专项突破11 相交线与平行线（期末复习-知识回顾+14个重难点培优题型+真题演练 共43题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精讲练

该初中数学单元复习讲义通过表格对比、易错点拨等工具系统梳理相交线与平行线的核心知识点，涵盖对顶角、垂线、同位角内错角同旁内角、平行线判定与性质等内容，构建“概念-性质-应用”的递进框架，清晰呈现角的识别与平行线判定性质的内在逻辑联系。 讲义亮点在于14个重难点培优题型的分层设计，如“根据平行线判定与性质求角度”“利用平行线间距离解决问题”等题型，通过精讲+变式训练培养学生几何直观与推理意识。真题演练结合期末考题，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习突破难点。

专项突破11 相交线与平行线 （知识回顾+14个重难点培优题型+真题演练 共43题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：对顶角的概念与性质 2 知识点梳理02：垂线 3 知识点梳理03：同位角、内错角、同旁内角 5 知识点梳理04：平行线的概念与表示 5 知识点梳理05：平行线的判定方法 5 重点难点 培优讲练 7 题型1 垂线段最短 7 题型2 对顶角相等 8 题型3 找邻补角 11 题型4 利用邻补角互补求角度 13 题型5 同位角相等两直线平行 16 题型6 内错角相等两直线平行 20 题型7 同旁内角互补两直线平行 24 题型8 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 28 题型9 两直线平行同位角相等 30 题型10 两直线平行内错角相等 33 题型11 两直线平行同旁内角互补 37 题型12 根据平行线判定与性质求角度 41 题型13 根据平行线判定与性质证明 45 题型14 利用平行线间距离解决问题 50 期末真题 实战演练 52 知识点梳理01：对顶角的概念与性质 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：两直线相交，对顶角相等．上图中：， 【易错点拨】 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 2．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 【易错点拨】 (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 角的名称 图示 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边. 邻补角互补 3. 对顶角与邻补角对比： 知识点梳理02：垂线 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的画法： 作图工具：三角板、圆规、量角器、方格纸 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【易错点拨】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 4．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 【易错点拨】 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 5．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段的长度。 【易错点拨】 （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点梳理03：同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 类似于大写字母F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 类似于大写字母Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 类似于大写字母U 知识点梳理04：平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 知识点梳理05：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 【易错点拨】 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 题型1 垂线段最短 【精讲】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【思路引导】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可，理解垂线段最短是正确解答的关键． 【规范解答】解：根据题意可知，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是垂线段最短， 故选： 【变式】如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 【答案】(1) (2)；垂线段最短 (3) 【思路引导】本题考查的是点到直线的距离． （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【规范解答】（1）解：线段的长度表示点M到的距离， 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，是因为垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短； （3）解：∵，平分， ∴， ∴． 题型2 对顶角相等 【精讲】（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是互余的含义，平角的定义，角平分线的含义，垂直的定义，对顶角的性质，角的和差运算． （1）由可得，，结合角平分线可得，进一步可得答案． （2）先求解，可得，进一步可得答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴的余角为． （2）解：，， ， ， ， ， ． 【变式】（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【思路引导】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解； （2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可； （3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， 解之得：， 即． （3）解：猜想： 理由：设 ∵ ∴ ∵ ∴   又∵平分， ∴， ∴ ∴ ， 则， 解之得， 即． 题型3 找邻补角 【精讲】（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题考查了对顶角和邻补角、垂直、角平分线，熟练掌握角平分线的运算是解题关键． （1）根据对顶角和邻补角的定义即可得； （2）先根据垂直的定义可得，则可得，再根据角平分线的定义可得，则可得，然后根据对顶角相等即可得； （3）先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据求解即可得． 【规范解答】（1）解：的对顶角是， ∵， ∴与互为邻补角， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 由对顶角相等得：． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式】（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)或 (2)， 【思路引导】本题主要考查了邻补角、角平分线、几何图形中角度计算等知识，弄清图形中各角的关系是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据补角的定义结合图形找出答案即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出的值，先求出的值，再根据角平分线的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：∵是的平分线， 由角平分线的性质可得， 又∵，， ∴， ∴的补角是或． 故答案为：或； （2）由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 题型4 利用邻补角互补求角度 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）根据题意填空： 已知：如图，点O在直线上，平分，． 请说明平分的理由． 解：因为在直线上，所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为平分，所以∠ ∠ （角平分线的定义）， 所以（ ）．所以平分． 【答案】180，，，90，，，等角的余角相等 【思路引导】此题主要考查了垂线和角平分线的定义，由已知条件和观察图形，再利用垂线的定义和角平分线的性质求解即可． 【规范解答】解：因为在直线上， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为平分， 所以（角平分线的定义）， 所以（等角的余角相等）． 所以平分． 故答案为：180，，，90，，，等角的余角相等． 【变式】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在图中，的度数为______． 问题探究 （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值． 问题解决 （3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）秒；（3）秒或秒 【思路引导】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据邻补角的定义求解即可；根据算出旋转的度数，从而得到； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴, 故答案为：； （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴（秒）； （3）存在，理由是： 在旋转过程中，， 当在左侧时， ∵， ∴， 解得：； 当在右侧时， ∴ 综上：的值为秒或秒． 题型5 同位角相等两直线平行 【精讲】（24-25七年级下·山东临沂·期末）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，． (1)与的大小关系是______；和的大小关系是相等，依据是______；反射光线与平行，依据是______； (2)解决问题： ①如图②，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，求和的度数； ②在①中若，则______，若，则______； (3)由（2）请你猜想：当______时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的，并证明． 【答案】(1)相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 (2)①，；②， (3)，证明见解析 【思路引导】本题在平面镜反射光线的背景下考查角的运算，熟练掌握平行线的判定定理与性质以及补角定义，三角形内角和为是解题的关键． （1）①根据题意利用平行线的性质进行分析即可； ②根据题意利用平行线的判定定理进行分析即可； （2）图见解析，根据题意得，再利用平行线的判定定理与性质以及补角定义，得出度数，再利用三角形内角和为进行综合分析求解； （3）先提出猜想时，再结合平行线的性质以及补角定义，三角形内角和为进行证明． 【规范解答】（1）解：， ， 又 ，， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． （2） ①如图所示 由光的反射可知且 故答案为：，； ② 度数与无关，若，；若， 故答案为：， （3）时，理由如下： 当，则 故答案为： 【变式】（22-23七年级下·重庆北碚·期中）如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得 ，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【规范解答】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选B． 【考点剖析】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 题型6 内错角相等两直线平行 【精讲】（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，已知． (1)试判断直线与的位置关系； (2)如图2，如果平分，平分，直线相交于点，过点作交直线于点，试证明； (3)在（2）的条件下，若，求的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）将转化为，依据“内错角相等两直线平行”，证得； （2）先根据平行线的性质得出，结合角平分线的意义得出，再证明，从而可得； （3）先求得，再利用平行线的性质求得，，然后结合角平分线的意义与，求得的大小． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平分，平分，直线，相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又， ∴，， 又平分， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了角平分线的有关计算，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，两直线平行内错角相等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式】（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．    (1)求证：； (2)点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设． ①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；或，理由见解析 【思路引导】（1）根据角平分线的定义得到，进而得到，即可推出； （2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答； ②分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）①可得结果；当点G在点F的左侧时，同理进行解答即可． 【规范解答】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：①      ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 解得； 故答案为：50； ②α和β之间的数量关系为或，理由如下： 当点G在点F的右侧，由（2）①得， 当点G在点F的左侧时，如图2，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， 综上所述，α和β之间的数量关系为或． 【考点剖析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系进行运算是解题关键． 题型7 同旁内角互补两直线平行 【精讲】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定 的条件是 填所有正确条件的序号 【答案】 【思路引导】本题考查了同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐一判定各条件，即可得以结果． 【规范解答】解：， 内错角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 同位角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件不符合题意； 综上，符合题意， 故答案为：． 【变式】（22-23七年级下·广东广州·期末）已知直线与直线分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且．    (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数； (3)如图3，若，延长线段得射线，延长线段得射线，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时开始旋转，当射线时，求满足条件的t的值为多少． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5或15 【思路引导】（1）由角平分线的定义，可知，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设，根据角平分线性质可得，再根据即可表示出，根据即可求出； (3) 分两种情况讨论：时，，，则；时，，，则，分别求出t即可． 【规范解答】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵平分， ∴，， ∵和的角平分线交于点P，且， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示：    由题意可得：，， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，解得：； 如图所示：    由题意可得：，， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上，的值为5或15． 【考点剖析】本题考查平行线的性质，熟练两直线平行角之间的关系，根据射线的运动情况画出符合题意的图是解题的关键． 题型8 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【精讲】（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了格点作图、平行线的判定、垂直的定义，在网格中找出特殊的格点，按要求作图是解题的关键． （1）找到格点，使得，则有，即可得到； （2）找到格点，使得等于直线与网格水平线形成的锐角，再根据角度运算可得，即可得到． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 【变式】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）小明和小亮一起研究一道数学题，如图，在中，过点作于点，点是边上的一动点，过作于点，点在上，连，． 小明说：“如果还知道，则能得到．” 小亮说：“如果，可得到．” 则下列判断正确的是（    ） A．小明说法正确，小亮说法错误 B．小明说法正确，小亮说法正确 C．小明说法错误，小亮说法正确 D．小明说法错误，小亮说法错误 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质．根据垂直于同一条直线的两直线平行可得，根据两直线平行，同位角相等可得，若，推得，根据内错角相等，两直线平行可得，判断小明说法错误；若，根据同位角相等，两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，即可推得，判断小亮说法正确． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 若，则， ∴，故小明说法错误； 若， 则， ∴， ∴，故小亮说法正确； 故选：C. 题型9 两直线平行同位角相等 【精讲】（24-25七年级下·四川泸州·期中）请填空，完成下面的证明． 如图，已知于点D，于点F，，证明： 证明：，已知， ______， 同位角相等，两直线平行， ______， 已知， ______， ______， ______ 【答案】垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等 【思路引导】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据同位角相等，两直线平行得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【规范解答】证明：，已知， 垂直的定义， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同旁内角互补， （已知）， 同角的补角相等， 内错角相等，两直线平行， 两直线平行，同位角相等 故答案为：垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等． 【变式】（22-23七年级下·山西忻州·期末）综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为 ；如图2，，，则与之间的数量关系为 ． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据平行线的性质，同位角相等，等量代换，即可；平行线的性质，内错角相等，同旁内角互补，即可； （2）根据平行公理，平行线的性质，即可； （3）延长，交于点，根据平行线的性质，得，，，根据等量代换，得，再根据平角等于，等量代换，即可． 【规范解答】（1）∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）延长，交于点， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴．      【考点剖析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，平角的性质． 题型10 两直线平行内错角相等 【精讲】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． (1)在图中，过点作直线的垂线，垂足为点； (2)在图中，作，使； (3)在图中，作点，使点在线段上且的长度最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【思路引导】（）根据网格线的特征画图； （）根据网格线的特征画图； （）根据两点之间线段最短求解； 本题考查格点作图，作平行线，两点之间线段最短，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，根据网格特征可知，， ∴即为所求； （2）解：根据网格特征可知：如图， ∵， ∴， ∴即为所求； （3）解：根据两点之间线段最短，如图， 连接交于点， ∴点即为所求． 【变式】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点E在上，点G在上．    (1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数． (2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示． (3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________ 【答案】(1)； (2) (3)（或） 【思路引导】（1）作，可得，再利用角平分线求出结果； （2）设，求出，再利用角平分线及平行的性质求得，最后根据即可求解； （3）过点作，由角平分线求得、，最后利用整理式子即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图，作， ， ， ， ， ， 平分， ， 平分， ， ；    （2）如图，设交于点M， 平分， 设，则， 由（1）得，， ， 平分， ， ， ， ， 在中，；    （3）如图，过点作， ， ， ，， ，， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ．    【考点剖析】本题考查平行线的性质，平行线的拐角问题，角平分线的性质，掌握辅助线的作法是解决本题的关键． 题型11 两直线平行同旁内角互补 【精讲】（24-25七年级下·吉林·期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)两边分别平行的两个角相等或互补 【思路引导】本题考查了平行线的性质、等量代换等知识点，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后等量代换即可证明； （2）根据两直线平行，内错角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后等量代换即可解答； （3）综合（1）（2）即可解答． 【规范解答】（1）解：如图1， ，， ， ． （2）如图2，，理由如下： ，， ， ． （3）综合（1）（2）可得，两边分别平行的两个角相等或互补． 【变式】（22-23六年级下·山东烟台·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)； (2) (3)①；②，理由见解析 【思路引导】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补得出，，即可得到最后结论； （3）①的度数为，过点作，根据平行线性质求得，，即可求得的度数；②，过点作，根据平行线性质得到，，即可退出最后结论． 【规范解答】（1）解：过点作， ，， 又因为， 所以；    （2）解：如图，过点作，   ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①的度数为；    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ； ②，    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理． 题型12 根据平行线判定与性质求角度 【精讲】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 【变式】（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【规范解答】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 题型13 根据平行线判定与性质证明 【精讲】已知直线，且、和、分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在上．设，，， (1)探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由． 证明：过点P作 （已作） （    ） ，（已知） （    ） （    ） (2)如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间的关系 发生变化（填会或不会） (3)如果点P在A、B两点外侧运动时，①当点P在射线上时，猜想、、之间的关系为 （点P和A、B不重合）；②当点P在射线上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为 （点P和A、B不重合）． 【答案】(1)见解析 (2)不变 (3)；． 【思路引导】本题考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定及性质即可解答； （2）点P在A、B两点之间运动时，同（1）可得，即可解答； （3）分两种情况：①当点P在射线上时，②点P在射线上时，同（1）思路即可求解． 【规范解答】（1）证明：过点P作 ∵（已作） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴； 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等． （2）解：如果点P在A、B两点之间运动时，同（1）可得 ，关系不变． 故答案为：不变； （3）解：①当点P在射线上时，如图， 过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴即；； 当点P在射线上时，如图， 过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴即． 综上所述，当点P在A、B两点外侧运动时或． 故答案为：；． 【变式】已知，点A、点B分别在线段上，． (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点F和点E，则_________．（直接写出角度和） (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．（补充说明：本题三角形内角和，四边形内角和可直接用） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，整理得，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证，则，再由即可求解． 【规范解答】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过B作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：； （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 题型14 利用平行线间距离解决问题 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【答案】(1)和，和，和； (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查了等底等高的三角形的面积相等． （1）（2）等底等高的三角形的面积相等． （3）连接，过点D做交的延长线于点M，连接．根据等底等高的三角形的面积相等，的面积=的面积，进而得出四边形的面积等于五边形的面积． 【规范解答】（1）解：根据等底等高的三角形的面积相等，可知：图1中面积相等的各对三角形：和，和，和； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与的面积相等； （3）如图所示：即为所求； 【变式】（21-22七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质以及三角形的周长和面积计算．熟练掌握平行线的性质以及三角形的周长和面积计算是解题的关键． 通过分析点移动时各值得变化情况来判断即可． 【规范解答】解：直线， 点到直线n的距离不变，故①不符合题意； ，的长度随点的移动而变化， 的周长会随点的移动而变化，故②符合题意； 点P到直线n的距离不变，的大小不变， 的面积不变，故③不符合题意； 的大小随点的移动而变化，故④符合题意； 综上所述，随点P的移动而变化的是②④． 故选C． 1．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 【答案】A 【思路引导】本题考查角度的计算，垂直的定义，根据垂直的定义，可得的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的倍分关系，可得的度数，根据，可得答案． 【规范解答】解：∵， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）的对顶角是，的邻补角是，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了邻补角的定义以及对顶角性质，得出是解题关键． 根据的邻补角是，得到，结合对顶角即可得到． 【规范解答】的邻补角是，， ， 的对顶角是， ． 故选：B． 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据可得，根据与平行可得，再根据角平分线的定义即可解答． 【规范解答】解：∵都与地面平行，， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 4．如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【规范解答】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查角平分线及邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线及邻补角的定义进行计算即可． 【规范解答】解：平分，， ， ， 故选：B． 6．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【答案】 【思路引导】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可． 本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：55． 7．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，点为直线上一点，，、分别是和的平分线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【思路引导】根据角平分线的定义，垂直的定义，逐一判断即可得出结论． 本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键． 【规范解答】①∵是的平分线 ∴，故①正确； ②∵ ∴ ∴，故②错误； ③∵、分别是和的平分线 ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． 8．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，直线交于点．交于点，过点的直线交于点，若，，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，利用平行线的性质与角的和差先求解，，再进一步求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（21-22七年级上·四川乐山·期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，延长交于，由平行线的性质可得，由邻补角定义求出，然后利用三角形内角和等于180度即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】①②④ 【思路引导】本题主要考查平行线的拐点模型，过点H作，设，，则，，分别表示出、，即可分析出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， ∴③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 11．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，，．求． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，由平行线的性质得，即得，得到，再根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，的顶点、分别落在直线、上，交于点，且平分． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出，再根据三角形外角的性质求出，利用平行线的性质即可解决问题； （2）根据角平分线的定义求出，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）可知， ∵平分， ∴， ， ∴是直角三角形． 13．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线与相交于点O，是的平分线，已知． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，角的和差，及对顶角的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）由角平分线的定义得，然后根据邻补角的定义即可求解； （2）先根据求出，由对顶角的性质得，然后根据求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∴ （2）由（1）得，又 ∴ 又∵ ∴ 14．（24-25七年级下·云南丽江·期末）点是直线上一点，射线平分． (1)如图①所示，射线在内部，，若，求的度数； (2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的定义及平角的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设，则，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可； （2）由题意设，，，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：设，则． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， 设，，， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 15．（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【规范解答】（1）解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破11 相交线与平行线 （知识回顾+14个重难点培优题型+真题演练 共43题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：对顶角的概念与性质 2 知识点梳理02：垂线 3 知识点梳理03：同位角、内错角、同旁内角 5 知识点梳理04：平行线的概念与表示 5 知识点梳理05：平行线的判定方法 5 重点难点 培优讲练 7 题型1 垂线段最短 7 题型2 对顶角相等 8 题型3 找邻补角 9 题型4 利用邻补角互补求角度 10 题型5 同位角相等两直线平行 11 题型6 内错角相等两直线平行 12 题型7 同旁内角互补两直线平行 13 题型8 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 14 题型9 两直线平行同位角相等 15 题型10 两直线平行内错角相等 16 题型11 两直线平行同旁内角互补 17 题型12 根据平行线判定与性质求角度 19 题型13 根据平行线判定与性质证明 20 题型14 利用平行线间距离解决问题 22 期末真题 实战演练 23 知识点梳理01：对顶角的概念与性质 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：两直线相交，对顶角相等．上图中：， 【易错点拨】 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 2．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 【易错点拨】 (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 角的名称 图示 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边. 邻补角互补 3. 对顶角与邻补角对比： 知识点梳理02：垂线 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的画法： 作图工具：三角板、圆规、量角器、方格纸 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【易错点拨】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 4．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 【易错点拨】 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 5．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段的长度。 【易错点拨】 （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点梳理03：同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 类似于大写字母F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 类似于大写字母Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 类似于大写字母U 知识点梳理04：平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 知识点梳理05：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 【易错点拨】 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 题型1 垂线段最短 【精讲】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式】如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 题型2 对顶角相等 【精讲】（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 【变式】（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 题型3 找邻补角 【精讲】（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 【变式】（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 题型4 利用邻补角互补求角度 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）根据题意填空： 已知：如图，点O在直线上，平分，． 请说明平分的理由． 解：因为在直线上，所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为平分，所以∠ ∠ （角平分线的定义）， 所以（ ）．所以平分． 【变式】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在图中，的度数为______． 问题探究 （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值． 问题解决 （3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 题型5 同位角相等两直线平行 【精讲】（24-25七年级下·山东临沂·期末）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，． (1)与的大小关系是______；和的大小关系是相等，依据是______；反射光线与平行，依据是______； (2)解决问题： ①如图②，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，求和的度数； ②在①中若，则______，若，则______； (3)由（2）请你猜想：当______时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的，并证明． 【变式】（22-23七年级下·重庆北碚·期中）如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 题型6 内错角相等两直线平行 【精讲】（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，已知． (1)试判断直线与的位置关系； (2)如图2，如果平分，平分，直线相交于点，过点作交直线于点，试证明； (3)在（2）的条件下，若，求的大小． 【变式】（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．    (1)求证：； (2)点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设． ①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 题型7 同旁内角互补两直线平行 【精讲】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定 的条件是 填所有正确条件的序号 【变式】（22-23七年级下·广东广州·期末）已知直线与直线分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且．    (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数； (3)如图3，若，延长线段得射线，延长线段得射线，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时开始旋转，当射线时，求满足条件的t的值为多少． 题型8 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【精讲】（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 【变式】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）小明和小亮一起研究一道数学题，如图，在中，过点作于点，点是边上的一动点，过作于点，点在上，连，． 小明说：“如果还知道，则能得到．” 小亮说：“如果，可得到．” 则下列判断正确的是（    ） A．小明说法正确，小亮说法错误 B．小明说法正确，小亮说法正确 C．小明说法错误，小亮说法正确 D．小明说法错误，小亮说法错误 题型9 两直线平行同位角相等 【精讲】（24-25七年级下·四川泸州·期中）请填空，完成下面的证明． 如图，已知于点D，于点F，，证明： 证明：，已知， ______， 同位角相等，两直线平行， ______， 已知， ______， ______， ______ 【变式】（22-23七年级下·山西忻州·期末）综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为 ；如图2，，，则与之间的数量关系为 ． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 题型10 两直线平行内错角相等 【精讲】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． (1)在图中，过点作直线的垂线，垂足为点； (2)在图中，作，使； (3)在图中，作点，使点在线段上且的长度最小． 【变式】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点E在上，点G在上．    (1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数． (2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示． (3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________ 题型11 两直线平行同旁内角互补 【精讲】（24-25七年级下·吉林·期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【变式】（22-23六年级下·山东烟台·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    题型12 根据平行线判定与性质求角度 【精讲】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【变式】（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 题型13 根据平行线判定与性质证明 【精讲】已知直线，且、和、分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在上．设，，， (1)探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由． 证明：过点P作 （已作） （    ） ，（已知） （    ） （    ） (2)如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间的关系 发生变化（填会或不会） (3)如果点P在A、B两点外侧运动时，①当点P在射线上时，猜想、、之间的关系为 （点P和A、B不重合）；②当点P在射线上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为 （点P和A、B不重合）． 【变式】已知，点A、点B分别在线段上，． (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点F和点E，则_________．（直接写出角度和） (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．（补充说明：本题三角形内角和，四边形内角和可直接用） 题型14 利用平行线间距离解决问题 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【变式】（21-22七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 1．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 2．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）的对顶角是，的邻补角是，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．或 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 7．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，点为直线上一点，，、分别是和的平分线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 8．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，直线交于点．交于点，过点的直线交于点，若，，则的度数是 ． 9．（21-22七年级上·四川乐山·期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是 ． 10．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 11．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，，．求． 12．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，的顶点、分别落在直线、上，交于点，且平分． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 13．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线与相交于点O，是的平分线，已知． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 14．（24-25七年级下·云南丽江·期末）点是直线上一点，射线平分． (1)如图①所示，射线在内部，，若，求的度数； (2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数． 15．（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $