精品解析：河南省信阳市淮滨县2025-2026学年上 学期期中测试试卷九年级数学

2025—2026学年度九年级上期期中阶段性数学综合练习试卷 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 2. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．把原方程变形为，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 原方程移项得：， ∴， 则或， ∴， 故选：D． 3. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，两点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标分别互为相反数，根据此性质列出方程求解m和n，再计算的值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：， ∴。 故选：A． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标， 故选：A． 5. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角与圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，得到∠A=50°，再根据圆内接四边形的对角互补可求得∠C． 【详解】解： ∠BOD＝100°， ， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ． 故答案为：D． 6. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 8. 关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程根的判别式；由一元二次方程的概念及根的判别式得且，即可求解． 【详解】解：由题意知：且， 解得且． 故选：C． 9. 如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A. ﹣ B. ﹣2 C. π﹣ D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】过O作OECD于点E，根据AB是⊙O的切线，得出∠ABO=90°，求出即可． 【详解】如图，过O作OECD于点E， AB是⊙O的切线， ∠ABO=90°， ∠A=30°， ∠AOB=60°， ∠COD=120°， OC=OD=2， ， OE=1，CD=2DE=， ． 故选A． 【点睛】本题考查扇形的面积，三角形的面积，阴影部分的面积，掌握扇形的面积，三角形的面积，阴影部分的面积世界关键． 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故③正确； 由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（5小题，共15分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，将点A根据对称性转化到对称轴右侧，再根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是直线， 点关于直线对称点是， ， ， 故答案为：． 13. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可． 【详解】解：∵OD⊥BC， ∴BD=CD=BC=3， ∵OB=AB=5， ∴在Rt△OBD中，OD==4． 故答案为4． 【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点A，过点作轴于点C，易证，即得出，，即． 【详解】解：如图，过点作轴于点A，过点作轴于点C， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴．　 ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 15. 一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A，求最小值为：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是构造等腰直角三角形将最值问题转化为二次函数求解． 通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值 【详解】解：过点作轴，交直线于点， 对于，当； 当，，解得 ∴点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴当时，取最小值为， ∵， ∴， 此时，取最小值，值为． 故答案为：． 三、解答题 16. （1）解方程：． （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：（1） ∴， （2） ， ∴抛物线的顶点坐标为． 【点睛】此题考查了解一元二次方程及求抛物线的顶点坐标，正确掌握一元二次方程的解法及配方法将二次函数的解析式化为顶点式是解题的关键． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点 （1）将以点C为旋转中心旋转，得到，请画出的图形； （2）写出旋转后点的坐标________； （3）平移，使点A的对应点坐标为，请画出平移后对应的的图形； （4）若将绕某一点旋转可得到，请写出旋转中心的坐标________． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求； （2） （3） 如图所示：即为所求； （4） 【解析】 【分析】本题考查作图一旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案； （4）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点的坐标为； 故答案为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 旋转中心坐标． 故答案为： 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 19. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； 【小问3详解】 ， 当时，有最大值． 20. 周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求此抛物线的解析式； （2）若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】（1） （2）当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出自变量x的值，即可解题． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 21. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的长． 【答案】 （1）证明：连接OC ∵CD与⊙O相切于C点 ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AE ∴OC//AE ∴∠OCB＝∠E ∵OC=OB ∴∠ABE＝∠OCB ∴∠ABE＝∠E ∴AE=AB （2）． 【解析】 【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB． (2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可． 【详解】 （1）略 （2）连接AC ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∵AB=AE，AC⊥BE ∴EC=BC=6 ∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA ∴△EDC∽△ECA ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解． 22. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【解析】 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 23. 在中，，，D为内一点，将绕点C按逆时针方向旋转角α得到，点A，D的对应点分别为点B，E． （1）如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则                    （用含α的代数式表示）； （2）如图2，若A，D，E三点在同一直线上，，过点C作于点F，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，连接，若，，将绕点C旋转一周，当时，     ． 【答案】（1） （2） 解：，理由： 将绕点按逆时针方向旋转角得到， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）2或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转的性质可得，进而即可求解； （2）由旋转的性质可得，可证是等腰直角三角形，由等边三角形的性质可得，进而即可求解； （3）分两种情形分别求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点按逆时针方向旋转角得到， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点作于点， ， 都是等边三角形， ， ， ， 共线， ， ， ， ， ， ， ， 当点在左侧时，如图4， ∵，，， ∴， ∴， 把沿对折，的对应点为，此时， ， ， ∴， ， 故答案为：2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级上期期中阶段性数学综合练习试卷 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 3. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 8 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 6. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 9. 如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A. ﹣ B. ﹣2 C. π﹣ D. ﹣ 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（5小题，共15分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 12. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为______． 13. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为________． 15. 一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A，求最小值为：______． 三、解答题 16. （1）解方程：． （2）求抛物线的顶点坐标． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点 （1）将以点C为旋转中心旋转，得到，请画出的图形； （2）写出旋转后点的坐标________； （3）平移，使点A的对应点坐标为，请画出平移后对应的的图形； （4）若将绕某一点旋转可得到，请写出旋转中心的坐标________． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 19. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 20. 周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求此抛物线的解析式； （2）若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 21. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的长． 22. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 23. 在中，，，D为内一点，将绕点C按逆时针方向旋转角α得到，点A，D的对应点分别为点B，E． （1）如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则                    （用含α的代数式表示）； （2）如图2，若A，D，E三点在同一直线上，，过点C作于点F，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，连接，若，，将绕点C旋转一周，当时，     ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $