15.2 二次根式的乘除运算-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

15.2 二次根式的乘除运算 课题 二次根式的乘除运算 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P95—97 教学目标 1. 了解二次根式的乘除运算法则. 2. 会进行简单的二次根式的乘除运算. 3. 会将分母中含有简单二次根式的式子进行分母有理化. 教学重难点 重点：二次根式的乘除运算. 难点：二次根式的乘除运算. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 问题导入： （1） 学校大门口的有一个长方形的花圃，花圃长为 cm,宽为 cm，求这个长方形的面积; （2）如果学校要把上面的花圃修改成面积为S= cm2，长a= cm,求修改后花圃的宽b为多少. 解析：　 (1）利用长方形的面积公式可以得到S=(cm2). (2）根据长方形的面积公式可得b=（cm）. 像, 这样的结果能否继续化简,该怎样化简? 导入都以日常生活中的实际问题为切入点，让学生感受到数学来源于生活，又应用于生活，从而提出问题，设下悬念,让学生带着问题进入到本节课的学习之中,为下面知识的学习做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 活动一：二次根式的乘除法法则 思路一 问题1：请同学们回忆二次根式的性质是如何得到的？ 问题2: 计算:（1)=　　　　,=　　　　;  （2）=　　　　，=　　　；  （3）=　　　　，=　　　　；  （4)=　　　　,=　　　　.  由计算结果,发现了什么规律？（学生总结出上面式子的规律并填空） （1)　　　 ; （2）　　　 ; （3）　　　 ； （4）　　　 . 对于下列各题，是否也有上面的规律呢?请你猜想并利用计算器进行验证. ;　 　　　 ; 　　　 ； 　　　 . 通过刚才的观察、类比、计算，你能用字母表示二次根式的乘除法法则吗？ 学生分组讨论,补充得出结论： （1）·（a≥0,b≥0）;(2）(或)（a≥0,b>0）. 思路二 问题1：想一想积（商）的算术平方根的性质是什么？ 学生回忆：(1）积的算术平方根等于各因数或因式的算术平方根的积,即·(a≥0，b≥0)； （2)商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即（或)（a≥0，b>0). 问题2:根据等式的对称性，把上述公式反过来，你能得到什么结论？ (1)·（a≥0，b≥0）； (2）（或)（a≥0，b>0）. 问题3：你能用自己的语言叙述出上述公式吗？ 【教师总结】 (1）二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变.用语言叙述为：两个算术平方根的积,等于积的算术平方根. (2)二次根式相除，实际上就是把被开方数相除，而根号不变.用语言叙述为:两个算术平方根的商,等于商的算术平方根. 问题4:二次根式的乘（除）法法则与积(商）的算术平方根的性质有什么关系？ 活动二：例题讲解 【教材例题】 1.计算下列各式. (1）;　（2）；　(3）. 解:（1).　 (2）=16.　 （3)=10. 说明：运算的结果，应化为最简二次根式. 2.计算下列各式. (1）;　（2）;　（3). 解：(1).　 （2）.　 （3). 活动三：分母有理化 问题:观察，,，的特点，有什么发现？ (分母都含有二次根式) 你能把它们分母化成有理数吗？ 学生分组讨论,推荐4个人到黑板上板书. 【教师总结】将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子，像这样，把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化. 对应练习:把下列各式分母有理化：，,,. 让学生完成导入一中的问题. 【大家谈谈】 　请就小明和大刚分别计算,的做法给予评价，并谈谈你的想法. 小明的做法(先运算后化简) 解：=6. =3. 大刚的做法(先化简后运算） 解:3=6. =3. 说明:小明和大刚的做法都是正确的.在教学过程中，可先由学生独立完成,然后展开交流,让学生体会到不同的思考方法.解答问题的过程可能是不同的，但结果是唯一的. 学生在教师的指导下主动学习并积极思考相关问题,培养学生用类比的方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括能力. 通过例题让学生明确二次根式的乘除法法则，使学生能应用所学的知识解决问题,提高学生解答问题的能力. 通过观察，归纳出分母有理化的概念，通过对新课导入问题的解答让学生体会知识来源于生活又应用于生活,使预设的问题得以解决,同时，通过“大家谈谈”让学生体会解题过程的不唯一性. 3.学以致用，应用新知 【例1】计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【例2】三角形的一边长是 cm，这条边上的高是 cm,则这个三角形的面积是 （　　） A.6 cm2 B.3 cm2 C. cm2 D. cm2 【答案】B 解析：三角形的面积为=3(cm2）.故选B. 4.随堂训练，巩固新知 1.计算的结果是 （　　) A. B.4 C. D.2 【答案】B 解析:=4.故选B. 2.化简的结果是 (　　) A. B. C. D. 【答案】A 解析：原式=.故选A. 3．矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 解析：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选C． 4.下列计算正确的是 （　　) A. B. C. D.x= 【答案】B 解析：A.,故本选项错误；B.，正确;C.=5,故本选项错误;D.x=,故本选项错误.故选B. 5.计算.(写出解题过程） （1);　 （2)23；　 （3）24； （4）. 解：（1)原式==2. （2）原式=6=6=30. （3）原式==1. (4）原式==2. 5.课堂小结，自我完善 1.二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积,等于积的算术平方根. ·（a≥0，b≥0). 2.二次根式的除法法则：两个算术平方根的商,等于商的算术平方根. 公式：(或)(a≥0，b＞0). 分母有理化：把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.应用二次根式的乘法法则可以将分母有理化. 引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 1.课本P96练习; 2.课本P96-97习题A组和B组T1,T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 15.2　二次根式的乘除运算 活动一:二次根式的乘除法法则 活动二：例题讲解 例1 例2 活动三：分母有理化 提纲掣领，重点突出. 教后反思 1.本节内容是以前一节二次根式的性质为基础进行的，要求学生能熟练运用二次根式的乘法法则和除法法则进行化简和计算.在教学过程中，通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则和除法法则,学生比较容易接受.教师在对二次根式的乘除运算法则的学习和应用的教学过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣,鼓励学生大胆猜想，积极探索,运用类比、归纳和从特殊到一般的思想方法激发学生创造性的思维. 学生对二次根式乘法法则和除法法则理解上问题不大,但常常忘记计算结果需要化简，对二次根式的乘除法计算还不够准确.此外，对分母有理化还不够熟练. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$