2025-2026学年北师大版数学七年级上册 第1讲+生活中的立体图形(同步讲义)

丰富的图形世界 生活中的立体图形知识梳理 常见的几何体及分类 按形状分类 名称 图例 特征 柱体 圆柱 上下底面是圆，侧面是曲面 有两个面互相平行且形状、大小都相同 棱柱 上下底面是多边形，侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆，侧面是曲面 有一个顶点 棱锥 底面是多边形，侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球体 表面是曲面 按围成几何体的面分类 有曲面：圆柱、圆锥、球、圆台等 a) 无曲面：棱柱、棱锥、棱台等 按有无顶点分类 b) 有顶点：圆锥、棱锥、棱柱、棱台等 c) 无顶点：圆柱、球、圆台等 棱柱的相关概念及特征 棱柱的相关概念及特征 类别 概念 图示 分类 特征 棱 棱柱中,相邻两个面的交线叫做棱 棱柱的底面是几边形就是几棱柱 棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱,直棱柱的侧面是长方形 棱柱的所有侧棱长都相等 棱柱上下底面的形状、大小相同,都是多边形,并且互相平行 侧面的形状都是平行四边形 侧棱 棱柱中,相邻两个侧面的交线叫做侧棱 棱柱与棱锥的面、顶点、棱 棱柱：面：n+2 顶点：2n 棱：3n 侧棱：n 侧面：n 棱锥：面：n+1 顶点：n+1 棱：2n 侧棱：n 侧面：n 几何图形的构成 几何图形的构成 图形是由点、线、面构成的(点无大小、线无宽窄、面无厚薄) 点、线、面、体之间的关系 从运动观点来看：点动成线，线动成面，面动成体 从几何观点来看：点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合 体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点 一般地，含有曲面的几何体都可以看作是由某一平面图形旋转得到的 几何体的表面积和体积 几何体的表面积=侧面积+底面积(上下底的面积和) 表面积： 圆柱体：2πr²+2πrh(r为上下底圆半径,h为高) 圆锥体：πr²+πrL(r为底圆半径,L为圆锥的母线长，h为高，L= ) 长方体：2(ab+ac+bc) (a为长,b为宽,c为高) 正方体：6a²(a为正方体的棱长) 球体：4πr²(r为半径) 体积： 圆柱体：πr²h(r为上下底圆半径,h为高) 圆锥体：πr²h(r为底圆半径,h为高) 长方体：abc (a为长,b为宽,c为高) 正方体：a³(a为正方体的棱长) 球体：πr³(r为半径)跟踪训练 立体图形的认识及顶点、面、棱 ：写出图中各个几何体的名称： 将图中的几何体进行分类，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 1. 五棱柱的顶点数 ，棱数是 ，面数是 四棱锥的顶点数是 ，棱数是 ，面数是 n棱柱的面数是8，则它有 个顶点，共有 条棱 若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于64，则每条棱的长为 不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征。甲同学：它有8个面；乙同学：它有18条棱。该模型的形状对应的立体图形可能是 ( ) A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 1. 根据上述多面体模型得： 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系是 一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值. 点、线、面、体之间的关系 1. 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映"线动成面"的是 ( ) A.笔尖在纸上移动划过的痕迹 B.长方形绕一边旋转一周形成的几何体 C.流星划过夜空留下的尾巴 D.汽车雨刷的转动扫过的区域 如图，将平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是 (D) A. B. C. D. 立体图形染色问题 1. 一个雕塑家利用15个棱长为1米的相同正方体，在公园空地设计了一个如图所示的几何体造型，需要把露出的表面部分都涂上颜色，则需要涂颜色部分的面积为 ( ) A.46m² B.28m² C.37m² D.25m² 把50个相同大小的立方体木块堆砌成如图的形状放在桌面上，现在向这堆木块没与桌面接触的五个面喷油漆，则有 块木块完全喷不到漆 把14个棱长为1dm的正方体摆成如图所示的造型，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为 ( ) A.33dm² B.21dm² C.42dm² D.24dm² 如图，几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律排成的，若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色)，观察该图，探究其中的规律. 图① 图② 图③ 1. 第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 个.第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 个 求出来第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数 求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和 表面积和体积计算 1. 有一个四棱柱， 1. 若它的底面边长都是5cm，所有侧面的面积和是40cm²，它的侧棱长是多少? 若它的所有棱都相等，且所有棱长之和为60cm，那么它的形状是什么?它的体积是多少? 若它的所有棱都相等，且所有棱长之和为60cm，那么它的形状是什么?它的体积是多少? 如图，直棱柱的底面边长都相等，底面边长是3.5cm，高是4cm,解答下列问题. 1. 这是几棱柱，共有几个面? 这个棱柱的侧面积是多少? 如图，以AB所在直线为轴，旋转一周，得到该几何体的体积是多少? 圆柱与圆锥的体积之比是2∶3，底面圆的半径相同，那么它们的高之比为 将一根长4m的圆柱体木料锯成两段(2段都是圆柱体)，表面积增加60dm²，这根木料的体积是 用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒如图，打结处正好是底面圆心，打结用去18cm. 1. 扎这个盒子至少用去彩带多少cm? 这个蛋糕盒子的体积是多少? 蛋糕的直径比盒子直径少3cm，高比盒子矮5cm，打开盒子沿着蛋糕底面的直径垂直切开，平均分成两部分，这时蛋糕的表面积增加了多少? 用一个底面为20cm×20cm的长方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，长方体容器中水的高度下降了 把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱，那么把一个长为8cm、宽为6cm的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的圆柱的体积为 cm³. 将直角边长分别为3，4，斜边长为5的直角三角形绕三角形其中一边旋转一周就可以得到一个几何体.请计算一下所有几何体的体积. 在长方形ABCD中，AB=a，BC=b，且a>b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在的直线旋转一周形成圆柱乙，两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙.则S甲、S乙之间的关系是 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰富的图形世界 生活中的立体图形知识梳理 常见的几何体及分类 按形状分类 名称 图例 特征 柱体 圆柱 上下底面是圆，侧面是曲面 有两个面互相平行且形状、大小都相同 棱柱 上下底面是多边形，侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆，侧面是曲面 有一个顶点 棱锥 底面是多边形，侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球体 表面是曲面 按围成几何体的面分类 有曲面：圆柱、圆锥、球、圆台等 a) 无曲面：棱柱、棱锥、棱台等 按有无顶点分类 b) 有顶点：圆锥、棱锥、棱柱、棱台等 c) 无顶点：圆柱、球、圆台等 棱柱的相关概念及特征 棱柱的相关概念及特征 类别 概念 图示 分类 特征 棱 棱柱中,相邻两个面的交线叫做棱 棱柱的底面是几边形就是几棱柱 棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱,直棱柱的侧面是长方形 棱柱的所有侧棱长都相等 棱柱上下底面的形状、大小相同,都是多边形,并且互相平行 侧面的形状都是平行四边形 侧棱 棱柱中,相邻两个侧面的交线叫做侧棱 棱柱与棱锥的面、顶点、棱 棱柱：面：n+2 顶点：2n 棱：3n 侧棱：n 侧面：n 棱锥：面：n+1 顶点：n+1 棱：2n 侧棱：n 侧面：n 几何图形的构成 几何图形的构成 图形是由点、线、面构成的(点无大小、线无宽窄、面无厚薄) 点、线、面、体之间的关系 从运动观点来看：点动成线，线动成面，面动成体 从几何观点来看：点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合 体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点 一般地，含有曲面的几何体都可以看作是由某一平面图形旋转得到的 几何体的表面积和体积 几何体的表面积=侧面积+底面积(上下底的面积和) 表面积： 圆柱体：2πr²+2πrh(r为上下底圆半径,h为高) 圆锥体：πr²+πrL(r为底圆半径,L为圆锥的母线长，h为高，L= ) 长方体：2(ab+ac+bc) (a为长,b为宽,c为高) 正方体：6a²(a为正方体的棱长) 球体：4πr²(r为半径) 体积： 圆柱体：πr²h(r为上下底圆半径,h为高) 圆锥体：πr²h(r为底圆半径,h为高) 长方体：abc (a为长,b为宽,c为高) 正方体：a³(a为正方体的棱长) 球体：πr³(r为半径)跟踪训练 立体图形的认识及顶点、面、棱 ：写出图中各个几何体的名称： 正方体 圆柱 三棱柱 圆锥 四棱锥 球 五棱柱 【答案】正方体；圆柱；三棱柱；圆锥；四棱锥；球；五棱柱 【解析】根据图形特点写出名称即可. 将图中的几何体进行分类，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 【答案】见解析 【解析】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面是平面还是曲面来划分，也可以按柱、锥、球来划分. 解：若按形状来划分：①②④是一类，组成它的各面全是平面；③⑤⑥是一类，组成它的面至少有一个是曲面 1. 五棱柱的顶点数 10 ，棱数是 15 ，面数是 7 四棱锥的顶点数是 5 ，棱数是 8 ，面数是 5 n棱柱的面数是8，则它有 12 个顶点，共有 18 条棱 若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于64，则每条棱的长为 8 【答案】a)10；15；7 b)5；8；5 c)12；18 d)8 不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征。甲同学：它有8个面；乙同学：它有18条棱。该模型的形状对应的立体图形可能是 (D) A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 【答案】D 【解析】六棱柱有8个面(两个底面是六边形，侧面是六个长方形),六棱柱有3×6条棱，共18条棱。 故选：D 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 1. 根据上述多面体模型得： 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系是 V+F-E=2 一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 20 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值. 【答案】a)V+F-E=2; b)20 c) 14 【解析】 1. 根据表格中的数据分析即可得出顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系; 根据(1)中的结论求解即可 先求得棱数，再带入(1)的关系式求解即可 a) 4+4-6=2,8+6-12=2,6+8-12=2,20+12-30=2 ∴V+F-E=2 故答案为：V+F-E=2 b) 由题意得：F-8+F-30=2,解得：F=20 故答案为：20 c) 该多面体有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线， ∴共有24×3÷2=36条棱，∴24+F-36=2, 解得：F=14; 由题意得：x+y为多面体的面数，∴x+y=14 点、线、面、体之间的关系 1. 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映"线动成面"的是 (D) A.笔尖在纸上移动划过的痕迹 B.长方形绕一边旋转一周形成的几何体 C.流星划过夜空留下的尾巴 D.汽车雨刷的转动扫过的区域 【答案】D 【解析】根据点动成线，线动成面，面动成体可判定. 解：A.笔尖在纸上移动划过的痕迹，反映的是"点动成线"，故不符合题意； B.长方形绕一边旋转一周形成的几何体，反映的是"面动成体"，故不符合题意； C.流星划过夜空留下的尾巴，反映的是"点动成线"，故不符合题意； D.汽车雨刷的转动扫过的区域，反映的是"线动成面"，故符合题意； 故选：D 如图，将平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是 (D) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果 解：平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是圆台 故选：D 立体图形染色问题 1. 一个雕塑家利用15个棱长为1米的相同正方体，在公园空地设计了一个如图所示的几何体造型，需要把露出的表面部分都涂上颜色，则需要涂颜色部分的面积为 (C) A.46m² B.28m² C.37m² D.25m² 【答案】C 【解析】由图形可知分四层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可. 解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4+1=5 第二层，侧面积为4 第三层，侧面积为2×4=8，上表面面积为4-1=3，总面积为8+3=11 最下层，侧面积为3×4=12，上表面面积为9-4=5，总面积为12+5=17， 5+4+11+17=37，所以被他涂上颜色部分面积为37m² 把50个相同大小的立方体木块堆砌成如图的形状放在桌面上，现在向这堆木块没与桌面接触的五个面喷油漆，则有 7 块木块完全喷不到漆 【答案】7 【解析】将"最外层"切去，剩下的是完全不涂颜色的部分，再根据实际情况进行判断即可 解：如图，将"4×4×4"的大正方体分别切去涂漆的五个面的"最外层"后，还剩下"2×2×3"的小正方体，而这"12个"又拿去一部分，因此在上层"涂红、绿、蓝的下面各有2块是完全没有涂颜色的，在下层"涂黄色"的下面有1个完全没有涂颜色，因此共有2×3+1=7 故答案为：7 把14个棱长为1dm的正方体摆成如图所示的造型，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为 (A) A.33dm² B.21dm² C.42dm² D.24dm² 【答案】A 【解析】由图形可知分三层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可. 解：最上层，侧面积为4，上表面积为1，总面积为4+1=5 第二层，侧面积为2×4=8，上表面积为4-1=3，总面积为8+3=11 最下层，侧面积为3×4=12，上表面积为9-4=5，总面积为12+5=17 5+11+17=33，∴被涂上颜色的部分面积为33dm² 如图，几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律排成的，若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色)，观察该图，探究其中的规律. 图① 图② 图③ 1. 第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 4 个.第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 20 个 求出来第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数 求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和 【解析】 a) 第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20个； b) 根据所给图形中只有两个面涂色的小立方体的块数得到第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数与4的倍数的关系即可 c) 根据(2)得到的规律，进行计算即可. 解：a) 观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20个. 故答案为：4，20； b) 观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个； 图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个； 图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个； 4,12,20都是4的倍数，可分别写成4×1,4×3,4×5的形式， 因此，第n个图中只有两个面涂色的小立方体共有4(2n-1)=8n-4, 则第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有8×100-4=796; c) (8×1-4)+(8×2-4)+(8×3-4)+(8×4-4)+⋯+(8×100-4) =8(1+2+3+4+⋯+100)-100×4=40000 故前100个图形的点数和为40000 表面积和体积计算 1. 有一个四棱柱， 1. 若它的底面边长都是5cm，所有侧面的面积和是40cm²，它的侧棱长是多少? 若它的所有棱都相等，且所有棱长之和为60cm，那么它的形状是什么?它的体积是多少? 若它的所有棱都相等，且所有棱长之和为60cm，那么它的形状是什么?它的体积是多少? 【答案】a)2cm b)正方体，125cm³ c)200cm³ 【解析】 a) 先求出一个侧面的面积，再求侧棱长即可； b) 根据所有棱都相等可知是正方体，然后求出棱长计算体积即可 c) 先求出底面梯形的面积和周长，然后可得侧棱长，再计算体积即可. 解：a) S侧面=40÷4=10(cm²)，侧棱长=10÷5=2(cm); b) ∵它的所有棱都相等，∴它的形状是正方体，棱长=60÷12=5(cm) V正方体=5³=125(cm³) c) 由题意得：S底面=(2+8)×4÷2=20cm²，C底面=2+8+5+5=20(cm)， ∴侧棱长=20÷2=10(cm)，∴该四棱柱的体积V=20×10=200(cm³). 如图，直棱柱的底面边长都相等，底面边长是3.5cm，高是4cm,解答下列问题. 1. 这是几棱柱，共有几个面? 这个棱柱的侧面积是多少? 【答案】a)六棱柱；8 b)84cm² 【解析】a) 根据棱柱的定义，即可得到答案 b) 由侧面积的计算方法进行计算即可. 解：a) 由题意可得，该棱柱是六棱柱，共有8个面 b) 侧面积为3.5×4×6=84(cm²); 如图，以AB所在直线为轴，旋转一周，得到该几何体的体积是多少? 【答案】216π 【解析】解：以AB所在直线为轴，旋转的几何体是圆锥和圆柱的组合体 圆锥的体积：×π×6²×6=72π 圆柱的体积：π×6²×4=144π 故该几何体的体积为72π+144π=216π 圆柱与圆锥的体积之比是2∶3，底面圆的半径相同，那么它们的高之比为 2∶9 【答案】2∶9 【解析】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可算出它们的高之比 解：由题意可知：圆柱的体积为πr²，圆锥的体积为πr²， ∵圆柱与圆锥的体积之比为2∶3，∴， = 2∶9 将一根长4m的圆柱体木料锯成两段(2段都是圆柱体)，表面积增加60dm²，这根木料的体积是 1.2 m³ 【答案】1.2 【解析】将一根长4m的圆柱体木料锯成两段,增加了2个底面,又知表面积增加了60dm²，由此可求出这根木料的底面积，根据圆柱的体积公式即可计算. 解：60dm²=0.6m²，0.6÷2=0.3(m²)，0.3×4=1.2(m³)，故这根木料的体积为1.2m³ 故答案为：1.2 用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒如图，打结处正好是底面圆心，打结用去18cm. 1. 扎这个盒子至少用去彩带多少cm? 这个蛋糕盒子的体积是多少? 蛋糕的直径比盒子直径少3cm，高比盒子矮5cm，打开盒子沿着蛋糕底面的直径垂直切开，平均分成两部分，这时蛋糕的表面积增加了多少? 【答案】a)218cm；b)4500π(cm³)；c)810cm² 【解析】 (1) 根据矩形的周长公式可得答案； (2) 根据圆柱的体积公式可得答案； (3) 根据矩形的面积公式可得答案； 解：(1) 2(30×2+20×2)+18=218(cm) 答：扎这个盒子至少用去彩带218cm (2) 由圆柱的体积公式，得π×((30)/(2))²×20=4500π(cm³) 答：这个蛋糕盒子的体积是4500π(cm³)； (3) 蛋糕的直径是30-3=27cm，蛋糕的高是20-5=15cm，截面的面积是 27×15×2=810(cm²) 答：蛋糕的表面积增加了810cm² 用一个底面为20cm×20cm的长方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，长方体容器中水的高度下降了 2cm 【答案】2cm 【解析】先求出长方体空铁盒的体积，再根据长方体容器倒出水的体积等于长方体空铁盒的体积，得到倒出水的体积，继而求得长方体容器中水下降的高度 解：∵V空铁盒=16×10×5=800cm³，∴倒出水的体积为800cm³ 则长方体容器中水下降的高度=(800)/(20×20)=2cm 故答案为2cm 把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱，那么把一个长为8cm、宽为6cm的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的圆柱的体积为 288π或384π cm³. 【答案】288π或384π 【解析】以长方形的长边或短边为轴旋转，得出圆柱体的底面半径和高，根据体积的计算方法进行计算即可 解：以长边8cm为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为6cm，高为8cm， 因此体积为：π×6²×8=288π(cm³); 以短边6cm为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为8cm，高为6cm， 因此体积为：π×8²×6=384π(cm³); 故答案为：288π或384π 将直角边长分别为3，4，斜边长为5的直角三角形绕三角形其中一边旋转一周就可以得到一个几何体.请计算一下所有几何体的体积. 【答案】16π；12π；9.6π 【解析】分别绕直角三角形三边旋转时形成三种情况的几何体，根据公式来求即可. 解：当直角三角形绕边长为3的一边旋转时,得到底面半径为4高为3的圆锥,其体积为： V=π×4²×3=16π 当直角三角形绕边长为4的一边旋转时，得到底面半径为3高为4的圆锥，其体积为： V=π×3²×4=12π 在直角边长为3，4，斜边长为5的直角三角形中，斜边上的高为：3×4÷5=2.4 当直角三角形绕边长为5的一边旋转时，得到底面半径为2.4高和为5的圆锥,其体积为： V=π×2.4²×5=9.6π 在长方形ABCD中，AB=a，BC=b，且a>b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在的直线旋转一周形成圆柱乙，两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙.则S甲、S乙之间的关系是 S甲=S乙 【答案】S甲=S乙 【解析】根据公式得：S甲=2π.AD.AB，S乙=2π.AB.AD，判断即可. 解：∵S甲=2π.AD.AB，S乙=2π.AB.AD，∴S甲=S乙 2 学科网（北京）股份有限公司 $