15.1二次根式（第1课时）教学设计 2025-2026学年 冀教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式的概念、被开方数非负性及性质，通过复习平方根与算术平方根旧知，结合圆形喷水池半径的实际问题引入，搭建从实数到二次根式的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以情境化引入与探究式学习为特色，用喷水池问题引导学生用数学眼光观察现实，小组合作归纳性质培养推理意识，阶梯式练习（如求字母取值范围）提升数学语言表达能力，助力学生发展抽象能力，教师教学环节清晰易操作。

第十五章 二次根式 15.1二次根式 第1课时   一、教材分析 本节是冀教版八年级数学“二次根式”章节的开篇第一课时，是在学生学习了平方根、算术平方根等知识的基础上展开的.它既是对前期实数知识的深化与延伸，也是后续学习二次根式的运算、分式以及一元二次方程的重要基础，在初中代数知识体系中起到承上启下的关键衔接作用. 教材通过“情境引入—概念构建—性质探究—应用巩固”的逻辑线索开展活动，具体如下： (1)情境引入：通过实际问题求圆形喷水池大圆半径，引出形如“”的式子，让学生感知二次根式的现实意义；(2)概念构建:结合具体实例，给出二次根式的定义，明确“被开方数是非负数”这一核心条件；(3)性质探究:围绕“的化简”展开，引导学生观察、归纳，得出“”的性质，再分和两种情况细化化简方法；(4)应用巩固：配备阶梯式练习题，逐步提升应用能力.   二、学情分析 已有基础：学生已掌握平方根、算术平方根的定义，能计算具体数的平方根，具备初步的数感和代数推理能力. 存在困难：对“二次根式中被开方数非负”的条件容易忽略，尤其在含字母的式子中（如判断有意义的条件）.对“”的性质理解不深刻，容易直接等同于“a”，忽略a为负数的情况. 认知特点：八年级学生以具体形象思维为主，抽象逻辑思维正在发展，需要借助具体实例和直观操作突破难点.   三、学习目标 1.理解二次根式的概念，能够识别二次根式. 2.根据理解二次根式及二次根式中被开方数的非负性. 3.会求二次根式中被开方数字母的取值范围. 4.通过利用二次根式表示实际问题中的数量关系，体会研究二次根式的必要性，进一步感受数学来源于生活、服务于生活.   四、教学重难点 重点：理解二次根式的概念，能够识别二次根式；会求二次根式中被开方数字母的取值范围. 难点：根据理解二次根式及二次根式中被开方数的非负性.   五、教学过程 · 本章引入 前面我们已经学习了实数的有关知识，将数的范围从有理数扩充到实数，认识了诸如，，，…这样的式子.在后续学习中，还会遇到+和·这样的运算.为解决此类问题，我们将学习二次根式及相关运算. 在本章中，我们将学习二次根式与最简二次根式的概念、二次根式的性质、二次根式的加减乘除以及混合运算. 通过本章的学习，我们将体会运用类比的思维方式探究二次根式性质和运算原理的过程，进一步感悟代数推理在数学运算中的作用，提高运算能力. 师生活动：教师通过具体式子，引入本章要学习的内容. 设计意图：学生带着目的去学习,避免走弯路，提高学习效率. · 复习回顾 思考：什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 答：一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是±. 思考：什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 答：正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0. 用(a≥0)表示. 师生活动：教师通过实际问题，引发学生思考. 设计意图：通过提问的方式带领学生回顾所学知识，为本节课的学习做好知识铺垫. · 探究新知 活动一：探究二次根式的定义 思考：2，18，，的算术平方根是怎样表示的? 答：，,. 思考：非负数m，p+q，−1的算术平方根又是怎样表示的? 答：，,. 思考： 解：设喷水池的半径为r m. ∴，则. 因为r是的算术平方根， 所以r=. 设大圆的半径为R m. ∴，则. 因为R是的算术平方根， 所以R=. 师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并认真作答. 思考：上面问题的结果分别是，,，，,，，等式子，它们都表示一些正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢? 答：非负数有算术平方根. 上面问题的结果分别从形式上和被开方数上看有什么共同特点? ①都含有“”；②被开方数≥0. 师生活动：教师提出问题，学生小组之间合作交流，积极讨论，学生代表作答. 师生共同归纳归纳二次根式的概念：我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式. 师指出二次根式的必备条件： ①含根号且根指数为2(通常省略不写)； ②被开方数为非负数. 师强调： 注意：①二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断，如：是二次根式； ②像 (a≥0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式. 设计意图：通过一些具体实例，让学生对二次根式有一定的感性认识，学生小组讨论发现二次根式的特点，加深对概念的理解. 活动二：探究二次根式的性质 小亮和小颖对二次根式“(a≥0)”分别有如下的观点，你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明. 小亮的观点： 因为表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有≥0. 小颖的观点： 因为表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有. 师生活动：教师提出问题，学生小组之间合作交流，各小组选派代表发言. 第一小组：认同小亮的观点.通过具体例子验证. 当a=4时，； 当a=0时，. 师小结： 性质1：≥0(a≥0)，即一个非负数的算术平方根是一个非负数 .即二次根式具有双重非负性. 第二小组：认同小颖的观点.通过具体例子验证. 当a=4时，； 当a=0时，. 师小结： 性质2：(a≥0). 即任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. 根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中的规律. = ； = ； = ； = . 第三小组： =2； =0.5； = ； =0. 归纳：(a≥0). 思考：当a<0时，等于什么？ == ； == ； == ； == . 第四小组： =2； ==0.5； = ； =0. 归纳：(a≤0). 师小结： 性质3：==，即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值. 师提醒： 应用提醒 1.正用公式：若a≥0，则，如，. 2.逆用公式：若 a≥0，则，如. 注意：无论是正用，还是逆用，都要注意前提：a≥0. 师强调： 注意：(a≥0) 的运算结果是 a， 的运算结果与a 的取值有关，可简记为“平方在外面，直接去根号；平方在里面，得到绝对值，分类来讨论” . 设计意图：学生通过小组讨论探究二次根式的性质，培养学生团体合作精神与归纳总结能力. 做一做 化简： (1)； (2)； (3)； (4). 解：(1)=3； (2)=； (3)=5； (4)=. 师生活动：教师利用多媒体出示题目，学生思考后计算. 设计意图：通过具体练习，及时巩固二次根式的性质. · 应用新知 例1 化简： (1)； (2) . 解： 师生活动：教师引导学生利用二次根式的性质进行计算，学生认真思考+1，举手作答+2. 师小结： 与( a≥0) 的异同点 设计意图：通过例1让学生熟练掌握二次根式的性质，清楚与( a≥0)的异同点. 例2. 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) －； (2) . 解：(1)要使原式有意义，需满足，解得 2≤x≤5. (2)要使原式有意义，需满足， 解得x≥−4且x≠2. 师生活动：选派2名学生板演，教师巡回指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误. 师小结： 求使含有字母的式子有意义的字母的取值范围的方法 (1) 如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数 . (2) 如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不等于0. (3) 如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0. 设计意图：通过例2，让学生掌握求使含有字母的式子有意义的字母的取值范围的方法,突出本节课的重点. 例3. 化简： (1)； (2)+(1≤x≤3). 解：(1)=|2−|=−2； (2)+=+=|x−1|+|x−3|， ∵1≤x≤3， ∴x−1≥0，x−3≤0. ∴原式＝x−1+3−x＝2. 师生活动：学生思考后，小组讨论，各组选派小组代表作答.认真思考+1；合作交流+2；举手作答+2. 师小结： 化简一般有两个步骤： ①去掉二次根号，写成绝对值的形式，即=； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即 ==. 设计意图：本题是对二次根式性质的考查，比例1难度大，通过小组讨论，培养学生分析问题的能力，增强团队合作意识. · 课堂练习 1.化简： (1) ； (2)； (3)； (4) . 解：(1) =2 . (2)=0.04. (3)==0.8 . (4)===4×=. 2.给出下列式子：① ；② ；③  ；④ . 其中一定是二次根式的是_______ .(填序号) 解：①中含有二次根号，且被开方数是正数，故①是二次根式； ②中“”是三次根号，不是二次根号，故②不是二次根式； ③中含有二次根号，但被开方数 <0，故③不是二次根式； ④中含有二次根号，且被开方数>0，故④是二次根式 . 故答案为①④. 3.若+=0，则x－y的值为(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 解：因为和都是非负数，它们的和为0，所以 所以=0，=0 ， x＋y－1＝0，y＋3＝0，解得x＝4，y＝－3，所以x－y＝7. 故选：C. 4.要使二次根式有意义，x应取（ ） A. x>1 B. x<1 C. x=1 D. x=-1 解：要使二次根式有意义， 需满足≥0. 则+2x+1≤0， 所以≤0， 所以，x=-1. 故选D. 5.若＝1－2a，求实数a的取值范围. 解：因为=|2a−1|， 所以|2a−1|=1－2a， 所以，2a-1≤0， 解得. 所以实数a的取值范围是. 6.一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与其开始落下的高度h(单位：m)满足关系 (1)用含有h的式子表示t. (2)当h的值分别为0，10，15，25时，得到的t的值分别是什么?t的值是怎样变化的? 解：(1)由得：. (2)h=0时，t=0s；h=10时，t=≈1.41s. h=15时，t=≈1.73s；h=25时，t=≈2.24s. 当h增大时，t的值逐渐增大. 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $