精品解析：辽宁省铁岭市调兵山市2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

2025－2026学年度上学期随堂练习 九年数学（三）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为菱形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别平行 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量四条边是否分别相等 5. 如图，、分别是的边、上的点，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 从2，3，4这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点A在双曲线上的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为__________． 12. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 13. 如图，如果，，则___________． 14. 我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为_______． 15. 如图，在矩形中，的长是方程的两个实数根，且，点为对角线上异于点、的一点，连接以为邻边作，连接．则线段的最小值是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）两个数的差等于4，积等于45，求这两个数． 17. 如图，正方形中，是上一点，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，作直线交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，则__________． 18. 从，1，2这三个数中任取两个数分别作为的值，求关于的一元二次方程有实数根的概率． 19. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 20. 如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． （1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； （2）画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； （3）若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 21. 某科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 素材3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时 问题解决 任务 求智能摆件的销售价． 22. 【新知定义】对于平面内的任意两点，在该平面内将其中一个点绕另一个点逆时针旋转后得到一个新点，则称新点为其中一个点关于另一个点的“逆垂点” 【新知探究】 如图，在正方形中，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图1，若点与线段的中点重合，点是点关于点的逆垂点，则线段与线段的关系是_____； 【变式应用】 （2）如图2，点在正方形的边延长线上，连接，过点作交射线于点， ①求证：点是点关于点的逆垂点； ②猜想、、的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，点是点关于点的逆垂点，射线与射线交于点，若，直接写出的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，点，与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时x的取值范围； （3）点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； （4）点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点、，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期随堂练习 九年数学（三）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将常数项移项，再两边同加上一次项系数一半的平方，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立体几何的三视图，理解三视图的特点结合立体几何的特点是解题的关键． 由立体图形的特点及三视图的特点分析即可求解．注意立体图形中存在的线段，看得见的用实线，看不见的用虚线表示． 【详解】解：根据俯视图是从上往下看，可知几何体的俯视图如下， 故选：C ． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，通过将各点坐标代入函数关系式 进行验证，满足等式的点即为图象所经过的点. 【详解】解：∵ 点 在反比例函数 图象上当且仅当 ， 对于选项 A：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 B：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 C：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 D：， ∵ ， ∴ 点 在图象上； 故选 ：D. 4. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为菱形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别平行 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量四条边是否分别相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了“菱形的判定方法”，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据菱形的判定方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：对角线互相垂直且相等的四边形是菱形，只测量对角线是否互相垂直不能说明是菱形，故错误； 选项B：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，还需要邻边相等才能说明是菱形，故错误； 选项C：三个角是直角的四边形是矩形，故错误； 选项D：四条边都相等的四边形是菱形，这是菱形的定义，故正确．   故选： D． 5. 如图，、分别是的边、上的点，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，在与上，已知的等量条件为公共角，若两个三角形相似，可再添加一组对应角相等，或的两组对应边成比例，即可判断得到答案． 【详解】解：A、，，两边对应成比例，夹角相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； B、，不是夹角，不能判断两个三角形相似，此项符合题意； C、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； D、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； 故选：B． 6. 从2，3，4这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点A在双曲线上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及反比例函数，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件发生的概率． 【详解】解：从2，3，4这三个数中随机抽取两个不同的数，点的坐标共有6种情况：，，，，，，并且它们出现的可能性相等． 点坐标在双曲线上有2种情况: ，． 所以，这个事件的概率为． 故选：A． 7. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 8. 如图，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题重点考查了相似三角形的性质和判定，（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似；（2）两角分别相等的两个三角形相似；（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（4）三边成比例的两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先利用已知条件得到，同时根据已知条件，根据相似三角形的判定，得到，得到，最后代入数值，即可完成计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，比较简单，要知道，反比例函数图像上的点的坐标符合函数解析式； 通过将各点的横坐标代入反比例函数解析式，直接计算对应的纵坐标值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 点 在 上， ∴ ； ∵ 点 在 上， ∴ ； ∵ 点 在 上， ∴ ； ∴ , , ， 故 ； 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键． 根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标． 【详解】解：代入，得， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 由题意，得在x轴上， ∴轴， ， ∴．   故选：B ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，根据已知比例关系，将所求分式拆分为两个分式的和，然后代入已知值进行计算． 【详解】因为 ，且已知 ， 所以 故答案为 ． 12. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 13. 如图，如果，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解． 根据平行线分线段成比例定理，由得，代入已知求，进而得出． 【详解】， ， ，，， ， 解得， ． 故答案为． 14. 我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为_______． 【答案】10% 【解析】 【详解】设该公司缴税的年平均增长率是x， 则去年缴税40(1＋x) 万元， 今年缴税40(1＋x) (1＋x) ＝40(1＋x)2万元． 据此列出方程：40(1＋x)2=48.4， 解得x=0.1或x=－2.1（舍去）． ∴该公司缴税的年平均增长率为10%． 15. 如图，在矩形中，的长是方程的两个实数根，且，点为对角线上异于点、的一点，连接以为邻边作，连接．则线段的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程、矩形的性质和平行四边形的性质，通过解方程求出，由勾股定理求出，设与交于点，则是的中点，且，当时，最小，即最小，利用面积关系可求出的最小值，从而可求出的最小值． 【详解】解：如图，设与交于点，连接， 解方程得，，， ∵的长是方程的两个实数根，且， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中， ； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，，即点是的中点， ∴是的中线， ∴， 当时，最小，即最小， 又， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）两个数的差等于4，积等于45，求这两个数． 【答案】（1）；（2）这两个数是9，5或， 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程及一元二次方程的应用， （1）利用公式法解方程； （2）设这两个数中较小的一个数是，则较大的一个数是，根据这两个数的积等于45列方程解答 【详解】（1）解： 这里； ； （2）解：设这两个数中较小的一个数是，则较大的一个数是 根据题意得：解得：． 当时，， 当时，， 这两个数是9，5或， 17. 如图，正方形中，是上一点，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，作直线交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，则__________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线基本性质，正方形基本性质，勾股定理，全等三角形的证明及性质等知识点，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）过点作，垂足为，先根据作图可知是的垂直平分线，先通过角度关系得到，再通过正方形的性质可证明得四边形是矩形，进而可证，从而可得证； （2）设，然后表示出，再利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：过点作，垂足为， 由作图知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， . ， ， 四边形是矩形， ， ． 【小问2详解】 解：设 四边形是正方形， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去） ， 故答案为：． 18. 从，1，2这三个数中任取两个数分别作为的值，求关于的一元二次方程有实数根的概率． 【答案】关于的一元二次方程有实数根的概率是 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、列表法求概率，掌握用表格列出所有等可能性结果是解题的关键． 通过列表得出所有等可能的情况数，找出一元二次方程有实数根的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 列表如下， a b 1 2 2 一共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同， 其中满足的结果数有3种：，；，；，； 故关于的一元二次方程有实数根的概率是． 19. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 【答案】（1） （2）在安全情况下，该闭合电路中电阻的取值范围是不小于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）根据待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 函数图象经过点， 解得：， 与之间的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：当时 随的增大而减小， 当时，， 即在安全情况下，该闭合电路中电阻的取值范围是不小于． 20. 如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． （1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； （2）画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； （3）若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）路灯的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定： （1）连接点B和小李的头部并延长，连接点D和小高的头部并延长，两条射线交于点P，点P即为所求； （2）连接点P与婷婷的头部与地面交于E，则点E与婷婷脚部的连线线段即为所求； （3）过点P作交延长线于H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：点即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 解：过点作，交的延长线于点 由题意得： ， ；即： 答：路灯的高度约为． 21. 某科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 素材3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时 问题解决 任务 求智能摆件的销售价． 【答案】智能摆件的销售价为75元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 设智能摆件的销售价为元，然后利用（售价进价）销量利润，列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设智能摆件的销售价为元， 根据题意得： 解得：．当优惠力度最大时，． 答：智能摆件的销售价为75元． 22. 【新知定义】对于平面内的任意两点，在该平面内将其中一个点绕另一个点逆时针旋转后得到一个新点，则称新点为其中一个点关于另一个点的“逆垂点” 【新知探究】 如图，在正方形中，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图1，若点与线段的中点重合，点是点关于点的逆垂点，则线段与线段的关系是_____； 【变式应用】 （2）如图2，点在正方形的边延长线上，连接，过点作交射线于点， ①求证：点是点关于点的逆垂点； ②猜想、、的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，点是点关于点的逆垂点，射线与射线交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①见解析；②，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义“逆垂点”的应用、正方形的性质及几何变换中的全等与数量关系推导，解题的关键是结合“逆垂点”的旋转定义，利用正方形的边、角特征证明全等或推导数量关系． （1）根据“逆垂点”的旋转定义，结合正方形边长与对角线的关系，分析线段与的长度和垂直关系； （2）①通过证明（正方形中），验证是关于逆时针旋转得到的点；②结合正方形对角线的长度，推导、与的数量关系； （3）根据的条件，结合“逆垂点”的位置特征，利用相似或全等推导的值． 【详解】（1）． 设正方形的边长为，则． 根据“逆垂点”定义，点是点关于点逆时针旋转得到的点， 因此，且． 在中，，故． 由，，可得，因此，即． （2）①证明：四边形是正方形， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， 点是点关于点的逆垂点； ② 证明：， ， 四边形是正方形， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ． （3）或 解：如图2延长交于点， 设， ， ， ， 四边形是正方形，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； 如图3当点在上时，延长交的延长线于点， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， 四边形是正方形， ，即， ， ， ， ， ； 综上所述： 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，点，与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时x的取值范围； （3）点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； （4）点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点、，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式，一次函数的表达式 （2）或 （3） （4）存在，P点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）先求出点的横坐标，再利用图象法求解即可； （3）过点作轴，垂足为；过点作轴，垂足为，先求出点的坐标，根据求解即可； （4）或．分情讨论：当在轴正半轴上，作轴，垂足为，先证，求出，根据求点的坐标；当在轴负半轴上，先证，求出，根据求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数中得： ，解得：， 反比例函数的表达式， 把点代入反比例函数中得：， 解得：， ， 把点和分别代入一次函数， 解得， 一次函数的表达式； 【小问2详解】 解方程， 解得， ， 当时，或； 【小问3详解】 过点作轴，垂足为；过点作轴，垂足为， ， ， 把点代入反比例函数中得：， ， ， 对于一次函数，令则，解得：， ， ， ， ； 【小问4详解】 或． 如图1，当在轴正半轴上， 作轴，垂足为， , ， 一次函数的表达式， 令，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ．即， ， ， ； 如图2，当在轴负半轴上， ， ， ；， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ．即, ， ， ． 综上所述，存在点、，使得四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，矩形的判定和性质，勾股定理，利用相似三角形 的判定和性质求线段的长度及点的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $