2.2有理数的加减运算（融汇贯通讲义） 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数加减运算核心知识点，构建“加法法则与运算律—减法转化加法—混合运算统一与技巧—生活实际应用”的递进式学习支架，系统梳理从基础运算到综合应用的逻辑脉络。 资料精选各地期中试题设计练习，通过温度计算、行程记录等实际案例培养用数学眼光观察现实世界的意识，运算律推理与符号转化过程强化数学思维，助力课中教学效率提升，课后学生可依此回顾知识、弥补薄弱点。

2.12.有理数的加减运算（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：有理数的加法】 1 【知识点2：有理数的减法】 4 【知识点3：有理数的加减混合运算】 7 【知识点4：各类运算的生活实际应用】 10 巩固与提升 【知识点1：有理数的加法】 · 加法法则：这是计算的核心依据，需先判断加数符号再计算。同号两数相加，取相同符号并把绝对值相加，例如；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值，比如，且互为相反数的两个数相加得0，如；一个数同0相加，仍得这个数，像。 · 加法运算律：用于简化计算。加法交换律即两个有理数相加，交换加数位置和不变，表达式为；加法结合律指三个有理数相加，先加前两个数或先加后两个数和不变，表达式为。比如计算，可利用交换律转化为。 【练习加强：有理数的加法】 （25-26七年级上·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． （25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． （25-26七年级上·江西赣州·期中）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． （25-26七年级上·广西崇左·期中）若，，且，那么等于（） A．或 B．或 C．或 D．或 （24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 （24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【知识点2：有理数的减法】 · 减法法则：核心是将减法转化为加法运算，法则内容为减去一个数，等于加上这个数的相反数，用公式表示为。转化时要同时改变两个符号，一是运算符号（减号变加号），二是减数的性质符号（减数变为其相反数）。例如，。 注意事项：减法无交换律，不能随意交换被减数与减数的位置，比如；0减任何数需严格遵循法则计算，如，而非仍得原数。 【练习加强：有理数的减法】 （25-26七年级上·河北唐山·期中）小明给出了的计算步骤，如图，则他从第几步开始出现错误（    ） 第一步 第二步 第三步 第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 （25-26七年级上·山西临汾·期中）如图为小宁设计的寒假期间日程计划表，他将作息时间与数轴上的点对应（1个单位长度表示1小时）．已知小宁每天上床睡觉，则有以下说法：①小宁每天早上起床；②小宁每天开始吃晚饭；③小宁每天晚上睡觉时长为7.5个小时，其中正确的说法是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ （25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）若，，且，则的值为（    ） A．8或18 B．18或 C．8或 D．或18 （25-26七年级上·河北衡水·期中）如果，则表示的点落在如图数轴上的（   ） A．区域 B．区域 C．区域 D．以上都不对 （25-26七年级上·广西桂林·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【知识点3：有理数的加减混合运算】 · 运算转化：由于减法可转化为加法，所有有理数加减混合运算都能统一成加法运算，转化后可写成省略括号和加号的代数和形式。例如算式，转化后为，进一步省略括号和加号可写成。 · 运算技巧：统一成加法后，可灵活运用加法运算律简化计算。通常会把互为相反数的数结合、能凑整的数结合、同分母（或同符号）的数结合计算。比如计算，可转化为，再通过交换律和结合律组合为。 · 运算顺序：无括号时，既可以从左到右依次计算，也可转化为加法后用运算律简化计算；若有括号，优先计算括号内的式子。 【练习加强：有理数的加减混合运算】 （25-26七年级上·江西赣州·期中）计算的值等于(    ) A． B． C． D． （25-26六年级上·山东泰安·期中）已知有理数a，b，c满足：a到原点的距离是4，b是最小的正整数，且，则的可能值有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （25-26七年级上·云南临沧·期中）不改变原式的值，把写成省略括号的和的形式为（    ） A． B． C． D． （25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则a的位置在如图所示数轴上的（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ （25-26七年级上·河北保定·阶段练习）嘉琪计算一道部分被污损的数学题（如图），则题目中被污损的数是（    ） A．10 B． C．20 D． 【知识点4：各类运算的生活实际应用】 · 有理数加法的生活应用：该运算常用于计算存在“累加”或“合并”关系的相反意义的量，常见于温度记录、收支计算等场景。比如某奶茶店周一盈利120元，周二盈利80元，周三亏损30元（亏损记为负），计算这三天的总盈亏情况，可列算式元，即这三天总盈利170元；再如登山时，先向上攀登80米，随后因路线调整又向上攀登米（实际为向下走40米），计算最终相对起点的攀登高度，算式为米，即最终向上攀登了40米。 · 有理数减法的实际应用：常用来计算两个量之间的差值，像温差、海拔差、库存变化等问题都适用。例如： 某天成都的最高气温是12℃，最低气温是，计算当天的温差，列式为；又如某仓库原有货物500箱，运出200箱后，求剩余货物量，可列算式箱；再比如A山峰海拔2500米，B峡谷海拔米（低于海平面记为负），两者的高度差为米。 · 有理数加减混合运算的应用：多用于解决存在多个连续变化过程的实际问题，比如行程、多时段温度变化等场景。比如： 小明从家出发，先向东走300米（向东记为正），接着向西走500米，之后又向东走200米，计算小明最终离家的距离，列式为米，即小明最终回到了家；再如某地区清晨气温为，中午上升8℃，傍晚又下降4℃，求傍晚气温，列算式为，即傍晚气温为7℃。 【练习加强：各类运算的生活实际应用】 （25-26七年级上·广东深圳·期中）随着户外运动的兴起，越来越多人开始参与登山活动．某登山队员挑战一座山峰，他以海拔3500米的大本营为徒步起点，记录了某日上午三段行程的海拔变化（上升记为“+”，下降记为“-”，单位：米）． 行程阶段 第一阶段 第二阶段 第三阶段 海拔变化 问：这三段行程结束后，该登山队员的海拔比在大本营时（   ） A．高了130米 B．高了290米 C．低了130米 D．低了290米 （25-26七年级上·云南昆明·期中）手机支付给生活带来便捷，如下是张老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（    ） 微信红包——来自王某某 某平台商户 扫二维码付给某店 A．收入45元 B．支出36元 C．支出9元 D．收入9元 （2023·浙江台州·一模）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.12.有理数的加减运算（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：有理数的加法】 1 【知识点2：有理数的减法】 4 【知识点3：有理数的加减混合运算】 7 【知识点4：各类运算的生活实际应用】 10 巩固与提升 【知识点1：有理数的加法】 · 加法法则：这是计算的核心依据，需先判断加数符号再计算。同号两数相加，取相同符号并把绝对值相加，例如；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值，比如，且互为相反数的两个数相加得0，如；一个数同0相加，仍得这个数，像。 · 加法运算律：用于简化计算。加法交换律即两个有理数相加，交换加数位置和不变，表达式为；加法结合律指三个有理数相加，先加前两个数或先加后两个数和不变，表达式为。比如计算，可利用交换律转化为。 【练习加强：有理数的加法】 （25-26七年级上·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直接计算每个选项的表达式，判断其是否正确．有理数的加减运算遵循符号规则：同号相加取同号，异号相加减去绝对值较大的符号；减去一个数等于加上它的相反数． 本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴ 正确． B、∵， ∴ 错误． C、∵， ∴ 错误． D、∵， ∴ 错误． 故选：A． （25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． （25-26七年级上·江西赣州·期中）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算及古代算筹的表示规则，解题的关键是根据“正放表示正数、斜放表示负数”的规则确定图1中算筹对应的数． 先依据算筹的表示规则，确定图2中正放、斜放算筹对应的数，再列出加法算式计算结果． 【详解】解：根据题意，正放的算筹表示正数，斜放的表示负数： 图1中，正放的算筹有3根，表示； 图2中，斜放的算筹有4根，表示； 因此算式为． 故选 C． （25-26七年级上·广西崇左·期中）若，，且，那么等于（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵， ∴或，或， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，， ∴或， 故选：B． （24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． （24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【知识点2：有理数的减法】 · 减法法则：核心是将减法转化为加法运算，法则内容为减去一个数，等于加上这个数的相反数，用公式表示为。转化时要同时改变两个符号，一是运算符号（减号变加号），二是减数的性质符号（减数变为其相反数）。例如，。 注意事项：减法无交换律，不能随意交换被减数与减数的位置，比如；0减任何数需严格遵循法则计算，如，而非仍得原数。 【练习加强：有理数的减法】 （25-26七年级上·河北唐山·期中）小明给出了的计算步骤，如图，则他从第几步开始出现错误（    ） 第一步 第二步 第三步 第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数；加法运算时，应取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】∵ ， ∴第一步正确； ∵ （∵，结果取正号，）， 但第二步写为 ，错误， ∴从第二步开始错误． 故选：B． （25-26七年级上·山西临汾·期中）如图为小宁设计的寒假期间日程计划表，他将作息时间与数轴上的点对应（1个单位长度表示1小时）．已知小宁每天上床睡觉，则有以下说法：①小宁每天早上起床；②小宁每天开始吃晚饭；③小宁每天晚上睡觉时长为7.5个小时，其中正确的说法是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数的减法运算，理解题意是解题的关键． 根据表示数字9，进而推导出起床和晚饭的时间，逐项分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴小宁在上床睡觉之前14小时起床， ∵小宁每天上床睡觉， ∴小宁每天早上起床，故①正确； ∵， ∴小宁在上床睡觉之前4小时开始吃晚饭， ∵小宁每天上床睡觉， ∴小宁每天开始吃晚饭，故②正确； ∵小宁每天上床睡觉，每天早上起床， ∴小宁每天晚上睡觉时长为个小时，故③错误； ∴综上所述，正确的说法是①②． 故选：A． （25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）若，，且，则的值为（    ） A．8或18 B．18或 C．8或 D．或18 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的加法和减法，根据绝对值的定义，a和b各有两种可能值，结合的条件，排除不满足的情况，最后计算的值． 【详解】解：∵，， ∴ ，， 又∵， ∴只有，或，满足， 当，时，； 当，时，， ∴的值为8或18， 故选：A． （25-26七年级上·河北衡水·期中）如果，则表示的点落在如图数轴上的（   ） A．区域 B．区域 C．区域 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法，有理数的大小比较等知识，先求出的值即可判定在哪一部分． 【详解】解：因为，， 即 所以的值的对应点落在如图数轴上的范围是； 故选B． （25-26七年级上·广西桂林·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，根据数轴可推出，据此化简绝对值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 【知识点3：有理数的加减混合运算】 · 运算转化：由于减法可转化为加法，所有有理数加减混合运算都能统一成加法运算，转化后可写成省略括号和加号的代数和形式。例如算式，转化后为，进一步省略括号和加号可写成。 · 运算技巧：统一成加法后，可灵活运用加法运算律简化计算。通常会把互为相反数的数结合、能凑整的数结合、同分母（或同符号）的数结合计算。比如计算，可转化为，再通过交换律和结合律组合为。 · 运算顺序：无括号时，既可以从左到右依次计算，也可转化为加法后用运算律简化计算；若有括号，优先计算括号内的式子。 【练习加强：有理数的加减混合运算】 （25-26七年级上·江西赣州·期中）计算的值等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．将序列每两个数分组，每组和为，最后剩余一个正数，计算组数和剩余项求和． 【详解】解： ． 故选：C． （25-26六年级上·山东泰安·期中）已知有理数a，b，c满足：a到原点的距离是4，b是最小的正整数，且，则的可能值有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的分类，有理数的加减等知识﹒先根据题意得到，，或，再分类计算即可求解﹒ 【详解】解：∵a到原点的距离是4， ∴或， ∵b是最小的正整数， ∴， ∵ ， ∴或， ∵， ∴﹒ 当，，时，； 当，，时，﹒ 故选：B （25-26七年级上·云南临沧·期中）不改变原式的值，把写成省略括号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握去括号法则．根据去括号法则，括号前是“”时，去括号后各项符号不变；括号前是“”时，去括号后各项符号改变，由此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． （25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则a的位置在如图所示数轴上的（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减运算及数轴上有理数的表示，熟练掌握有理数的加减运算及数轴上有理数的表示是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴a的位置在如图所示数轴上的段①； 故选A． （25-26七年级上·河北保定·阶段练习）嘉琪计算一道部分被污损的数学题（如图），则题目中被污损的数是（    ） A．10 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 根据差加上减数即可． 【详解】解：题目中被污损的数是． 故选：D． 【知识点4：各类运算的生活实际应用】 · 有理数加法的生活应用：该运算常用于计算存在“累加”或“合并”关系的相反意义的量，常见于温度记录、收支计算等场景。比如某奶茶店周一盈利120元，周二盈利80元，周三亏损30元（亏损记为负），计算这三天的总盈亏情况，可列算式元，即这三天总盈利170元；再如登山时，先向上攀登80米，随后因路线调整又向上攀登米（实际为向下走40米），计算最终相对起点的攀登高度，算式为米，即最终向上攀登了40米。 · 有理数减法的实际应用：常用来计算两个量之间的差值，像温差、海拔差、库存变化等问题都适用。例如： 某天成都的最高气温是12℃，最低气温是，计算当天的温差，列式为；又如某仓库原有货物500箱，运出200箱后，求剩余货物量，可列算式箱；再比如A山峰海拔2500米，B峡谷海拔米（低于海平面记为负），两者的高度差为米。 · 有理数加减混合运算的应用：多用于解决存在多个连续变化过程的实际问题，比如行程、多时段温度变化等场景。比如： 小明从家出发，先向东走300米（向东记为正），接着向西走500米，之后又向东走200米，计算小明最终离家的距离，列式为米，即小明最终回到了家；再如某地区清晨气温为，中午上升8℃，傍晚又下降4℃，求傍晚气温，列算式为，即傍晚气温为7℃。 【练习加强：各类运算的生活实际应用】 （25-26七年级上·广东深圳·期中）随着户外运动的兴起，越来越多人开始参与登山活动．某登山队员挑战一座山峰，他以海拔3500米的大本营为徒步起点，记录了某日上午三段行程的海拔变化（上升记为“+”，下降记为“-”，单位：米）． 行程阶段 第一阶段 第二阶段 第三阶段 海拔变化 问：这三段行程结束后，该登山队员的海拔比在大本营时（   ） A．高了130米 B．高了290米 C．低了130米 D．低了290米 【答案】A 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的加减混合运算，掌握知识点是解题的关键． 计算三段行程的海拔变化总和，正数表示上升，负数表示下降，即可判断最终海拔与起点的关系． 【详解】解：∵ ， ∴ 海拔比大本营高了130米． 故选：A． （25-26七年级上·云南昆明·期中）手机支付给生活带来便捷，如下是张老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（    ） 微信红包——来自王某某 某平台商户 扫二维码付给某店 A．收入45元 B．支出36元 C．支出9元 D．收入9元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减混合运算的应用，理解题意是解题关键．根据题意，将各项收支相加，计算代数之和即可得出最终结果． 【详解】解：∵ 收入为正，支出为负， ∴ 最终结果（元）， ∴ 张老师当天微信收支的最终结果是收入9元， 故选：D． （2023·浙江台州·一模）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据题意逐一分析四个选项是否满足题意即可． 【详解】A选项：故选项A错误，不符合题意； B选项：故选项B错误，不符合题意； C选项：故选项C正确，符合题意； D选项：故选项D错误，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了有理数加减运算的实际应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $