专项突破03 有理数的混合运算（期末复习-知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精讲练

该初中数学讲义通过知识框架图系统构建有理数混合运算的知识体系，梳理了加减乘除混合运算、乘方、非负数性质等6个核心知识点，并用对比表格呈现运算规则转化方法，清晰展现从基础运算到混合运算的递进关系及重难点分布。 讲义亮点在于15个分层培优题型设计，如结合阅兵滑行记录的实际应用题型培养应用意识，程序流程图计算发展运算能力，算“24”点题型激发创新意识。每个题型含精讲与变式题，适配不同层次学生，真题演练助力教师实施精准复习教学。

专项突破03 有理数的混合运算 （知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的加减混合运算 2 知识点梳理02：有理数的乘除混合运算 2 知识点梳理03：有理数的加减乘除混合运算 2 知识点梳理04：有理数的乘方 2 知识点梳理05：非负数的性质：偶次方 2 知识点梳理06：有理数的混合运算 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 有理数的加减混合运算 3 题型2 有理数加减中的简便运算 4 题型3 有理数加减混合运算的应用 7 题型4 有理数乘除混合运算 9 题型5 有理数的乘方运算 10 题型6 有理数乘方逆运算 12 题型7 乘方运算的符号规律 13 题型8 乘方的应用 14 题型9 用科学记数法表示绝对值大于1的数 16 题型10 将用科学记数法表示的数变回原数 17 题型11 有理数四则混合运算 18 题型12 有理数四则混合运算的实际应用 20 题型13 程序流程图与有理数计算 22 题型14 算 “24” 点 23 题型15 含乘方的有理数混合运算 24 期末真题 实战演练 26 知识点梳理01：有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点梳理02：有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点梳理03：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点梳理04：有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点梳理05：非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点梳理06：有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型1 有理数的加减混合运算 【精讲】（25-26七年级上·江西赣州·期中）计算的值等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算．将序列每两个数分组，每组和为，最后剩余一个正数，计算组数和剩余项求和． 【规范解答】解： ． 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)________0，_______0，_______0；（用“>”“<”或“=”填空） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【思路引导】（1）先根据有理数，，在数轴上的位置比较大小，再根据有理数的加减运算法则即可得出结论； （2）根据绝对值的性质去绝对值，然后化简即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：且， ∴，，， 故答案为：；；； （2） ． 【考点剖析】本题考查有理数的大小比较，数轴，绝对值，有理数的加减运算，解题的关键是掌握：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，的绝对值是． 题型2 有理数加减中的简便运算 【精讲】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料，并解答问题． 计算：． 解：因为，①， 所以原式 ． (1)上述材料中，序号①的内容为___________； (2)利用上述材料的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加． （1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数和分数。 （2）运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。 【规范解答】（1）解：由拆项法可知，， 故答案为：． （2） ． 【变式】（25-26七年级上·内蒙古·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算，计算过程中可以运用运算律进行简便计算． 运用加法交换律和结合律把能凑成整数的两个数结合起来，进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 运用加法交换律和结合律进行简便计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型3 有理数加减混合运算的应用 【精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期中）2025年9月3日阅兵式现场，中央广播电视总台设置170个直播机位、850多个分镜头，凭借国产超高清转播系统创新视角拍摄，借助一系列特种拍摄设备创造震撼视觉，不少直播“神级镜头”引得网友连连赞叹．其中，在长安街和天安门广场周围启用的高点索道拍摄系统，是通过索道实现摄像机东西滑行，摄像头转向进行拍摄，全景展现受阅部队的昂扬风貌和威武声势…… 下表是当天一台高点索道系统的摄像机连续八次东西滑行的情况记录，规定以天安门广场中轴线为基准，向东滑行记为正，向西滑行记为负． 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 滑行情况（） (1)根据表中记录，这台摄像机连续滑行八次后在天安门广场的哪个位置？ (2)这台摄像机八次滑行总距离是多少米？ 【答案】(1)在天安门广场中轴线西侧7米处 (2)353米 【思路引导】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算. （1）将各数相加即可； （2）将各数绝对值相加即可. 【规范解答】（1）解：（）． 答：这台摄像机连续滑行八次后在天安门广场中轴线西侧7米处； （2）解： （米）． 答：这台摄像机八次滑行总距离是353米． 【变式】（25-26七年级上·广西崇左·期中）某水果批发店购进柿子售卖，原计划每天卖500柿子，由于种种原因，实际每天的销售量与计划的销售量相比有出入，下表是该水果批发店一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)水果批发店星期六实际销售柿子______； (2)根据表中的数据可知前三天共卖出柿子______； (3)若水果批发店以5元/的价格购进柿子，又按6.2元/kg出售柿子，且水果批发店需按0.5元/的价格支付柿子的运费，求水果批发店这七天一共赚了多少元？ 【答案】(1)410 (2)1572 (3)2331元 【思路引导】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，正确进行计算是解题关键． （1）星期六实际销售柿子的重量为计划销售量加上差值，由此进行计算即可； （2）用前三天的计划量，加上三天的差值即可； （3）首先计算每天实际销售量与计划量差值的总和，再计算原计划一周销售柿子：，那么实际一周销售柿子：． 每千克柿子的利润为售价减去进价再减去运费，最后可得答案． 【规范解答】（1）解：已知原计划每天卖柿子，星期六与计划量的差值为，用那么星期六实际销售柿子的重量为计划销售量加上差值，即． 故答案为：410； （2）解：星期一实际销售柿子：； 星期二实际销售柿子：； 星期三实际销售柿子：； 所以前三天共卖出柿子：． 故答案为：1572； （3）解：首先计算每天实际销售量与计划量差值的总和： 原计划一周销售柿子：， 那么实际一周销售柿子：． 每千克柿子的利润为售价减去进价再减去运费，即元． 所以这七天一共赚的钱数为：． 题型4 有理数乘除混合运算 【精讲】（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了有理数乘除的应用． 根据题意可得，，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B． 【变式】（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） =3．（第三步） (1)上面解题过程从第 步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【思路引导】本题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算的运算法则判断作答即可； （2）先计算括号，然后将除法变乘法，最后进行乘法运算即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，上面解题过程从第二步开始错误，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 故答案为：二； （2）解：原式 ． 题型5 有理数的乘方运算 【精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期中）（1）下列有理数中，互为相反数的是________________________． ，3，，0，， （2）请写出上面有理数的相反数，化简后将其表示在数轴上，并将化简后的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【答案】（1）和；（2）见解析，． 【思路引导】本题考查了化简多重符号，有理数的乘方，在数轴上表示有理数，相反数，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简各个数，再结合相反数的定义进行分析，即可作答． （2）先分别得出各个数的相反数，再按要求在数轴上表示出来，结合越在数轴的右边的数越大进行分析，即可作答． 【规范解答】解：（1）依题意，得， ， ，， ∵和互为相反数， ∴六个有理数中，互为相反数的是和； （2）由（1）得， ， ，， ∴的相反数为，的相反数为，的相反数为，3的相反数是，0的相反数是0， 将其表示在数轴上如图所示： ∴． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，并指出点B所表示的数是________； (2)若数轴上点C与点B的距离为5个单位长度，那么点C表示的数是________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)3 (2)或8 (3)图见解析， 【思路引导】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示即可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可． 【规范解答】（1）解：如图所示． ∴点B所表示的数是3． 故答案为：3． （2）当点C在点B左边时， 点C表示的数是； 当点C在点B右边时， 点C表示的数是． 故答案为：或8． （3），，， 在数轴上表示，如图所示． 按从小到大顺序为：． 题型6 有理数乘方逆运算 【精讲】（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【思路引导】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【规范解答】解：原式 ． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 【变式】（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【思路引导】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【考点剖析】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 题型7 乘方运算的符号规律 【精讲】（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【规范解答】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 【变式】（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【规范解答】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 题型8 乘方的应用 【精讲】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）在二进制数中，“1101”转化成十进制数为；“11000”转化成十进制数为，则二进制数“101011”转化成十进制数为 【答案】43 【思路引导】本题考查二进制数转化为十进制数的方法，根据二进制数各位上的数字乘以2的相应次幂后求和即可． 【规范解答】解：二进制数“101011”转化成十进制数为： ， 故答案为：43． 【变式】（25-26七年级上·福建福州·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 我们熟知的十进制，各数位上的数字为0~9；一般地，二进制各数位上的数字为0，1．同时，为与十进制区分，k进制数a常记为，如二进制数a记为．任何k进制数都可以表示为各个数位上的数与它所在的计数单位（k的幂）之积的和（采用从左到右的降幂排列，最后一位直接用该位数加），即．例如：十进制中的数2025就可写成，又如二进制中的数101就可以写成，由此可将二进制数转换为十进制数，即．反之，若要将十进制数变为二进制数，也可逆用该式，如将十进制数75改写为六进制数，因为，所以．同一种进制数可以相加，其加法法则：按位相加，逢k进一（k是基数），如二进制数相加就是逐位相加，逢二进一， ．不同进制数相加先转换为同一进制数，然后再计算它们的和． (1)填空：①________________________________； ②（________） (2)将十进制数66转换成五进制数，求a的值； (3)以下是部分二进制数转换成十进制数： ，，， ，，… 请观察以上转换结果的规律，试猜想转换成十进制数的结果（用含n的代数式表示），并验证你的猜想． 【答案】(1)①，2，1，34；② (2) (3)，验证见解析 【思路引导】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，列代数式，以及单位进制的转化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据进制数的表示方法，计算三进制数转换为十进制数的结果；②利用二进制加法法则（逢二进一）计算二进制数的和； （2）通过展开法将十进制数转换为五进制数，确定的值； （3）观察二进制数转换为十进制数的规律，猜想个 1 的二进制数对应的十进制数表达式，并验证。 【规范解答】（1）解：①由题知， 故答案为：； ②由题知， 第1位：，记0进1， 第2位：，记1进1， 第3位：，记1进1， 第 4 位：，记 0 进 1 ， 所以 ． 故答案为：10110； （2）解：由题知， 因为， 所以， 所以； （3）因为，，…， 所以猜想． 验证如下： 因为猜想， 则令 所以， 两式相减得， 所以． 题型9 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【精讲】．（25-26七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． （1）将写成其中，n为整数的形式即可； （2）将写成其中，n为整数的形式即可； （3）将写成其中，n为整数的形式即可； （4）将写成其中，n为整数的形式即可． 【规范解答】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式】（2025·四川成都·三模）锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 由即可得到答案． 【规范解答】解：， 故选：B． 题型10 将用科学记数法表示的数变回原数 【精讲】（23-24七年级上·河北邢台·期末）若数据，则的值是（    ） A．15 B．14 C．12 D．11 【答案】C 【思路引导】根据，得到原数小数点向左移动了15位，而的小数点后包含3位数字，因此用15-12即可获得正确答案． 【规范解答】∵将原数用科学记数法表示为 ∴原数小数点向左移动了15位 ∵的小数点后包含3位数字 ∴ 故答案为C． 【考点剖析】本题考查了科学记数法，对于，a的取值范围． 【变式】．（2020·山东滨州·二模）截止到月日时，美国新冠病毒确诊感染人数累计约万人，死亡人数累计约为人．下列用科学记数法表示感染人数和用原数表示死亡人数正确的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【思路引导】①用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同;②表示出科学记数法的原数：直接利用科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数，进而得出答案． 【规范解答】万==; ==． 故选：B． 【考点剖析】此题考查科学记数法的表示方法，以及科学记数法-原数，能正确理解科学记数法的方法是解答此题的关键． 题型11 有理数四则混合运算 【精讲】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）用合适的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律、有理数的混合运算顺序是解题关键． （1）采用乘法分配律简化运算，然后将各部分相加即可． （2）按照先乘方、绝对值，再乘除，最后加减的顺序进行混合运算． 【规范解答】（1）解： = = =． （2）解： = =． 【变式】（25-26七年级上·河南开封·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： ……① ……② ……③ 回答 (1)上面的解题过程中从第________步开始出错，错因是___________________； (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)①；将“”错误地写成了“” (2)见解析 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据解题步骤及有理数的运算法则分析即可； （2）先算括号，再把除法转化为乘法，然后按乘法法则计算． 【规范解答】（1）上面的解题过程中从第①步开始出错，错因是将“”错误地写成了“”． 故答案为：①；将“”错误地写成了“”； （2） ． 题型12 有理数四则混合运算的实际应用 【精讲】（25-26七年级上·河南安阳·期中）2025年长春航展于9月19日至23日在长春国际航空博览城举行，包含航空装备展示、飞行表演等六大主题展馆．在演练期间，一架无人机从A地出发执行飞行拍摄任务，某一段时间仅沿东西方向飞行，若规定向东为正，向西为负，这段时间飞行的情况（单位：）如下： ，，，，，，，． (1)这段时间结束时该无人机所在的B地在A地的什么方向，距离A地多远？ (2)若该无人机每飞行的耗电量为0.2度，请计算该无人机在这段时间的耗电量； (3)若该无人机按题目给出的8段路程依次飞行，每完成1段后，工作人员会记录一次无人机与A地的距离（距离非负），所有记录的距离中，最大值与最小值的差是 ． 【答案】(1)该无人机所在的B地在A地的西面，距离A地有 (2)17.8度 (3)15 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，绝对值，结合已知条件列得正确的算式是解答本题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）将各数的绝对值相加然后再乘以0.2计算即可； （3）分别将每段的路程表示出来进行比较即可得解． 【规范解答】（1）解：， 答：该无人机所在的B地在A地的西面，距离A地有 （2）解：（度） 答：该无人机在这段时间的耗电量为17.8度． （3）解：第一段后：， 第二段后：， 第三段后：， 第四段后：， 第五段后：， 第六段后：， 第七段后：， 第八段后：， 则最大值与最小值的差为： 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）泌阳花菇是河南省特产、全国农产品地理标志．现有16箱泌阳香菇，以每箱10千克为标准，超过标准质量的记作正数，低于标准质量的记作负数，称重记录如下： 与标准质量的差（单位：千克） 0 1 箱数 1 4 2 3 2 4 (1)这16箱香菇中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)这16箱香菇总质量是多少千克？ (3)当前网络销售盛行，菇农采用网上销售的方式进行营销，若以每千克60元的价格售出，平均每千克的邮费为2元，求这16箱香菇一共可以收入多少？ 【答案】(1)这16箱香菇中，最重的一箱比最轻的一箱重千克 (2)这16箱香菇总质量是159千克 (3)这16箱香菇一共可以收入9222元 【思路引导】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算． （1）根据表格可直接进行求解； （2）把表格中的数据相加，然后加上标准总质量即可； （3）用总质量乘以每千克收入即可． 【规范解答】（1）解：（千克）， 答：这16箱香菇中，最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：， 总质量：（千克）， 答：这16箱香菇总质量是159千克； （3）解：（元）， 答：这16箱香菇一共可以收入9222元． 题型13 程序流程图与有理数计算 【精讲】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26．密文字母所对应的数字x与明文字母所对应的数字y之间的关系如下： 例如：密文“”，对应的数字为“6  13”，那么“6”代入计算得明文对应的数字为“15”，进而对应明文为“O”；“13”代入计算得明文对应的数字为“11”，进而对应明文为“K”；所以密文“”破译成明文为“”；那么密文“”破译成明文为“ ”． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，根据密文“”对应的数字为“16 21”，代入运算程序计算得出明文即可． 【规范解答】解：密文“”对应的数字为“16 21”， 当时，，对应明文T， 当时，，对应明文O ∴密文“”破译成明文为“”， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机，如图，小李同学设置了一个数值转换机， （1）若输入的值为，则输出的结果为 ； （2）若输出结果为0，则输入的 ． 【答案】 4 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． （1）把代入程序中计算即可得到输出结果； （2）根据输出结果确定出x的值即可． 【规范解答】解：（1）当时，输出的结果为： （2）当时，， 解得：； 当时，， 解得：，不符合题意，舍去； 故答案为：4；． 题型14 算 “24” 点 【精讲】（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)①；②；③； (2)见详解 【思路引导】（1）由题意易得，则有①要使两张卡片上数字之和最大，应选择最大的两个数字进行相加即可；②要使这两张卡片上数字之差最小，应选择最小的数减去最大的数即可；③要使这两张卡片上数字之积最大，应选择同号的两张，并且是最大或最小的两张进行相乘即可； （2）根据有理数的运算进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果为； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，则有，，所以最大的为； 故答案为，，； （2）解：由题意得：； ； ． 【变式】（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24的算式． 通过对数字、、、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【规范解答】解：计算过程：先，得到， 再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24， 则． 故答案为： 题型15 含乘方的有理数混合运算 【精讲】（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2； (2)． 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算，含乘方的有理数混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）能凑整的、互为相反数的与同分母的分别先相加，再计算即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后算加法． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【变式】（25-26七年级上·河南南阳·期中）解答： (1)计算：； (2)计算：． (3)阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ （ⅰ）第①步运用的运算律是___________；第②步运用的运算律是___________； （ⅱ）上述运算过程，从第___________步出现错误，本题运算的正确结果是___________； （ⅲ）结合上述运算过程给你的启发，计算． 【答案】(1)10 (2)1 (3)（ⅰ）加法交换律；乘法分配律（ⅱ）④； （ⅲ） 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，包括带分数、绝对值、指数运算以及运算律的应用．解题时需注意运算顺序和符号处理，特别是负号和除法的转换． （1） 根据有理数加减法混合运算法则计算即可，利用加法的交换律和结合律，先进行同分母分数相加减可以简便计算， （2）先乘方再乘除，最后进行加减，右括号先计算括号内的， （3）涉及错误识别和正确计算，需运用运算律简化计算． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）（ⅰ）第①步交换了项的位置，使用了加法交换律；第②步提取公因数，使用了乘法分配律． （ⅱ）从第④步出现错误，因为 ，正确结果应为 ． （ⅲ） ． 1．（25-26七年级上·湖南永州·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的计算，弄清原理图的计算方法是关键． 根据工作原理图，先算的平方，再判断是否大于8，再计算下一步输出结果． 【规范解答】解：由题意得， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·黑龙江·期末）下面算式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查有理数的加减乘除运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据有理数的加减乘除法则计算即可． 【规范解答】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）下列式子中，与的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数乘法分配律，利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【规范解答】解：， 则与的结果相同的是． 故选：D． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期末）设，，则选项中最接近的整数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握利用加法的运算律进行简便运算．把已知条件中，的值代入，再利用去括号法则、加法的交换律和结合律进行简便运算即可． 【规范解答】解：，，      ， ， ， ， ， ， ， 最接近的整数为． 故选：． 5．（18-19七年级上·湖北武汉·阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应为： , 按此方式，则(101)2+ (1111)2 =(    ) A．(10000)2 B．(10101)2 C．(1011111)2 D．(10100)2 【答案】D 【思路引导】根据例子可知：若二进制的数有n位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的（n-1）方，再相加即可，先把式子化成十进制数，然后再求和，把求和得到的数再转化成二进制数即可． 【规范解答】解： (101)2+ (1111)2 =5+15=20， 20=16+4==， 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查有理数的混合运算，解题关键在于理解自我十进制，二进制互相转化的方法． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期中）按如图所示的程序运算，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了程序图运算．将代入程序图计算，判断是否，若则将结果再次代入程序图运算，直至结果，输出y． 【规范解答】解：当时，， 当时，， 则输出y的值为． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东·期末） ． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的加减运算，需运用减去一个数等于加上它的相反数的法则进行转化，再结合有理数加法法则计算． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·重庆·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入时，则输出的数是 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【规范解答】解：，继续输入 ，输出； 故答案为：7． 9．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）甲、乙两人同时从 地出发前往相距千米的地，甲每小时比乙多走千米．甲到达地后立即返回 地，在距地千米处与乙相遇，则甲出发 小时甲乙第一次相遇． 【答案】 【思路引导】本题考查了行程问题综合应用，熟练掌握路程、时间和速度三者之间的关系是解题的关键．甲乙两人第一次相遇时，两人合走两个全程，且相遇地点在距地千米处，即相遇时，甲走了千米，乙走了千米，两者相减即可求出甲乙行走的路程差，根据时间路程差速度差即可求出相遇时间，即甲出发几小时后甲乙第一次相遇． 【规范解答】解： 小时 答：甲出发小时甲乙第一次相遇． 故答案为：． 10．（2022七年级·江苏·专题练习）求所有分母不超过100的正的真分数的和，即：＝ ． 【答案】2475 【思路引导】观察分母及分子特点，分组相加，利用高斯定理，即可得到结果． 【规范解答】解： ＝． ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2475． 故答案为：2475． 【考点剖析】本题考查分数的和，关键是利用分母特点进行分组，还有高斯定理的应用． 11．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【思路引导】本题主要考查有理数的加减运算及含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算即可求解； （2）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26七年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【思路引导】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据各式可得； （2）根据新运算的定义列式，先计算乘法、去括号，再计算加减法即可得； （3）根据新运算的定义可得，，由此即可得． 【规范解答】（1）解：观察各式可知，， 故答案为：． （2）解： ． ． （3）解：因为，， 所以， 所以这个新定义的运算满足交换律． 13．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算，计算时可以运用运算律进行简便计算． 运用加法交换律和结合律把互为相反数的数结合起来，进行简便计算； 根据乘方的定义先把乘方计算出来，再根据运算法则进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26七年级上·湖南·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表； (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中全科目的总分． 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 【答案】(1)表格见解析 (2)92，57 (3)671分 【思路引导】本题主要考查了正负数的应用，有理数减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，熟练掌握正负数的应用和有理数的运算法则是解题的关键． （1）求出数学的相对分数，再补全表格即可； （2）先找出相对分数中的最高分和最低分，再用基准分数加上相对分数的最高分即可求出该产品所得的最高分，用基准分数加上相对分数的最低分即可求出该产品所得的最低分； （3）先根据题意列式，然后再按照有理数的四则混合运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解：该产品的数学测试分数为61分，数学的相对分数为（分）， 补全表格如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 （2）解：在相对分数中，最高分为，最低分为， 该产品所得最高分为（分），最低分为（分）， 故答案为：，； （3）解： ， 该产品在本次测试中全科目的总分是671分． 15．（24-25七年级上·河北保定·期末）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 【答案】（1）1，；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，理解除方的定义是解题关键． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【规范解答】解：（1）， ； 故答案为：1，． （2）A、∵，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选C； （3）， 故答案为：； （4） ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破03 有理数的混合运算 （知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的加减混合运算 2 知识点梳理02：有理数的乘除混合运算 2 知识点梳理03：有理数的加减乘除混合运算 2 知识点梳理04：有理数的乘方 2 知识点梳理05：非负数的性质：偶次方 2 知识点梳理06：有理数的混合运算 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 有理数的加减混合运算 3 题型2 有理数加减中的简便运算 4 题型3 有理数加减混合运算的应用 5 题型4 有理数乘除混合运算 6 题型5 有理数的乘方运算 6 题型6 有理数乘方逆运算 7 题型7 乘方运算的符号规律 8 题型8 乘方的应用 8 题型9 用科学记数法表示绝对值大于1的数 9 题型10 将用科学记数法表示的数变回原数 9 题型11 有理数四则混合运算 10 题型12 有理数四则混合运算的实际应用 10 题型13 程序流程图与有理数计算 12 题型14 算 “24” 点 12 题型15 含乘方的有理数混合运算 13 期末真题 实战演练 14 知识点梳理01：有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点梳理02：有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点梳理03：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点梳理04：有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点梳理05：非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点梳理06：有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型1 有理数的加减混合运算 【精讲】（25-26七年级上·江西赣州·期中）计算的值等于(    ) A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)________0，_______0，_______0；（用“>”“<”或“=”填空） (2)化简：． 题型2 有理数加减中的简便运算 【精讲】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料，并解答问题． 计算：． 解：因为，①， 所以原式 ． (1)上述材料中，序号①的内容为___________； (2)利用上述材料的方法计算：． 【变式】（25-26七年级上·内蒙古·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4) ． 题型3 有理数加减混合运算的应用 【精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期中）2025年9月3日阅兵式现场，中央广播电视总台设置170个直播机位、850多个分镜头，凭借国产超高清转播系统创新视角拍摄，借助一系列特种拍摄设备创造震撼视觉，不少直播“神级镜头”引得网友连连赞叹．其中，在长安街和天安门广场周围启用的高点索道拍摄系统，是通过索道实现摄像机东西滑行，摄像头转向进行拍摄，全景展现受阅部队的昂扬风貌和威武声势…… 下表是当天一台高点索道系统的摄像机连续八次东西滑行的情况记录，规定以天安门广场中轴线为基准，向东滑行记为正，向西滑行记为负． 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 滑行情况（） (1)根据表中记录，这台摄像机连续滑行八次后在天安门广场的哪个位置？ (2)这台摄像机八次滑行总距离是多少米？ 【变式】（25-26七年级上·广西崇左·期中）某水果批发店购进柿子售卖，原计划每天卖500柿子，由于种种原因，实际每天的销售量与计划的销售量相比有出入，下表是该水果批发店一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)水果批发店星期六实际销售柿子______； (2)根据表中的数据可知前三天共卖出柿子______； (3)若水果批发店以5元/的价格购进柿子，又按6.2元/kg出售柿子，且水果批发店需按0.5元/的价格支付柿子的运费，求水果批发店这七天一共赚了多少元？ 题型4 有理数乘除混合运算 【精讲】（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【变式】（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） =3．（第三步） (1)上面解题过程从第 步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． 题型5 有理数的乘方运算 【精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期中）（1）下列有理数中，互为相反数的是________________________． ，3，，0，， （2）请写出上面有理数的相反数，化简后将其表示在数轴上，并将化简后的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，并指出点B所表示的数是________； (2)若数轴上点C与点B的距离为5个单位长度，那么点C表示的数是________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 题型6 有理数乘方逆运算 【精讲】（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【变式】（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 题型7 乘方运算的符号规律 【精讲】（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【变式】（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 题型8 乘方的应用 【精讲】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）在二进制数中，“1101”转化成十进制数为；“11000”转化成十进制数为，则二进制数“101011”转化成十进制数为 【变式】（25-26七年级上·福建福州·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 我们熟知的十进制，各数位上的数字为0~9；一般地，二进制各数位上的数字为0，1．同时，为与十进制区分，k进制数a常记为，如二进制数a记为．任何k进制数都可以表示为各个数位上的数与它所在的计数单位（k的幂）之积的和（采用从左到右的降幂排列，最后一位直接用该位数加），即．例如：十进制中的数2025就可写成，又如二进制中的数101就可以写成，由此可将二进制数转换为十进制数，即．反之，若要将十进制数变为二进制数，也可逆用该式，如将十进制数75改写为六进制数，因为，所以．同一种进制数可以相加，其加法法则：按位相加，逢k进一（k是基数），如二进制数相加就是逐位相加，逢二进一， ．不同进制数相加先转换为同一进制数，然后再计算它们的和． (1)填空：①________________________________； ②（________） (2)将十进制数66转换成五进制数，求a的值； (3)以下是部分二进制数转换成十进制数： ，，， ，，… 请观察以上转换结果的规律，试猜想转换成十进制数的结果（用含n的代数式表示），并验证你的猜想． 题型9 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【精讲】．（25-26七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式】（2025·四川成都·三模）锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 题型10 将用科学记数法表示的数变回原数 【精讲】（23-24七年级上·河北邢台·期末）若数据，则的值是（    ） A．15 B．14 C．12 D．11 【变式】．（2020·山东滨州·二模）截止到月日时，美国新冠病毒确诊感染人数累计约万人，死亡人数累计约为人．下列用科学记数法表示感染人数和用原数表示死亡人数正确的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型11 有理数四则混合运算 【精讲】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）用合适的方法计算： (1)； (2)． 【变式】（25-26七年级上·河南开封·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： ……① ……② ……③ 回答 (1)上面的解题过程中从第________步开始出错，错因是___________________； (2)请写出正确的计算过程． 题型12 有理数四则混合运算的实际应用 【精讲】（25-26七年级上·河南安阳·期中）2025年长春航展于9月19日至23日在长春国际航空博览城举行，包含航空装备展示、飞行表演等六大主题展馆．在演练期间，一架无人机从A地出发执行飞行拍摄任务，某一段时间仅沿东西方向飞行，若规定向东为正，向西为负，这段时间飞行的情况（单位：）如下： ，，，，，，，． (1)这段时间结束时该无人机所在的B地在A地的什么方向，距离A地多远？ (2)若该无人机每飞行的耗电量为0.2度，请计算该无人机在这段时间的耗电量； (3)若该无人机按题目给出的8段路程依次飞行，每完成1段后，工作人员会记录一次无人机与A地的距离（距离非负），所有记录的距离中，最大值与最小值的差是 ． 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）泌阳花菇是河南省特产、全国农产品地理标志．现有16箱泌阳香菇，以每箱10千克为标准，超过标准质量的记作正数，低于标准质量的记作负数，称重记录如下： 与标准质量的差（单位：千克） 0 1 箱数 1 4 2 3 2 4 (1)这16箱香菇中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)这16箱香菇总质量是多少千克？ (3)当前网络销售盛行，菇农采用网上销售的方式进行营销，若以每千克60元的价格售出，平均每千克的邮费为2元，求这16箱香菇一共可以收入多少？ 题型13 程序流程图与有理数计算 【精讲】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26．密文字母所对应的数字x与明文字母所对应的数字y之间的关系如下： 例如：密文“”，对应的数字为“6  13”，那么“6”代入计算得明文对应的数字为“15”，进而对应明文为“O”；“13”代入计算得明文对应的数字为“11”，进而对应明文为“K”；所以密文“”破译成明文为“”；那么密文“”破译成明文为“ ”． 【变式】（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机，如图，小李同学设置了一个数值转换机， （1）若输入的值为，则输出的结果为 ； （2）若输出结果为0，则输入的 ． 题型14 算 “24” 点 【精讲】（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【变式】（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24： ． 题型15 含乘方的有理数混合运算 【精讲】（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式】（25-26七年级上·河南南阳·期中）解答： (1)计算：； (2)计算：． (3)阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ （ⅰ）第①步运用的运算律是___________；第②步运用的运算律是___________； （ⅱ）上述运算过程，从第___________步出现错误，本题运算的正确结果是___________； （ⅲ）结合上述运算过程给你的启发，计算． 1．（25-26七年级上·湖南永州·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（   ） A． B．3 C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江·期末）下面算式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）下列式子中，与的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期末）设，，则选项中最接近的整数为（    ） A． B． C． D． 5．（18-19七年级上·湖北武汉·阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应为： , 按此方式，则(101)2+ (1111)2 =(    ) A．(10000)2 B．(10101)2 C．(1011111)2 D．(10100)2 6．（25-26七年级上·江苏南京·期中）按如图所示的程序运算，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 7．（25-26七年级上·山东·期末） ． 8．（25-26七年级上·重庆·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入时，则输出的数是 ． 9．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）甲、乙两人同时从 地出发前往相距千米的地，甲每小时比乙多走千米．甲到达地后立即返回 地，在距地千米处与乙相遇，则甲出发 小时甲乙第一次相遇． 10．（2022七年级·江苏·专题练习）求所有分母不超过100的正的真分数的和，即：＝ ． 11．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 13．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 14．（25-26七年级上·湖南·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表； (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中全科目的总分． 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 15．（24-25七年级上·河北保定·期末）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $