专题05 函数的零点与方程的根及函数的综合4大题型（期末真题汇编，四川专用）高一数学上学期人教A版

专题05 函数的零点与方程的根及函数的综合题型 4大高频考点概览 考点01 零点存在定理及应用 考点02 函数的零点与方程的根 考点03 函数模型的应用 考点04 抽象函数及函数的综合题型 地 城 考点01 零点存在定理及应用 1．(24-25高一上·四川宜宾·期末)函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·四川内江·期末)在下列区间中，方程的解所在的区间为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)已知函数，则下列区间中含有的零点的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·四川达州普通高中·期末)在下列区间中，函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·四川眉山·期末)函数的零点一定位于区间（    ）内. A． B． C． D． 6．(24-25高一上·四川泸州·期末)设函数的零点为，则所在的区间是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)函数的零点所在的大致区间是（ 　　） A． B． C． D． 地 城 考点02 函数的零点与方程的根 8．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 9．(24-25高一上·四川泸州高级中学校·期末)【多选题】已知函数，函数，则（    ） A．函数的值域为 B．不存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 10．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 11．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)若函数有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为 . 12．(24-25高一上·四川乐山·期末)【多选题】已知函数实数满足，且，则（    ） A． B． C． D．函数有5个互不相等的零点 13．(24-25高一上·四川南充·期末)设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·四川成都·期末)设函数，若，则= ；若有三个零点，则a的取值范围是 ． 15．(24-25高一上·四川宜宾·期末)【多选题】已知函数，则对关于x的方程正确的说法有（   ） A．当时，方程只有1个实数根 B．当时，方程有3个实数根 C．不存在，使得方程有4个实数根 D．，方程都有实数根 16．(24-25高一上·四川宜宾·期末)已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是 ． 17．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是 . 18．(24-25高一上·四川泸县第二中学·期末)已知，则的零点个数为（    ） A． B． C． D． 19．(24-25高一上·四川泸州泸州老窖天府中学·期末)设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 函数模型的应用 20．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足（k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入日销售单价日销售量）． (1)给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式； (2)在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入（单位，千元）的最小值． 21．(24-25高一上·四川泸州高级中学校·期末)市场调查机构通过大数据统计发现：一棵某种水果树的产量单位：百千克与肥料费用单位：百元满足关系，且投入的肥料费用不超过百元此外，还需要投入其他成本如人工费等百元已知这种水果的市场售价为元千克即百元百千克，且市场需求始终供不应求记该棵水果树获得的利润为单位：百元，则有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 22．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿第一中学校南校区·期末)高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过()人时，每增加人，人均收费降低元；超过人时，人均收费都按照人时的标准．设景点接待有名游客的某团队，收取总费用为元． （1）求关于的函数表达式； （2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求的取值范围． 23．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)安溪作为世界藤铁工艺之都，孕育了藤铁家居工艺企业2200多家，加工点3000多个，从业人员15万人，产品出口到世界60多个国家和地区.为了更好地发展，某公司投入2百万资金，设计开发了，两种工艺品.现公司拟投入资金开展生产，经市场调查与预测，生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1百万元，公司获得毛收入0.25百万元；生产工艺品的毛收入（百万元）关于投入的资金（百万元）的函数为，其图象如图所示. (1)分别求生产，两种工艺品的毛收入（百万元）关于投入资金（百万元）的函数关系式； (2)公司计划投入80百万元资金用于生产，两种工艺品，则如何安排，使公司所获利润最大，最大利润是多少？ 24．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)渔场中鱼群的最大养殖量为，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量小于，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为． (1)写出y关于x的函数关系式，并求鱼群年增长量y的最大值； (2)当鱼群年增长量y达到最大值时，求实数k的取值范围． 25．(24-25高一上·四川成都·期末)已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． (1)求的解析式； (2)在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 26．(24-25高一上·四川宜宾·期末)为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 27．(24-25高一上·四川广元·期末)“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． (1)写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； (2)该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 地 城 考点04 抽象函数及函数的综合题型 28．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数都有，若，则 . 29．(24-25高一上·四川泸县第五中学·期末)【多选题】定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（   ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，和的图象所有交点横坐标之和为 30．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则 ． 31．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)【多选题】已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（    ） A．若周期为2，则为奇函数 B．为奇函数 C．若周期为4，则为偶函数 D．为奇函数 32．(24-25高一上·四川泸州泸州老窖天府中学·期末)已知函数的定义域为，对任意实数m，n，都有，且当时，．若，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为 ． 33．(24-25高一上·四川泸州·期末)【多选题】定义在上的函数，对任意，，都有，且当时，恒成立，下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数的图象是中心对称图形 D．函数为上的增函数 34．(24-25高一上·四川广安第二中学校·期末)【多选题】函数满足，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．当时， 35．(24-25高一上·四川成都邛崃第一中学校·期末)【多选题】对于函数，若存在大于零的常数和非零常数，使得当取定义域中的每一个值时，都有，那么称为“类周期函数”，叫做“类周期”.下列四个命题正确的是（    ） A．函数是以为“类周期”的“类周期函数” B．函数是“类周期函数” C．函数是以2为“类周期”的“类周期函数” D．设函数是周期为的周期函数，当函数在上的值域为时，在上的值域为 36．(24-25高一上·四川内江·期末)【多选题】设，用表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，下列选项正确的有（   ） A． B． C．当时， D．方程在实数范围内有9个不同的实数根 37．(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)【多选题】定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C． D．任意实数都满足 38．(24-25高一上·四川绵阳·期末)【多选题】已知函数（e为自然对数的底数），则（    ） A．函数的定义域为 B．函数是增函数 C．函数是奇函数 D．若，则 39．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)【多选题】已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B．函数的图像关于直线对称 C． D． 40．(24-25高一上·四川泸州高级中学校·期末)【多选题】已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在定义域上既有增区间又有减区间 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的零点与方程的根及函数的综合题型 4大高频考点概览 考点01 零点存在定理及应用 考点02 函数的零点与方程的根 考点03 函数模型的应用 考点04 抽象函数及函数的综合题型 地 城 考点01 零点存在定理及应用 1．(24-25高一上·四川宜宾·期末)函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省宜宾市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】由零点存在性定理逐个判断即可； 【详解】易知单调递增； ， 所以零点所在区间为， 故选：B 2．(24-25高一上·四川内江·期末)在下列区间中，方程的解所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省内江市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 又因为， 可知函数的唯一零点在区间内， 所以方程的解所在的区间为. 故选：B. 3．(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)已知函数，则下列区间中含有的零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省自贡市第一中学校2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题 【分析】先分析出函数在上单调递增，再根据零点存在性定理即可求解. 【详解】∵函数在上单调递增， ∴函数在上至多有一个零点. 又，， ，∴由零点存在性定理可知：函数在上有一个零点. 故选：B. 4．(24-25高一上·四川达州普通高中·期末)在下列区间中，函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省达州市普通高中2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷 【分析】根据零点存在定理和函数的单调性可判断零点所在区间. 【详解】由题意，函数的定义域为. 因为函数和在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增. 又，， 所以，根据零点存在定理和函数的单调性可知： 函数的零点所在区间为. 故选：B. 5．(24-25高一上·四川眉山·期末)函数的零点一定位于区间（    ）内. A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省眉山市2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可知，函数的零点一定位于区间内. 故选：B. 6．(24-25高一上·四川泸州·期末)设函数的零点为，则所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省泸州市2024-2025学年高一上学期1月期末统一考试数学试题 【分析】根据函数单调性以及零点存在性定理分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 可知在定义域内单调递增，且， 所以函数的唯一零点为. 故选：A. 7．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)函数的零点所在的大致区间是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 【解析】利用零点存在定理，计算求解即可 【详解】根据条件，，，，可得， ，所以，函数的零点所在的大致区间是 故选：B 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题 地 城 考点02 函数的零点与方程的根 8．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【来源】四川省泸州市合江县中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 关于x的方程有六个相异的实数根， 则方程在内有两个不同实数根，所以， 解得，因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 9．(24-25高一上·四川泸州高级中学校·期末)【多选题】已知函数，函数，则（    ） A．函数的值域为 B．不存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】ACD 【来源】四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题 【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D. 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误， 对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确 对于D， 令，则或， 作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则， 由于，同理可得， 故，故D正确，    故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 10．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【来源】四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试（普通班）数学试题 【分析】由题意可知：①方程在存在一个解，列出不等式解得实数的取值范围；②方程在存在两个解，列出不等式解得实数的取值范围.然后两个实数的取值范围求交集即可. 【详解】令，即有三个不同的解， ∴方程在存在一个解，即，即，解得或， 方程在存在两个解， 令，函数的对称轴是， 则，解得， ∴. 故答案为：. 11．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)若函数有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【来源】四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试（火箭班）数学试题 【分析】根据零点概念对两段进行计算，分析，结合指数函数性质得解. 【详解】令，当时，由0，得，即为函数的一个零点， 故当时，有一解，即有一解，得.则. 故答案为：（答案不唯一,都可以）. 12．(24-25高一上·四川乐山·期末)【多选题】已知函数实数满足，且，则（    ） A． B． C． D．函数有5个互不相等的零点 【答案】ACD 【来源】四川省乐山市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】代入求值判断A，画出函数图象，数形结合求出的范围判断B，结合函数的对称性及的范围求解判断C，根据将问题转化为函数的图象分别与交点个数之和，数形结合即可判断D. 【详解】函数，所以， 所以，故A正确； 由实数满足，知函数的图象与有三个不同的交点， 作出函数的图象，如图： 结合图象，可得，故选项B错误； 根据二次函数的对称性知，，又，所以， 所以，故C正确； ，由题意， 所以函数零点个数为三个方程的解的个数之和， 即函数的图象分别与，，交点个数之和， 由C可知，，，结合图象可知， 函数的图象与有一个交点，函数的图象与有三个交点， 函数的图象与有一个交点， 所以函数有5个互不相等的零点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 13．(24-25高一上·四川南充·期末)设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省南充市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】AB选项，画出和的图象，得到，并结合特殊点函数值，数形结合得到，，C选项，，，两式相减得到；D选项，由C知，结合的单调性得到，D错误. 【详解】AB选项，画出和的函数图象，如下： 显然， ，， 由于，故， 结合图象可知，，故，A错误； 由于，故， 结合图象可知，B正确； C选项，，，两式相减得 ，故，C错误； D选项，由C知，，故， 又，在上单调递减， 故，D错误. 故选：B 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 14．(24-25高一上·四川成都·期末)设函数，若，则= ；若有三个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【来源】四川省成都市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】由题意可得对数方程，即可求得第一空答案；判断函数的零点的分布情况，由此列出相应不等式组，即可求得第二空答案. 【详解】由，得， 即； 当时，在上单调递增， 当时，， 若有三个零点，则时函数必有一个零点，在时函数必有两个零点， 不妨设时两零点为， 则需满足，解得， （其中需比较的大小，如下：，而，即可得） 即a的取值范围为， 故答案为：； 15．(24-25高一上·四川宜宾·期末)【多选题】已知函数，则对关于x的方程正确的说法有（   ） A．当时，方程只有1个实数根 B．当时，方程有3个实数根 C．不存在，使得方程有4个实数根 D．，方程都有实数根 【答案】BCD 【来源】四川省宜宾市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】画出函数图象，方程解的个数等价于图象交点个数，数形结合判断各选项结论的真假即可. 【详解】解的个数等价于图象交点个数， 作出函数 的图象，如图所示： 对于 ，当 时，直线 与 的图象有2个交点， 所以当 时，方程有 2 个实数根，故 不正确； 对于 ，当 时， 直线 与 的图象有3个交点， 所以方程 有3个解，故 正确； 对于 ，由图象可得不存在 ，使得方程有4个实数根，故 正确； 对于 ，由图象可知方程 始终有解，故 正确. 故选： . 16．(24-25高一上·四川宜宾·期末)已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【来源】四川省宜宾市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】令，则，作出图象，结合二次函数的性质可得，即可得答案 【详解】作出函数的图象，如图所示： 令，则， 又因为，，， 所以， 故答案为： 17．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【来源】四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合函数图象判断交点情况，进而求k的范围. 【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点， 由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如下图示： ∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围. 18．(24-25高一上·四川泸县第二中学·期末)已知，则的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省泸县第二中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 【分析】令，可得出，则函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数，利用数形结合思想可得解. 【详解】令，可得出，则函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数，且当时，. 在同一直角坐标系中作出函数与函数的图象如下图所示：    由图象可知，两个函数共有个公共点， 因此，函数的零点个数为. 故选：C. 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，一般转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 19．(24-25高一上·四川泸州泸州老窖天府中学·期末)设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省泸州市泸州老窖天府中学2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题 【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可． 【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，，所以， 即当时， 又对任意，都有，则关于对称，且， ，即函数的周期为， 又由函数且在上恰有个不同的零点， 得函数与的图像在上有个不同的交点，又 ， 当时，由图可得，解得； 当时，由图可得，解得． 综上可得. 故选：C． 地 城 考点03 函数模型的应用 20．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足（k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入日销售单价日销售量）． (1)给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式； (2)在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入（单位，千元）的最小值． 【答案】(1)； (2)最小值为250千元. 【来源】四川省泸州市合江县中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 【分析】（1）由第4天该产品的日销售收入及求出k，再由销量的变化关系及函数模型选择函数的关系式，再代入计算作答. （2）利用（1）的函数模型求出的表达式，再求出当时，的最小值作答. 【详解】（1）当时，由，得，即，（，）， 因为，，则，而，即日销售量数据有增有减， 显然，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③， 将，代入模型③得：，解得， 所以模型③的函数解析式为. （2）由（1）知，当时，， ， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，该产品日销售收入最小，最小值为250千元. 【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答. 21．(24-25高一上·四川泸州高级中学校·期末)市场调查机构通过大数据统计发现：一棵某种水果树的产量单位：百千克与肥料费用单位：百元满足关系，且投入的肥料费用不超过百元此外，还需要投入其他成本如人工费等百元已知这种水果的市场售价为元千克即百元百千克，且市场需求始终供不应求记该棵水果树获得的利润为单位：百元，则有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【来源】四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题 【分析】由题意可知，，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 当时，取得最大值． 故选：B． 22．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿第一中学校南校区·期末)高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过()人时，每增加人，人均收费降低元；超过人时，人均收费都按照人时的标准．设景点接待有名游客的某团队，收取总费用为元． （1）求关于的函数表达式； （2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析 【来源】四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】(1)根据收费标准，分，分别求出与的关系即可；(2)由（1) 当时，，，随增大而增大． 当时，当时，，随增大而增大，根据二次函数的性质，即可解决问题. 【详解】（1）当时，；         当时，； 当时，． （2）当时，，随增大而增大， 当时，． ，随增大而增大． 当时， ，   当时，随增大而增大；当时，随增大而减小 ， 当时，，随增大而增大． 综上所述，当时，景点收取的总费用随着团队中人数增加而增加 【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). 23．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)安溪作为世界藤铁工艺之都，孕育了藤铁家居工艺企业2200多家，加工点3000多个，从业人员15万人，产品出口到世界60多个国家和地区.为了更好地发展，某公司投入2百万资金，设计开发了，两种工艺品.现公司拟投入资金开展生产，经市场调查与预测，生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1百万元，公司获得毛收入0.25百万元；生产工艺品的毛收入（百万元）关于投入的资金（百万元）的函数为，其图象如图所示. (1)分别求生产，两种工艺品的毛收入（百万元）关于投入资金（百万元）的函数关系式； (2)公司计划投入80百万元资金用于生产，两种工艺品，则如何安排，使公司所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)，，，， (2)投入百万元生产工艺品，投入百万元生产工艺品，公司所获利润最大，最大利润为19百万元. 【来源】四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试（普通班）数学试题 【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式； （2）设投入百万元生产工艺品，则得到利润表达式，利用二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）因为生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以， 即生产工艺品的毛收入（百万元）与投入资金（百万元）的函数关系式为， 对于生产工艺品的，因为函数图像过点， 所以 ，解得，所以， 即生产工艺品的毛收入（百万元）与投入的资金（百万元）的函数关系为 ， （2）设投入百万元生产工艺品，则投入百万元生产工艺品，则公司所获利润 ， 所以当，即百万元时， 即投入百万元生产工艺品，投入百万元生产工艺品，公司所获利润最大，最大利润为19百万元. 24．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)渔场中鱼群的最大养殖量为，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量小于，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为． (1)写出y关于x的函数关系式，并求鱼群年增长量y的最大值； (2)当鱼群年增长量y达到最大值时，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【来源】四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试（火箭班）数学试题 【分析】（1）根据题意求出空闲率，即可得到y关于x的函数关系式，利用配方法可求得鱼群年增量的最大值； （2）由题意得，即，结合，即可得到结果. 【详解】（1）由题意，空闲率为， 关于x的函数关系式是：， ， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，． （2）由（1）知,当鱼群年增长量y达到最大值时，， 由题意有，即， ， 又，的取值范围为． 25．(24-25高一上·四川成都·期末)已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． (1)求的解析式； (2)在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 【答案】(1) (2)答案见解析 【来源】四川省成都市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）根据图象所过的点求不同区间上的解析式，进而写出函数的分段函数形式； （2）根据解析式画出函数大致图象判断实根个数，再讨论不同区间，应用方程思想及零点存在性定理确定各区间零点个数，即可得答案. 【详解】（1）在曲线段OA中，由，即 又，且，解得 设射线AB：．由，解得 故所求解析式为. （2）函数的大致图象如图 从“形”的角度直观判断： 因为函数与的图象有且仅有两个交点， 所以方程，即有且仅有个不等实根． 从“数”的角度严格论证如下： 显然，只考虑的情形． ①当时，函数在上单调递增． 而且，，所以在有且仅有一个零点． 所以方程，即在有且仅有个实根． ②当时，由，得，即． 解得，或（舍去）． 所以方程在有且仅有个实根． （或解：因为函数在上单调递增． 且，，所以在有且仅有一个零点． 综上所述，方程有且仅有个不等实根． 26．(24-25高一上·四川宜宾·期末)为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)从第3年该设备开始盈利 (3)方案①比较合理，理由见解析 【来源】四川省宜宾市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）利用总盈利减去总的维修费与购买生产设备的费用即可得答案； （2）结合（1），解一元二次不等式即可求得该设备从第几年开始盈利； （3）利用基本不等式以及二次函数分别求出两种方案盈利的最大值，并求出盈利最大时需要的年数，比较后可得结论． 【详解】（1） （2）令，得， ，故， 故从第3年该设备开始盈利； （3）按照方案①计算， 当且仅当时，即时等号成立． 到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元 按照方案②计算，当时，． 故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元． 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理． 27．(24-25高一上·四川广元·期末)“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． (1)写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； (2)该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 【答案】(1)，使用年后，盈利总额开始达到万元以上 (2)使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 【来源】四川省广元市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）先求得与之间的函数关系式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均盈利额的表达式，然后利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 即，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. （2）平均盈利额， 当且仅当时等号成立， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 地 城 考点04 抽象函数及函数的综合题型 28．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数都有，若，则 . 【答案】/ 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期期末模拟测试数学试题 【分析】采用“赋值法”求函数值. 【详解】令得： ； 令得： ； 令得：； 令，得： . 所以. 故答案为：. 29．(24-25高一上·四川泸县第五中学·期末)【多选题】定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（   ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】AC 【来源】四川省泸县第五中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】A：将变形为即可判断；B：根据的大小关系可作出判断；C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果；D：先分析的图象的对称性，然后作出在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的周期为， 又因为，所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的周期为，所以， 因为是R上的奇函数，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称， 又因为，所以， 所以的图象也关于对称， 作出在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示： 由图象可知：有两个交点，且交点关于对称， 所以的图象所有交点横坐标之和为，故D错误； 故选：AC. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下： （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心为. 30．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则 ． 【答案】 【来源】四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 【分析】利用给定性质求出的对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可. 【详解】令，因为， 所以，因为的对称中心为， 所以是奇函数， 故，化简得， 当时，有定义，故， 即得到，而， ， 故， 解得，，可得关于中心对称， 故，即， ，， 故， . 故答案为： 31．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)【多选题】已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（    ） A．若周期为2，则为奇函数 B．为奇函数 C．若周期为4，则为偶函数 D．为奇函数 【答案】AD 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）数学试题 【分析】根据函数的周期性以及对称性即可判断A，结合对数的运算性质即可求解D，举反例即可求解BD. 【详解】由于的图像关于中心对称，所以， 对于A, 若周期为2，则， 所以，故为奇函数，A正确， 对于B，若，显然的图像关于中心对称， 但是， 故不是奇函数，B错误， 对于C, 若，显然的图像关于中心对称，且周期为4， 当时，则故不为偶函数，C错误    对于D，， 所以， 故为奇函数，D正确， 故选：AD 32．(24-25高一上·四川泸州泸州老窖天府中学·期末)已知函数的定义域为，对任意实数m，n，都有，且当时，．若，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【来源】四川省泸州市泸州老窖天府中学2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题 【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定内的最大值为，从而可得，再分离参变量即可求实数a的取值范围. 【详解】取则有，所以， 取则有， 所以为奇函数， 任意则， 因为， 所以， 令， 则有， 即， 所以在定义域上单调递减， 所以在上单调递减， 令，所以， 所以， 因为对任意，恒成立， 所以对任意恒成立， 分离变量可得， 因为函数对任意恒成立， 所以， 所以解得， 故答案为:. 33．(24-25高一上·四川泸州·期末)【多选题】定义在上的函数，对任意，，都有，且当时，恒成立，下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数的图象是中心对称图形 D．函数为上的增函数 【答案】ACD 【来源】四川省泸州市2024-2025学年高一上学期1月期末统一考试数学试题 【分析】对于A：令代入即可；对于B：举反例说明即可；对于C：令，，结合对称性的定义分析判断；对于D：根据题意结合单调性的定义分析判断. 【详解】因为对任意的，都有， 对于选项A：令可得，所以，A正确； 对于选项B：若， 令，可得，解得， 这与选项A相矛盾，故B错误； 对于选项C：令，可得， 整理可得，可知为函数的一个对称中心， 所以函数的图象是中心对称图形，故C正确； 对于选项D：任取实数，且， 则， 因为，则， 且当时，恒成立，则， 即，可得， 所以函数为R上的增函数，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 34．(24-25高一上·四川广安第二中学校·期末)【多选题】函数满足，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．当时， 【答案】ACD 【来源】四川省广安第二中学校2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 【分析】利用赋值法可判断AB选项；将已知等式变形为，利用函数奇偶性的定义可判断C选项；由已知等式推导得出的表达式，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，在等式中，令可得，则， 在等式中，令可得，A对； 对于B选项，在等式中令可得， 在等式中，令可得， 所以，，因此，，B错； 对于C选项，因为可得， 令，则，所以，， 所以，函数为偶函数，C对； 对于D选项，由可得， 由可得， 所以，， 所以，，① 所以，，② ①②可得，故当时，，D对. 故选：ACD. 35．(24-25高一上·四川成都邛崃第一中学校·期末)【多选题】对于函数，若存在大于零的常数和非零常数，使得当取定义域中的每一个值时，都有，那么称为“类周期函数”，叫做“类周期”.下列四个命题正确的是（    ） A．函数是以为“类周期”的“类周期函数” B．函数是“类周期函数” C．函数是以2为“类周期”的“类周期函数” D．设函数是周期为的周期函数，当函数在上的值域为时，在上的值域为 【答案】ACD 【来源】四川省成都市邛崃市第一中学校2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题 【分析】根据题干中的“类周期函数”定义，逐项判断. 【详解】对于A，由是以为周期的周期函数， 而， 由题意可知函数是以为“类周期”的“类周期函数”，A正确； 对于B，函数定义域为，若函数是“类周期函数”， 因为，而， 要使对恒成立，就要对恒成立， 即对恒成立， 所以当且仅当时，上式成立， 则不存在常数使得对取内每一个值时， 都有等式恒成立， 所以函数不是“类周期函数”，B错误； 对于C，， 所以（非零常数） 所以函数是以2为“类周期”的“类周期函数”，C正确； 对于D，， 所以是类周期函数，且， 设满足，由得， ， 又，知道在上的最小值是上获得的， 而，所以在上的最小值为， 由，得， 由此可知，， 又， 知道在上的最大值是在上获得的，而， 所以在上的最大值为23,故值域为,D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D，设满足，根据“类周期函数”的定义，求函数的值域. 36．(24-25高一上·四川内江·期末)【多选题】设，用表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，下列选项正确的有（   ） A． B． C．当时， D．方程在实数范围内有9个不同的实数根 【答案】BCD 【来源】四川省内江市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】将表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断函数的奇偶性，周期性，求出函数值，结合数形结合判断各个选项. 【详解】由于， 所以， 由此画出函数图象如下图所示， 由图可知，是非奇非偶函数，A选项错误； 是周期为1的周期函数，B选项正确； 当时，，C选项正确； 方程在实数范围内的实数根的个数可以转化为与交点的个数， 如图可得方程在实数范围内有9个不同的实数根，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解题的主要方法是图象法数形结合得出函数的奇偶性及根的个数. 37．(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)【多选题】定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C． D．任意实数都满足 【答案】BCD 【来源】四川省自贡市第一中学校2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题 【分析】利用赋值法计算可得C正确；根据奇偶性定义以及函数单调性定义可判断为奇函数，且在上单调递增，可判断A错误B正确；易知，再由奇函数性质以及单调性计算可得D正确. 【详解】对于C，令，则，所以，故C正确； 对于A，令得，所以， 即，又不恒为0，所以只能为奇函数，故A错误； 对于B，令，且，故， 因为时，，所以， 即，所以，所以在上单调递增，故B正确； 对于D，由在上成立，得， 由为增函数，所以， 又为奇函数，所以，所以，故D正确， 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数性质得出奇偶性以及单调性，再根据不等式性质判断得出结论. 38．(24-25高一上·四川绵阳·期末)【多选题】已知函数（e为自然对数的底数），则（    ） A．函数的定义域为 B．函数是增函数 C．函数是奇函数 D．若，则 【答案】AB 【来源】四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量测试数学试题 【分析】根据对数的定义，结合奇函数的定义、函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】由，因此选项A正确； ， 当时，函数，单调递增， 所以也单调递增，因此选项B正确； 因为，所以函数是不是奇函数，选项C不正确； 由上可得，因为函数是增函数， 所以有且，因此选项D不正确， 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质进行求解. 39．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)【多选题】已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B．函数的图像关于直线对称 C． D． 【答案】ABD 【来源】四川省泸州市合江县中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 【分析】根据奇偶性结合得出，由判断B；由对称性判断C；根据周期性判断D. 【详解】因为是偶函数，且，所以，即，所以，周期为，故A正确； 因为是偶函数，所以，即函数的图像关于直线对称，故B正确； 因为，且函数的图像关于直线对称，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABD 40．(24-25高一上·四川泸州高级中学校·期末)【多选题】已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在定义域上既有增区间又有减区间 【答案】ABC 【来源】四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题 【分析】利用赋值法可判断AB；利用赋值法结合奇偶函数定义判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，由于函数的定义域为， 令，则，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，令，则， 取，则，即是偶函数，C正确； 对于D，取，满足函数的定义域为， 但在定义域上既没有增区间也没有减区间，D错误， 故选：ABC 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $