专项突破02 绝对值的几何意义与最值问题（期末复习-知识技巧点拨+优选题训练检测卷 共27题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精讲练

该初中数学专项复习讲义以绝对值的几何意义与最值问题为核心，通过表格分类、结论归纳及几何图示系统构建知识体系，涵盖两个绝对值和差的最值、多个绝对值和的最值及已知范围化简四大知识点，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“知识梳理-题型实战”的递进设计，精选27道不同地区期中月考题，如结合数轴动态情境的解答题（第25题跨海大桥模型）和“二倍点”创新题型（第27题），培养几何直观与推理意识。基础题夯实概念，综合题提升应用能力，助力分层教学，支持学生自主复习与教师精准教学。

专项突破02 绝对值的几何意义与最值问题 （知识技巧点拨+优选题训练 共27题 满分：110分） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理1：两个绝对值的和的最值 1 知识点梳理2：两个绝对值的差的最值 2 知识点梳理3：多个绝对值的和的最值 2 知识点梳理4：已知范围的绝对值化简 3 优选题型 实战演练 3 知识点梳理1：两个绝对值的和的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 知识点梳理2：两个绝对值的差的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 知识点梳理3：多个绝对值的和的最值 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时， 取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 知识点梳理4：已知范围的绝对值化简 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（本题2分）（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列说法：①所有的有理数都能用数轴上的点表示②绝对值等于本身的数是正数③符号不同的两个数互为相反数④有理数不是正数就是负数⑤倒数等于它本身的数是1和．其中正确的说法有（  ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的基本概念，需准确理解数轴、绝对值、相反数和倒数的定义．根据有理数、数轴、绝对值、相反数、倒数的定义逐一判断各说法的正误． 【规范解答】∵①所有的有理数都能用数轴上的点表示，正确； ∵②绝对值等于本身的数是非负数（包括正数和0），但说法中只说是正数，忽略了0，错误； ∵③符号不同的两个数不一定互为相反数（如和），相反数要求数值相同且符号不同，错误； ∵④有理数包括正数、负数和0，0不是正数也不是负数，错误； ∵⑤倒数等于它本身的数是1和，正确； ∴正确的说法有①和⑤，共2个． 故选：C． 2．（本题2分）（25-26七年级上·甘肃·期末）已知，则的值是（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【思路引导】本题考查绝对值．根据绝对值的性质即可求得答案． 【规范解答】解：∵， ∴，即 即一定是非正数． 故选：C． 3．（本题2分）（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）老师在黑板上板书“”这个等式，然后同学们在小组内相互分享自己的想法？下面是某小组四位同学A、B、C、D分享的内容，你认为最合理是（    ） A．我认为，所以 B．我认为是负数，是正数，正负相消才有等于0的情况 C．我认为他们和为0，所以，，即，在数轴原点两侧 D．我认为，，为任何数时，他们都是相反数 【答案】D 【思路引导】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据说明互为相反数，则可以是为正数、为负数；或为负数、为正数；或都等于0，根据绝对值可得，即在数轴上，表示的点到原点的距离与表示的点到原点的距离相等，可能在数轴原点两侧，也可能都是数轴原点，由此即可得出答案． 【规范解答】解：A、说明互为相反数，但不一定同时为0，则此项不合理，不符合题意； B、说明互为相反数，可以是为正数、为负数；或为负数、为正数；或都等于0，则此项不合理，不符合题意； C、可得，所以，即在数轴上，表示的点到原点的距离与表示的点到原点的距离相等，可能在数轴原点两侧，也可能都是数轴原点，则此项不合理，不符合题意； D、说明互为相反数，则此项合理，符合题意； 故选：D． 4．（本题2分）（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 利用数轴知识和绝对值的定义解答即可． 【规范解答】解：由数轴图可知， ，，， ∴①③④错误，②正确，正确结论只有1个． 故选：A． 5．（本题2分）（25-26七年级上·河北廊坊·期中）有下列结论：①绝对值等于它本身的有理数是正数；②相反数等于它本身的有理数只有零；③一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数．其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查绝对值、相反数、有理数的基本概念，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据定义逐一判断各结论的正误，即可解答． 【规范解答】解：绝对值等于它本身的有理数是非负数（包括正数和0）， 结论①错误， 相反数等于它本身的有理数只有0， 结论②正确， 当时，是正数， 结论③错误， 有理数包括整数和分数，故一个有理数不是整数就是分数， 结论④正确， 综上所述，错误的结论有①和③，共2个． 故选：B． 6．（本题2分）（25-26七年级上·湖北武汉·月考）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数和数轴，绝对值，根据点在数轴上的位置，结合绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由图可知：， ∴， ∴， 综上：只有选项D正确； 故选D． 7．（本题2分）（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，绝对值的意义，数形结合是解答本题的关键．观察数轴可知：，，从而得到，且，，即可得解． 【规范解答】解：由图可知，，， ，且，， ． 故选：C ． 8．（本题2分）（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【思路引导】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定值和的符号是解答的关键． 先求的最小值，利用数轴上两点距离和的性质，得，由和，推出，再计算所求表达式各项的值，求和为． 【规范解答】解：根据绝对值的意义，当时，取得最小值，值为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．（本题2分）（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的性质、绝对值运算及逻辑判断，注意绝对值不等式的解集及代数条件的完备性，避免忽略特殊值（如零）导致错误． 需逐一分析各说法的正确性：①考虑相反数定义及分母不为零；②解绝对值不等式；③通过代数变换分析条件；④利用绝对值比较推导不等式． 【规范解答】解：∵ ①若互为相反数，则，但当时，无意义， ∴①错误；   ∵ ②或，∴不一定成立， ∴②错误； ∵ ③设，则，即，但结论要求（严格不等）， 当时条件成立但结论不成立， ∴③错误；   ∵ ④，故，且，∴恒成立， ∴④正确． 综上，只有④正确，正确结论有1个． 故选：B． 10．（本题2分）（25-26七年级上·重庆巴南·期中）若，且，以下结论：①；②；③的所有可能取值为0或4；④在数轴上点、、表示数，且，则线段与线段的大小关系是，其中正确结论的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查绝对值．由条件且，可推得，，而可能为正或负．结论①中，故错误；结论②通过绝对值化简验证成立；结论③分和两种情况计算表达式值，结果为0或4；结论④利用数轴上线段长度比较，结合条件推导成立． 【规范解答】解：∵且， ∴，． ①∵，， ∴，故①错误． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确． ③令， 若，，， ，，，， ∴． 若，，， ，，，， ∴． 故③正确． ④∵， ∴， 线段， 线段， ∵， ∴， 若，则，即，即，即，即， 符合题意，故④正确． 综上，②③④正确． 故选：B． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（25-26七年级上·北京·月考）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若，则中一定为负数的是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，在数轴上表示有理数，根据数轴得，又因为，则数轴原点在有理数b和c之间或者在有理数c的右边，即可作答． 【规范解答】解：观察数轴得， ∵， ∴数轴原点在有理数b和c之间或者在有理数c的右边， 故a、b、c中一定为负数的是， 故答案为： 12．（本题2分）（25-26七年级上·河南南阳·期中）已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且，化简： ． 【答案】 【思路引导】本题考查数轴，绝对值，做这类题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，然后根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值还是”进行化简计算．利用有理数a、b、c在数轴上的位置确定，再由可得，进而得到，再整体代入计算即可． 【规范解答】解：由数轴，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13．（本题2分）（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法：①若不是正数，则a为非负数；②若，则；③；④若，则x为正数．其中正确的结论有 (填序号) 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键；因此此题可根据绝对值的性质可进行求解． 【规范解答】解：对于说法①，由不是正数，得，即，所以a为非负数，说法正确； 对于说法②，由，得，又，故，从而，所以，说法正确； 对于说法③，，，故相等，说法正确； 对于说法④，由，得，所以x为非正数，原说法错误； 故答案为①②③． 14．（本题2分）（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的说法是 ．（填序号） 【答案】①④ 【思路引导】本题考查有理数的性质和绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据绝对值的意义逐项判断即可 【规范解答】解：①若、互为相反数，则，这是相反数的定义，故该说法正确； ②若，则或，即或，故该说法错误； ③由，得，则，即，故该说法错误； ④若，则，且，则，即，故该说法正确． 因此正确的说法是①④． 故答案为：①④． 15．（本题2分）（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 【答案】18或27 【思路引导】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【规范解答】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 16．（本题2分）（25-26七年级上·湖南郴州·期中）若为有理数，已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 该问题理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值，再由绝对值的几何意义分类讨论求解即可． 【规范解答】解：，则可理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， ∴的最小值即为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值， 当时，则； 当时，则； 当时，， ∴的最小值为， 故答案为：5． 17．（本题2分）（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则满足条件的整数x的值有 个． 【答案】6 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点的距离关系分析方程． 根据绝对值的几何意义，确定的取值范围为，再找出该范围内的整数个数． 【规范解答】解： 表示数轴上点到点 和点2的距离之和． 在 和2之间（包括端点）时， 即 ， 距离之和恰好为 ，与方程右边的5相等． 整数有：，共 6个． 故答案为：6 18．（本题2分）（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值，绝对值表达式的最小值问题，通常通过找到关键点（即绝对值内的表达式为零的点）并分段讨论，本题中关键点为、、，将数轴分为四个区间，分别讨论每个区间内表达式的简化形式，并求最小值． 【规范解答】解：，表示数轴上点到点的距离之和， 当 时，表达式为，最小值在时的值为， 当时，表达式为，随x增大而增大，最小值在时的值为， 当时，表达式为，随x增大而增大，最小值在时的值恒大于， 当时，表达式为，最小值在时的值恒大于， 综上，最小值为． 故答案为：. 三．解答题（本大题有9小题，共74分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）有理数，，，表示在数轴上的位置如图所示，请解答下列问题： (1)若在原点，与的绝对值相等，试比较，，，的大小，并用“”连接； (2)在（1）中相反数最小的数是谁？ (3)若它们表示在数轴上的位置不变，但原点位置不确定，相反数最小的数能确定吗?如果能，请写出这个数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)c (3)能确定，c 【思路引导】本题主要考查数轴上有理数的表示与大小比较、绝对值的意义及相反数的意义，熟练掌握数轴上有理数的表示与大小比较及相反数的意义是解题的关键； （1）根据数轴及题意可直接进行求解； （2）由（1）可进行求解； （3）根据数轴及相反数的意义可进行求解． 【规范解答】（1）解：由数轴及题意得：， ∴，，，的大小关系为； （2）解：由（1）及题意可知：， ∴，，，的相反数分别为， ∴相反数最小的数是c； （3）解：能确定，理由如下： 由数轴可知：，则它们的相反数分别为， ∴， ∴相反数最小的数是c． 20．（本题6分）（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 【答案】(1)6，，10 (2)①3；②或2；③见解析 【思路引导】本题考查了非负数的性质、数轴上的距离计算及动点问题，解题的关键是利用非负数的性质求、的值，结合数轴的特点分析点的位置． （1）利用平方和绝对值的非负性求、，再计算两点距离； （2）①先根据条件确定点的位置，再计算、距离； ②设点表示的数，根据距离关系列方程求解； ③分三种情况分析、、的位置关系，确定点的移动方法． 【规范解答】（1）解：一个数的平方和绝对值都是非负数，且， ，解得， 、间的距离为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ，所以或，所以或， 点C在数轴上表示的数为， 点B，C之间的距离为； ②由（2）①知点B，C之间的距离为3，当点P在点B，C之间时，点P到点B的距离为 ， 点P表示的数为； 当点P在点C的右侧时，点P到点C的距离为3， 点P表示的数为， 综上，点P表示的数为或2； ③点C向左移动13个单位长度，点B到点A，C的距离相等； 点C向右移动2个单位长度，点C到点A，B的距离相等； 点C向右移动17个单位长度，点A到点B，C的距离相等． 21．（本题8分）（25-26七年级上·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题情境】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可以表示为，当时，；当时，；当时，．例如：4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；3 与 5 在数轴上的对应点间的距离可以表示为：． 【解决问题】 （1）数轴上表示 6和3的两点之间的距离是__________； （2）数轴上表示和2的两点之间的距离是__________． 【实验探究】 （3）若数和2两点之间的距离是6，则可记为：，求m 的值； （4）若数轴上表示数的点位于表示与5的两个点之间，求的值； 【拓展延伸】 （5）若数轴上表示数的点不在表示与7的两个点之间，求的值． 【答案】【解决问题】（1）；（2）； 【实验探究】（3）或；（4）； 【拓展延伸】（5）当时，值为；当时，值为 【思路引导】本题主要考查用数轴表示有理数，数轴上两点间的距离公式的应用，解决本题的关键在于根据不同情况对绝对值进行化简． 【解决问题】 （1）根据数轴上两点间距离公式列式求解即可； （2）根据数轴上两点间距离公式列式求解即可． 【实验探究】 （3）根据绝对值为的数有两个，列式求解即可； （4）根据所在的位置，确定与的符号即可求解； 【拓展延伸】 根据数的点所在的位置分类讨论求解即可． 【规范解答】解：【解决问题】 （1）数轴上表示 6和3的两点之间的距离是； （2）数轴上表示和2的两点之间的距离是． 【实验探究】 （3）绝对值为的数有两个，即或． 当时，可得． 当时，可得； 综上，m 的值为8或； （4）因为在与之间，所以，． 当时，；当时，． 则． 【拓展延伸】 （5）当时： 此时，． ，． 则． 当时： 此时，． 那么，． 则． 综上，当时，值为；当时，值为． 22．（本题8分）（25-26七年级上·广东惠州·期中）综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示________的点与_______之间的距离，则______； (2)数轴上表示x和的两点M和N之间的距离是_______，如果，则_______； (3)令，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)2，1，1 (2)，， (3)时，y最小，最小值为4 【思路引导】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值表示两点距离是解题的关键． （1）根据绝对值的意义进行解答即可； （2）根据绝对值的意义列出代数式，再令或，进行计算求解即可； （3）根据绝对值的意义可知，表示点到点、、的距离之和，当时，y最小，最小值为． 【规范解答】（1）解：的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离， 则， 故答案为：2，1，1； （2）解：数轴上表示x和的两点M和N之间的距离是， 由于， 则或， 解得或， 故答案为：，，； （3）解：表示点到点、、的距离之和， 当时，y最小， 最小值为： , 故时，y最小，最小值为4． 23．（本题8分）（25-26七年级上·北京·期中）数轴上点的位置如图所示，点表示的数是的相反数． (1)点表示的数是________________，点表示的数是_______________； (2)请在数轴上标出点的位置； (3)如果该数轴上点与点之间的距离是2，那么点表示的数是______________． 【答案】(1)，3 (2)见解析 (3)或 【思路引导】本题主要考查了数轴，相反数，两点间的距离，熟知数轴上的点所表示数的特征及相反数的定义是解题的关键． （1）根据所给数轴即可得到答案； （2）根据相反数的定义，确定点表示的数后在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上两点间的距离意义即可解决问题． 【规范解答】（1）解：根据数轴可知，点A表示的数是，点B表示的数是3， 故答案为：，3． （2）解：∵的相反数是， ∴点表示的数是， 数轴表示如下： ． （3）解：设点D表示的数为，点表示的数是， 根据题意，得， 故或， 解得或， 故答案为：或． 24．（本题8分）（25-26七年级上·湖北十堰·期中）已知点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，且，点，之间的距离记为，请回答问题： (1)_______________，_______________，_______________． (2)设点在数轴上表示的数为，若，则_______________． (3)如图，，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则_______________； ②若，则_______________； 【答案】(1)，，5 (2)8或 (3)①5；②或 【思路引导】本题考查了绝对值的非负性，绝对值的几何意义以及解含绝对值的方程．熟练掌握绝对值的非负性，绝对值的几何意义以及解含绝对值的方程是解题的关键． （1）根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，由得出，，求出、后，再用两点间距离公式求出即可； （2）的几何意义是“数轴上表示的点到表示3的点的距离为5”，所以分两种情况（在3的右侧或左侧），得到或，求解即可； （3）①是点到的距离，是点到的距离，点在、之间时，距离和等于与的距离； ②根据绝对值的几何意义，分“点在左侧”“点在右侧”两种情况，去掉绝对值符号，转化为普通方程求解即可． 【规范解答】（1）解： ， ，， ，， ． 故答案为：，，5； （2）解： ， 或， 或． 故答案为：8或； （3）解：①由题意得， ． 故答案为：5． ② ， 或， 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 故答案为：或． 25．（本题8分）（25-26七年级上·山东临沂·期中）舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔可以抽象为A，B，C三个点，A与B，B与C之间的距离均为千米，如图所示．若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题： (1)A、C两点在数轴上所表示的数分别是________、________，它们互为（   ）； A．倒数  B．相反数 (2)道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为50千米/小时．同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为60千米/小时． ①当行驶t小时时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示； ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）②的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为________． 【答案】(1)，，B (2)①甲车表示的数为：，乙车表示的数为：；②千米 (3) 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，相反数的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据A与B，B与C之间的距离均为千米，即可求解； （2）①根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解；②将分钟代入①中 的 式 子，分 别 求 出甲车、乙车在数轴上表示的数，最后根据数轴上两点间的距离公式，即可求解； （3）根据绝对值的意义即可求解． 【规范解答】（1）解：以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴， 所表示的数分别是、，它们是一对相反数， 故答案为：、，B； （2）①甲车表示的数为：, 乙车表示的数为：； ②当分钟时， 甲表示的数为：， 乙表示的数为：， （千米）； （3）甲车在数轴上表示的数为：，乙车在数轴上表示的数为：， 之和最小时，对应的x应满足的条件为， 故答案为：． 26．（本题10分）（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：         【类比探究】（1）的几何意义是数轴上表示数与数_____两点之间的距离． 【解决问题】（2）请你借助数轴探究：当表示数的点在整条数轴上移动时，直接写出能使成立的的值_____． 【拓展延伸】（3）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度，且点到原点的距离为20，设点、、所表示的数、、的和是，求的值． 【答案】（1） ；（2）或4；（3）59或 【思路引导】本题主要考查了实数和数轴，绝对值的几何意义，两点之间的距离，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据点之间的距离求出表示的数，再利用两点之间的距离表示出表示的数，最后利用有理数的加法法则进行求解即可． 【规范解答】解：（1）的几何意义是数轴上表示数与数两点之间的距离， 故答案为：；      （2）根据题意得，表示数与数两点之间的距离和数与数3两点之间的距离之和为7， 和3两点之间的距离为， ∴或，且到的距离为或到3的距离为， ∴或， 故答案为：或4； （3）因为点到原点的距离为20，所以或， 因为数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度， 所以，， 当时，，， 此时； 当时，，， 此时； 综上，的值为59或． 27．（本题12分）（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 【答案】（1）4；2或；（2）或6；（3）6；（4），，或． 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，为数轴上到的距离； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为，根据新定义，分2种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：（1）； ，即数轴上到数的距离为3，所表示的数， ∴或； （2）当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上：或； （3）表示数到和2的距离和， 故当时，的值最小，为数轴上到的距离， ∴的最小值为； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为， 则：或， 当时，即，解得或； 当时，即，解得或； 综上，点C，D的“二倍点”所对应的数值为，，或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破02 绝对值的几何意义与最值问题 （知识技巧点拨+优选题训练 共27题 满分：110分） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理1：两个绝对值的和的最值 1 知识点梳理2：两个绝对值的差的最值 2 知识点梳理3：多个绝对值的和的最值 2 知识点梳理4：已知范围的绝对值化简 3 优选题型 实战演练 3 知识点梳理1：两个绝对值的和的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 知识点梳理2：两个绝对值的差的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 知识点梳理3：多个绝对值的和的最值 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时， 取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 知识点梳理4：已知范围的绝对值化简 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（本题2分）（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列说法：①所有的有理数都能用数轴上的点表示②绝对值等于本身的数是正数③符号不同的两个数互为相反数④有理数不是正数就是负数⑤倒数等于它本身的数是1和．其中正确的说法有（  ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（本题2分）（25-26七年级上·甘肃·期末）已知，则的值是（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 3．（本题2分）（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）老师在黑板上板书“”这个等式，然后同学们在小组内相互分享自己的想法？下面是某小组四位同学A、B、C、D分享的内容，你认为最合理是（    ） A．我认为，所以 B．我认为是负数，是正数，正负相消才有等于0的情况 C．我认为他们和为0，所以，，即，在数轴原点两侧 D．我认为，，为任何数时，他们都是相反数 4．（本题2分）（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（本题2分）（25-26七年级上·河北廊坊·期中）有下列结论：①绝对值等于它本身的有理数是正数；②相反数等于它本身的有理数只有零；③一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数．其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（本题2分）（25-26七年级上·湖北武汉·月考）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 9．（本题2分）（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（本题2分）（25-26七年级上·重庆巴南·期中）若，且，以下结论：①；②；③的所有可能取值为0或4；④在数轴上点、、表示数，且，则线段与线段的大小关系是，其中正确结论的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①③④ 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（25-26七年级上·北京·月考）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若，则中一定为负数的是 ． 12．（本题2分）（25-26七年级上·河南南阳·期中）已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且，化简： ． 13．（本题2分）（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法：①若不是正数，则a为非负数；②若，则；③；④若，则x为正数．其中正确的结论有 (填序号) 14．（本题2分）（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的说法是 ．（填序号） 15．（本题2分）（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 16．（本题2分）（25-26七年级上·湖南郴州·期中）若为有理数，已知，则的最小值为 ． 17．（本题2分）（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则满足条件的整数x的值有 个． 18．（本题2分）（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值为 ． 三．解答题（本大题有9小题，共74分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）有理数，，，表示在数轴上的位置如图所示，请解答下列问题： (1)若在原点，与的绝对值相等，试比较，，，的大小，并用“”连接； (2)在（1）中相反数最小的数是谁？ (3)若它们表示在数轴上的位置不变，但原点位置不确定，相反数最小的数能确定吗?如果能，请写出这个数；如果不能，请说明理由． 20．（本题6分）（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 21．（本题8分）（25-26七年级上·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题情境】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可以表示为，当时，；当时，；当时，．例如：4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；3 与 5 在数轴上的对应点间的距离可以表示为：． 【解决问题】 （1）数轴上表示 6和3的两点之间的距离是__________； （2）数轴上表示和2的两点之间的距离是__________． 【实验探究】 （3）若数和2两点之间的距离是6，则可记为：，求m 的值； （4）若数轴上表示数的点位于表示与5的两个点之间，求的值； 【拓展延伸】 （5）若数轴上表示数的点不在表示与7的两个点之间，求的值． 22．（本题8分）（25-26七年级上·广东惠州·期中）综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示________的点与_______之间的距离，则______； (2)数轴上表示x和的两点M和N之间的距离是_______，如果，则_______； (3)令，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 23．（本题8分）（25-26七年级上·北京·期中）数轴上点的位置如图所示，点表示的数是的相反数． (1)点表示的数是________________，点表示的数是_______________； (2)请在数轴上标出点的位置； (3)如果该数轴上点与点之间的距离是2，那么点表示的数是______________． 24．（本题8分）（25-26七年级上·湖北十堰·期中）已知点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，且，点，之间的距离记为，请回答问题： (1)_______________，_______________，_______________． (2)设点在数轴上表示的数为，若，则_______________． (3)如图，，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则_______________； ②若，则_______________； 25．（本题8分）（25-26七年级上·山东临沂·期中）舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔可以抽象为A，B，C三个点，A与B，B与C之间的距离均为千米，如图所示．若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题： (1)A、C两点在数轴上所表示的数分别是________、________，它们互为（   ）； A．倒数  B．相反数 (2)道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为50千米/小时．同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为60千米/小时． ①当行驶t小时时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示； ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）②的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为________． 26．（本题10分）（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：         【类比探究】（1）的几何意义是数轴上表示数与数_____两点之间的距离． 【解决问题】（2）请你借助数轴探究：当表示数的点在整条数轴上移动时，直接写出能使成立的的值_____． 【拓展延伸】（3）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度，且点到原点的距离为20，设点、、所表示的数、、的和是，求的值． 27．（本题12分）（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $