似）。 它的振动周期为。 因此球B运动到C点所需的时间是。 故，显然球A先到达C点。 课堂小结： 1．（对单摆回复力的理解）一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C.t3时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大 D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 【答案】D 【解析】 由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误； t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误； t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C错误； t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确。 2. （单摆周期公式的应用）惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示。以下说法正确的是（　　） A.当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置 B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移 D.把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移 【答案】A 【解析】 根据周期公式可知，当摆钟不准确时需要调整摆长，A正确； 摆钟快了，周期小，则需将摆长增大，增大周期，B错误； 由冬季变为夏季时摆杆受热伸长，则需上移圆盘，C错误； 摆钟从福建移到北京，重力加速度增大，则需将摆长增大，下移圆盘，D错误。 3. （单摆周期公式的应用）如图所示，摆长为L的单摆，周期为T。如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的，使摆球A（半径远小于L）通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则下列说法中正确的是（　　） A.单摆在整个振动过程中的周期不变 B.单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的倍 C.单摆的整个振动过程中的周期将变小为原来的 D.单摆的整个振动过程中的周期无法确定 【答案】C 【解析】 根据单摆周期公式知，未加钉子时，周期， 碰到钉子后，， 所以加了钉子的周期为， 所以周期变为原来的，A、B、D错误，C正确。 4．如图（a）是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系。板上的直线OO′代表时间轴。如图（b）是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线。若板N1和板N2的速度v1和v2的关系为v2=2v1，当两板匀速拉出的距离相同时，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为（　　） A．T2=T1 B．T2=2T1 C．T2=4T1 D．T2=T1 【答案】D 【详解】因N2板和N1板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之比 在这段距离内N1板上方的摆只完成一个全振动，N2板上方的摆已完成两个全振动，即t1=T1，t2=2T2 故T2=T1 故选D。 5．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，最大摆角小于，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球摆动时的回复力来源为重力和绳拉力的合力 B．若小球质量变大，摆动周期将会减小 C．从到的过程中，摆球的回复力先减小后增大 D．2.1s末和2.9s末，小球的势能和速度均相同 【答案】C 【详解】A．重力沿切线方向的分力提供小球摆动时的回复力，故A错误； B．根据周期表达式可知，若小球质量变大，摆动周期保持不变，故B错误； C．由题图可知，从到的过程中，小球从负向最大位移处运动到平衡位置，再运动到正向最大位移处，则摆球的回复力先减小后增大，故C正确； D．由题图根据对称性可知，2.1s末和2.9s末，小球的势能相同，速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选C。 6．光滑圆弧面上有一个小球，小球静止时位于C点，把小球从C点移至A点由静止释放，放手后小球开始在A、E之间来回运动，B、D分别为圆弧AC、CE的中点，圆弧AE远小于圆弧半径，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球在B点的速度一定与其在D点的速度等大同向 B．小球在B点的加速度一定与其在D点的加速度等大反向 C．小球由A点运动到B点的时间可能与其由B点运动到C点的时间相同 D．小球运动到C点时的加速度大小不为0 【答案】D 【详解】A．圆弧AE远小于圆弧半径，小球可以看作简谐运动，根据运动的对称性可知小球在B点的速度与其在D点的速度大小一定相等，方向不相同（沿圆轨迹切线方向），故A错误； B．小球圆弧AE中做变速圆周运动，根据对称性可知，小球在B点的加速度一定与其在D点的加速度大小相等、方向不同（不共线），故B错误； C．小球从A点到C点的过程中，小球做加速运动，所以小球由A点运动到B点的时间大于由B点运动到C点的时间，故C错误； D．小球做圆周运动，运动到C点时，有向心加速度，所以加速度大小不为0，故D正确。 故选D。 7．如图甲所示，单摆固定悬点为O，将摆球拉至A点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角，B点为运动中的最低位置。从A点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．单摆的合力提供回复力 B．摆球受到重力、拉力、向心力三个力的作用 C．摆球在B点处，向心加速度最大，回复力也最大 D．在1~1.5s的时间内，摆球从C点向B点运动 【答案】D 【详解】A．单摆所受重力和悬线拉力的合力在摆球运动方向上的分量即为其回复力，故A错误； B．摆球受到重力、拉力两个力的作用。向心力是一种效果力，在实际受力分析中不存在，故B错误； C．最低位置B是单摆做简谐运动的平衡位置，摆球在B点处，速度最大，向心加速度最大，但回复力最小，故C错误； D．从A点刚释放开始计时，根据图乙可知，在的时间内，摆球从C点向B点运动，故D正确。 故选D。 8．摆长为1m的单摆以小角度摆动，摆球某次经平衡位置开始计时，时摆球的（重力加速度g取）（　　） A．位移最小 B．速率最大 C．回复力最大 D．重力势能最小 【答案】C 【详解】单摆周期公式为 代入、，得 角速度 摆球从平衡位置开始计时，位移方程为 当时 此时摆球处于最大位移处（振幅位置）。 A．此时位移最大，故A错误； B．此时速率为零（最高点瞬时静止），故B错误； C．根据回复力可知，此时位移最大时回复力最大，故C正确； D．重力势能与高度成正比，最高点重力势能最大，故D错误。 故选C。 9．如图所示，在倾角为的光滑斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，则以下判断正确的是（　　） A．T为该单摆在斜面上摆动的周期 B．摆球经过平衡位置时的加速度大小为 C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将不变 D．若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则单摆的振动周期将发生变化 【答案】B 【详解】A．单摆在平衡位置时，等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 A错误； B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，切线加速度为零，但向心加速度为 B正确； C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，单摆在平衡位置时，等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 可知，单摆的周期减小，C错误； D．若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则小球摆动过程中洛伦兹力始终垂直速度，不产生回复力的效果，周期不变，D错误。 故选B。 10．清明节荡秋千是我国的传统习俗，如图所示。秋千由踏板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆。等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 B．“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力 C．偏离最低点运动的过程中，“摆球”的总能量逐渐增大 D．经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的振幅将增大 【答案】B 【详解】A．摆球经过最低点时具有向心加速度，所以摆球处于非平衡状态，故A错误； B．根据简谐运动公式，当摆角很小时，摆球运动的圆弧可以看作直线，可知摆球偏离最低点位移为时，回复力为 故B正确； C．摆球偏离最低点运动过程中，动能向重力势能转化，但总能量保持不变，故C错误； D．经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的能量未增大，则振幅不变，故D错误； 故选B。 11．如图所示的装置可以模拟波的形成过程。半径为的圆柱面最低处的母线沿水平方向，母线和距很近且关于对称。完全相同的1到10号小球（可视为质点）锁定在上，间距均为。时刻，由静止释放球1，此后每隔时间（g为重力加速度）依次由静止释放所有小球。若忽略一切摩擦，则（　　） A．时刻，球1回到出发点 B．球1首次到达时，球5位于最低点 C．该“波”的“波长”为 D．该“波”的“波速”为 【答案】C 【详解】A．小球在圆柱面上的运动可等效为单摆运动，圆柱面的半径相当于摆长，所以该单摆的周期公式为 时刻，球1由静止释放，因为 所以时刻，球1是到达与出发点对称的，并非回到出发点，故A错误； B．由A选项可知，球1首次到达的时间为，由于相邻小球释放的时间间隔为，故球5比球1晚释放的时间为 即球5释放的时间为，所以球1首次到达时，球5刚被释放，并非位于最低点，故B错误； C．波的“波长”是指相邻两个同相位质点间的距离。由于小球释放的时间间隔为 所以相邻两个运动状态相同的小球间距为，即该“波”的“波长”为，故C正确； D．根据波速的公式可得该“波”的“波速”为，故D错误。 故选C。 12．如图所示为甲、乙两个单摆的振动图像或同种介质中甲、乙两列简谐横波的波动图像，令甲的周期为或者甲波的波长为，则下列说法正确的是（　　） A．若图像为振动图像，则甲、乙的摆长之比为 B．若图像为振动图像，任意一段时间内，甲、乙单摆摆球运动的路程之比为 C．若图像为波动图像，则甲、乙两波的振动周期之比为 D．若图像为波动图像，甲、乙两波分别沿轴正、负方向传播，两列波叠加后，平衡位置为的质点将始终振动加强 【答案】B 【详解】A．若图像为振动图像，由图像甲、乙的周期之比为，由单摆周期公式 解得，故A错误； B．若图像为振动图像，甲的周期为，则乙的周期为，任意一段时间内，甲单摆摆球运动的路程为 乙单摆摆球运动的路程为 甲、乙单摆摆球运动的路程之比为，故B正确； C．若图像为波动图像，甲、乙的波长之比为，同种介质中机械波的传播速度相等，由 解得，故C错误； D．若图像为波动图像，两列波的波长不同，则周期和频率不同，两列波相遇时不可能发生干涉，则在质点振动不会始终加强，故D错误。 故选B。 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 在本节课的学习中，应用到了哪些物理方法？重点解决了哪些问题？ 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 3. 单摆 导学案 1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源。 2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。 重点： 1. 单摆回复力的来源及其与位移的函数关系。 2. 单摆周期公式的理解与应用。 难点： 1 运用受力分析与小角度近似证明单摆做简谐运动。 2 正确区分“摆球合外力”“向心力”“回复力”三者关系。 【知识回顾】 1．使振动物体回到__________的力叫回复力。回复力总是指向__________。回复力可能由__________、__________或____________________提供。 2．如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置__________的大小成__________，并且总是指向__________，质点的运动就是简谐运动。简谐运动回复力公式：__________，其中k是比例系数。简谐运动的振动图像是一条__________或__________图像。 【自主预习】 1．单摆由__________和__________组成。单摆是理想化模型，条件是①细线的质量与小球相比__________；②小球的直径与线的长度相比__________。 2．单摆的回复力是细线对摆球的__________和摆球重力____________________的合力__________。 3．在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成__________，方向总指向__________，即__________。从回复力特点可以判断单摆做__________运动。 4．单摆振动的x-t图象是一条____________________函数图像。 5．__________得出了单摆的周期公式__________并发明了摆钟。 思考与讨论： 在弹簧振子的学习中，明白了其运动是“周期”+“往返”的振动。 我们日常生活中看到的秋千、钟摆在竖直平面内的运动也是周期性地在最低点附近来来回回地“摆动”。 那么，这种摆动是否和弹簧振子的振动具有相同的规律呢？今天，我们就来研究这种摆动。 　　 一、单摆 1. 单摆 （1）单摆的组成：由__________和__________组成。 （2）理想化模型： ①细线的质量与小球相比__________。 ②小球的直径与线的长度相比__________。 2. 单摆振动的原因 【情境问答】 （1）单摆的回复力就是摆球所受的合外力吗？ （2）单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？ （1）单摆的回复力 ①摆球受力：如图所示，摆球受__________和__________作用。 ②向心力来源：细线对摆球的__________和摆球重力__________的合力。 ③回复力来源：摆球重力沿__________方向的分力__________提供了使摆球振动的回复力。 ④回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成__________，方向总指向__________，即__________。从回复力特点可以判断单摆做__________运动。 （2）单摆做简谐运动的推证 在偏角很__________时，__________，又回复力__________，所以单摆的回复力为__________（式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反），由此知回复力符合__________，单摆做简谐运动。 【例1】图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（　　） A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用 B.摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零 C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大 D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 二、单摆的振动图像和周期 1. 单摆的振动图像 结论： 单摆振动的x-t图象是一条__________函数图像。 综上，在__________的情况下，单摆做简谐振动。 【例2】如图所示为一单摆的振动图像，则（　　） A. t1和t3时刻摆线的拉力等大 B. t2和t3时刻摆球速度相等 C. t3时刻摆球速度正在减小 D. t4时刻摆线的拉力正在增大 2. 单摆的周期 【问题情境】单摆的周期公式为__________。 ①单摆的摆长l等于悬线的长度吗？ ②将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？ （1）__________得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 （2）单摆振动的周期与摆球质量__________，在振幅较小时与振幅__________，但与摆长__________，摆长越长，周期越__________。 （3）周期公式 ①提出：周期公式是荷兰物理学家__________首先提出的。 ②公式：__________，即周期T与摆长l的二次方根成__________，与重力加速度g的二次方根成__________，而与振幅、摆球质量__________。 （4）对周期公式的理解 ①单摆的周期公式在单摆偏角__________时成立（偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%）。 ②公式中l是摆长，即悬点到__________的距离，__________。 ③公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 ④周期T只与__________和__________有关，与__________及__________无关，所以单摆的周期也叫__________。 【例3】如图所示，图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像回答： （1）单摆振动的频率是多大？ （2）开始时刻摆球在何位置？ （3）若当地的重力加速度为9.86m/s2，则这个摆的摆长是多少？ 【针对训练】甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定（　　） A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4 B.甲、乙两单摆振动的频率之比是4∶9 C.甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2 D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4 【例4】如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处（弧BC所对圆心角小于5°），今使两小球同时静止释放，则（　　） A.球A先到达C点 B.球B先到达C点 C.两球同时到达C点 D.无法确定哪个球先到达C点 课堂小结： 1．（对单摆回复力的理解）一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C.t3时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大 D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 2. （单摆周期公式的应用）惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示。以下说法正确的是（　　） A.当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置 B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移 D.把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移 3. （单摆周期公式的应用）如图所示，摆长为L的单摆，周期为T。如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的，使摆球A（半径远小于L）通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则下列说法中正确的是（　　） A.单摆在整个振动过程中的周期不变 B.单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的倍 C.单摆的整个振动过程中的周期将变小为原来的 D.单摆的整个振动过程中的周期无法确定 4．如图（a）是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系。板上的直线OO′代表时间轴。如图（b）是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线。若板N1和板N2的速度v1和v2的关系为v2=2v1，当两板匀速拉出的距离相同时，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为（　　） A．T2=T1 B．T2=2T1 C．T2=4T1 D．T2=T1 5．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，最大摆角小于，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球摆动时的回复力来源为重力和绳拉力的合力 B．若小球质量变大，摆动周期将会减小 C．从到的过程中，摆球的回复力先减小后增大 D．2.1s末和2.9s末，小球的势能和速度均相同 6．光滑圆弧面上有一个小球，小球静止时位于C点，把小球从C点移至A点由静止释放，放手后小球开始在A、E之间来回运动，B、D分别为圆弧AC、CE的中点，圆弧AE远小于圆弧半径，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球在B点的速度一定与其在D点的速度等大同向 B．小球在B点的加速度一定与其在D点的加速度等大反向 C．小球由A点运动到B点的时间可能与其由B点运动到C点的时间相同 D．小球运动到C点时的加速度大小不为0 7．如图甲所示，单摆固定悬点为O，将摆球拉至A点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角，B点为运动中的最低位置。从A点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．单摆的合力提供回复力 B．摆球受到重力、拉力、向心力三个力的作用 C．摆球在B点处，向心加速度最大，回复力也最大 D．在1~1.5s的时间内，摆球从C点向B点运动 8．摆长为1m的单摆以小角度摆动，摆球某次经平衡位置开始计时，时摆球的（重力加速度g取）（　　） A．位移最小 B．速率最大 C．回复力最大 D．重力势能最小 9．如图所示，在倾角为的光滑斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，则以下判断正确的是（　　） A．T为该单摆在斜面上摆动的周期 B．摆球经过平衡位置时的加速度大小为 C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将不变 D．若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则单摆的振动周期将发生变化 10．清明节荡秋千是我国的传统习俗，如图所示。秋千由踏板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆。等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 B．“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力 C．偏离最低点运动的过程中，“摆球”的总能量逐渐增大 D．经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的振幅将增大 11．如图所示的装置可以模拟波的形成过程。半径为的圆柱面最低处的母线沿水平方向，母线和距很近且关于对称。完全相同的1到10号小球（可视为质点）锁定在上，间距均为。时刻，由静止释放球1，此后每隔时间（g为重力加速度）依次由静止释放所有小球。若忽略一切摩擦，则（　　） A．时刻，球1回到出发点 B．球1首次到达时，球5位于最低点 C．该“波”的“波长”为 D．该“波”的“波速”为 12．如图所示为甲、乙两个单摆的振动图像或同种介质中甲、乙两列简谐横波的波动图像，令甲的周期为或者甲波的波长为，则下列说法正确的是（　　） A．若图像为振动图像，则甲、乙的摆长之比为 B．若图像为振动图像，任意一段时间内，甲、乙单摆摆球运动的路程之比为 C．若图像为波动图像，则甲、乙两波的振动周期之比为 D．若图像为波动图像，甲、乙两波分别沿轴正、负方向传播，两列波叠加后，平衡位置为的质点将始终振动加强 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 在本节课的学习中，应用到了哪些物理方法？重点解决了哪些问题？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $