精品解析：山西省临汾市洪洞县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年度九年级第一学期期中质量监测 数学 注意事项： 1．本试题（卷），分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（10小题，每小题3分、共30分） 1. 使有意义的x的取值范围是( ) A. x＞－1 B. x≥－1 C. x≠－1 D. x≤－1 2. 下列二次根式是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 4. 若（均不为零），则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某校组织一次篮球联赛，邀请了x个球队参加比赛，比赛采用单循环制（即每两队之间都要进行一场比赛），计划安排20场比赛．可列方程（ ） A. x（x＋1）＝20 B. C. x（x－1）＝20 D. 6. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，则图中共有（ ）对相似三角形 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 若a，b是的根，则的值是（     ） A. 2022 B. 2023 C. D. 10. 如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　 ） A. 1:3 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:6 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（五小题，共15分．） 11. 在直角坐标系中，点A（－7，）关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 13. 山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，娘子关瀑布的坐标为，则壶口瀑布的坐标为__________． 14. 如图，在中，为边的中点，过点作交边于点E，P为边上一点，连结，．若的面积为3，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为________m． 三、解答题（八小题，共75分．16题10分、17题6分、18题8分、19题7分、20题8分、21题11分、22题12分、23题13分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ． 问题： （1）上述解答过程中，从第_____步开始出现了错误，发生错误的原因是_______________； （2）请写出正确的解答过程． 18. 如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． （1）求证：； （2）若，，则的长为 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为； （2）写出点的坐标． 20. 如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 21. 下面是小丽同学用配方法求二次三项式最值的过程： ． ． 当时，取得最小值，且最小值为． 请参照小丽的思路，回答下列问题： （1）求二次三项式的最值． （2）对于二次三项式（是常数，）． ①当时，求二次三项式（是常数）的最值． ②当时，二次三项式（是常数）存在最______（填“大”或“小”）值，最值为______． 22. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 23. 综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． （1）求的长． （2）当的面积为时，求此时的值． （3）当是等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度九年级第一学期期中质量监测 数学 注意事项： 1．本试题（卷），分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（10小题，每小题3分、共30分） 1. 使有意义的x的取值范围是( ) A. x＞－1 B. x≥－1 C. x≠－1 D. x≤－1 【答案】B 【解析】 【分析】让被开方数为非负数列式求值即可． 【详解】解：由题意得：x+1≥0， 解得x≥-1． 故选：B． 2. 下列二次根式是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式定义与识别，最简二次根式必须满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母；根据最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式满足的条件是解决问题的关键． 【详解】解：A、中被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：C． 3. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键. 4. 若（均不为零），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查的知识点是比例的性质，解题的关键是准确掌握其性质进行运算．首先设，得出，，，然后代入，再代入求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故选：D． 5. 某校组织一次篮球联赛，邀请了x个球队参加比赛，比赛采用单循环制（即每两队之间都要进行一场比赛），计划安排20场比赛．可列方程（ ） A. x（x＋1）＝20 B. C. x（x－1）＝20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据计划安排20场比赛列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选D． 6. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故选：D． 8. 如图，在中，，，则图中共有（ ）对相似三角形 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定等知识点，灵活运用相似三角形的判定方法成为解题的关键． 先根据、可知，即，再根据、可得，即，然后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 综上，图中共有4对相似三角形． 故选C． 9. 若a，b是的根，则的值是（     ） A. 2022 B. 2023 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 根据一元二次方程的解的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可解答． 【详解】解：∵a，b是的根， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　 ） A. 1:3 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴ADE∽ABC， ∴， 又∵， ∴， ∵DE∥BC， ∴ODE∽OCB， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（五小题，共15分．） 11. 在直角坐标系中，点A（－7，）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（7，-1） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数得出答案即可． 【详解】点（-7，1）关于原点对称的点是（7，-1）． 故答案为：（7，-1）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数是解题的关键． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解决本题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，娘子关瀑布的坐标为，则壶口瀑布的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确建立直角坐标系是解题关键． 根据云冈石窟和子关瀑布的坐标建立直角坐标系，然后确定壶口瀑布的坐标即可． 【详解】解：根据题意建立如图坐标系： 所以壶口瀑布的坐标为． 故答案为． 14. 如图，在中，为边的中点，过点作交边于点E，P为边上一点，连结，．若的面积为3，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理推出三角形的面积以及四边形的面积即可得到答案． 【详解】解：为边的中点，过点作交边于点E， ∴， ∴，是的中位线， ， ∵的面积为， ， ， 是的中位线， 与同底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 15. 如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为________m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（八小题，共75分．16题10分、17题6分、18题8分、19题7分、20题8分、21题11分、22题12分、23题13分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先化简绝对值，计算平方根，零指数幂，负指数幂，然后从左到右进行计算即可； （2）利用公式法解题即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ，，， ， ， ，． 17. 阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ． 问题： （1）上述解答过程中，从第_____步开始出现了错误，发生错误的原因是_______________； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）二，等号右边没有加 （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即或 ∴，． 【解析】 【分析】（）观察解答过程可得答案； （）用配方法解方程即可； 本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：从第二步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加， 故答案为：二，等号右边没有加； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． （1）求证：； （2）若，，则的长为 ． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，然后利用两角对应相等证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为； （2）写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画已知三角形关于原点位似的三角形，解答本题的关键要明确：一般的，在坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，位似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． （1）利用位似的概念画出图形即可； （2）根据图形写出点的坐标． 【小问1详解】 解：即为所求做的三角形； 【小问2详解】 解：根据图形可得． 20. 如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 21. 下面是小丽同学用配方法求二次三项式最值的过程： ． ． 当时，取得最小值，且最小值为． 请参照小丽的思路，回答下列问题： （1）求二次三项式的最值． （2）对于二次三项式（是常数，）． ①当时，求二次三项式（是常数）的最值． ②当时，二次三项式（是常数）存在最______（填“大”或“小”）值，最值为______． 【答案】（1）最大值为 （2）①最小值为；②大， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用配方法是解决问题的关键． （1）先利用配方法得到，再利用非负数的性质得到，即可求出最大值； （2）先利用配方法得到， ①当时，利用，可确定当时，有最小值； ②当时，利用可确定当时，有最小值． 【小问1详解】 解： ， 故当时，有最大值，最大值为； 【小问2详解】 解： ； ①当时，， ， 故当时，有最小值，最小值为； ②当时，， ， 故当时，有最大值，最大值为； 故答案为：大，． 22. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【答案】任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 任务1，设该甜品店“缤纷双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元． 23. 综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． （1）求的长． （2）当的面积为时，求此时的值． （3）当是等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1）的长为 （2）此时的值为4或9 （3）或或 【解析】 【分析】（1）设，则，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，过点Q作于点E，由是边上的高，得到，根据相似三角形的性质得到，根据题意得到cm，， 求得，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）①当时，，②当时，过P作于H，③，如图，过Q作于G，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：（1）设，则， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， 的长为； 【小问2详解】 如图，过点Q作于点E， 是边上的高， ， ， ， 根据题意，得， ，的面积为， ， 解得， 答：此时t的值为4或9； 【小问3详解】 是等腰三角形， 或或， ①当时，， 解得， ②当时，过P作于H， ， ， ， ， ， 解得，， ③，如图，过Q作于G， 则，， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $