精品解析：天津市益中学校2026届高三上学期期中考试数学试题

天津益中学校2025-2026-1高三数学 一、单选题（共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知先求集合B,再根据并集定义求解即可. 【详解】因为所以. 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】，得，得或，所以“”不是“”的充分条件， 反过来，能推出，“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象分析出函数的奇偶性、函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】由图象可得函数为偶函数，且，，当且仅当时，， 对于A，因为，，所以函数是偶函数，又，， 则，所以函数在上单调递增， 所以，故解析式可能为A，故A正确； 对于B，由，不合题意，故B错误； 对于C，因为，所以且， 所以函数是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，由，不合题意，故D错误. 故选：A. 4. 已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角余弦公式和向量数量积的坐标公式可求出参数的范围. 【详解】因为，所以. 由于向量与的夹角为锐角，所以，并去掉两者同向共线的情况， 则，且，解得， 则的取值范围为. 故选：C. 5. 在数列中，，则数列的前32项和为（ ） A. 625 B. 646 C. 674 D. 992 【答案】C 【解析】 【分析】由题设易得，数列的前项和为，进而结合各项的正负情况求解即可. 【详解】由，得， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 数列的前项和为， 当时，，当时，， 则数列的前32项和为 . 故选：C 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果. 【详解】由题知，， 则 ，可得或， 所以或， 若，又， 则，所以， 则或（舍去），，； 若，又， 则，所以， 则或（舍去）， 所以， 综上，. 故选：B 7. 已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性可确定，根据单调性和偶函数定义可比较出函数值的大小关系. 【详解】，在是增函数， ，又为偶函数，， ，即. 故选：A. 8. 已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数性质可得，代入验证检验可得①正确；②错误；根据正弦函数单调性利用整体代换法可得③错误；由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，即任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，可得④正确. 【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为可得，即，得； 将的图象向右平移个单位长度后可得， 其图象关于y轴对称，所以为偶函数，则，， 解得，，由可知当时，符合题意； 由可得； 因此； 对于①，当时，，取得最大值， 所以是的一个对称轴，即①正确； 对于②，当时，， 所以不是的一个对称中心，即②错误； 对于③，当时，可得，又在上不单调， 所以在上不是单调递增的，所以③错误； 对于④，若，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期， 所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍， 由的周期为可得，，即④正确； 所以正确的个数只有①和④共2个. 故选：B 【点睛】方法点睛：求解三角函数图象性质问题时，要充分利用已知条件并结合图象特征求出解析式，再由检验法或整体代换法判断结论是否正确. 9. 如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将正方体还原，利用割补法计算可得. 【详解】解：如图将正方体还原可得如下图形： 则，，， 所以该几何体的体积. 故选：C 二、填空题（共30分） 10. 已知复数，则复数的虚部为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及乘法运算法则，结合虚部定义可得结果. 【详解】由题可知， 所以， 因此复数的虚部为7. 故答案为：7 11. 在展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出的值，再利用二项展开式通项可求得结果. 【详解】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为， 令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得． 展开式的通项为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对于二项展开式的问题，注意一些常见结论的应用： （1）二项式的系数和为； （2）令变量为，二项式的值为各项系数和. 12. 已知向量，向量，则向量在方向上投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，，则与同向的单位向量为，所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为：. 13. 设是数列的前项和，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 . 【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式. 14. 若二次函数在区间上存在零点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设为在上的零点，可得，转化为点在直线上，结合的几何意义，可得有解问题，利用导数的单调性和最值即得. 【详解】设为在上的零点,可得：，即：， 从而可理解为点在直线上，而表示点到原点的距离的平方. 依题意，问题转化为有解，即有解， 不妨设，令则，则有， 记易得：在上递减，在上递增，而故 即：，故当或时， 的最小值为 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数在定区间上存在零点问题常用的方法： （1）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数在给定区间上的图象，利用数形结合的方法求解. （2）分离参数法：对于一个参数的问题，一般先将参数分离，转化成求函数在给定区间上的值域问题加以解决； （3）反客为主法：对于含双变量的零点问题，常设出零点，将方程转化为双变量为点坐标的轨迹问题，利用所求式的几何意义求解. 15. 在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为__________；若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据向量的运算法则， 可得， 设，因为的面积为，可得，即， 又由 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：；. 三、解答题（共75分） 16. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【小问1详解】 因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 17. 正方体的棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 法一、正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； 【小问3详解】 由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 18. 已知函数． （1）若的极小值小于，求的取值范围； （2）当时，判断的零点个数并写出证明过程． 【答案】（1）； （2）2个零点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得时极小值，构造函数，求导得，即可求不等式的解集； （2）由，令，对其求导，令， 求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，得使，求出的最小值为，由可得，故的最小值，讨论，即可得函数的零点个数． 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 当时，易得在上单调递减，则无极小值，不满足； 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得，即在上单调递减， 所以的极小值为，而的极小值小于， 所以，即， 令，则， 所以当时，，当时，， 则上单调递增，在上单调递减， 所以，可得. 故的取值范围为. 【小问2详解】 ． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，所以，使得， 当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增，最小值为． 由，得，即， 令，则，则在单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而， 所以的最小值， 又当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当时，有2个零点， 故有2个零点． 19. 已知数列的前n项和，数列满足：，． （1）证明：是等比数列； （2）设数列的前项和为，且 ，求 （3）设数列满足：．证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由递推关系得，即可证； （2）利用关系求的通项公式，结合已知可得，裂项相消求； （3）讨论的奇偶性，利用裂项相消法和错位相减法，分别求出奇数项、偶数项的和，即可证结论. 【小问1详解】 由，得， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，即． 【小问2详解】 当时，有，当时，， 显然也满足，故，结合，所以=， 故. 【小问3详解】 当n为奇数时，， , 当n为偶数时，, ， 设，则， 两式相减得，得， 所以，所以，得证． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在处切线的斜率； （2）讨论函数单调性； （3）若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义解题即可. （2）求出导数，考虑导函数在是否有零点，分、、讨论即可. （3）由（2）知，，找出，再构造函数，即可求出答案. 【小问1详解】 当时，，， ∴， ∴曲线在处切线的斜率为. 【小问2详解】 ∵，定义域为， ∴， 当时，，即，则在单调递减； 当时，令，得，则， 时，，则单调递减， 时，，则单调递增， 时，，则单调递减； 当时，令，得，则， ∴时，，则单调递增， 时，，则单调递减； 综上所述：当时，在单调递减； 当时，时，单调递减，时，单调递增，时，单调递减； 当时，时，单调递增，时，单调递减. 【小问3详解】 由（2）知，若有两个极值点，则， 且为的两个根， ∴， ， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， 即 令， 令,， ， 令,， ∴在单调递增， 又∵ ①当时，则即， ∴在单调递增，则， 故符合题意，; ②当时，∵在单调递增，， 令，则时，即，单调递减， ∴在，使得， 故不符合题意，舍去. 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津益中学校2025-2026-1高三数学 一、单选题（共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，则数列的前32项和为（ ） A. 625 B. 646 C. 674 D. 992 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（共30分） 10. 已知复数，则复数的虚部为___________. 11. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为_______． 12. 已知向量，向量，则向量在方向上投影向量为______． 13. 设是数列的前项和，且，，则__________． 14. 若二次函数在区间上存在零点，则的最小值为______． 15. 在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为__________；若的面积为，则的最小值为________． 三、解答题（共75分） 16. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求面积. 17. 正方体的棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知函数． （1）若的极小值小于，求的取值范围； （2）当时，判断的零点个数并写出证明过程． 19. 已知数列的前n项和，数列满足：，． （1）证明：是等比数列； （2）设数列的前项和为，且 ，求 （3）设数列满足：．证明：． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在处切线的斜率； （2）讨论函数的单调性； （3）若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $