直线与圆专题复习学案+课件（共2个课时）——2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了直线和圆专题，涵盖直线方程、位置关系、圆的方程及直线与圆位置关系等核心考点，通过表格对比、层级梳理构建知识网络，以课前练习和问题链设计驱动学生自主回顾概念，形成从基础到综合的认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层训练结合，如课前练习定位薄弱点，典型例题分题型变式训练，培养学生数学思维与逻辑推理能力。每个模块配有解析版反思总结，帮助学生自主归因提升，教师可通过学情精准指导，实现个性化复习与因材施教。

直线和圆—复习学案（第一课时） 班级： 姓名： . 【知识梳理】 知识点1：直线的方程 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． （2）直线l的斜率公式：k = tan = = （(m,n)为直线方向向量的坐标，倾斜角是的直线没有斜率） 2、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 知识点2：两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 斜截式（斜率存在） 一般式（方向向量为） 方程 平行 垂直 相交 和相交 和相交 2、三种距离公式 （1）两点距 : 若 P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) ，则 （2）点线距：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝． （3）两平行线间的距离： l1：Ax＋By＋C1＝0到l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离为：d＝． 知识点3：圆的方程 1、 圆的方程 形式 圆心 半径 限定条件 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 （a,b） r r>0 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F >0 参数方程 （a,b） r 2、点与圆的位置关系 若点M(x0，y0) 在圆上，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 若点M(x0，y0) 在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2 > r2 若点M(x0，y0) 在圆内，则 (x0－a)2＋(y0－b)2 < r2 【课前练习】 1．过两不同点的直线的斜率为1，则（     ） A．1 B．2 C． D． 2．已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 3．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（     ） A． B． C． D． 【典型例题】 【题型1 直线斜率的取值范围问题】 例1：（2025·深圳一模）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1：直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 求解直线的方程】 例2：写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式： （1）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； （2）经过两点，； （3）经过点，平行于x轴； （4）在x轴，y轴上的截距分别为，． （5）已知直线的一个方向向量为，且过． 变式2：已知直线过点：(1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【题型3 两条直线的位置关系 】 例3：（2025·山东一模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 变式3：已知直线和，则（ ） A．和可能重合 B．和不可能垂直 C．存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D．以上都不对 【题型4 直线的交点与距离问题】 例4：如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC和OB的交点P的坐标为________.  例5：（1）已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． （2）已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 【题型5 求圆的标准方程与一般方程】 例6：（1）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（     ） A． B． C． D． （2）经过点的圆的方程为 . 变式3：已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【课后作业】 1. 直线及互相垂直，其中是一个常数．若与相交于，则的方程（    ） A． B． C． D． 2. “直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4. （2025·成都模拟）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 5. 在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6. （2023·湖北一模）（多选）已知，，直线：，：，且，则（ ） A． B． C． D． 7. 过与的交点，且垂直于向量的直线方程为 . 8. 设m为实数，在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． (1)求点A的坐标； (2)直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 直线和圆—复习学案（第二课时） 班级： 姓名： . 【知识梳理】 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 方法 相交 相切 相离 几何法（d为圆心到直线距离，r为半径） d <r d＝r d >r 代数法（联立消元得一元二次方程） Δ>0 Δ＝0 Δ<0 （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，由勾股定理得L ＝2. ②代数法：直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 的关系 公切线条数 4 3 2 1 0 公共点个数 0 1 2 1 0 （2）两圆相交的有关问题 相交弦所在直线方程：两圆方程相减即得 相交弦长：|AB|＝2 （即相交弦所在直线被其中一圆截得的弦长） 【课前练习】 1. （2025·四川三模）若圆与轴相切，且圆心坐标为，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2. 已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典型例题】 【题型1 直线与圆的位置关系】 例1：（1）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 （2）（2025·重庆二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 变式1：（2025·全国Ⅰ卷·）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 圆的弦长及中点弦问题】 例2：已知直线与圆相交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1：若直线被圆截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2：（2025·周口二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D．0 【题型3 圆的切线方程及切线长问题】 例3：（1）过点且与圆：相切的直线方程为 . （2）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 变式3：（2023·湖南模拟）若直线l：与圆C：相交于A，B两点，，则直线l的斜率的取值范围为 . 【题型4 圆与圆的位置关系】 例4：圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 变式4：已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 【题型5 两圆的公共弦与公切线问题】 例5：圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．4 例6：圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 与圆有关的最值问题】 例7：（2024·江苏模拟）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5：已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【课后作业】 1. 圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相离 D．相交 2. 过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 3. 设直线l的方程为，圆C的方程为，则直线l与圆C的位置关系为（    ） A． 相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 4. 若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（     ） A． B． C．- D． 5. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2 6. （2025·湖北模拟）“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A．] B． C． D． 8. 圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 9. 若直线过点P（4，1）且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 . 10. 已知圆与圆恰有三条公切线，则 . 直线和圆—复习学案（第一课时）解析版 班级： 姓名： . 【知识梳理】 知识点1：直线的方程 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． （2）直线l的斜率公式：k = tan = = （(m,n)为直线方向向量的坐标，倾斜角是的直线没有斜率） 2、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 知识点2：两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 斜截式（斜率存在） 一般式（方向向量为） 方程 平行 垂直 相交 和相交 和相交 2、三种距离公式 （1）两点距 : 若 P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) ，则 （2）点线距：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝． （3）两平行线间的距离： l1：Ax＋By＋C1＝0到l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离为：d＝． 知识点3：圆的方程 2、 圆的方程 形式 圆心 半径 限定条件 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 （a,b） r r>0 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F >0 参数方程 （a,b） r 2、点与圆的位置关系 若点M(x0，y0) 在圆上，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 若点M(x0，y0) 在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2 > r2 若点M(x0，y0) 在圆内，则 (x0－a)2＋(y0－b)2 < r2 【课前练习】 1．过两不同点的直线的斜率为1，则（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得，解得或． 当时，点重合，不符合题意，舍去． 当时，经验证，符合题意．故选：C. 2．已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 3．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程可知：的斜率为， 由题意可知：，所以，所以， 因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：， 即.故选：C. 【题型1 直线斜率的取值范围问题】 例1：（2025·深圳一模）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线恒过定点，如图. 又因为，，所以直线的斜率k的范围为.故选：C. 变式1：直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则，可得， 所以直线过定点，则，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又， 所以或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， 所以的取值范围为.故选：C 【题型2 求解直线的方程】 例2：写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式： （1）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； （2）经过两点，； （3）经过点，平行于x轴； （4）在x轴，y轴上的截距分别为，． （5）已知直线的一个方向向量为，且过． 【答案】（1）；(2)；（3）；（4）. 【解析】（1）直线的斜率为，其倾斜角为， 因此所求直线的倾斜角为，斜率为， 所以所求直线的方程为，即. （2）直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （3）经过点，平行于x轴的直线斜率为0， 所以经过点，平行于x轴的直线方程为. （4） 在x轴，y轴上的截距分别为，的直线方程为，即. （5）由直线的方向向量为，可得直线的斜率， 因为直线过点，所以直线的方程为，即2x-y=0 变式2：已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【解析】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 【题型3 两条直线的位置关系 】 例3：（2025·山东一模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【解析】若直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或.故选：D. 变式3：已知直线和，则（ ） A．和可能重合 B．和不可能垂直 C．存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D．以上都不对 【答案】C 【解析】直线，斜率为； 直线，斜率为； ，所以和不可能重合，A错误； 时，，和可能垂直，所以B错误； 由知和不平行，设和相交于点， 则直线以为中心旋转后与重合，所以C正确，D错误.故选：C. 【题型4 直线的交点与距离问题】 例4：如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC和OB的交点P的坐标为________.  【解析】因为与共线,故设=λ=(4λ,4λ),则=(4λ-4,4λ),=(2-4,6-0)= (-2,6).由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,所以=(4λ,4λ)=(3,3).故点P的坐标为(3,3). 答案:(3,3) 例5：（1）已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示点与距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为．故选：C （2）已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 【答案】 【解析】根据题意，两条平行直线，， 必有，解可得， 则即，变形可得， 又由两条平行直线间的距离为，则有，解可得或， 故. 故答案为：． 【题型5 求圆的标准方程与一般方程】 例6：（1）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为.故选：D. （2）经过点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的一般方程为，代入点可得： ，解得 故圆的一般方程为： 故答案为： 变式3：已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【答案】 【解析】点和点的中点为， 点和点的斜率为， 则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径， 圆方程为. 【课后作业】 4. 直线及互相垂直，其中是一个常数．若与相交于，则的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得与相交于，， 将代入中，可得，解得， 可得的斜率为，的斜率为， 则的方程为，化简得，故B正确.故选：B 5. “直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或． 当时，两直线分别为，，不重合满足题意； 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 故由直线与直线平行可得或， 所以“直线与直线平行”不能推出“”，反之可以. 故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件.故选：B 6. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】根据题意，分情况讨论可得： 当两个点，在所求直线的异侧时， 即过线段的中点．由于直线又经过， 此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为； 当，在所求直线同侧时， 直线与所求的直线平行， 又因为， 所以所求的直线斜率为，由于直线又经过， 直线方程为， 化简得：， 综上，满足条件的直线为或，故选：C． 4. （2025·成都模拟）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为.故选：B. 5. 在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆心到直线 的距离， 即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为.故选：B. 6.（2023·湖北一模）（多选）已知，，直线：，：，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由，得，即， ，，则，当且仅当，即时等号成立， 所以有，A选项正确； 由，有， 当且仅当，即时等号成立，所以有，B选项成立； 由，有，，，则，， 由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误； 由，有， ， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确.故选：ABD. 9. 过与的交点，且垂直于向量的直线方程为 . 【答案】 【解析】由可得，故交点为，因为直线垂直于向量， 故，即， 10. 设m为实数，在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． (1)求点A的坐标； (2)直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以由， 由题意可知：， 因为，所以点A的坐标为； （2）由（1）可知，所以有直线， 设直线倾斜角为，则有， 所以直线的倾斜角为，设直线的斜率为， 则有， 所以直线直线的方程为：. 直线和圆—复习学案（第二课时）（解析版） 班级： 姓名： . 【知识梳理】 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 方法 相交 相切 相离 几何法（d为圆心到直线距离，r为半径） d <r d＝r d >r 代数法（联立消元得一元二次方程） Δ>0 Δ＝0 Δ<0 （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，由勾股定理得L ＝2. ②代数法：直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 的关系 公切线条数 4 3 2 1 0 公共点个数 0 1 2 1 0 （2）两圆相交的有关问题 相交弦所在直线方程：两圆方程相减即得 相交弦长：|AB|＝2 （即相交弦所在直线被其中一圆截得的弦长） 【课前练习】 3. （2025·四川三模）若圆与轴相切，且圆心坐标为，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得圆的半径为2，故圆的方程为， 即．故A正确.故选：A. 4. 已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由圆的方程可确定半径，利用垂径定理可表示出，代入三角形面积公式，利用基本不等式可求得最大值. 【详解】 由圆的方程知：圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则， （当且仅当时取等号）， 则面积的最大值为. 【典型例题】 【题型1 直线与圆的位置关系】 例1：（1）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【解析】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交.故选：A （2）（2025·重庆二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 【答案】 【解析】由曲线，得，作出图象如下： 设过点且与半圆相切的直线的斜率为， 则直线方程为，即． 由，解得或（舍去）， 直线的斜率的最大值为． 变式1：（2025·全国Ⅰ卷·）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 【题型2 圆的弦长及中点弦问题】 例2：已知直线与圆相交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心到直线的距离为， 则， 所以.故选：A. 变式2-1：若直线被圆截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，圆的圆心为，半径为， 由弦长为，解得.故选：A 变式2-2：（2025·周口二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】，故过定点， 又，故在圆内， 所以当⊥时，取最小值，此时， 又，所以.故选：B 【题型3 圆的切线方程及切线长问题】 例3：（1）过点且与圆：相切的直线方程为 . 【答案】或 【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． （2）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化为，圆心为，半径为2 所以点到圆心的距离为，则切线长为， 所以，则.故选：D 变式3：（2023·湖南模拟）若直线l：与圆C：相交于A，B两点，，则直线l的斜率的取值范围为 . 【答案】 【解析】将圆C的方程整理得， 圆心坐标为，半径为， 要求，，则圆心到直线的距离应小于等于， ∴，即（）， ∴，， 设直线l的斜率为k，则， ∴， 直线l的斜率的取值范围是. 【题型4 圆与圆的位置关系】 例4：圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】的圆心为，半径为2， 的圆心为，半径为3， 由于，， 故两圆相交.故选：B 变式4：已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 【答案】 【解析】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 【题型5 两圆的公共弦与公切线问题】 例5：圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】圆：  ①，所以，. 圆：  ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为.故选：A 例6：圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线．故选：C 【题型6 与圆有关的最值问题】 例7：（2024·江苏模拟）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为．故选：D． 变式5：已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】圆，则圆心， 圆，则圆心， 两圆心在直线的同侧.又圆心到直线的距离， 圆心到直线l的距离， 则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，所以， ， 当且仅当三点共线时等号成立； 即的最小值为．故选：D. 【课后作业】 6. 圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相离 D．相交 【答案】D 【解析】对于圆的方程， 所以圆的圆心坐标为，半径. 对于圆的方程， 所以圆的圆心坐标为，半径. 计算两圆心之间的距离 两圆半径之和.同时. 则 .所以两圆的位置关系是相交.故选:D． 7. 过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】，圆心，半径， 过点且与圆相切， 当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切； 当此切线存在斜率时，设此切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 则切线方程为，即； 综上，所求的切线方程为或.故选：D. 8. 设直线l的方程为，圆C的方程为，则直线l与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为圆C的方程为，所以圆心为半径为， 则圆心到直线距离，所以，所以则直线l与圆C相交.故选：A. 9. 若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（     ） A． B． C．- D． 【答案】A 【分析】 由得是等边三角形，从而得到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解． 【详解】，则是等边三角形，圆半径为1，因此到直线的距离为， 所以，解得， 故选：A． 10. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时.故选：D 6. （2025·湖北模拟）“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即， 故“”是“圆上恰有2个点到直线 的距离为1”的必要不充分条件.故选：B. 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A．] B． C． D． 【答案】A 【解析】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故，故选：A. 8. 圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】圆，即，圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径， 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为. 9. 若直线过点P（4，1）且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 . 【答案】或． 【解析】由题可知圆心，半径，弦长，设弦心距是d， 则，解得， 若l斜率不存在，直线是，代入圆的方程解得， 故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意， 若l斜率存在，设直线方程，即， 则圆心到直线的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上，所求直线方程为或． 10. 已知圆与圆恰有三条公切线，则 . 【答案】 【解析】由题知，两圆外切， 由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径， 则，解得. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $直线和圆复习 直线的倾斜角 知识点1直线的方程 直线的斜率 直线方程的五种形式 』注意斜率不存在的情况 两条直线平行与垂直的判定 两条直线的交点的求法 知识点2两条直线的位置关系 三种距离公式 ①注意平行线间距离公式系数问题 直线系方程的常见类型 直线与圆 圆的定义及方程 知识点3圆的方程 点与圆的位置关系 二元二次方程与圆的关系 注意方程表示圆的充要条件 直线与圆的位置关系 知识点4直线与圆、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 难点：与圆有关的最值问题 第一部分 【知识梳理】 知识点1：直线的方程 1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线I倾斜角α的取值范围是[0，π). (2)直线1的斜率公式：k=ama-Y-二上=”(m川为直线方向向量的坐标，倾斜角是的直线没有斜率) X1-x2 m 2、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(xo,o),斜率k y-yo=k(x-xo) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b,斜率k y=kx+b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1,y1),(x2,2) y一y1=x一x1 与x轴、y轴均不垂直的直线 y2一y12一x1 截距式 横截距a,纵截距b x+y=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 a b 一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面直角坐标系内所有直线 2、三种距离公式 (1)两点距：若P1x1,,P2,2),则|P=V(x2-x)2+(y2-)2. (2)点线距：点P心o,w)到直线：A十By十C=0的距离为：d=4+B0+g N42+B2 (3)两平行线间的距离：1：4x十B十C=0到h:A+By+C2=0之间的距离为：d=C一C V42+B2 知识点3：圆的方程 1、圆的方程 形式 圆心 半径 限定条件 标准方程 (x-a2+0y-b)=r2 (a,b) r>0 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 号3 D2+E2-4F D2+E2-4F>0 2 x=a+rcose 参数方程 (a,b) 0∈[0,2π] y=b+rsine 2、点与圆的位置关系 若点Mo,%)在圆上，则x0一a2+00一b)2=r2 若点Mxo,0)在圆外，则o-a)2土0o-b2>2 若点M(xo,o)在圆内，则(x0一a2土n一b)2<2 【课前练习】 1.过A(3m-1,3m-2),B(2t,nt)两不同点的直线1的斜率为1，则m=() A.1 B.2 C.-1 D.-2 2.已知直线I的倾斜角为直线y=√3x+1的倾斜角的一半，则直线1的斜率为 3.将直线：x+y-2=0绕点(2,0)顺时针旋转90°得到直线1，则直线1，的方程是( A.2x-y+2=0B.x+y+2=0 C.x-y-2=0 D.2x-y-2=0 【典型例题】 【题型1直线斜率的取值范围问题】 例1：(2025深圳一模)已知直线kx-y+2=0和以M(3,-2),N(2,5)为端点的线段相交，则实数k的取值范 围为() 引B层网cn（[B* 变式1：直线1：(m+3)x+(m-2)y-m-2=0,点A(-2,-1),B(2,-2),若1与线段AB相交，则m的范围为() A.（-0,-4]U[4,+∞)B.(-2,2) C.28 D.(4,+0)