精品解析：山东省临沂市沂水县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学单元作业 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分. 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一般形式为（），需通过移项将所有项移到等号左边，且按未知数次数从高到低排列，移项时注意符号变化． 先明确一元二次方程一般形式的结构（等号右边为0，左边按项、项、常数项顺序排列）；再对原方程进行移项，将右边的移到左边并变号；最后整理左边各项顺序，对比选项确定正确答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），需将所有项移至等号左边，按项、项、常数项排序． 对原方程移项（右边3x移到左边变号），得． A、方程未按项、项、常数项顺序排列，不符合一般形式规范，此选项不符合题意； B、常数项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； C、方程符合一般形式定义，此选项符合题意； D、项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，通过计算每个方程的判别式，判断是否有两个不相等的实数根． 【详解】解：A选项： 在一元二次方程中，，， ， ， 方程没有实数根， 故A选项不符合题意； B选项：在一元二次方程中，，，， ， 方程有两个相等的实数根， 故B选项不符合题意； C选项：在一元二次方程中，，，， ， 方程没有实数根， 故C选项不符合题意； D选项：在一元二次方程中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故D选项符合题意． 4. 点关于原点对称的点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称，熟练其规律是解决本题的关键．关于原点对称的两点的坐标的关系是横坐标、纵坐标都互为相反数，据此规律写出即可． 【详解】解：点关于原点对称的点B的坐标是． 故选A． 5. 将某抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据将某抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线，得出把向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，再列式化简，即可作答． 【详解】解：∵将某抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴把向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 ∴ 即 故选：D 6. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 8. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 9. 如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、等腰三角形的性质，根据正多边形和圆的关系，利用正n边形的中心角为分别求得，，再根据等腰三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是的内接正六边形、内接正五边形的边， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 10. 已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为． 因为， 所以和时的函数值相等， 因为，当时，函数取得最大值， 所以 ， 又因为当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 解得． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化成的形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案． 12. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为15，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式的应用，熟记弧长公式是解题的关键． 由题意得“莱洛三角形”的周长为三条弧长的和，再根据等边三角形得到圆心角为，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：如图： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与轴的另一个交点的坐标是解题的关键． 根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时，的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，一个交点为， 根据对称性，则另一交点为， 所以，的取值范围是， 故答案为：． 14. 圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形，可得，，，证明，求解，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 由旋转可得：，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，熟记旋转的性质是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， 即， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 17. 已知二次函数． （1）画出该二次函数图象； （2）若点在此抛物线上，求的值 （3）根据图象直接写出函数值小于3时，的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）或4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了画的图象，求抛物线与x轴的交点坐标，求抛物线与y轴的交点坐标，已知二次函数的函数值求自变量的值，根据交点确定不等式的解集等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）分别求出顶点坐标，与两坐标轴的交点，并利用对称性得到5点，再描点连线即可； （2）根据点在此抛物线上，得到关于的方程求解即可； （3）结合图象写出函数值小于3时，的取值范围． 【小问1详解】 解：在中， 当时，， 故与轴的交点坐标为． 当时，， 解得：，， 故与轴的交点坐标为，． ， 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线． 抛物线与轴的交点坐标关于对称轴对称的点的坐标为． 画出函数图象如图所示： 【小问2详解】 由条件可知， ， 解得或， 的值是或4； 【小问3详解】 由（1）可知，当时，二次函数的图象上有两个点和， 根据图象可得：函数值小于3时，的取值范围是或． 18. 如图，已知是半圆的直径，点是半圆上一点，连结，并延长到点，使，连结． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查直径所对圆周角为直角，圆周角定理，扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）连接，由圆周角定理可知，故，再由即可得出结论； （2）连接，根据直角三角形的性质求出的度数，由圆周角定理求出的长，根据即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是半圆的直径， ， ． ， ； 【小问2详解】 解：连接， ，， ，， ． ，，， ∴，， ∴，， ∴， 点是的中点， ， ． 19. 利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． （1）当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果售价； （3）请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每天销售量为240千克，每天利润为1920元 （2）25元/千克或35元/千克 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意，列出方程． （1）求出每天销售量，即可求解； （2）设这种水果的售价为元/千克，依题意列出方程，再解一元二次方程，即可解答本题； （3）设这种水果的售价为元/千克，，依题意列出方程，再利用判别式解答即可． 【小问1详解】 解：当这种水果售价为28元/千克时， 每天销售量为：（千克）， 每天利润为：（元）， 当这种水果售价为28元／千克时，每天销售量为240千克，每天利润为1920元． 【小问2详解】 解：设这种水果的售价为元/千克， 依题意可列方程为，， 整理得， 解得 当时，销售量为300千克；当时，销售量为100千克． 这种水果的售价为25元/千克或35元／千克时，商场每天销售利润为1500元． 【小问3详解】 解：设这种水果的售价为元/千克，依题意可列方程为， 整理得：， 此时方程，方程无实数解， 这种水果每天销售利润不能达到2200元． 20. 点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段. （1）作，垂足在线段上，如图1所示.当时，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）若，，求. 【答案】（1）点在直线上．理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先说明，从而可得，于是有线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上； （2）先说明，再利用平行线的性质说明，然后利用含有30度角的直角三角形的性质得出，从而可利用等腰直角三角形的性质得出． 【小问1详解】 解：结论：点在直线上．理由如下： ∵，， ∴． ∴，即． ∴线段逆时针旋转落在直线上． 即点在直线上． 小问2详解】 作于点． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了两直线平行内错角相等，锐角互余的三角形是直角三角形，含度角的直角三角形，根据旋转的性质求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 21. “立定跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（起跳点为原点，地面所在直线为轴，起跳点所在的竖直方向为轴），从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为． （1）求该运动员腾空路线的解析式； （2）求该运动员落地时距离起跳点的水平距离． 【答案】（1） （2）该运动员落地时距离起跳点的水平距离为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与轴的交点问题． （1）由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，得，将时，，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）令，求出的值，即可得解． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设该运动员腾空路线的解析式为， 当时，，代入得， 解得， ∴函数关系式为； 【小问2详解】 解：令， 即， 解得，， ∴该运动员落地时距离起跳点的水平距离为． 22. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】（1） （2）3， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 23. 已知抛物线（，为常数）过点. （1）若该抛物线与轴交于点. ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，求此时，的取值. 【答案】（1）①；②或 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一元一次不等式的解集，求不等式组的解集等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）①先根据抛物线过点和，得到关于、的方程组求解，即可得出抛物线的解析式； ②先求出抛物线对称轴为，再根据对称性得出，再根据对于，都有，得出关于的不等式组求解即可； （2）先根据抛物线过点，求出，再根据对于任意实数，都有，得出抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方，从而可得，由此求得，进而求得． 【小问1详解】 解：①抛物线过点和． ． 解得：． 抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， 关于对称轴的对称点． 对于，都有， 由图象性质得或． 解得或； 【小问2详解】 抛物线过点． ． 则． 对于任意实数，都有， 对任意实数都成立． ∴抛物线的 顶点在x轴上或在x轴的上方． ，． ． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学单元作业 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分. 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 点关于原点对称的点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将某抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化成的形式为___________． 12. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为15，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是______． 14. 圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为________； 15. 如图，在正方形中，，E为中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 17. 已知二次函数． （1）画出该二次函数图象； （2）若点在此抛物线上，求的值 （3）根据图象直接写出函数值小于3时，的取值范围． 18. 如图，已知是半圆直径，点是半圆上一点，连结，并延长到点，使，连结． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 19. 利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． （1）当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 20. 点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段. （1）作，垂足在线段上，如图1所示.当时，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）若，，求. 21. “立定跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（起跳点为原点，地面所在直线为轴，起跳点所在的竖直方向为轴），从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为． （1）求该运动员腾空路线解析式； （2）求该运动员落地时距离起跳点的水平距离． 22. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 23. 已知抛物线（，为常数）过点. （1）若该抛物线与轴交于点 ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，求此时，取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $