精品解析：安徽省宿州市泗县2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

泗县2025－2026学年度第一学期九年级期中教学质量检测 数学试题卷 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，满分40分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 3. 寒假期间，伶伶和俐俐结伴去郑州旅游，两人从“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点中随机抽取个进行游玩，现将四个景点的照片背面向上放置（背面完全相同），伶伶先从中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，俐俐再从剩余的照片中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，则两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以点O为位似中心，把放大为其2倍得到，以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. ，，三点共线 6. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 7. 已知方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 8. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 9. 已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 可能有且只有一个实数根 D. 没有实数根 10. 如图，在中，，，D为线段上一点，以为一边构造，，，下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 11. 已知，则的值为___________． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 13. 小瑞和小初同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件发生的概率是______． 14. 定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”．如图，中，，，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作于点Q，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 解方程： 16. 如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若，，求的长． 17. 如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 18. 如图，在中，点D在边上，，，，求长． 19. 解答下列各题 （1）如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ （2）若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． （3）若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 20. 如图，在中，，是的中线，点是的中点，连接并延长到，使，连接、 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的面积． 21. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 22. 个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． （1）设涨价x元，则每天的销售量为______斤； （2）请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 23. 【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泗县2025－2026学年度第一学期九年级期中教学质量检测 数学试题卷 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，满分40分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一元一次方程，该选项不合题意； 、是代数式，不是方程，该选项不合题意； 、是一元二次方程，该选项符合题意； 、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定为矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，只能判定为平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，只能判定为平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定其为矩形（如等腰梯形的对角线也相等），不符合题意； 故选：A． 3. 寒假期间，伶伶和俐俐结伴去郑州旅游，两人从“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点中随机抽取个进行游玩，现将四个景点的照片背面向上放置（背面完全相同），伶伶先从中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，俐俐再从剩余的照片中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，则两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点分别记为，，，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的结果有种， 两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为． 故选：C． 4. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则是成比例线段，故该选项符合题意； C．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，以点O为位似中心，把放大为其2倍得到，以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. ，，三点共线 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点C、点O、点三点在同一直线上，，， 故选项C错误，符合题意． 6. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，特殊平行四边形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定方法分别判断即可确定正确的选项． 【详解】解：A、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项结论正确，不符合题意； B、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以该选项结论正确，不符合题意； C、因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，所以若且，则四边形是正方形，该选项结论正确，不符合题意； D、当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，所以若且，则四边形不一定是正方形，该选项结论错误，符合题意； 故选：D． 7. 已知方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，由可得，由勾股定理可得，由，可得，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，因而当最小时，最小，由垂线段最短可知，当时，最小，此时，进而可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当时，最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 9. 已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 可能有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，三角形三边关系的应用，先求出，再由三角形三边关系得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，则 ， ∵a，b，c分别是三角形的三边长， ∴ ， ∴ ∴原方程没有实数根， 故选：D． 10. 如图，在中，，，D为线段上一点，以为一边构造，，，下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据三角形内角和定理进行判断推理即可解答；②根据三角形相似的判定方法推理即可判断正误；③先说明，再运用相似三角形的性质即可解答；④利用矩形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理进行推理即可解答． 【详解】解：①，．故①正确； ②，， ．故②正确； ③∵， ∴， ， ， ．故③正确； ④如图，过点D作，，垂足分别为M，N， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，，， ， 同理，在中，； 在中，． ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ∴， ， ，故④正确． 综上分析，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形相似等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形相似的判断及性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 11. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，可得且，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为3． 13. 小瑞和小初同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件发生的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，概率公式的计算是关键． 根据题意，运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式的计算即可． 【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，石头、剪刀、布分别用表示， ∴共有9种等可能结果，其中两人同时出相同的手势有3种， ∴两人同时出相同的手势，这个事件发生的概率是， 故答案为： ． 14. 定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”．如图，中，，，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作于点Q，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长______． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质、勾股定理、解一元二次方程，理解题中定义，分情况求解是解答的关键． 过P作，垂足为D，先根据勾股定理和题中定义得到，分当时和当时两种情况，利用相似三角形的性质列比例式，然后解一元二次方程求解即可． 【详解】解：过P作，垂足为D， 在中，，，， 根据勾股定理得，， 四边形为“奋进四边形”， ， 第一种情况：当时，如图，则， 设，则， ， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去） ． 第二种情况：当时，如图，则， 设．则， ， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ， 故答案为：或4． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 解方程： 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】解：方程， ∴， 或， 解得，． 16. 如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到，即，然后利用比例性质求即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 即， 解得． 答：的长为． 17. 如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设最小数为，则最大数为，根据最小的数与最大的数的乘积为345建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 解得，， 答：这个最小数为15． 18. 如图，在中，点D在边上，，，，求长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质可得，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 19. 解答下列各题 （1）如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ （2）若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． （3）若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 【答案】（1） 填表如下： 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 3 6 10 15 （2） （3）2051325 【解析】 【分析】本题主要考查的是角的概念，规律探究，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成个角． （1）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （2）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （3）把2020代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当有n条射线时，角总个数为： ； 【小问3详解】 解：当内有射线条数是2024时， 角总个数为：（个）． 20. 如图，在中，，是的中线，点是的中点，连接并延长到，使，连接、 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； （2）利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质的长，进而求得的长，在根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴, 连接，交于点， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∵四边形是菱形； ∴，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ． 21. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 22. 个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． （1）设涨价x元，则每天的销售量为______斤； （2）请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 【答案】（1） （2）售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式． （1）根据每天的销售量为原来销售量500斤减去涨价导致减少的销售量即可； （2）根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，涨价x元，则每天的销售量为斤， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 当时，售价为元，元，，符合题意； 当时，售价为元，元，，不符合题意； ∴红橙售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元． 23. 【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）或 （3）4或． 【解析】 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的分类，分类思想，一元二次方程的解法，熟练掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $