15.2二次根式的乘除运算 教学设计 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式乘除运算法则及分母有理化，通过复习二次根式性质并提问逆用，衔接七年级实数知识，为新知学习搭建前后关联的知识支架。 以“具体算式探究-类比迁移推导-小组讨论归纳”为主线，活动一通过算式观察培养抽象能力（数学眼光），活动二类比乘法推导除法法则发展推理意识（数学思维），活动三小组讨论分母有理化步骤提升模型意识（数学语言），助力学生合情推理与合作能力培养，为教师提供结构化教学流程。

第十五章 二次根式 15.2二次根式的乘除运算   一、教材分析 二次根式的乘除运算是承上启下的核心内容：既是对七年级实数、平方根等知识的深化，也是后续学习二次根式加减运算、一元二次方程的基础，同时为高中函数、解析几何等内容的运算提供必要支撑. 教材通过以下活动逐步展开： 1.探究规律：给出几组具体算式（如与），引导学生计算并观察结果，自主猜想出的乘法法则. 2.类比迁移：仿照乘法运算的探究流程，通过与等算式，让学生自主推导除法法则. 3.例题与练习：例题及“做一做”分“乘法运算”“除法运算”“不同方法的运算”三个层次，练习设计由易到难，强化法则应用，同时渗透“分母有理化”的初步思想.   二、学情分析 1.已有基础：学生已掌握平方根、算术平方根的定义，能进行简单的实数运算，具备初步的“从具体到抽象”的探究能力. 2. 潜在困难：易忽略法则中的前提条件（如a，b的非负性，除法中b≠0）. 3.认知特点：八年级学生以具体形象思维为主，抽象逻辑思维正在发展，需通过具体实例和反复练习巩固法则.   三、学习目标 1.掌握二次根式的乘除运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘除运算. 2.运用二次根式的乘除法解决有关实际问题. 3.培养学生的合情推理能力和分母有理化能力. 4.体会类比的思想研究二次根式的乘除法，体验数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂.   四、教学重难点 重点：运用二次根式的乘除法解决有关实际问题 难点：掌握二次根式的乘除运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘除运算.   五、教学过程 · 复习回顾 思考：我们学过哪些二次根式的性质？ 答：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.=(a≥0，b≥0) (a≥0，b＞0) 思考：这些性质可以逆用吗？ 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师提出问题，引发学生思考. 设计意图：通过提问的方式带领学生回顾所学知识，为本节课的学习做好知识铺垫. · 探究新知 活动一：探究二次根式的乘法法则 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律? (1)= ； = . (2)= ； = . 　 　　　 (3)= ；= . 答：=； ； . 发现，；；. 师生活动：教师利用多媒体展示题目，学生积极思考，举手作答. 师小结：二次根式的乘法法则： 两个非负数的算术平方根的乘积，等于这两个非负数乘积的算术平方根.即(a≥0，b≥0). 师强调： 注意： (1)a≥0，b≥0是公式成立的必要条件； (2)公式中的a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的； (3)此法则也可以推广为． 设计意图：通过一些具体计算，让学生对二次根式的乘法法则有一定的感性认识. 活动二：探究二次根式的除法法则 思考：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律? (1)= ；= . (2)= ；= . 　 　　　 (3)= ；= . 答： ； = ； = . 发现，；；. 师生活动：教师利用多媒体展示题目，学生积极思考，举手作答. 师小结：二次根式的除法法则： 两个非负数的算术平方根的商，等于这两个非负数商的算术平方根，即()(a≥0，b＞0). 师强调： 注意： (1)a≥0，b＞0是公式成立的必要条件； (2)若商的被开方数中含有完全平方数（式），应该运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质化简. 设计意图：通过一些具体计算，让学生对二次根式的除法法则有一定的感性认识. 活动三：探究分母有理化 比较下面几个二次根式，试着发现其中的规律. ， ， . ， ， 师生活动：教师出示二次根式，学生小组之间讨论，各小组选派代表发言，试着发现其中的规律. 师小结： 把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化. 归纳：分母有理化的一般步骤： “一移”：将分子、分母中能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外； “二乘”：即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)； “三化”：即化简计算． 设计意图：学生通过小组讨论探究分母有理化的概念与步骤，培养学生团体合作精神与归纳总结能力. 做一做 请就小明和大刚分别计算，的做法给予评价，并谈谈你的想法. 小明的做法(先运算后化简) 解：=. . 大刚的做法(先化简后运算) 解：. . 师生活动：学生小组之间交流讨论，就小明和大刚的做法给予评价. 小明的做法正确. 小明先运算后化简，步骤简洁，直接运用运算法则，适合对运算法则熟练掌握的情况. 大刚的做法正确. 大刚先化简后运算，能简化计算过程，减少计算量，适合被开方数较大的情况. 师提醒学生，在实际计算中，可根据具体情况选择合适的方法. 设计意图：通过讨论，初步掌握二次根式的乘除运算，并能在具体问题中选择合适的方法解决问题. · 应用新知 例1 计算下列各式： (1)； (2)； (3). 解：(1) (3). 师生活动：教师引导学生利用二次根式的乘法法则进行计算，学生认真思考+1，举手作答+2. 师小结： 1. 两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方； 2. 当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，如 ，即将根号外的因数(式)与根号外的因数(式)相乘的积作为积的系数，被开方数与被开方数相乘的积作为积的被开方数． 3. 二次根式运算的结果，应化为最简二次根式. 设计意图：通过例1让学生熟练掌握二次根式的乘法法则，并会利用法则进行计算. 例2. 计算下列各式： (1)； (2)÷； (3)÷. 解：(1). (2)÷. (3). 师生活动：选派3名学生板演，教师巡回指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误. 师小结： 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简． 设计意图：通过例2让学生熟练掌握二次根式的除法法则，并会利用法则进行计算. 例3. 计算下列各式： (1)； (2). 解：(1)原式=； (2)原式=. 师生活动：学生思考后，小组讨论，各组选派小组代表作答.认真思考+1；合作交流+2；举手作答+2. 师小结： 多个二次根式乘除时的一般步骤： 1.确定符号；2.根号内外分别作计算；3.化简结果. 设计意图：本题是对二次根式乘除混合运算的考查，难度系数稍大，通过小组讨论，培养学生分析问题的能力，增强团队合作意识. · 课堂练习 1.计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 解：(1) . (2)； (3)=. (4). 2.写出一个无理数，使它与的积是有理数. 解：因为无理数的平方是有理数， 所以，3，4，−5，⋯等与相乘，结果都是有理数. 故这个数可以是3(答案不唯一). 3.下列计算正确的是（ ） A. 　 　　 B. C. 　　 　 　　 D. 解：，故A错误. ，故B错误. ，故C错误. ，故D正确. 故选：D. 4.若，则x的取值范围是 . 解：根据二次根式的除法法则，可知 ，所以 ，所以，所以-1<x≤3. 故答案为：-1<x≤3. 5.计算：. 解：原式= = =. 6.如图，从一个大正方形中截去面积为15平方厘米和24平方厘米的两个小正方形，求剩下部分的面积. 解：×2 =2 =2×6 =12. ∴剩下部分的面积是12c. 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. . 学科网（北京）股份有限公司 $