专题2.2 有理数的加减运算（15大题型小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学北师大版数学七年级上册

**基本信息** 该专项以“小模块-微专题-大压轴”分层架构，系统整合有理数加减运算的法则应用、符号判断、实际建模及规律探究，提炼运算转化、分类讨论、数形结合等方法，知识逻辑从基础到综合层层递进，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数加法基本运算|1典例+3变式|分类法则应用：同号/异号/含0运算|以加法法则为基础，构建运算分类框架| |加法符号判断|1典例+3变式|符号分类讨论：同号取同/异号比绝对值|衔接加法法则，强化符号逻辑判断| |减法基本运算|1典例+3变式|减法转加法：减变加+减数变相反数|基于加法法则推导，实现运算统一| |加法运算律应用|1典例+3变式|分组凑整：相反数/同分母/符号归类|深化加法法则，提升运算简便性| |加减规律探究|1典例+3变式|分组求和/裂项抵消：符号交替/分数拆分|综合运算能力，培养数学思维与创新意识|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.2 有理数的加减运算》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数加法的基本运算 模块9有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写 模块2 有理数的加法中的符号判断 模块10 有理数加减混合运算的基本计算 模块3 有理数的加法在实际生活中的应用 模块11 有理数加减混合运算的实际应用 模块4 有理数的加法与绝对值、数轴的综合 微专题1有理数的加法运算律的应用 模块5 有理数减法的基本运算 微专题2有理数加减混合运算中的简便计算 模块6有理数的减法概念的理解与辨析 压轴1 有理数加减混合运算中的规律 模块7有理数的减法与数轴的综合应用 压轴2 有理数加减混合运算中的新定义 模块8有理数的减法在实际生活中的应用 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1：加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． （3）一个数同0相加，仍得这个数． 知识点2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．即a＋b=b＋a （2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变．即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点3 ：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即a－b=a＋（﹣）b 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数加法的基本运算 根据加数的不同情况，遵循对应的法则分类计算： 1. 若相加的两个有理数为同号，取二者相同的符号，再将两个数的绝对值相加得到最终结果； 2. 若相加的两个有理数为异号，且二者的绝对值不相等，取绝对值较大的那个加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值得到结果；若两个数互为相反数，则二者相加和为0； 3. 若参与运算的加数中包含0，最终运算结果仍为这个非零的数本身。 【典例1】口算： （1）；    （2）；    （3）；     （4）； （5）；    （6）；    （7）；     （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）0；（5）10；（6）；（7）0；（8）． 【分析】根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 【变式1-1】计算： (1)(-0.9)+(-2.7)； (2)3.8+(-8.4)； (3)(-0.5)+3； (4)3.92+1.78； (5)7+(-3.04)； (6)(-2.9)+(-0.31)； (7)(-9.18)+6.18； (8)4.23+(-6.77)． 【答案】(1)-3.6 (2)-4.6 (3)2.5 (4)5.7 (5)3.96 (6)-3.21 (7)-3 (8)-2.54 【分析】根据有理数加法法则对题目中给出的小题一一进行计算． （1）(-0.9)+(-2.7)＝-3.6； （2）3.8+(-8.4)＝-4.6； （3）(-0.5)+3＝2.5； （4）3.92+1.78＝5.7； （5）7+(-3.04)＝3.96； （6）(-2.9)+(-0.31)＝-3.21； （7）(-9.18)+6.18＝-3； （8）4.23+(-6.77)＝-2.54． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法法则：（1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．（2）绝对值不相等的异号两数加减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得．（3）一个数同0相加，仍得这个数． 【变式1-2】计算 （1）+(－)；    （2）(－)+(－)；    （3）(－)+；       （4）(－)+(－)； （5）+(－2)；   （6）(－)+(－1)；   （7）(－1)+(－2)；   （8）3+(－1)； （9）．（10） （11）     （12） 【答案】（1）－；（2）－1；（3）；（4）－；（5）－2；（6）－1；（7）－3；（8）2 （9）．（10） （11）；（12） 【详解】根据有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号并把绝对值相加．2．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得零． 解：（1）原式＝＝﹣； （2）原式＝﹣﹣＝﹣1； （3）原式＝﹣＝； （4）原式＝﹣＝﹣； （5）原式＝＝＝﹣2； （6）原式＝﹣﹣＝﹣＝﹣1； （7）原式＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣3； （8）原式＝＝＝＝2． （9）． （10）=== （11）=== （12）===． 【点睛】本题考查了有理数的加法，牢记有理数的加法法则是解题的关键． 【变式1-3】计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） （7）(－4)+(－3)+6+(－2)；   （8）(－0.5)+3+2.75+(－5) 【答案】(1)﹣3 (2)﹣50 (3)﹣5 (4)2 (5)1 (6)（7）；（8）0 【分析】(1)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (2)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (3)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (4)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (5)运用加法的交换律和结合律，同分母的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可． （1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） ＝40+[（﹣3）+（﹣32）+（﹣8）] ＝40+（﹣43） ＝﹣3， （2）43+（﹣77）+27+（﹣43） ＝（43+27）+[（﹣77）+（﹣43）] ＝70+（﹣120） ＝﹣50， （3）18+（﹣16）+（﹣23）+16 ＝（18+16）+[（﹣16）+（﹣23）] ＝34+（﹣39） ＝﹣5， （4）（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） ＝[（+7）+4+3]+[（﹣3）+（﹣5）+（﹣4）] ＝14+（﹣12） ＝2， （5）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） ＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）] ＝10+（﹣9） ＝1， （6） ＝ ＝ ＝． （7）(－4)+(－3)+6+(－2)         =[(－4)+(－3)+(－2)]+6    =(－10)+6        =－3   （8）(－0.5)+3+2.75+(－5)   =[(－0.5)+(－5)]+(3+2.75)  =－6+6   =0 【点睛】本题考查了有理数加法法则和加法的运算律，熟练运用有理数的加法法则是解题的关键． 【模块二】有理数的加法中的符号判断 根据参与运算的两个加数的符号属性分类判断： 若两个加数符号相同，和的符号与两个加数的符号保持一致，直接将二者绝对值相加即可得到最终结果； 若两个加数符号不同，只需先比较两个加数绝对值的大小，和的符号与绝对值更大的那个加数的符号一致，再用较大的绝对值减去较小的绝对值得到运算结果；若两个加数互为相反数，最终和为0，没有额外的符号判断需求； 若其中一个加数为0，和的符号与另一个非零加数的符号保持一致，最终结果就是这个非零加数本身。 【典例2】已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【答案】C 【分析】根据有理数加法计算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，并不一定两个加数都是正数，说法错误，不符合题意； B．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，说法错误，不符合题意； C．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，即两个加数中至少有一个正数，说法正确，符合题意； D．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，两个加数可以都是正数，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数加法计算，熟知两个有理数相加，符号取绝对值较大的数的符号是解题的关键． 【变式2-1】两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【答案】B 【分析】根据有理数加法法则分析判断即可． 【详解】解：根据有理数加法法则可知，如果两个有理数的和为负数，可有三种情况：同负；一正一负且负数的绝对值大于正数的绝对值；一个负数和0．显然三种情况中，至少一个为负数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数加法法则，理解并掌握有理数加法法则是解题关键． 【变式2-2】下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．a为任何有理数，则必为负数 C．两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数 D．若，则a为非负数 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，有理数的加法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，∴若，则，选项不正确，不符合题意； B、a为任何有理数，则必为非负数，选项错误，不符合题意； C、两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数，选项正确，符合题意； D、若 ，则a为非正数，选项错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查绝对值得非负性，以及有理数的加法法则．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式2-3】如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】两数异号，两数之和小于0，说明两数一正一负，且负数的绝对值大． 【详解】解：∵a+b＜0， ∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大， ∵a，b异号， ∴a、b异号，且负数的绝对值较大． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟知有理数加法运算法则是解本题的关键． 【模块三】有理数的加法在实际生活中的应用 按照实际场景中不同量的属性，提前设定正负基准后再套用有理数加法运算： 第一类是收支结余类场景，我们可以将收入设定为正、支出设定为负，把一段时间内所有收支对应的数值相加，最终得到的结果就是这段时间的总结余，结果为正代表总收入大于总支出，结果为负则代表总支出大于总收入。 第二类是位移位置类场景，我们可以提前设定一个方向为正、反方向为负，将每个阶段的位移数值相加，最终得到的结果就是运动后相对于起点的位置，符号代表方向，绝对值代表距离起点的远近。 除此之外，温度变化计算、海拔相对高度计算、产量增减统计等各类涉及正负变化量的场景，都可以通过提前设定正负基准，再借助有理数加法快速得到准确的最终结果。 【典例3】某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶纪录如下（单位：千米）： (1)A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ (2)离开出发点最远时是多少千米？ (3)若摩托车行驶千米耗油升，从岗亭到A处共耗油多少升？ 【答案】(1)A在岗亭南，距岗亭13千米 (2)离开出发点最远时是千米 (3)从岗亭到A处共耗油升 【分析】（1）求出记录数据之和，即可作出判断； （2）找出各个位置离出发点的距离，比较即可； （3）求出各数据绝对值之和，乘以即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：， 答：A在岗亭南，距岗亭13千米； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 答：离开出发点最远时是千米； （3）根据题意得：， ∵摩托车行驶千米耗油升， ∴摩托车行驶千米耗油升， 升， 答：从岗亭到A处共耗油升． 【点睛】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键． 【变式3-1】温度由﹣4℃上升7℃是（　　） A．3℃ B．﹣3℃ C．11℃ D．﹣11℃ 【答案】A 【详解】【分析】根据题意列出算式，再利用加法法则进行计算即可得． 【详解】-4+7=3， 所以温度由﹣4℃上升7℃是3℃， 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则． 【变式3-2】．一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（　　） A．-4 B．4 C．2 D．0 【来源】【冀教版】七年级上册 第一章 有理数 专题集训二 数形结合与数轴 【答案】C 【详解】解：我们就让小虫倒回来：从-2向右爬7个单位，再向左爬3个单位得-2+7-3=2．故选C． 【变式3-3】某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶纪录如下（单位：千米）： (1)A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ (2)离开出发点最远时是多少千米？ (3)若摩托车行驶千米耗油升，从岗亭到A处共耗油多少升？ 【答案】(1)A在岗亭南，距岗亭13千米 (2)离开出发点最远时是千米 (3)从岗亭到A处共耗油升 【分析】（1）求出记录数据之和，即可作出判断； （2）找出各个位置离出发点的距离，比较即可； （3）求出各数据绝对值之和，乘以即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：， 答：A在岗亭南，距岗亭13千米； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 答：离开出发点最远时是千米； （3）根据题意得：， ∵摩托车行驶千米耗油升， ∴摩托车行驶千米耗油升， 升， 答：从岗亭到A处共耗油升． 【点睛】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键． 【模块四】有理数的加法与绝对值、数轴的综合 第一类是绝对值化简类综合题，解决这类问题时，先借助数轴上各点的位置，判断出参与加法运算的每个数的正负性与绝对值大小关系，结合有理数加法法则确定和的符号，再根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，完成计算。 第二类是数轴上两点位置类综合题，已知一个点对应的有理数和两点之间的距离，求另一个点对应的有理数时，可根据点的位置分类讨论：待求点在已知点左侧和右侧两种情况，分别结合加法运算得到结果，对应两种不同的位置。 第三类是绝对值非负性结合求值类问题，利用任意有理数的绝对值都是非负数的性质，若多个绝对值的和为0，则每个绝对值都等于0，据此求出每个未知数的值后，再通过有理数加法计算得到待求代数式的值。 【典例4】若两个非零的有理数a、b，满足：，，，则在数轴上表示数的点正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，及a、b为非零数，得出，根据得出的绝对值比大，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵，，a、b为非零数， ∴ 由∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的加法以及大小比较，关键是根据已知条件判断a，b的范围． 【变式4-1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， 故C选项符合题意，A，B，D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数的加法运算的理解，掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解本题的关键． 【变式4-2】实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可得，从而得到，再由，可得，且，从而得到，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴b的值可以是2． 故选：D 【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b的取值范围． 【变式4-3】如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目中的条件，可以把，，，，分别求出来，即可判断． 【详解】解：根据题意可求出： A，，故选项错误，不符合题意； B，，故选项错误，不符合题意； C，，故选项正确，符合题意； D，，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一一对应，解题的关键是：根据题意直接求出，，，，的值即可判断． 【模块五】有理数减法的基本运算 有理数减法运算核心遵循“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的法则，本质是将减法运算转化为已掌握的有理数加法运算来计算，具体操作可按步骤分情况处理： 首先进行转换步骤，保持被减数不变，将原式中的减号变为加号，同时把减数变为它本身的相反数，完成减法到加法的转换后，再按照有理数加法的运算规则计算最终结果。 若遇到特殊情况：当减数为0时，转换后为一个数加0，根据加法规则，最终结果仍为原被减数，和本节点“一个数同0相加，仍得这个数”的结论保持一致；当被减数为0时，转换后为0加上减数的相反数，最终结果就是减数的相反数。 如果是多个有理数的连减运算，可以依次将每一步的减法都转换为加法，之后统一按照多个有理数相加的规则计算即可，符号判断规则与有理数加法完全一致。 【典例5】口算： ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【答案】（1）；（2）8；（3）；（4）2；（5）0；（6）；（7）7；（8）；（9）20． 【分析】按照有理数的减法和加法法则，分别对各式进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【点睛】本题考查了有理数的减法和加法法则，熟悉相关运算法则是解题的关键． 【变式5-1】计算 (1)－0.257－4.47； (2). （3）； （4）. （5）；     （6）；     （7）；     （8）． (9)； 【答案】(1)－4.727；(2).（3）1（4）（5）；（6）；（7）；（8）(9) 【详解】 －0.257－4.47＝-0.257+（-4.47） =-（0.257+4.47）=－4.727. (2). （3）. （4） （5） （6） （7） （8） （9）=； 【变式5-2】(1)比2 ℃低8 ℃的温度是____； (2)比－3 ℃低6 ℃的温度是____； (3)比0小4的数是___； (4)比0小－4的数是___； (5)7.4比8.3小____； (6)7.4比8.3大____． 【答案】 －6℃ －9℃ 4 0.9 【分析】本题理清每一问的数量关系，按照有理数减法运算法则列式求解即可． 【详解】（1）2℃与8℃作差，结果为－6℃； （2）－3℃与6℃作差，结果为－9℃； （3）； （4）； （5）； （6）； 【点睛】本题考查有理数减法运算及其实际应用，解题关键在于理清题意，继而按照四则运算法则求解即可． 【变式5-3】计算： （1） （2）； （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据有理数减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，计算即可． 【详解】解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝； （5）原式＝； （6）原式＝． 【点睛】本题考查了有理数的减法法则以及绝对值，熟知运算法则是解本题的关键 【模块六】有理数的减法概念的理解与辨析 首先要紧扣概念本质理解，有理数减法本质上是有理数加法的逆运算：即已知两个有理数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算就是减法，正是这一逆运算关系推导出了“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的运算法则，不能只记转化规则而忽略概念的本质逻辑。 其次要辨析符号的不同含义，运算中同一符号可能兼具“减号（运算符号）”和“负号（性质符号）”两种属性，比如式子a-b，既可以读作“a减b”将“-”看作运算符号，也可以变形为a+(-b)将“-”看作b的性质符号，要能根据运算需求灵活转换，避免概念混淆。 最后要辨析常见的错误结论，比如不少初学者会默认“两个有理数相减，差一定小于被减数”，这一结论只有在减数为正数时成立，当减数是负数或0时结论不成立，比如3 - (-2)=5，得到的差5就大于被减数3，通过这类反例可以帮助辨析概念的边界，深化对有理数减法概念的理解。 【典例6】以下叙述中，不正确的是（　　） A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．两个正数的和一定是正数 C．两个负数的差一定是负数 D．在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数 【答案】C 【分析】利用有理数的加法，减法法则和数轴的意义进行分析判断即可． 【详解】解：A、有理数的减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数，正确； B、两个正数的和一定是正数，正确； C、两个负数的差不一定是负数，例如（−1）−（−5）＝−1＋5＝4，不正确，符合题意； D、在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数，正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，正数和负数，数轴，相反数，有理数的加法．对于错误的命题只要举出反例使它不成立即可，这是解题的关键． 【变式6-1】下列四种说法：①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②两个互为相反数的数和为0；③两数相减，差一定小于被减数；④如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和或差等于零．其中正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解． 【详解】①减去一个数等于加上这个数的相反数，故本小题正确； ②互为两个相反数的两数相加得零，故本小题正确； ③减数是负数时，差大于被减数，故本小题错误； ④如果两个数的绝对值相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数，故本小题正确； 综上所述，正确的有①②④共3个． 故选B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 【变式6-2】下列说法正确的有（　　） ①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数． A．4个 B．2个 C．1个 D．3个 【答案】C 【分析】分别利用有理数的加减运算法则和互为相反数的定义以及数轴分别分析得出答案． 【详解】解：①所有的有理数都能用数轴上的点表示，说法正确； ②只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故此选项错误； ③有理数分为正数和负数、零，故此选项错误； ④两数相减，差一定小于被减数，两负数相减的不同，故此选项错误； ⑤两数相加，和一定大于任何一个加数，异号两数相加，则不同，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减运算法则和互为相反数的定义以及数轴，正确把握相关定义是解题关键． 【变式6-3】有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】观察数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，据此及有理数的运算法则逐个分析即可． 【详解】∵由数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a| ∴①，正确； ②，错误； ③，错误； ④，正确． 综上，①④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了借助数轴进行的相关运算，数形结合，得出相关基本结论，并明确有理数的运算法则，是解题的关键． 【模块七】有理数的减法与数轴的综合应用 最典型的应用是计算数轴上任意两点之间的距离，具体方法为：先读取两个端点分别对应的有理数，用右侧点对应的有理数减去左侧点对应的有理数，或是对两个有理数作差后取绝对值，所得结果就是两点之间的距离，无论两个点同分布在原点同侧还是两侧，该方法都成立。 其次是解决“已知一点对应的有理数和两点间距离，求另一点对应有理数”的问题，这类问题需要结合有理数减法的逆运算分类讨论：待求点既可能在已知点的左侧，也可能在已知点的右侧，分别结合距离条件列减法算式求解，即可得到两种可能的结果，避免出现漏解。 此外，化简含绝对值的有理数减法式子时，也可以结合数轴判断作差的两个有理数的大小关系，快速确定差的正负后去掉绝对值符号，将式子转化为普通的有理数减法运算求解，借助数轴的直观性能大幅降低符号判断的出错概率。 【典例7】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数a，b在数轴上的位置关系可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，再逐项判断即可． 【详解】解：由实数a，b在数轴上的位置关系可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， ∴a＜b，故A说法正确，不符合题意； |a|＞|b|，故B说法正确，不符合题意； b﹣a＞0，故C说法错误，符合题意； ﹣a＞b，故D说法正确，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查数轴上点表示的数，绝对值，相反数，有理数的减法等知识，解题的关键是数形结合，确定a，b的范围． 【变式7-1】如图，有理数a、b在数轴上对应的点如图所示，则的结果是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先确定出a、b表示的数，然后依据有理数的运算法则进行判断即可 【详解】解：根据数轴所示，a、b表示的数分别是-1，1， a-b=-1-1=-2， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴的认识和有理数的减法，确定出a、b表示的数，依据减法法则进行计算是解题的关键． 【变式7-2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析数轴可知，，，再利用有理数的加减法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：， ，A选项不符合题意，错误； ，， ，B选项不符合题意，错误； ，， ，C选项符合题意，正确； ，， ，D选项不符合题意，错误， 故选C． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减法，掌握绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题关键．． 【变式7-3】已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（　　） A．a+b B．﹣a﹣c C．a+c D．a+2b﹣c 【答案】C 【分析】首先根据数轴可以得到a、b、c的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可． 【详解】解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|， ∴a+b＞0，c﹣b＜0 ∴|a+b|﹣|c﹣b|=a+b﹣b+c=a+c， 故答案为a+c． 故选C 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，解题的关键是利用数轴判断出a、b、c的取值范围． 【模块八】有理数的减法在实际生活中的应用 我们可以将生活中具有相反意义的量用正负数表示后，借助有理数减法解决实际差值计算问题，常见应用场景与方法如下： 第一类是差值类计算，比如计算两地温差、海拔差：将高温、高海拔数值作为被减数，低温、低海拔数值作为减数，按照有理数减法法则计算，得到的结果就是对应的温差、海拔差，当出现包含负数的场景（比如零下气温、低于海平面的海拔）时，依然适用该方法。 第二类是收支结余计算：生活记账时，我们可以把收入记为正数、支出记为负数，用初始余额减去总支出，就能得到最终结余，若结余为负则代表支出超过收入，正好对应有理数减法中结果为负的情况。 第三类是位置差计算：比如计算跨楼层的行走层数，将地下楼层记作负有理数、地上楼层记作正有理数，用终点楼层对应的有理数减去起点楼层对应的有理数，取绝对值后就能得到需要行走的总层数，能快速解决日常生活中的这类计算问题。 【典例8】徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象．若1月份的泰山山脚平均气温为9℃，山顶平均气温为－2℃，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（    ） A．11℃ B．－11℃ C．7℃ D．－7℃ 【答案】A 【分析】根据题意，用最高温度减去最低温度即可． 【详解】解：∵山脚平均气温为9℃，山顶平均气温为－2℃， ∴山脚平均气温与山顶平均气温的温差是℃， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数减法的应用，理解题意是解题的关键． 【变式8-1】北京与西班牙的时差为7个小时．比如，北京时间中午12点是西班牙的凌晨5点，2022年2月4日晚8时北京冬奥会开幕式正式开始，在西班牙留学的嘉琪准时观看了直播，直播开始的当地时间为（    ） A．凌晨1点 B．凌晨3点 C．17：00 D．13：00 【答案】D 【分析】根据有理数减法的应用求解即可． 【详解】解：12-5=7 20-7=13，即：直播开始的当地时间为13：00 故选D 【点睛】本题主要考查了有理数减法的应用，题意是解答本题的关键． 【变式8-2】某市11月4日至7日天气预报的最高气温与最低气温如表： 日期 11月4日 11月5日 11月6日 11月7日 最高气温（℃） 19 12 20 19 最低气温（℃） 4 ﹣3 4 5 其中温差最大的一天是（    ） A．11月4日 B．11月5日 C．11月6日 D．11月7日 【答案】C 【分析】求出每天的温差，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：11月4日的温差：19﹣4＝15（℃）， 11月5日的温差：12﹣（﹣3）＝15（℃）， 11月6日的温差：20﹣4＝16（℃）， 11月74日的温差：19﹣5＝14（℃）， 所以温差最大的是11月6日的温差16℃． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的减法及有理数的大小比较，熟练掌握有理数的减法及有理数的大小比较是解题的关键． 【变式8-3】．庐山是江西的旅游胜地，据统计，2022年9月30日到庐山旅游的人数为1万人，“十一黄金周”期间（共7天），庐山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)请判断“十一黄金周”期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ (2)求“十一黄金周”期间去庐山旅游的总人数． 【答案】(1)游客人数最多的是10月4日；游客人数最少的是10月7日；相差1.7万人； (2)“十一黄金周”期间去庐山旅游的总人数是22万人． 【分析】（1）根据表格确定出七天内游客人数最多与最少的，求出之差即可； （2）根据9月30日的人数，以及表格，求出这7天的游客总人数即可． 【详解】（1）解：（万人）， 游客人数最多的是10月4日，有3.9万人； （万人）， 游客人数最少的是10月7日，有2.2万人， （万人），相差1.7万人； （2）解：10月1日游客数：（万人）， 10月2日游客数：（万人）， 10月3日游客数：（万人）， 10月4日游客数：（万人）， 10月5日游客数：（万人）， 10月6日游客数：（万人）， 10月7日游客数：（万人）， 故“十一黄金周”去庐山旅游总人数为：（万人）. 答：“十一黄金周”期间去庐山旅游的总人数是22万人． 【点睛】此题考查了正数与负数，有理数加减运算的应用，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【模块九】有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写 第一步先将算式中所有的减法运算，依据有理数减法法则转化为加法运算，让整个算式改写为多个有理数相加的代数和形式。例如算式(-3)-(+2)-(-7)+(-5)，经过转换后可写成(-3)+(-2)+(+7)+(-5)。 第二步按照去括号规则处理符号与括号：括号前是正号的，去掉括号后括号内数的符号保持不变；括号前是负号的，去掉括号后括号内数的符号全部变为相反符号。 第三步省略所有的加号，保留每个数自身的性质符号完成书写，上述例子经过整理后，就可以省略加号和括号写为-3-2+7-5。 需要注意两个书写规范：一是如果算式第一个数本身是负数，其负号需要保留，不能省略；二是去括号变号时，需要逐一检查每个数的符号，避免出现部分数漏变号的错误。这种省略写法不仅简化了算式形式，也能更方便地运用加法交换律、结合律开展简便运算。 【典例9】将式子（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）省略括号后变形正确的是（    ） A．20－3＋5－7 B．－20－3＋5＋7 C．－20＋3＋5－7 D．－20－3＋5－7 【答案】C 【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号． 【详解】解：原式=（﹣20）＋（＋3）+（+5）+（－7） ＝﹣20＋3＋5﹣7． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数把减法转化为加法是解题关键． 【变式9-1】把（﹣3）﹣（﹣7）＋4﹣（＋5）写成省略加号的和的形式是（    ） A．﹣3﹣7＋4﹣5 B．﹣3＋7＋4﹣5 C．3＋7﹣4＋5 D．﹣3﹣7﹣4﹣5 【答案】B 【分析】原式利用减法法则变形，即可得到结果． 【详解】解：（﹣3）﹣（﹣7）＋4﹣（＋5） =-3+7+4-5 故选：B 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式9-2】式子写成和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式=（-5）+（+3）+（+6）+（+2）． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式9-3】下列式子可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中语句列出式子，再去括号即可得． 【详解】解：“负10、负6、正3、负7的和”用式子表示为， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数加减中的去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键． 【模块十】有理数加减混合运算的基本计算 首先第一步是统一运算形式，根据有理数减法法则，将算式中所有的减法运算全部转化为加法运算，把整个算式改写为多个有理数相加的代数和形式，完成运算的统一。 第二步是简化算式书写，按照我们之前学习的省略加号与括号的规则整理算式，去掉多余的括号与加号，保留每个数的性质符号，得到更简洁的书写形式。 第三步是运用运算律简化计算，根据算式中各数的特征，灵活运用加法交换律与加法结合律分组计算：通常可以将同号的数先结合相加，也可以将能凑成整数、整十数的数优先结合，减少计算量。 最后按照有理数加法法则，依次计算出每组结果，再合并得到最终的答案。需要注意的是，在运用加法交换律交换加数位置时，一定要带着加数自身的符号一起移动，不能只调换数字而遗漏符号，避免出现不必要的计算错误。 【典例10】计算： （1）－3－4+19－11； （2）(＋12)－(－3)＋(－2)－(－25)＋(－3)． （3）(﹣12)+(﹣13)﹣(﹣14)﹣15+16 （4）－17－(－7)+(－16). （5） (6) (7) （8）﹣20﹣（+14）+（﹣18）﹣（﹣13） 【答案】（1）1（2）35.（3）﹣10 （4）－26 （5）8 (6) (7)（8）-39 【详解】（1）解：－3－4+19－11=（－3）+（－4）+19+（－11）=1． （2）原式＝(＋12)＋(＋3)＋(－2)＋(＋25)＋(－3) ＝[(＋3)＋(－3)]＋[(＋12)＋(＋25)]＋(－2) ＝(＋37)＋(－2) ＝35. （3）原式=﹣12﹣13+14﹣15+16 =﹣12-13-15+14+16 =-40+30 =﹣10 （4） (5) ． （6）解：= （7）解：= （8）原式=-20-14-18+13 =-39； 【变式10-1】计算： (1)0﹣1+2﹣3+4﹣5； (2)﹣4.2+5.7﹣8.4+10.2； (3)﹣30﹣11﹣（﹣10）+（﹣12）+18； (4)； (5)； (6) （7）； （8） 【答案】(1)﹣3 （2）3.3 (3)﹣25 (4)﹣ (5) (6) （7）10；（8）-18； 【分析】（1）原式利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （2）原式利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，再利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，再利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （5）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，再利用加法运算律变形后，相加即可得到结果． （1）原式＝（2+4）+（﹣1﹣3﹣5）＝6﹣9＝﹣3； （2）原式＝（5.7+10.2）+（﹣4.2﹣8.4）＝15.9﹣12.6＝3.3； （3）原式＝﹣30﹣11+10﹣12+18＝（﹣30﹣11﹣12）+（10+18）＝﹣53+28＝﹣25； （4）原式＝＝＝； （5）原式＝＝＝＝； （6）原式＝＝＝=． （7）原式； （8）原式 ； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式10-2】计算 （1）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）． （2）． （3）+15+（﹣3）+（﹣22.5）+（﹣15）． （4）﹣8.4+10﹣4.2+5.7． （5）4+[8.6﹣（+3）+（﹣）+（﹣2）]． 【答案】（1）﹣7；（2）；（3）﹣35；（4）3.1；（5） 【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法结合律计算即可； （2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （3）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （4）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （5）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； 【详解】解：（1）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5） =﹣7﹣4+9﹣5 =﹣（7+4+5）+9 =﹣7， （2） ； （3）+15+（﹣3）+（﹣22.5）+（﹣15） =-35； （4）-8.4+10-4.2+5.7 =（-8.4-4.2）+（10+5.7） =-12.6+15.7 =3.1； （5）4+[8.6﹣（+3）+（﹣）+（﹣2）] ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则，此题用运算律是解题关键． 【变式10-3】计算题 （1）     （2） （3）             （4） （5） （6） 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）1002 【分析】（1）、（2）、（3）、（4）直接根据有理数加减混合运算法则求解即可； （5）先根据绝对值的性质去绝对值符号，然后再结合有理数加减混合运算法则求解即可； （6）先观察得出相邻两项之和为1，从而利用规律求解即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）原式= 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的相关运算法则，并注意运算规律与顺序是解题关键． 【模块十一】有理数加减混合运算的实际应用 首先第一步要完成问题建模，先从实际场景中梳理出具有相反意义的量，按照题干约定的正方向，给不同的量标注对应的正、负符号，把实际问题转化为有理数的数量关系问题。 第二步根据题干要求求解的实际问题，梳理各个量之间的运算关系，列出正确的有理数加减混合运算算式。如果实际问题中存在初始量为0的情况，比如初始位移从原点出发、初始账户无余额，只需要遵循当前的运算法则处理即可，不改变原有计算逻辑。 第三步按照加减混合运算的规范步骤计算出结果，最后结合实际问题的情境解释计算结果的含义：若结果为正，则说明结果对应量的方向与设定正方向一致；若结果为负，则说明方向与设定正方向相反，以此得到实际问题的最终答案。 【典例11】某集团公司对所属甲、乙两工厂前5个月经营情况记录如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则这5个月甲厂比乙厂多盈利（　　）万元     月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 甲厂 乙厂 A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4 【答案】B 【分析】先分别求出这5个月甲厂、乙厂的盈利或亏损，再作差即可得． 【详解】解：这5个月甲厂的盈利为（万元）， 这5个月乙厂的盈利为（万元）， 则这5个月甲厂比乙厂多盈利（万元）， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数加减的应用，正确列出运算式子是解题关键． 【变式11-1】股民默克上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况： 星　期 一 二 三 四 五 每股涨跌/元 4 (1)星期三收盘时，每股多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？ 【答案】(1)元 (2)元；66元 【分析】（1）用买进的价格加上周一、周二、周三的涨跌价格，然后根据有理数加法运算法则进行计算即可求解； （2）分别求出这五天的价格，然后即可得解． 【详解】（1）解：（元）， 故星期三收盘时，每股元； （2）解：周一：元， 周二：元， 周三：元， 周四：元， 周五：元， ∴本周内每股最高价为元，最低价66元． 【点睛】本题主要考查正负数表示具有相反意义的量和有理数的加法，解决本题的关键是要熟练掌握正负数表示具有相反意义的量和有理数的加法． 【变式11-2】一出租车某天8：00～10：00以钟楼为出发点在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：、、、、，试回答下列问题： (1)将最后一名乘客送到目的地后，出租车离出发点钟楼有多远？出租车在钟楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机该天8：00～10：00的营业额是多少？ 【答案】(1)离出发点钟楼10千米，出租车在钟楼的东边 (2)他的营业额是30×2.4＝72元 【分析】（1）根据题意把行车里程相加即可； （2）根据绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：（千米） 答：将最后一名乘客送到目的地后，出租车离出发点钟楼10千米，出租车在钟楼的东边． （2）解：出租车共行驶：（千米） 他的营业额是（元）， 答：司机当天的营业额是72元． 【点睛】本题考查了有理数运算法则和绝对值的意义，熟练掌握所学知识是解题关键． 【变式11-3】居里夫人曾说：“不管一个人取得多么值得骄傲的成绩，都应该饮水思源，应当记住是自己的老师为他的成长播下了最初的种子”为表达对教师的敬重，在教师节当天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： (1)当最后一名老师被送达目的地时，小王在出车地点的哪个方向？距出车地点多远？ (2)若汽车耗油量为0.4升/千米，这天上午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)在出车地点的西面，距出车地点25千米 (2)35.2升 【分析】（1）计算出给出的这组数据的和，根据计算结果确定小王与出车地点的距离和方向； （2）求出汽车行驶的总路程，计算即可． 【详解】（1）， ∴当最后一名老师被送达目的地时，小王在出车地点的西面，距出车地点25千米； （2）千米， 升． 答：这天下午汽车共耗油35.2升． 【点睛】本题考查的是正数和负数，理解用正负数表示两种具有相反意义的量是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】有理数的加法运算律的应用 我们可以按照以下步骤规范应用： 第一步：先整理算式，根据有理数减法法则将原式中所有减法转化为加法，得到统一的加法运算形式，再省略算式中的加号与多余括号，方便后续观察分组。 第二步：观察算式中各加数的特征，根据特征选择合适的分组方式结合计算：如果算式中存在互为相反数的两个数，优先将这一组结合相加，结果直接为0，大幅简化计算；如果存在可以凑成整数、整十数的数，优先将这些数结合；如果是分数运算，优先将同分母或者容易通分的分数结合；如果没有上述特殊特征，则将符号相同的数归类结合。 第三步：分别计算每组的和，再将各组结果相加得到最终结果。计算过程中需要注意交换加数位置时，要带着加数的性质符号一起移动，避免遗漏符号出现计算错误。遇到算式中存在加数为0的情况，根据“一个数同0相加，仍得这个数”的法则直接处理，不需要额外调整运算顺序。 【典例12】给下面的计算过程标明运算依据： (＋16)＋(－22)＋(＋34)＋(－78) ＝(＋16)＋(＋34)＋(－22)＋(－78)① ＝[(＋16)＋(＋34)]＋[(－22)＋(－78)]② ＝(＋50)＋(－100)③ ＝－50.④ ①______________；②______________；③______________；④______________． 【答案】①加法交换律；②加法结合律；③有理数的加法法则；④有理数的加法法则 【分析】根据有理数加法法则，相关运算律：交换律：a+b=b+a；结合律（a+b）+c=a+（b+c）．依此即可求解． 【详解】第①步，交换了加数的位置； 第②步，将符号相同的两个数结合在一起； 第③步，利用了有理数加法法则； 第④步，同样应用了有理数的加法法则． 故答案为加法交换律；加法结合律；有理数加法法则；有理数加法法则． 【点睛】考查了有理数的加法，关键是熟练掌握计算法则，灵活运用运算律简便计算． 【变式12-1】用两种方法解： （1）（-41）+18+（-39）+12； （2）+（-）++（-）++（-）． 【答案】（1）-50（2） 【分析】（1）一种方法是先利用交换律与结合律将符号相同加数放在一起进行计算，另一种方法是按式子的运算顺序先将前两个数与后两个数分别结合进行计算； （2）一种方法是先利用加法的交换律与结合律将分母相同的加数放在一起进行计算，另一种方法是先将符号相同的加数放在一起进行计算. 【详解】（1）方法一：原式=[（-41）+（-39）]+（18+12）=-80+30=-50； 方法二：原式=[（-41）+18]+[（-39）+12]=-23+（-27）=-50； （2）方法一：原式= [+（-）]+[（-）+]+[+（-） =+（-1）+（+1）=； 方法二：原式=（++）+[（-）+（-）+（-）] ===. 【点睛】本题考查了有理数的加法，根据加法算式的加数的特点灵活运用加法的运算律简化运算是解题的关键. 【变式12-2】计算下列各题： （1）（-51）+（+12）+（-7）+（-11）+（+36）+（+17）； （2）37.5+（+28）+[（-46）+（-25）]． 【答案】（1）-4（2）-5 【分析】（1）利用加法的交换律与结合律将符号相同的加数放在一起先进行加法运算，然后再按顺序进行计算即可； （2）根据加法的结合律可以将中括号去掉，然后再利用加法交换律及结合律将分母相同的加法放在一起进行计算即可求得最后的结果. 【详解】（1）（-51）+（+12）+（-7）+（-11）+（+36）+（+17） =（-51）+（-7）+（-11）+（+12）+（+36）+（+17） =[（-51）+（-7）+（-11）]+[（+12）+（+36）+（+17）] =(-69)+(+65) =-4； （2）37.5+（+28）+[（-46）+（-25）] =37.5+ （+28）+（-46）+（-25） =37.5+（-46）+（+28）+（-25） =[37.5+（-46）]+[（+28）+（-25）] =(-9)+(+3) =-5. 【点睛】本题考查了有理数的加法，根据加法算式的特点灵活运用加法的交换律及结合律简化运算是解题的关键. 【变式12-3】计算：（+）+（-3）+（-1）+（+2）+（+）+（-2）； 【答案】-4 【分析】利用加法的交换律与结合律先对分母相同的有理数进行加法运算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】（+）+（-3）+（-1）+（+2）+（+）+（-2） =（+）+（+）+（-3）+（+2）+（-1）+（-2） =[（+）+（+）]+[（-3）+（+2）]+[（-1）+（-2）] =1+(-1)+(-4) =-4. 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，涉及了有理数加法的交换律与结合律，根据式子的特点灵活运用相关知识是解题的关键. 【微专题二】 有理数加减混合运算中的简便计算 按照以下思路灵活选用不同的简便方法： 第一类依托加法运算律进行分组简化，这也是最常用的简便思路：即遇到算式中互为相反数的项优先结合，可直接消去得到0，减少计算项；能凑成整数、整十整百的项优先结合，降低计算难度；同分母分数或易通分的分数优先结合，避免多次通分增加计算量；符号相同的数归类结合，符合加法法则的计算习惯，减少符号出错的概率。 第二类是拆分凑整法，对于接近整数、整十整百的带分数或小数，可以将其拆分为一个整数与一个真分数（或纯小数）的和（或差），再重新分组计算，拆分后可直接凑整简化计算。 第三类是基准数求和法，当多个需要加减的数都集中在某一个整数附近时，可以选定这个整数作为基准数，将每个数改写为基准数与偏差的和，最后用基准数乘以数的个数，再加上所有偏差的和即可快速得到结果。 无论使用哪种简便方法，都需要注意：交换数的位置时必须带着数本身的符号一同移动，不能随意改变数的符号，同时要遵循原式的运算逻辑，不能因为追求简便随意改变运算顺序，保证计算结果的正确性。 【典例13】阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣5+（﹣9）+17+（﹣3） 解：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+（﹣）+（﹣）++（﹣）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 启发应用 用上面的方法完成下列计算： （1）（﹣3）+（﹣1）+2﹣（﹣2）； （2）（﹣2000）+（﹣1999）+4000+（﹣1）． 【答案】（1）；（2）﹣1． 【分析】原式根据阅读材料中的方法变形，计算即可得到结果． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式13-1】用简便方法计算： (1)． (2)计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016的结果是___________ (3)计算：|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|＋|－|＝___________． 【答案】(1) (2) -1008 (3) 【详解】(1)解：原式． (2)解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016 =（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+…+（2015﹣2016） =（-1）+（-1）+（-1）+…+（-1） =-1008． (3)解：原式= = =， 【变式13-2】先阅读材料，再根据材料中所提供的方法解答下列问题： 我们在求1＋2＋3＋…＋99＋100的值时，可以用下面的方法： 我们设S＝1＋2＋3＋…＋99＋100①，那么S＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1②. 然后，我们由①＋②，得2S＝(100＋1)＋(99＋2)＋(98＋3)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)，共100个101. 2S＝101＋101＋101＋…＋101＝100×101， 所以S＝100×101÷2＝5050. 依据上述方法，求下列各式的值： (1)1＋3＋5＋…＋97＋99； (2)5＋10＋15＋…＋195＋200. 【答案】(1) 1＋3＋5＋…＋97＋99＝2500；(2)5＋10＋15＋…＋195＋200＝4100. 【分析】仿照材料的形式先计算2S的值然后求S的值即可． 【详解】(1)设S=1＋3＋5＋…＋97＋99①，那么S=99＋97＋…＋5＋3＋1②， ①＋②，得2S=(1＋99)＋(3＋97)＋…＋(97＋3)＋(99＋1)，共50个100. 2S=100＋100＋…＋100=50×100， 所以S=2500， 即1＋3＋5＋…＋97＋99=2500. (2)设S=5＋10＋15＋…＋195＋200①，那么S=200＋195＋…＋15＋10＋5②， ①＋②，得2S=(5＋200)＋(10＋195)＋(15＋190)＋…＋(195＋10)＋(200＋5)，共40个205. 2S=205＋205＋…＋205=205×40， 所以S=4100， 即5＋10＋15＋…＋195＋200=4100. 【点睛】此题考查了有理数的加法，解题的关键是：表示2S的形式． 【变式13-3】有8袋小麦称重后记录如下：91  90  91  89  91.2  91.3  88.7  88.8  （单位：千克） （1）如果每袋小麦以90千克作为标准，8袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？ （2）若每千克小麦售价为2元，8袋小麦全部售出可收入多少元？ 【答案】（1）8袋小麦总计超过1千克；（2）8袋小麦全部售出可收入1442元 【分析】（1）将超过90千克记为正数，不足90千克记为负数，利用相反意义的量将8袋小麦重新记录，根据和的正负情况即可求解； （2）根据（1）可得8袋小麦总重为（千克），即可求解． 【详解】解：91  90  91  89  91.2  91.3  88.7  88.8重新记录如下： 1、0、1、、1.2、1.3、、； （1） ， 答：8袋小麦总计超过1千克； （2）8袋小麦总重为（千克）， ∴8袋小麦全部售出可收入（元）． 【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是理解相反意义的量，将数据重新记录． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 有理数加减混合运算中的规律 除常规题型外还有几类针对不同题型的常用规律方法： 一是分组求和法，多用于符号交替的规律型有理数加减计算，例如形如1-2+3-4+.....+(2n-1)-2n的算式，可以按符号规律两两分组，每组计算结果统一，再计算组数得到最终结果，大幅简化长算式的计算量。 二是数形结合法，在涉及数轴上点的移动、距离计算的加减问题中，可以将有理数的加减对应为数轴上点的左移、右移，通过画图直观得到运算结果，也能快速验证计算结果的正确性，帮助理解运算的实际意义。 三是含绝对值加减的处理规律，遇到算式中包含绝对值的加减运算时，首先要根据已知条件判断绝对值内部代数式的正负，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，转化为普通的有理数加减运算后再计算，避免直接去绝对值出现符号错误。 四是裂项抵消法，多用于分母为相邻整数乘积的分数加减规律题，可将符合特征的分数拆分为两个分数的差，拆分后相邻项可以相互抵消，仅剩余首尾少数项计算即可得到结果，是解决长串规律分数加减的常用方法。 【典例14】计算： （1）（1-）+（-）+（-）+…+（-）； （2）+++…+． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）去括号后，根据有理数的加法法则把互为相反数的两数分别相加即可求得结果； （2）根据给出的算式可发现规律，，按此规律将所求式子展开进行计算即可得. 【详解】（1）去括号得到：1-+-+-+…+-=1-=； （2）因为=1-，=-，=-， 所以原式=（1-）+（-）+（-）+…+（-）=1-=． 【点睛】本题考查了有理数的加法，规律性问题，发现是解题的关键.注意掌握从特殊到一般的归纳方法. 【变式14-1】观察下列各式的特征：；；； ，根据规律，解决相关问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）； ①_____________； ②___________． （2）当时，___________；当时，__________． （3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为___________    A．    B．     C．     D． （4）合理的方法计算： 【答案】（1）①21-7；②；（2）a-b，b-a；（3）C；（4） 【分析】（1）①判断绝对值里边式子的正负即可得到结果； ②判断绝对值里边式子的正负即可得到结果； （2）根据绝对值的代数意义，由绝对值里边式子的正负计算即可得到结果； （3）利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）①|7-21|=21-7； ②， （2）当a＞b时，|a-b|=a-b； 当a＜b时，|a-b|=b-a， 故答案为：a-b，b-a； （3）由数轴上点的位置得到a-2＜0， 则原式=2-a，故选C； （4）原式= = =． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式14-2】一个电子跳蚤从数轴的原点出发，连续不断地一左一右来回跳动（第一次向左跳），跳动的距离依次为，，，… （1）如果是正整数，那么第次跳动的距离是______； （2）第次跳动的落点位置所对应的有理数是______； （3）第次跳动后所处位置在原点的______侧； （4）①相对于出发点，电子跳蚤第一次跳记作（向左跳），第二次跳记作（向右跳），以此类推，如果是正整数，那么第次记作______； ②会不会有相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧？ 【答案】（1）n；（2）-3；（3）右；（4）①，②不会，见解析 【分析】（1）根据题意可得第n次跳动的距离为n；（2）利用算式-1+2-3+4-5= -3可得；（3）利用算式-1+2-3+4-5+…+100= 50可得；（4）①根据奇、偶数的表示方法可得；②列式计算，根据计算结果分析判断. 【详解】解：（1）∵第一、二、三、四次跳动的距离为，，，， ∴第n次跳动的距离为； （2）根据题意得，， ∴第次跳动的落点位置所对应的有理数是-3； （3）根据题意得，， ∴第次跳动后所处位置在原点的右侧； （4）①根据题意可得，当n（n为正整数）为奇数时跳到原点左侧，记为n的相反数-n，当n（n为正整数）为偶数时跳到原点右侧，记为n， ∴当是正整数，第次记作. ②不会 求和： 当为奇数时，原式 当为偶数时，原式 由此可知，从两个加数起，每增加一个加数，和的符号都会改变，故不会出现相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧. 【点睛】本题考查正负数的实际意义及加法运算，根据题意找到数字变化规律是解答此题的关键. 【变式14-3】根据下列材料，回答问题： （1） 请根据以上各式完成下列题目： ①_______；②_______；（n为正整数） ③用简便方法计算：． （2），，，…… 请根据以上各式完成下列题目： ①______________；②______________；（n，d为正整数） ③用简便方法计算：． （3）从上述两个题目中，你有什么收获？试试下面的题目，你一定行！ ①；     ②． 【答案】（1）①；②；③；       （2）①；②；③；       （3）①；② 【分析】（1）①②根据题目中的等式，可以写出相应式子的值； ③根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可； （2）①②根据题目中的例子，可以求得所求式子的值； ③根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可； （3）根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得： ①； ②；（n为正整数） ③用简便方法计算： ； （2）由题意可得： ①； ②；（n，d为正整数） ③用简便方法计算： ； （3）① ； ② ； 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【压轴二】有理数加减混合运算中的新定义 处理这类新定义问题，核心思路是“转旧为新、严格套规”，具体可以按照以下步骤操作： 第一步要先准确解读规则，认真通读题目给出的全新定义，梳理清楚新运算的符号、对应关系、运算优先级，把新定义的描述对应转化为我们熟悉的加减运算逻辑，不要把原有运算习惯套用到新定义中，避免混淆对应关系。 第二步再代入转化计算，按照新定义给出的运算关系，把题目给出的对应数值代入到规定位置，将新定义运算转化为我们已经掌握的有理数加减混合运算，过程中要严格遵循新定义给出的运算顺序，有括号的先算括号内的新运算，不要随意调整顺序。 最后得到结果后，再对照新定义的要求检查一遍，确认没有错位代入、搞错规则，就能得到正确结果。这类问题本质还是对有理数加减运算能力的考察，只要不看错新规则，一般都能顺利解决。 【典例15】有两个有理数a、b（b≠0），规定一种新的运算“*”：a*b=a+． 例如：1*2=1+=，2*3=2+=，-3*6=-3+=． （1）请仿照上例计算下列各题： ①3*5；②-4*3；③（1*2）*3；④1*（2*3）； （2）通过计算，请回答： ①“*”运算是否满足（m*n）*x=m*（n*x）；直接回答“是”或“否”_______ ②选择题，当m、n符合下列什么条件时，满足m*n=n*m．_____________ A，m=n≠0，    B，m=-n≠0，        C，mn=1，        D,mn=-1． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）① 否； ② A或D 【分析】（1）根据新的运算“*”：a*b=a+代入各数计算即可.（2）①根据规定的新的运算分别计算出两边的式子，比较即可.②分别计算出m*n和n*m即可得出答案. 【详解】（1）.①.3*5=3+=， ②.-4*3=-4+=， ③.（1*2）*3=1++=， ④.1*（2*3）=1*（2+）=1*=1+=， （2）①（m*n）*x=m+， m*（n*x）= ， 所以（m*n）*x≠m*（n*x），故答案为否 ②∵m*n=n*m， ∴m+= ，即 ， ∴m=n,或mn=-1, 故选A或D. 【点睛】本题考查有理数的计算、学生的阅读能力与知识的迁移能力．能够理解新运算的规定是解决本题的关键． 【变式15-1】已知[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则{3.9}+{﹣}＝_______． 【答案】-1.4 【分析】根据题目中的定义，将式子转化为有理数的运算，再进行计算即可求解． 【详解】解：{3.9}+{﹣}=（3-3.9）+[-2-（-1.5）]=-0.9+(-0.5)=-1.4． 故答案为：-1.4 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加减运算等知识，读懂题意，理解题目中的定义是解题关键． 【变式15-2】．在数学活动课上，王老师介绍说有人建议向火星发射如图1的图案．它叫幻方，幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）将-10，-8，-6，-4，-2，0，2，4，6这9个数分别填入图2的幻方的空格中，使得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等．则这个和是______，并请同学们补全其余的空格． （2）在图3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等．根据所给信息求出x的值，并根据x的值补全图4的幻方的空格． 【答案】（1）-6，图见解析 （2）x=-5，图见解析． 【分析】（1）一共有三列，每列之和都相等，那么每列之和等于9个数字总和除以3，进而得到每列之和，再用这个和结合每一列已知的两个数求出另一个数； （2）利用每列之和等于对角线之和建立等量关系解出x，再利用每列、每行、对角线之和相等算出其他格子的数． 【详解】（1），故和为-6， 其余空如下图： （2）由每一列之和和对角线之和相等得： ；解得x=-5 补全空格如下图： 【点睛】本题考查幻方数字的填写，掌握计算方法技巧是本题关键． 【变式15-3】阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． 请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1) 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 等于这个数的绝对值 (2)加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析. 【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则； （2）对于加乘运算的交换律， 可举例进行运算后再判断，对于加乘运算的结合律，可举例 进行运算后再判断即可. 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；． 归纳可得： 两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）解：加法的交换律仍然适用， 例如： 所以 故加法的交换律仍然适用． 加法的结合律不适用， 例如： 所以 故加法的结合律不适用． 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键. 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据相反数的定义判断选项的正确性． 【详解】A选项，，两个数不互为相反数； B选项，，两个数不互为相反数； C选项，，两个数不互为相反数； D选项，，两个数互为相反数． 故选：D． 【点睛】本题考查相反数，解题的关键是掌握相反数和绝对值的定义． 2．若，则的值为（  ） A． B．1 C．5 D． 【答案】C 【分析】由绝对值的非负性可得，解得的值，再求和． 【详解】 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的非负性、有理数的加法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3.数轴上，点A表示3，从点A出发沿数轴移动3个单位长度到达B点，则B点表示的数是（    ） A．0 B．或1 C．0或6 D．6 【答案】C 【分析】根据点A表示3，分两种情况讨论，当从点A沿数轴向右移动和从点A沿数轴向左移动，判断出点B表示的数是多少即可． 【详解】解：从点A沿数轴向右移动时，点B表示的数是：， 从点A沿数轴向左移动时，点B表示的数是：， 所以B点表示的数是0或6． 故选C． 【点睛】此题考查了点在数轴上的移动，以及有理数的加减法，分两种情况讨论是解答本题的关键． 4.已知，x和y异号，则的值是（    ） A．5或1 B．或1 C．5或 D．或 【答案】B 【分析】由绝对值的定义，先求得x，y的值，再代入x+y求值即可． 【详解】解：∵|x|=3，|y|=2，∴x=±3，y=±2． 又∵x、y异号， ∴当x=3，y=-2时，x+y=1； 当x=-3，y=2时，x+y=-1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义及有理数的加法，注意x、y异号这一条件，避免出错． 5.如图，点A，B，C在数轴上，它们分别对应的有理数是，，，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定出a，b，c的正负及绝对值大小，利用有理数的加减法则判断即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b＜c，且|b|＜|a|＜|c|， ∴a+b＜0，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的减法，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二 填空题 6.一只蚂蚁从数轴上点A出发向左爬了5个单位长度到了表示-2的点处，则点A所表示的数是______． 【答案】3 【分析】根据题意可得：用-2加5所得的结果，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点A所表示的数是． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键． 7.若的相反数是，则___________． 【答案】 【分析】根据题意可得两个绝对值都等于0，再根据绝对值可得x，y，可得答案． 【详解】解：∵的相反数是， ∴ ∴， ∴， ， 胡答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 8.数轴上点表示，点到点的距离是2，则点表示的数应该是______． 【答案】或/或 【分析】分两种情况：当点A在点B的左侧时，当点A在点B的右侧时，根据数轴上两点间的距离公式，即可求解． 【详解】解： ∵数轴上点表示，点到点的距离是2， 当点A在点B的左侧时，点表示的数是； 当点A在点B的右侧时，点表示的数是； 所以点表示的数应该是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是数轴上两点距离，有理数的加法与有理数的减法运算，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 9.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么_____0（填“>”，“<”，“≥”，“≤”或“=”）． 【答案】< 【分析】根据数轴得到，，，进而得到，然后求出与0的关系． 【详解】解：由数轴可知，，，， ， ∴ 故答案为：<． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值与有理数的加减混合运算，正解有理数的加减混合运算法则是解答关键． 10.幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是________． 【答案】-3 【分析】先计算和：-7+1+9=3；再计算-5+9+□=3，-5+1+□=3，最后根据☆+□+□=3计算即可． 【详解】解：根据题意，得这个和为：-7+1+9=3； ∴-5+9+□=3，-5+1+□=3， ∴-5+9+□-5+1+□=6， ∴-5+9+□-5+1+□=6， ∴□+□=6， ∵☆+□+□=3， ∴☆=-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了有理数加减的混合运算，正确理解题意，列式计算是解题的关键． 三解答题 11.计算： （1）+(－)；    （2）(－)+(－)；    （3）(－)+；       （4）(－)+(－)； （5）+(－2)；   （6）(－)+(－1)；   （7）(－1)+(－2)；   （8）3+(－1)； 【答案】（1）－；（2）－1；（3）；（4）－；（5）－2；（6）－1；（7）－3；（8）2 【详解】根据有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号并把绝对值相加．2．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得零． 解：（1）原式＝＝﹣； （2）原式＝﹣﹣＝﹣1； （3）原式＝﹣＝； （4）原式＝﹣＝﹣； （5）原式＝＝＝﹣2； （6）原式＝﹣﹣＝﹣＝﹣1； （7）原式＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣3； （8）原式＝＝＝＝2． 【点睛】本题考查了有理数的加法，牢记有理数的加法法则是解题的关键． 12计算(1)       (2)        (3)     (5)  (6)                (8) (9)     (10)        (11)       (12) (13)         (14)             (15) 【答案】-9、0、5、-13、8、-5、-8、-4、1、、112、-4、5、-4、-7.9 【详解】试题分析：根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，转化为加法，然后根据异号两数相加和同号两数相加，可直接计算即可. 试题解析：(1) =(-7)+(-2)=-9     (2) =(-8)+(+8)=0      (3) =0+5=5     (4) =(-9)+(-4)=-13 （5） =5+3=8     （6） =(-3)+(-2)=-5     （7）    =  (-20)+(+12)=-8   （8） (9)     (10) =      (11)       (12) (13) =-4+9=5       (14)             (15) 13.计算： （1） （2）； （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据有理数减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，计算即可． 【详解】解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝； （5）原式＝； （6）原式＝． 【点睛】本题考查了有理数的减法法则以及绝对值，熟知运算法则是解本题的关键 14.用简便方法计算： （1）（﹣37）﹣（﹣47）        （2）10﹣（﹣5）+（﹣9）+6． （3））-7+13-6+20               （4）0.125+3-（+3）+（﹣0.25） （5）﹣|﹣1|+|﹣|+（﹣2）． （6）1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2017+（﹣2018）+2019+（﹣2020） （7）（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3） 【答案】（1）10；（2）12；（3）20；（4）0；（5）﹣ ；（6）﹣1010；（7）- 【分析】（1）先把加法转化为加法，根据有理数加法法则计算即可； （2）先把加法转化为加法，运用加法交换律与结合律，根据有理数加法法则计算即可； （3）运用加法交换律与结合律，根据有理数加法法则计算即可； （4）将分母相同的数先结合，再根据有理数加法法则计算即可； （5）先算绝对值，然后按照加减法法则计算即可； （6）先将每两个数结合作为一组，得到每一组的和均为-1，一共1010组，即可得出结果； （7）用拆项法计算，然后把整数部分和分数部分分别结合计算. 【详解】（1）（﹣37）﹣（﹣47） =（﹣37）+（+47） =10； （2）10﹣（﹣5）+（﹣9）+6 =10+（+5）+（﹣9）+6 =10+（+5）+6+（﹣9） =（+21）+（﹣9） =12； （3））-7+13-6+20 =-7-6+13+20 =-13+33 =20； （4）0.125+3-（+3）+（﹣0.25） =+（-3）+（﹣）+3 =（-3）+（+3） =0； （5）﹣|﹣1|+|﹣|+（﹣2） =-1++（﹣2） =-3+ =﹣ ； （6）1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2017+（﹣2018）+2019+（﹣2020） =（-1）+（-1）+…+（-1） =-1010； （7）（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3） =（﹣5）+（-9﹣）+17+（﹣3） =（-5-9-3+17）+（﹣） =（-5-9-3+17）+（﹣） =0+（-） =-. 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算，解题的关键熟练掌握有理数的加减法运算法则和加法的交换律和结合律． 15某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正．减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 +5 -2 -5 +9 -10 +16 -9 （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ （2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？ （4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得100元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖30元；少生产一辆扣40元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】（1）209（2）26（3）1404（4）140260. 【分析】（1）根据超产记为正，减产记为负，用基数200辆加上增减量即可. （2）增减辆最大的为产量最多的，增减量最小的为产量最少的，分别计算出来作差即可. （3）把增减量相加得到一周总的增减量，再加上一周平均总数1400辆即可. （4）根据每日任务量200辆的基础上计算出超产和减产的工资，再求和. 【详解】（1）超产记为正，减产记为负，所以星期四生产自行车200+9=209（辆）. （2）根据图示产量最多的一天是216辆，产量最少的一天是190辆，故产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车216-190=26（辆）. （3）根据题意，（辆），故该厂本周实际生产自行车1404辆. （4）由题意得元 所以该工厂工人这一周的工资总额是140260元.     故答案为（1）209（2）26（3）1404（4）140260. 【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用，正要清楚相反意义的量为正负，因而此类问题比较常见，极为重要，要特别注意，理解题干的意思. 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.2 有理数的加减运算》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数加法的基本运算 模块9有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写 模块2 有理数的加法中的符号判断 模块10 有理数加减混合运算的基本计算 模块3 有理数的加法在实际生活中的应用 模块11 有理数加减混合运算的实际应用 模块4 有理数的加法与绝对值、数轴的综合 微专题1有理数的加法运算律的应用 模块5 有理数减法的基本运算 微专题2有理数加减混合运算中的简便计算 模块6有理数的减法概念的理解与辨析 压轴1 有理数加减混合运算中的规律 模块7有理数的减法与数轴的综合应用 压轴2 有理数加减混合运算中的新定义 模块8有理数的减法在实际生活中的应用 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1：加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． （3）一个数同0相加，仍得这个数． 知识点2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．即a＋b=b＋a （2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变．即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点3 ：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即a－b=a＋（﹣）b 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数加法的基本运算 根据加数的不同情况，遵循对应的法则分类计算： 1. 若相加的两个有理数为同号，取二者相同的符号，再将两个数的绝对值相加得到最终结果； 2. 若相加的两个有理数为异号，且二者的绝对值不相等，取绝对值较大的那个加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值得到结果；若两个数互为相反数，则二者相加和为0； 3. 若参与运算的加数中包含0，最终运算结果仍为这个非零的数本身。 【典例1】口算： （1）；    （2）；    （3）；     （4）； （5）；    （6）；    （7）；     （8）． 【变式1-1】计算： (1)(-0.9)+(-2.7)； (2)3.8+(-8.4)； (3)(-0.5)+3； (4)3.92+1.78； (5)7+(-3.04)； (6)(-2.9)+(-0.31)； (7)(-9.18)+6.18； (8)4.23+(-6.77)． 【变式1-2】计算 （1）+(－)；    （2）(－)+(－)；    （3）(－)+；       （4）(－)+(－)； （5）+(－2)；   （6）(－)+(－1)；   （7）(－1)+(－2)；   （8）3+(－1)； （9）．（10） （11）     （12） 【变式1-3】计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） （7）(－4)+(－3)+6+(－2)；   （8）(－0.5)+3+2.75+(－5) 【模块二】有理数的加法中的符号判断 根据参与运算的两个加数的符号属性分类判断： 若两个加数符号相同，和的符号与两个加数的符号保持一致，直接将二者绝对值相加即可得到最终结果； 若两个加数符号不同，只需先比较两个加数绝对值的大小，和的符号与绝对值更大的那个加数的符号一致，再用较大的绝对值减去较小的绝对值得到运算结果；若两个加数互为相反数，最终和为0，没有额外的符号判断需求； 若其中一个加数为0，和的符号与另一个非零加数的符号保持一致，最终结果就是这个非零加数本身。 【典例2】已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【变式2-1】两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【变式2-2】下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．a为任何有理数，则必为负数 C．两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数 D．若，则a为非负数 【变式2-3】如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 【模块三】有理数的加法在实际生活中的应用 按照实际场景中不同量的属性，提前设定正负基准后再套用有理数加法运算： 第一类是收支结余类场景，我们可以将收入设定为正、支出设定为负，把一段时间内所有收支对应的数值相加，最终得到的结果就是这段时间的总结余，结果为正代表总收入大于总支出，结果为负则代表总支出大于总收入。 第二类是位移位置类场景，我们可以提前设定一个方向为正、反方向为负，将每个阶段的位移数值相加，最终得到的结果就是运动后相对于起点的位置，符号代表方向，绝对值代表距离起点的远近。 除此之外，温度变化计算、海拔相对高度计算、产量增减统计等各类涉及正负变化量的场景，都可以通过提前设定正负基准，再借助有理数加法快速得到准确的最终结果。 【典例3】某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶纪录如下（单位：千米）： (1)A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ (2)离开出发点最远时是多少千米？ (3)若摩托车行驶千米耗油升，从岗亭到A处共耗油多少升？ 【变式3-1】温度由﹣4℃上升7℃是（　　） A．3℃ B．﹣3℃ C．11℃ D．﹣11℃ 【变式3-2】．一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（　　） A．-4 B．4 C．2 D．0 【变式3-3】某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶纪录如下（单位：千米）： (1)A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ (2)离开出发点最远时是多少千米？ (3)若摩托车行驶千米耗油升，从岗亭到A处共耗油多少升？ 【模块四】有理数的加法与绝对值、数轴的综合 第一类是绝对值化简类综合题，解决这类问题时，先借助数轴上各点的位置，判断出参与加法运算的每个数的正负性与绝对值大小关系，结合有理数加法法则确定和的符号，再根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，完成计算。 第二类是数轴上两点位置类综合题，已知一个点对应的有理数和两点之间的距离，求另一个点对应的有理数时，可根据点的位置分类讨论：待求点在已知点左侧和右侧两种情况，分别结合加法运算得到结果，对应两种不同的位置。 第三类是绝对值非负性结合求值类问题，利用任意有理数的绝对值都是非负数的性质，若多个绝对值的和为0，则每个绝对值都等于0，据此求出每个未知数的值后，再通过有理数加法计算得到待求代数式的值。 【典例4】若两个非零的有理数a、b，满足：，，，则在数轴上表示数的点正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【变式4-3】如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【模块五】有理数减法的基本运算 有理数减法运算核心遵循“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的法则，本质是将减法运算转化为已掌握的有理数加法运算来计算，具体操作可按步骤分情况处理： 首先进行转换步骤，保持被减数不变，将原式中的减号变为加号，同时把减数变为它本身的相反数，完成减法到加法的转换后，再按照有理数加法的运算规则计算最终结果。 若遇到特殊情况：当减数为0时，转换后为一个数加0，根据加法规则，最终结果仍为原被减数，和本节点“一个数同0相加，仍得这个数”的结论保持一致；当被减数为0时，转换后为0加上减数的相反数，最终结果就是减数的相反数。 如果是多个有理数的连减运算，可以依次将每一步的减法都转换为加法，之后统一按照多个有理数相加的规则计算即可，符号判断规则与有理数加法完全一致。 【典例5】口算： ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【变式5-1】计算 (1)－0.257－4.47； (2). （3）； （4）. （5）；     （6）；     （7）；     （8）． (9)； 【变式5-2】(1)比2 ℃低8 ℃的温度是____； (2)比－3 ℃低6 ℃的温度是____； (3)比0小4的数是___； (4)比0小－4的数是___； (5)7.4比8.3小____； (6)7.4比8.3大____． 【变式5-3】计算： （1） （2）； （3） （4） （5） （6） 【模块六】有理数的减法概念的理解与辨析 首先要紧扣概念本质理解，有理数减法本质上是有理数加法的逆运算：即已知两个有理数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算就是减法，正是这一逆运算关系推导出了“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的运算法则，不能只记转化规则而忽略概念的本质逻辑。 其次要辨析符号的不同含义，运算中同一符号可能兼具“减号（运算符号）”和“负号（性质符号）”两种属性，比如式子a-b，既可以读作“a减b”将“-”看作运算符号，也可以变形为a+(-b)将“-”看作b的性质符号，要能根据运算需求灵活转换，避免概念混淆。 最后要辨析常见的错误结论，比如不少初学者会默认“两个有理数相减，差一定小于被减数”，这一结论只有在减数为正数时成立，当减数是负数或0时结论不成立，比如3 - (-2)=5，得到的差5就大于被减数3，通过这类反例可以帮助辨析概念的边界，深化对有理数减法概念的理解。 【典例6】以下叙述中，不正确的是（　　） A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．两个正数的和一定是正数 C．两个负数的差一定是负数 D．在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数 【变式6-1】下列四种说法：①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②两个互为相反数的数和为0；③两数相减，差一定小于被减数；④如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和或差等于零．其中正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式6-2】下列说法正确的有（　　） ①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数． A．4个 B．2个 C．1个 D．3个 【变式6-3】有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【模块七】有理数的减法与数轴的综合应用 最典型的应用是计算数轴上任意两点之间的距离，具体方法为：先读取两个端点分别对应的有理数，用右侧点对应的有理数减去左侧点对应的有理数，或是对两个有理数作差后取绝对值，所得结果就是两点之间的距离，无论两个点同分布在原点同侧还是两侧，该方法都成立。 其次是解决“已知一点对应的有理数和两点间距离，求另一点对应有理数”的问题，这类问题需要结合有理数减法的逆运算分类讨论：待求点既可能在已知点的左侧，也可能在已知点的右侧，分别结合距离条件列减法算式求解，即可得到两种可能的结果，避免出现漏解。 此外，化简含绝对值的有理数减法式子时，也可以结合数轴判断作差的两个有理数的大小关系，快速确定差的正负后去掉绝对值符号，将式子转化为普通的有理数减法运算求解，借助数轴的直观性能大幅降低符号判断的出错概率。 【典例7】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，有理数a、b在数轴上对应的点如图所示，则的结果是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式7-2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（　　） A．a+b B．﹣a﹣c C．a+c D．a+2b﹣c 【模块八】有理数的减法在实际生活中的应用 我们可以将生活中具有相反意义的量用正负数表示后，借助有理数减法解决实际差值计算问题，常见应用场景与方法如下： 第一类是差值类计算，比如计算两地温差、海拔差：将高温、高海拔数值作为被减数，低温、低海拔数值作为减数，按照有理数减法法则计算，得到的结果就是对应的温差、海拔差，当出现包含负数的场景（比如零下气温、低于海平面的海拔）时，依然适用该方法。 第二类是收支结余计算：生活记账时，我们可以把收入记为正数、支出记为负数，用初始余额减去总支出，就能得到最终结余，若结余为负则代表支出超过收入，正好对应有理数减法中结果为负的情况。 第三类是位置差计算：比如计算跨楼层的行走层数，将地下楼层记作负有理数、地上楼层记作正有理数，用终点楼层对应的有理数减去起点楼层对应的有理数，取绝对值后就能得到需要行走的总层数，能快速解决日常生活中的这类计算问题。 【典例8】徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象．若1月份的泰山山脚平均气温为9℃，山顶平均气温为－2℃，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（    ） A．11℃ B．－11℃ C．7℃ D．－7℃ 【变式8-1】北京与西班牙的时差为7个小时．比如，北京时间中午12点是西班牙的凌晨5点，2022年2月4日晚8时北京冬奥会开幕式正式开始，在西班牙留学的嘉琪准时观看了直播，直播开始的当地时间为（    ） A．凌晨1点 B．凌晨3点 C．17：00 D．13：00 【答案】D 【变式8-2】某市11月4日至7日天气预报的最高气温与最低气温如表： 日期 11月4日 11月5日 11月6日 11月7日 最高气温（℃） 19 12 20 19 最低气温（℃） 4 ﹣3 4 5 其中温差最大的一天是（    ） A．11月4日 B．11月5日 C．11月6日 D．11月7日 【变式8-3】．庐山是江西的旅游胜地，据统计，2022年9月30日到庐山旅游的人数为1万人，“十一黄金周”期间（共7天），庐山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)请判断“十一黄金周”期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ (2)求“十一黄金周”期间去庐山旅游的总人数． 【模块九】有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写 第一步先将算式中所有的减法运算，依据有理数减法法则转化为加法运算，让整个算式改写为多个有理数相加的代数和形式。例如算式(-3)-(+2)-(-7)+(-5)，经过转换后可写成(-3)+(-2)+(+7)+(-5)。 第二步按照去括号规则处理符号与括号：括号前是正号的，去掉括号后括号内数的符号保持不变；括号前是负号的，去掉括号后括号内数的符号全部变为相反符号。 第三步省略所有的加号，保留每个数自身的性质符号完成书写，上述例子经过整理后，就可以省略加号和括号写为-3-2+7-5。 需要注意两个书写规范：一是如果算式第一个数本身是负数，其负号需要保留，不能省略；二是去括号变号时，需要逐一检查每个数的符号，避免出现部分数漏变号的错误。这种省略写法不仅简化了算式形式，也能更方便地运用加法交换律、结合律开展简便运算。 【典例9】将式子（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）省略括号后变形正确的是（    ） A．20－3＋5－7 B．－20－3＋5＋7 C．－20＋3＋5－7 D．－20－3＋5－7 【变式9-1】把（﹣3）﹣（﹣7）＋4﹣（＋5）写成省略加号的和的形式是（    ） A．﹣3﹣7＋4﹣5 B．﹣3＋7＋4﹣5 C．3＋7﹣4＋5 D．﹣3﹣7﹣4﹣5 【变式9-2】式子写成和的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】下列式子可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是（   ） A． B． C． D． 【模块十】有理数加减混合运算的基本计算 首先第一步是统一运算形式，根据有理数减法法则，将算式中所有的减法运算全部转化为加法运算，把整个算式改写为多个有理数相加的代数和形式，完成运算的统一。 第二步是简化算式书写，按照我们之前学习的省略加号与括号的规则整理算式，去掉多余的括号与加号，保留每个数的性质符号，得到更简洁的书写形式。 第三步是运用运算律简化计算，根据算式中各数的特征，灵活运用加法交换律与加法结合律分组计算：通常可以将同号的数先结合相加，也可以将能凑成整数、整十数的数优先结合，减少计算量。 最后按照有理数加法法则，依次计算出每组结果，再合并得到最终的答案。需要注意的是，在运用加法交换律交换加数位置时，一定要带着加数自身的符号一起移动，不能只调换数字而遗漏符号，避免出现不必要的计算错误。 【典例10】计算： （1）－3－4+19－11； （2）(＋12)－(－3)＋(－2)－(－25)＋(－3)． （3）(﹣12)+(﹣13)﹣(﹣14)﹣15+16 （4）－17－(－7)+(－16). （5） (6) (7) （8）﹣20﹣（+14）+（﹣18）﹣（﹣13） 【变式10-1】计算： (1)0﹣1+2﹣3+4﹣5； (2)﹣4.2+5.7﹣8.4+10.2； (3)﹣30﹣11﹣（﹣10）+（﹣12）+18； (4)； (5)； (6) （7）； （8） 【变式10-2】计算 （1）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）． （2）． （3）+15+（﹣3）+（﹣22.5）+（﹣15）． （4）﹣8.4+10﹣4.2+5.7． （5）4+[8.6﹣（+3）+（﹣）+（﹣2）]． 【变式10-3】计算题 （1）     （2） （3）             （4） （5） （6） 【模块十一】有理数加减混合运算的实际应用 首先第一步要完成问题建模，先从实际场景中梳理出具有相反意义的量，按照题干约定的正方向，给不同的量标注对应的正、负符号，把实际问题转化为有理数的数量关系问题。 第二步根据题干要求求解的实际问题，梳理各个量之间的运算关系，列出正确的有理数加减混合运算算式。如果实际问题中存在初始量为0的情况，比如初始位移从原点出发、初始账户无余额，只需要遵循当前的运算法则处理即可，不改变原有计算逻辑。 第三步按照加减混合运算的规范步骤计算出结果，最后结合实际问题的情境解释计算结果的含义：若结果为正，则说明结果对应量的方向与设定正方向一致；若结果为负，则说明方向与设定正方向相反，以此得到实际问题的最终答案。 【典例11】某集团公司对所属甲、乙两工厂前5个月经营情况记录如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则这5个月甲厂比乙厂多盈利（　　）万元     月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 甲厂 乙厂 A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4 【变式11-1】股民默克上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况： 星　期 一 二 三 四 五 每股涨跌/元 4 (1)星期三收盘时，每股多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？ 【变式11-2】一出租车某天8：00～10：00以钟楼为出发点在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：、、、、，试回答下列问题： (1)将最后一名乘客送到目的地后，出租车离出发点钟楼有多远？出租车在钟楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机该天8：00～10：00的营业额是多少？ 【变式11-3】居里夫人曾说：“不管一个人取得多么值得骄傲的成绩，都应该饮水思源，应当记住是自己的老师为他的成长播下了最初的种子”为表达对教师的敬重，在教师节当天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： (1)当最后一名老师被送达目的地时，小王在出车地点的哪个方向？距出车地点多远？ (2)若汽车耗油量为0.4升/千米，这天上午汽车共耗油多少升？ 专题攻坚·多题归一 【微专题一】有理数的加法运算律的应用 我们可以按照以下步骤规范应用： 第一步：先整理算式，根据有理数减法法则将原式中所有减法转化为加法，得到统一的加法运算形式，再省略算式中的加号与多余括号，方便后续观察分组。 第二步：观察算式中各加数的特征，根据特征选择合适的分组方式结合计算：如果算式中存在互为相反数的两个数，优先将这一组结合相加，结果直接为0，大幅简化计算；如果存在可以凑成整数、整十数的数，优先将这些数结合；如果是分数运算，优先将同分母或者容易通分的分数结合；如果没有上述特殊特征，则将符号相同的数归类结合。 第三步：分别计算每组的和，再将各组结果相加得到最终结果。计算过程中需要注意交换加数位置时，要带着加数的性质符号一起移动，避免遗漏符号出现计算错误。遇到算式中存在加数为0的情况，根据“一个数同0相加，仍得这个数”的法则直接处理，不需要额外调整运算顺序。 【典例12】给下面的计算过程标明运算依据： (＋16)＋(－22)＋(＋34)＋(－78) ＝(＋16)＋(＋34)＋(－22)＋(－78)① ＝[(＋16)＋(＋34)]＋[(－22)＋(－78)]② ＝(＋50)＋(－100)③ ＝－50.④ ①______________；②______________；③______________；④______________． 【变式12-1】用两种方法解： （1）（-41）+18+（-39）+12； （2）+（-）++（-）++（-）． 【变式12-2】计算下列各题： （1）（-51）+（+12）+（-7）+（-11）+（+36）+（+17）； （2）37.5+（+28）+[（-46）+（-25）]． 【变式12-3】计算：（+）+（-3）+（-1）+（+2）+（+）+（-2）； 【微专题二】 有理数加减混合运算中的简便计算 按照以下思路灵活选用不同的简便方法： 第一类依托加法运算律进行分组简化，这也是最常用的简便思路：即遇到算式中互为相反数的项优先结合，可直接消去得到0，减少计算项；能凑成整数、整十整百的项优先结合，降低计算难度；同分母分数或易通分的分数优先结合，避免多次通分增加计算量；符号相同的数归类结合，符合加法法则的计算习惯，减少符号出错的概率。 第二类是拆分凑整法，对于接近整数、整十整百的带分数或小数，可以将其拆分为一个整数与一个真分数（或纯小数）的和（或差），再重新分组计算，拆分后可直接凑整简化计算。 第三类是基准数求和法，当多个需要加减的数都集中在某一个整数附近时，可以选定这个整数作为基准数，将每个数改写为基准数与偏差的和，最后用基准数乘以数的个数，再加上所有偏差的和即可快速得到结果。 无论使用哪种简便方法，都需要注意：交换数的位置时必须带着数本身的符号一同移动，不能随意改变数的符号，同时要遵循原式的运算逻辑，不能因为追求简便随意改变运算顺序，保证计算结果的正确性。 【典例13】阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣5+（﹣9）+17+（﹣3） 解：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+（﹣）+（﹣）++（﹣）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 启发应用 用上面的方法完成下列计算： （1）（﹣3）+（﹣1）+2﹣（﹣2）； （2）（﹣2000）+（﹣1999）+4000+（﹣1）． 【变式13-1】用简便方法计算： (1)． (2)计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016的结果是___________ (3)计算：|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|＋|－|＝___________． 【变式13-2】先阅读材料，再根据材料中所提供的方法解答下列问题： 我们在求1＋2＋3＋…＋99＋100的值时，可以用下面的方法： 我们设S＝1＋2＋3＋…＋99＋100①，那么S＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1②. 然后，我们由①＋②，得2S＝(100＋1)＋(99＋2)＋(98＋3)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)，共100个101. 2S＝101＋101＋101＋…＋101＝100×101， 所以S＝100×101÷2＝5050. 依据上述方法，求下列各式的值： (1)1＋3＋5＋…＋97＋99； (2)5＋10＋15＋…＋195＋200. 【变式13-3】有8袋小麦称重后记录如下：91  90  91  89  91.2  91.3  88.7  88.8  （单位：千克） （1）如果每袋小麦以90千克作为标准，8袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？ （2）若每千克小麦售价为2元，8袋小麦全部售出可收入多少元？ 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 有理数加减混合运算中的规律 除常规题型外还有几类针对不同题型的常用规律方法： 一是分组求和法，多用于符号交替的规律型有理数加减计算，例如形如1-2+3-4+.....+(2n-1)-2n的算式，可以按符号规律两两分组，每组计算结果统一，再计算组数得到最终结果，大幅简化长算式的计算量。 二是数形结合法，在涉及数轴上点的移动、距离计算的加减问题中，可以将有理数的加减对应为数轴上点的左移、右移，通过画图直观得到运算结果，也能快速验证计算结果的正确性，帮助理解运算的实际意义。 三是含绝对值加减的处理规律，遇到算式中包含绝对值的加减运算时，首先要根据已知条件判断绝对值内部代数式的正负，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，转化为普通的有理数加减运算后再计算，避免直接去绝对值出现符号错误。 四是裂项抵消法，多用于分母为相邻整数乘积的分数加减规律题，可将符合特征的分数拆分为两个分数的差，拆分后相邻项可以相互抵消，仅剩余首尾少数项计算即可得到结果，是解决长串规律分数加减的常用方法。 【典例14】计算： （1）（1-）+（-）+（-）+…+（-）； （2）+++…+． 【变式14-1】观察下列各式的特征：；；； ，根据规律，解决相关问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）； ①_____________； ②___________． （2）当时，___________；当时，__________． （3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为___________    A．    B．     C．     D． （4）合理的方法计算： 【变式14-2】一个电子跳蚤从数轴的原点出发，连续不断地一左一右来回跳动（第一次向左跳），跳动的距离依次为，，，… （1）如果是正整数，那么第次跳动的距离是______； （2）第次跳动的落点位置所对应的有理数是______； （3）第次跳动后所处位置在原点的______侧； （4）①相对于出发点，电子跳蚤第一次跳记作（向左跳），第二次跳记作（向右跳），以此类推，如果是正整数，那么第次记作______； ②会不会有相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧？ 【变式14-3】根据下列材料，回答问题： （1） 请根据以上各式完成下列题目： ①_______；②_______；（n为正整数） ③用简便方法计算：． （2），，，…… 请根据以上各式完成下列题目： ①______________；②______________；（n，d为正整数） ③用简便方法计算：． （3）从上述两个题目中，你有什么收获？试试下面的题目，你一定行！ ①；     ②． 【压轴二】有理数加减混合运算中的新定义 处理这类新定义问题，核心思路是“转旧为新、严格套规”，具体可以按照以下步骤操作： 第一步要先准确解读规则，认真通读题目给出的全新定义，梳理清楚新运算的符号、对应关系、运算优先级，把新定义的描述对应转化为我们熟悉的加减运算逻辑，不要把原有运算习惯套用到新定义中，避免混淆对应关系。 第二步再代入转化计算，按照新定义给出的运算关系，把题目给出的对应数值代入到规定位置，将新定义运算转化为我们已经掌握的有理数加减混合运算，过程中要严格遵循新定义给出的运算顺序，有括号的先算括号内的新运算，不要随意调整顺序。 最后得到结果后，再对照新定义的要求检查一遍，确认没有错位代入、搞错规则，就能得到正确结果。这类问题本质还是对有理数加减运算能力的考察，只要不看错新规则，一般都能顺利解决。 【典例15】有两个有理数a、b（b≠0），规定一种新的运算“*”：a*b=a+． 例如：1*2=1+=，2*3=2+=，-3*6=-3+=． （1）请仿照上例计算下列各题： ①3*5；②-4*3；③（1*2）*3；④1*（2*3）； （2）通过计算，请回答： ①“*”运算是否满足（m*n）*x=m*（n*x）；直接回答“是”或“否”_______ ②选择题，当m、n符合下列什么条件时，满足m*n=n*m．_____________ A，m=n≠0，    B，m=-n≠0，        C，mn=1，        D,mn=-1． 【变式15-1】已知[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则{3.9}+{﹣}＝_______． 【变式15-2】．在数学活动课上，王老师介绍说有人建议向火星发射如图1的图案．它叫幻方，幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）将-10，-8，-6，-4，-2，0，2，4，6这9个数分别填入图2的幻方的空格中，使得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等．则这个和是______，并请同学们补全其余的空格． （2）在图3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等．根据所给信息求出x的值，并根据x的值补全图4的幻方的空格． 【变式15-3】阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． 请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．若，则的值为（  ） A． B．1 C．5 D． 3.数轴上，点A表示3，从点A出发沿数轴移动3个单位长度到达B点，则B点表示的数是（    ） A．0 B．或1 C．0或6 D．6 4.已知，x和y异号，则的值是（    ） A．5或1 B．或1 C．5或 D．或 5.如图，点A，B，C在数轴上，它们分别对应的有理数是，，，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二 填空题 6.一只蚂蚁从数轴上点A出发向左爬了5个单位长度到了表示-2的点处，则点A所表示的数是______． 7.若的相反数是，则___________． 8.数轴上点表示，点到点的距离是2，则点表示的数应该是______． 9.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么_____0（填“>”，“<”，“≥”，“≤”或“=”）． 10.幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是________． 三解答题 11.计算： （1）+(－)；    （2）(－)+(－)；    （3）(－)+；       （4）(－)+(－)； （5）+(－2)；   （6）(－)+(－1)；   （7）(－1)+(－2)；   （8）3+(－1)； 12计算(1)       (2)        (3)     (5)  (6)                (8) (9)     (10)        (11)       (12) (13)         (14)             (15) 13.计算： （1） （2）； （3） （4） （5） （6） 14.用简便方法计算： （1）（﹣37）﹣（﹣47）        （2）10﹣（﹣5）+（﹣9）+6． （3））-7+13-6+20               （4）0.125+3-（+3）+（﹣0.25） （5）﹣|﹣1|+|﹣|+（﹣2）． （6）1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2017+（﹣2018）+2019+（﹣2020） （7）（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3） 15某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正．减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 +5 -2 -5 +9 -10 +16 -9 （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ （2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？ （4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得100元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖30元；少生产一辆扣40元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $