精品解析：宁夏银川市灵武市第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年宁夏银川市灵武一中高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共9小题，共113分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知直线，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 7. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ） A. B. C. D. 6 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，以下结论正确的有（ ） ① ②最大值为26 ③的最大值是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 过点且截距互为相反数的直线方程为___________. 11. 已知直线与互相垂直，则实数的值为___________. 12. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____． 13. 已知集合与满足，则的取值范围是_______ 14. 下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为___________. 15. 已知实数，则的取值范围是______. 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 17. 已知圆，点. （1）求过点P的圆C的切线l的方程； （2）若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程. 18. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 19. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 20. 设，向量分别为平面直角坐标内轴正方向上的单位向量，若向量，，且. （1）求点轨迹的方程； （2）设椭圆，曲线的切线交椭圆于两点，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年宁夏银川市灵武一中高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共9小题，共113分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系进行求解即可． 【详解】直线方程为，即， 由此可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知平面的法向量，结合线面夹角可得射影的模长. 【详解】易知平面的法向量为， 且，， 则， 即直线与平面的夹角的正弦值为，余弦值为， 则， 故选：A. 3. 长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分椭圆的焦点在轴、轴上两种情况讨论，分别确定长半轴长、短半轴长，即可得到椭圆方程. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，长半轴长为，则短半轴长为，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，短半轴长为，则长半轴长为，所以椭圆的方程为； 所以椭圆方程为或. 故选：C. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 6. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出． 【详解】， 故选：B． 7. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线间距离求值. 【详解】与间距离， 与间距离， 又由正方形可知， 即， 解得， 故选：D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由轴可得：，不妨设点，设，，由，解得、，代入椭圆方程化简即可求解． 【详解】解：由轴可得：，不妨设点， 设，，由， 得，，代入椭圆方程得：， 结合，化简上式可得：， 所以椭圆的离心率为， 故选：． 9. 已知，以下结论正确的有（ ） ① ②的最大值为26 ③最大值是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】先把代数问题转化为几何问题，再借数形结合思想，可求解并作出判断. 【详解】由， 因为可看成圆上的动点与定点的斜率， 再结合图形可得： 设过点的切线， 由相切可得：，解得：或， 所以由图可得斜率范围，即，故①正确； 因为，所以， 而，所以，故②正确； 因为，所以， 而可看成圆上的动点与两定点的距离之差， 如图： 由，当且仅当三点共线且在延长线上时取等号， 所以的最大值是,故③正确； 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 过点且截距互为相反数的直线方程为___________. 【答案】或. 【解析】 【分析】利用分截距为0和截距不为0，结合待定系数法来求直线方程. 【详解】当直线过原点时满足题意，此时直线方程为，即， 当直线不过原点时，可设截距式方程为：， 由经过点可得：， 由截距互为相反数可得， 所以，直线方程为：， 故答案为：或. 11. 已知直线与互相垂直，则实数的值为___________. 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可. 【详解】由题意得，解得或， 故答案为：或 12. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：. 13. 已知集合与满足，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两圆的圆心坐标与半径，由，可得，即两圆内切或内含，通过半径关系即可求得答案． 【详解】解：方程表示以为圆心，的圆， 表示以为圆心，的圆， 则集合表示以为圆心，的圆形区域内点的集合（包含边界）， 集合表示以为圆心，的圆形区域内点的集合（包含边界）， 因为，所以圆与圆内切或内含， 所以且，解得，即. 故答案为： 14. 下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合，可得斜率最小值时满足直线与圆相切，从而可计算结果. 【详解】把看成动点到定点所在直线的斜率，如图： 当直线与半圆相切时，斜率最小， 设直线方程为：， 此时由圆心到直线的距离等于半径可得：，解得：或（舍去）， 所以的最小值为. 故答案为： 15. 已知实数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【小问1详解】 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 17. 已知圆，点. （1）求过点P的圆C的切线l的方程； （2）若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解； （2）直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线距离为，直线被截的弦长为判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，再由直线被截的弦长为求解. 【小问1详解】 解：当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，则直线被截的弦长为，成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为：， 直线被截的弦长为，解得， 所以直线方程为：， 即， 综上：直线方程为：或 18. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可； (2)利用空间向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 19. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在；2 【解析】 【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量结合（1）结论计算面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面夹角计算即可. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，平面平面， 平面平面， 所以，则平面， 根据题意可以以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，易知，， 设平面的法向量， 不妨令，则， 又，， 又平面平面． 【小问2详解】 由上可知，设平面的法向量， ，令，则， ， 平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设， ， 又平面的法向量， 由直线与平面所成角的余弦值为， ， ，或． 当时，； 当时，． 综上，． 20. 设，向量分别为平面直角坐标内轴正方向上的单位向量，若向量，，且. （1）求点的轨迹的方程； （2）设椭圆，曲线的切线交椭圆于两点，求的面积. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的模的坐标运算，转化为到两定点的距离之和为定值，再判断轨迹是椭圆，从而即可得椭圆的标准方程. （2）利用直线与椭圆的相切可得参数的关系，再利用弦长公式计算,用点到直线的距离公式计算高来求三角形面积，最后消可得面积为定值. 【小问1详解】 如上图，由题意，∵，， ∴即为点与点的距离， 即为点与点的距离， ∴由可得， ∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且长轴长为，，则， ∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 如上图，由题意，直线是曲线：的切线， ∴由可得：， 则，化简得：. 由题意，直线交椭圆：于两点， ∴由可得：， 设、，则，， ∴， 又∵，∴. 且由知， ∴. 又∵中边上的高即为点到直线的距离， ∴由点到直线距离公式得，又∵， ∴， 即的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $