15.1 第1课时 二次根式及其化简-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

15.1 二次根式 第1课时 二次根式及其化简 课题 二次根式及其化简 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P90—92 教学目标 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式的非负性. 3.理解和掌握二次根式的简单性质，并能利用它们进行化简和计算. 教学重难点 重点：二次根式的概念与性质. 难点：二次根式基本性质的灵活应用. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 复习： 1. 什么叫平方根？什么叫算术平方根? 2.填空： （1）的平方根是　　　　;  （2）一个圆的面积为S,这个圆的半径是　　　　；  （3）若正方形的面积为a—4,则边长为　　　　.  学生思考并回答. 3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗？ 学生观察，总结共同特征并表述意见. 唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆，使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 活动一：二次根式的概念 我们已经学习了数的开平方,并用（a≥0）表示非负数a的算术平方根.现在，我们首先来学习二次根式的定义. 【一起探究】　 1.（1)2，18,,的算术平方根是怎样表示的? (2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？ 2.学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带，那么所成大圆的半径应为多少米？ 引导学生分析得出： 1.解:（1）,,,.　(2)，，. 2. 解：，. 引导学生概括二次根式的定义：在上面的问题中,我们得到了，,,,，，，，等式子，它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 【教师总结】　 （1)二次根式的被开方数a可能为整式，也可能为分式，因此要分清a所代表的式子类型. （2)本身作分母时,要注意只能大于0，不能等于0. (3）要注意，等，这时无论a取何值都有意义. 【活动】　 提问:+1是不是二次根式？呢? 议一议:二次根式表示什么意义? 此算术平方根的被开方数是什么？被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？ 其中字母a要满足什么条件？为什么? 经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评. 最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正，也可能为负，所以不能说这个式子是二次根式,中的a+1也可能为正，也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式. 【教师总结】 从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件: （1）必须有二次根号； （2）被开方数不能小于0. 活动二:二次根式的简单性质 了解了二次根式的概念,实际上(a≥0）表示的就是我们以前学过的非负数a的算术平方根,下面我们来研究一下它有哪些简单性质. 【大家谈谈】　 小亮和小颖对二次根式“（a≥0）”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明. 小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根，所以根据算术平方根的意义，有≥0. 小颖的观点：因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有（）2=a. 学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确. 【教师总结】 (1)（a≥0）是一个非负数，即具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数； (2）(）2=a(a≥0）,即非负数a的算术平方根的平方等于a. 【做一做】　 =　　　　；=　　　　；=　　　　;=　　　　；=　　　　.  教师点评:根据算术平方根的意义，我们可以得到:=2；=0.01;;；=0. 想一想：根据上面的计算，你能得到什么结论? 学生讨论得出,一般地，=a（a≥0). 【做一做】 化简. （1）（)2;　（2)；　（3）；　(4). 教师指名回答,公布答案. 解：（1)(）2=3.　（2).　（3）=5.　(4）. 我们知道非负数有算术平方根，所以根据算术平方根的意义，我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即≥0（a≥0). 1.性质1:()2=a（a≥0）. (1)观察：22=4,即（）2=4；32=9,即（）2=9…… (2)提问：观察上述等式的两边，你得到什么启示? （3)板书:当a≥0时，=a. 2.性质2：=a（a≥0). (1)提问:等于什么？ (2）举例：=2;=2;=3；=3…… (3）发现：当a≥0时,=a；当a〈0时,=—a. (4)归纳： 3.比较()2和的区别. 学生讨论，回答. 说明：关键抓住被开方数的非负性和(a≥0）的非负性. 【知识拓展】 理解（）2和时应注意以下几点： (1）从a的取值范围理解:中的a为全体实数,而()2中的a为非负数. (2）从所得的结果理解：,而(）2=a，也就是说当a≥0时，=（）2. 活动三：例题讲解 【教材例题】 化简. (1)；　(2）. 解：（1)=0.2.　 （2)=12=1. 让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的，进而给出二次根式的概念. 通过探究促使学生独立思考、合作探讨，并最终获得结论，有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆，同时提高学生的概括总结能力，培养了学生思维的严谨性. 通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者. 通过比较、讨论、试做的教学方式，加深学生对两个性质的认识,同时，也关注了学生学习方式的个性化，做到既着眼于共同发展，又关注于个性差异. 尽管问题相对简单，但规范的解答还是非常有必要的，要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透. 3.学以致用，应用新知 【例1】下列各式是二次根式的是（     ）． A．5 B． C． D． 【答案】C 解析：由题意知，5，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求；故选：C． 【例2】如果是任意实数，下列二次根式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：A、，被开方数可能是负数，故错误； B、，当时，被开方数是负数，故错误； C、，当时，被开方数是负数，故错误； D、，被开方数，故正确； 故选：D． 4.随堂训练，巩固新知 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：，不符合二次根式的形式，不是二次根式； 中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式； 是二次根式． 故选：A． 2．若式子有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 解析：式子有意义， ， 解得； 故选：D． 3．代数式有意义，则x满足的条件是 ． 【答案】且 解析：由题意得， 解得：且． 故答案为：且． 4．若，是实数，且，求的值． 【答案】 解析：由题意得，，， 解得，， 则， 则 5.课堂小结，自我完善 1.二次根式的定义 一般地，把形如(a≥0）的式子叫做二次根式. 判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备如下两个特征： （1）带有二次根号“"，即根指数是2； (2)被开方数不小于零. 只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征，就不是二次根式. 2.二次根式的基本性质 （1)当a≥0时，(）2=a；(2)当a≥0时，=a. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 1.课本P91练习T1; 2.课本P92习题A组和B组T1. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 15.1　二次根式 第1课时二次根式及其化简 活动一:二次根式的概念 活动二:二次根式的简单性质 活动三：例题讲解 例题 提纲掣领，重点突出. 教后反思 在授课过程中,首先教师让学生回顾了算术平方根与平方根的概念,并且通过一些思考题,得出二次根式的定义.通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的方法，通过“大家谈谈”让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法.本节课大部分时间都是引导学生边学边做,让学生经历了整个学习过程.同时在学习过程中,引导学生自己得出结论及二次根式的两个性质,在学生举例讨论之后,让学生自己初步得出了结论.整个教学过程，体现了“从特殊到一般”“由具体到抽象”的过程. 1.在实际教学中,仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象,以致有深度的练习没时间完成,结束得也比较仓促. 2.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺. 3.新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在课堂教学中,对学生探索求知进行了引导,并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做得还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$