精品解析：江西省赣州市安远县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度上学期九年级数学期中练习 一、选择题（共6题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确； 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为，顶点坐标为． 直接由函数表达式即可得出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 3. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上4得，， ∴． 故选：A． 4. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据题意求得判别式，即可求解． 【详解】解：，，， ∴， 关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 5. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 根据旋转性质得，，，再由等边对等角得，结合三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：由旋转性质得，，，， ，， 中，． 故选：． 6. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴可知，再由抛物线对称轴为直线得到，由此即可判断①；求出抛物线与x轴的另一个交点为即可判断②；根据抛物线与直线有两个不同的交点即可判断④，结合函数图象进行分析③即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵图象过点，且对称轴为直线 ∴， 即抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故②正确； ∵方程的根可以看作是抛物线与直线的交点的横坐标，而由函数图象可知抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有实数根，故④正确； 无法知道y的最大值，故③不正确； ∴正确的有2个， 故选B． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 8. 将抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位得到的抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与平移，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与平移． 根据二次函数图象平移规律即可得解． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位，得； 再向左平移个单位，得， 得到的抛物线的解析式是 故答案为：． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入代数式计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， ． 故答案为：． 10. 如图在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 11. 已知抛物线经过点和，则______（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． 分别把和代入，求出，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为， 当点在的延长线上时，如图所示，则 当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形， 综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求方程的另一个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程． （1）利用判别式计算即可； （2）已知根代入方程求出a的值，再解方程求另一个根． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ， ， 解得， ∴方程为， 解得，， ∴方程的另一个根是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴： （1）如图1，点，在抛物线上； （2）如图2，四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接、，它们相交于点，再画出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴； （2）先作出和的交点，再作直线交抛物线于、，接着作出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴． 【小问1详解】 解；如图1，直线为所作； 【小问2详解】 解：如图2，直线为所作． 【点睛】本题主要考查了画二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性、矩形的性质等知识是解题的关键． 16. 如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求该函数的解析式及顶点坐标； （2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、利用二次函数图象解不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，进而化为顶点式可知顶点坐标； （2）令，求出二次函数图象与x轴的交点，再根据图象直接可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象分别经过点，， ∴， 解得， 函数的解析式， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， ∴该二次函数图象与x轴的交点为，， 由图象可得当时，或． 17. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； （2）假设该网购平台玩偶销售量的日平均增长率保持不变，3月7日玩偶的销量能否达到350个，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能达到350个，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为，根据题意列方程求解即可；（2）基于（1）的增长率，计算下一日的销量并比较判断即可． 【小问1详解】 解：设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为， 根据题意，3月4日销量为200个，3月6日销量为288个， 则， ， ， 解得：，（舍去）， ∴日平均增长率为； 【小问2详解】 解：不能达到350个，理由如下： 日平均增长率保持不变，3月7日销量为（个）． ∵， ∴3月7日玩偶的销量不能达到350个． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）点绕点逆时针方向旋转后所对应的坐标是 ； （2）作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）图见解析，的坐标为； （3）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求绕某点（非原点）旋转度的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握图形在平面直角坐标系中的变换． （1）作绕点逆时针方向旋转得，进而得到的坐标； （2）关于原点成中心对称的，，进而得到的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 解：将绕点逆时针方向旋转，如图所示： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据关于原点成中心对称的，作图如下： 由图可得，的坐标为； 【小问3详解】 解：． 即的面积为． 19. 如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由旋转得，，进而由余角性质得，再根据判定方法即可求证； （）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，再利用勾股定理计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）知， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 20. 如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 【答案】（1） （2）小球M能飞过这棵树 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合及实际应用，求出抛物线的解析式是解题的关键 （1）根据顶点坐标设顶点式，将原点坐标代入，即可求解； （2）计算出树的顶点的纵坐标，以及时抛物线上对应点的纵坐标，比较大小即可． 【小问1详解】 解：小球到达的最高的点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点O， ， 解得， ， 即抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解： B点的横坐标为2，B点在斜坡上， B点的纵坐标为， 树高为4，树与y轴平行， 树的顶点的纵坐标为：， 将代入，得：， ， 小球M能飞过这棵树． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某商场销售儿童玩具，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．若一套玩具每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若要商场每天盈利672元，则需降价多少元？ （3）当每套玩具降价多少元时，商场一天可获最大利润？最大利润为多少？ 【答案】（1）； （2）需降价18元； （3）当每套玩具降价元时，商场一天可获最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数求最值，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据总利润每套利润数量，即可得到y关于x的函数表达式； （2）根据题意得，解一元二次方程即可； （3）将二次函数配方后求最值即可． 【小问1详解】 解：设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． 则， 即y关于x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ， 答：若要商场每天盈利672元，则需降价18元； 【小问3详解】 解：， ， 当时，有最大值为， 即当每套玩具降价元时，商场一天可获最大利润，最大利润为元． 22. 综合探究 【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【探究发现】 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出、、之间的数量关系：____________； 【拓展延伸】 （2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【尝试应用】 （3）在（2）的条件下，若，，求正方形的边长． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 如图②，将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）6 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，从而可得点在一条直线上，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得； （2）先根据正方形的性质可得，再将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合，根据旋转的性质可得，从而可得点在一条直线上，然后利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得； （3）设正方形的边长为，则，在中，利用勾股定理可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）如图①，将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∵， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2） 略 （3）设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， 由（2）已证：， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 六、（本大题共12分） 23. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与x轴的另一个交点为B． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M使三角形的周长最小，求点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为等腰三角形的点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C坐标代入直线解析求解得参数值，进而得解析式； （2）由对称轴知，，得；当取最小值时，周长最小．，当三点共线时，取最小值，相应的周长最小．进而求得； （3）设点P的坐标为，则，，分情况讨论①若，②若，③若，分别构建方程求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ，解得 ∴抛物线解析式为 令，解得 ∴． 由直线经过两点，得 ，解得 ∴直线解析式为． 【小问2详解】 解：如图， ∵是抛物线的对称轴， ∴点关于直线对称． ∴． ∴． 当取最小值时，周长最小． 如图，， 当三点共线时，取最小值，相应的周长最小． 时，． ∴ 【小问3详解】 解：设点P的坐标为，则， ， ①若，则，解得 ∴点的坐标为． ②若，则，解得或． ∴点的坐标为． ③若，则，解得或 ∴点的坐标为 综上，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质；根据几何图形的性质构建方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期九年级数学期中练习 一、选择题（共6题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 5. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 8. 将抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位得到的抛物线的解析式是________． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 10. 如图在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，若，则______． 11. 已知抛物线经过点和，则______（填“”“ ”或“”）． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求方程的另一个根． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴： （1）如图1，点，在抛物线上； （2）如图2，四边形为矩形． 16. 如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求该函数的解析式及顶点坐标； （2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围． 17. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； （2）假设该网购平台玩偶销售量的日平均增长率保持不变，3月7日玩偶的销量能否达到350个，请说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）点绕点逆时针方向旋转后所对应的坐标是 ； （2）作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标； （3）求的面积． 19. 如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某商场销售儿童玩具，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．若一套玩具每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若要商场每天盈利672元，则需降价多少元？ （3）当每套玩具降价多少元时，商场一天可获最大利润？最大利润为多少？ 22. 综合探究 【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【探究发现】 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出、、之间的数量关系：____________； 【拓展延伸】 （2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【尝试应用】 （3）在（2）的条件下，若，，求正方形的边长． 六、（本大题共12分） 23. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与x轴的另一个交点为B． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M使三角形的周长最小，求点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为等腰三角形的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $