专题3.3 一元一次方程的应用（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题3.3 一元一次方程的应用 教学目标 1. 知道解一元一次方程的应用的一般步骤； 2. 掌握常见列方程解应用题的几种类型。 教学重难点 1.重点 （1）会按要求列一元一次方程； （2）熟悉常见的一元一次方程的应用题型； （3）用方程的思想解决实际问题。 2.难点 （1）幻方、方案选择、销售盈亏等问题； （2）一元一次方程在数轴等其他数学模型种的应用。 知识点1 一元一次方程的应用 一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 二、常见列方程解应用题的几种类型 1．和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第1， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第2， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析（画图分析可详见教材例9、例10）． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 【即学即练】 1．某数的比它的2倍少5，设某数为，列方程为 ． 【答案】 【分析】根据文字表述得到的等量关系列方程即可． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，找的方法是通过题目中的关键词如：大，小，倍等． 2．甲班有54人，乙班有48人，要使甲班的人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设从乙班调入甲班x人，则乙班现有人，甲班现有人．甲班人数是乙班的2倍，据此列方程即可． 【详解】解：设从乙班调入甲班x人，则乙班现有人，甲班现有人． 此时，甲班人数是乙班的2倍，所以所列的方程为：， 故选A． 3．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设这个班有学生人，图书本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人，图书本， 由题意得，， ， 故选：B． 4．小明以的速度从家步行到学校上学，放学时以的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多，求小明上学路上所花的时间．设上学路上所花的时间为，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据放学及上学路上所花时间之间的关系，可得出放学路上所花的时间小时，利用路程=速度×时间，结合从家到学校的距离不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵放学路上比上学所花的时间多小时，上学路上所花的时间为x小时， ∴放学路上所花的时间小时， 根据题意得：， 故选：C． 5．我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 6．某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可直接列出方程． 【详解】解：根据题意可知生产乙零件的工人有名， 根据题意有：． 故答案为：． 题型01 按要求列方程 【典例1】．用方程解答下列问题： (1)的倍与的和等于的倍与的差，求； (2)与的积等于与的和，求； (3)与的和的倍等于与的差的倍，求； (4)的倍与的和的等于与的差的，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题意，列方程． （1）根据题意列方程，解方程即可； （2）根据题意列方程，解方程即可； （3）根据题意列方程，解方程即可； （4）根据题意列方程，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：， 移项，合并同类项得，， 解得， （2）解：根据题意得：， 移项，合并同类项得，， 解得， （3）解：根据题意得：， 整理得， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 解得， （4）解：根据题意得： 整理得，， 移项，合并同类项得，， 解得， 【变式1】．甲数减去乙数的差为，且甲数的3倍等于乙数的2倍，则较大的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程求解是解题的关键；设甲数为，乙数为，根据题意列出方程，然后即可求解； 【详解】解：设甲数为，乙数为， ∴， 解得：， 则甲数为，乙数为， ∵， ∴即较大的数为； 故答案为：； 【变式2】．一个数减去与的差，结果等于，求这个数 【答案】 【分析】本题考查方程的应用，解答本题关键是理解等式的基本性质；含有未知数的等式叫做方程，方程的解是指使等式成立的未知数的值，求方程的解的过程叫做解方程，解方程的依据是等式的基本性质，熟记等式的基本性质：等式的两边同时加上或减去同一个数，同时乘或除以同一个非零数，等式仍然成立．设这个数为，根据题目描述的数量关系列出方程，再利用等式的性质求解方程． 【详解】解：设这个数为， 由题意，得 即：这个数为． 题型02 配套问题 【典例1】．某工厂有26名工人，每名工人每天可加工100个A部件或80个B部件，2个A部件和1个B部件配套，为使每天加工的A部件和B部件刚好配套．设安排x名工人加工A部件，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设安排x名工人加工A部件，则有个工人生产B部件，根据题意列式计算即可得出结果． 【详解】解：设安排x名工人加工A部件，则有个工人生产B部件， 根据题意得：， 故选：C． 【变式1】．制作一张桌子需要1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材可用来制作桌子，设用木材制作桌面，根据制成的桌面与桌腿恰好配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程实际问题中的配套问题，关键在于理解桌面和桌腿的配套关系，即一张桌子需要 1 个桌面和 4 条桌腿，那么桌腿的数量应该是桌面数量的 4 倍．我们需要先分别表示出桌面和桌腿的数量，再根据配套关系列出方程即可得出答案． 【详解】解：现有木材可用来制作桌子，用木材制作桌面， 用木材制作桌腿， 由题意得：． 故选：． 题型03 工程问题 【典例1】．某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设完成此项工程共需天，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设完成此项工程共需天，根据题意得： ． 故选：C 【变式1】．一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合作，设完成此项工程需x天，由题意得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键. 设完成此项工程需天，甲先做3天完成 再合作天，完成 据此列出方程即可. 【详解】解：设完成此项工程需天，甲先做3天完成 再合作天，完成 由题意得方程： 故选C 题型04 销售盈亏问题 【典例1】．某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的7折出售将赚25元，则每件服装的成本价为（   ） A．185元 B．190元 C．195元 D．200元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正解题意，找到等量关系列出方程是关键；设每件服装的标价为元，根据成本价不变建立方程，解出标价后计算成本价即可． 【详解】解：设标价为元；按5折出售亏35元，即成本价为元；按7折出售赚25元，即成本价为元； 根据成本价相等，列方程：； 解方程得：； 则成本价：； 即每件服装的成本价为185元； 故选A． 【变式1】．某个服装店以每件99元的价格卖出两件上衣，其中一件盈利，另一件亏本．该服装店卖出这两件上衣（   ） A．不赚不亏 B．赚了 C．亏了 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分别计算两件上衣的成本价，比较总成本与总售价即可判断盈亏． 【详解】解：设盈利的衣服的进价是x元，亏损的衣服的进价是y元， 由题意，得 ，， 解得：，， ∴总共进价为元． ∵售价为：元． ∴元． ∴该商店卖出这两件衣服共亏损2元． 故选：C． 题型05 比赛积分问题 【典例1】．某次考试100道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣1分，小李共得100分，那么他不做或做错多少题（   ） A．20 B．25 C．30 D．80 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练根据题意得出等式是解题的关键，设他答对题，则不做或做错题，利用共得100分列式求解即可． 【详解】解：设他答对题，则不做或做错题， 根据题意，得， 解得：， 则不做或做错题， 故选：A． 【变式1】．2025年亚足联U-20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛事之一， 比赛于2025年2月12日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热情．某校特举办校园足球比赛，赛制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分，星光队进行了10场比赛，其中胜了5场总共得14分，那么该队负了（　　） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用．设该队负了场，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该队负了场，故平了场， ， 解得． 故一共负了3场． 故选：B． 题型06 数字问题 【典例1】．三个连续偶数的和比中间的一个数大12，则这三个偶数的和为 【答案】18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据题意列出方程． 设中间的偶数为，则其他两个偶数为，，根据三个连续偶数的和比中间的一个数大12，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设中间的偶数为，则其他两个偶数为，，根据题意得： ， 解得：， ∴三个偶数为：，，， ∴这三个偶数的和为：， 故答案为：18． 【变式1】．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为9，如果将个位上的数字与十位上的数字对调后所得新数比原数小9，那么原两位数是 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．先设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， ∴， 则， 解得：，． 则原数为54． 故答案为：54． 题型07 行程问题 【典例1】．原本的铁路从到全长公里，现在建造了一条公里长的高速铁路，高速铁路上的列车速度是原本速度的倍，因此从到的旅行时间缩短了小时，那么，原本铁路上的列车速度为 千米/小时． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是根据题意得出正确的分式方程并求解． 设原本铁路上的列车速度为千米/小时，则高速铁路上的列车速度是千米/小时，根据题意列出分式方程并求解即可，注意检验． 【详解】解：设原本铁路上的列车速度为千米/小时，则高速铁路上的列车速度是千米/小时， 依题意得， 解得：， 经检验，是方程的解， 原本铁路上的列车速度为千米/小时． 故答案为：． 【变式1】．某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上返回到地，共乘船小时，已知船在静水中的速度是每小时千米，水流速度是每小时千米，若两地距离为千米，则两地之间的距离是 ． 【答案】或千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设两地之间的距离是，然后分若在之间，根据题意得，若在上游时，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设两地之间的距离是， 若在之间，根据题意得， 解得：， 若在上游时，根据题意得， 解得：， 故答案为：或千米． 题型08 和差倍分问题 【典例1】．花园小学六年级学生中，女生占，后来又转来15名女生，这时女生占六年级总人数的，六年级原来有学生多少人？ 【答案】六年级原来共有360人． 【分析】本题主要考查了一元一次方程和分数乘法的意义的应用，以及方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．首先根据题意，设六年级原来共有人，则女生有名；然后根据后来六年级的总人数是人，后来女生的人数后来六年级总人数，列出方程，求出六年级原来共有多少人即可． 【详解】解：设六年级原来共有人，则女生有名． 答：六年级原来共有360人． 【变式1】．果园里桃树的棵数相当于梨树棵数的，相当于苹果树棵数的，如果梨树比苹果树少棵，这个果园里桃树、梨树、苹果树各多少棵？ 【答案】桃树棵，梨树棵，苹果树棵． 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，设果园里桃树的棵数为棵，则梨树的棵数为棵，苹果树的棵数为棵，根据梨树比苹果树少棵，可以列方程：，解方程求出桃树的棵数，再根据梨树、苹果树与桃树之间的关系求出梨树和苹果树的棵数即可． 【详解】解：设果园里桃树的棵数为棵，则梨树的棵数为棵，苹果树的棵数为棵， 根据题意可得：， 解得：， 梨树的棵数是(棵)，苹果树的棵数为(棵)， 答：果园里有桃树棵，梨树棵，苹果树棵． 题型09 比例分配问题 【典例1】．张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【答案】28 【分析】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设一支钢笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：设一支钢笔的价格为元， 则， 解得， 所以张自己的钱数为（元），李自己的钱数为（元）， 所以张和李剩下的钱共有（元）， 故答案为：28． 【变式1】．甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 【答案】1380 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．设原来甲有元，原来乙有元，根据题意列出方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设原来甲有元，原来乙有元， ， ， ， ∴， 故答案为：1380． 题型10 古代问题 【典例1】．《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出两种乘车方式中车辆数量的等量关系，并将其用含未知数的式子表示出来．设共有辆车，根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，列方程即可． 【详解】解：设共有辆车， 依题意，得：． 故答案为：． 【变式1】．盈不足问题作为我国数学的古典名题，在2000多年前的《九章算术》一书中有很多详尽而深刻的阐述，如书中的“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？”题目大意是：“今有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，会多11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，求买鸡的人数、鸡的价格各是多少？”则物价是 钱．（钱是古代货币的一种计量单位） 【答案】70 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设物价是x钱，根据“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六”，结合人数不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设物价是x钱， 根据题意得：， 解得：， ∴物价是70钱． 故答案为：70． 题型11 利息问题 【典例1】．李先生把x元存入银行，定期3年，年利率是，到期本利和是3240元，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系．根据本息和=本金+利息列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 【变式1】．小帅把压岁钱按定期一年存入银行．当时该银行一年期定期存款的年利率为．到期支取时，利息为19.8元，则小帅的这笔压岁钱共 元，一年后小帅实得本息和为 元． 【答案】 1000 1019.8 【分析】本题考查的是简单的一元一次方程的应用，掌握“本金利率利息”是解本题的关键. 设小帅的压岁钱为元，则，再进一步求解即可. 【详解】解：设小帅的压岁钱为元，则 小帅 解得：， ∴一年后小帅实得本息和为（元）； 故答案为：， 题型12 几何问题 【典例1】．如果一个长方形的周长是，宽比长少，那么这个长方形的长和宽分别是多少？ 【答案】这个长方形的长是，则宽是． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设这个长方形的长是，则宽是，根据长方形的周长是列方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设这个长方形的长是，则宽是， 则， 解得，， ， 答：这个长方形的长是，则宽是 【变式1】．如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，其中两个小正方形相等，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 平方厘米． 【答案】143 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．根据题意，结合图形，各个正方形的边长从大到小依次相差1，设这6个正方形中最大的一个边长为x，将各个正方形的边长表示出来，根据长方形的两条对边长相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x， ∵图中最小正方形边长是1， ∴其余的正方形边长分别为，，，， ∴， ∴， ∴长方形的长为，宽为，面积为平方厘米． 故答案为：143． 题型13 水费、电费问题 【典例1】．某地实行阶梯电价，第一档电量为每月不超过200度，每度电0.5元；第二档电量为每月超过200度但不超过400度的部分，每度电0.6元；第三档电量为每月超过400度的部分，每度电0.8元．若某用户一个月缴电费260元，求该用户这个月的用电量． 【答案】该用户这个月用了450度电 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据档次标准写出函数关系式和列方程是解题的关键．分别计算第一档、第二档电费的上限并与260相比较，从而确定该用户这个月用电量所在的档次；设该用户这个月用了a度电（），根据第三档的标准列方程并求解即可． 【详解】解：当用电量为200度时，电费为（元），； 当用电量为400度时，电费为，； ∴该用户这个月用电量在第三档． 设该用户这个月用了a度电（）． 根据题意，得， 解得， ∴该用户这个月用了450度电． 【变式1】．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； (2)若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； (3)若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； (4)若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1)20 (2)44 (3) (4)或元 【分析】本题主要考查根据实际问题列出代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出不同情况下的代数式是解题关键． （1）根据题意，的用水应该分两部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （2）根据题意，的用水应该分三部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （3）根据题意可得该户居民4月用水超出，设该户居民4月用水，根据题意，列出方程，即可求解； （4）根据题意，分两种情况：按照相应的收费标准列出代数式即可． 【详解】（1）解：该户居民2月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：20 （2）解：该户居民3月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：44 （3）解：∵用水，则应交水费∶元元， ∴该户居民4月用水超出， 设该户居民4月用水，根据题意得： ， 解得：， 即该户居民4月用水； 故答案为：； （4）解：该户居民5月份用水， 当时，则5月份应交元； 当时，则5月份应交元； 综上所述，5月份应交水费元或元． 题型14 日历问题 【典例1】．将连续的奇数按如下图所示的规律排列． (1)十字框中的五个数的平均数与27有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的平均数与27相等 (2)能， 【分析】（1）先算出十字框中的五个数的平均数，然后判断与的关系； （2）设中间的数是，表示出其余个数，然后列出方程并求解，再根据是奇数且前后都有奇数解答． 【详解】（1）解：相等. ． 故十字框中的五个数的平均数与相等． （2）解：能． 设中间的数是，则其余个数分别为，，，， 则五个数的和为， ， 则其上面的数为， 其下面的数为， 其左边的数为， 其右边的数为， 故这五个数为：，，，，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． 【变式1】．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）； （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来． 【答案】（1）圈出的4个数的个位数字相同，每相邻两个之间相差10；（2）（3）这四个数是38，48，58，68 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，一元一次方程的应用； （1）根据四个数存在的联系可得答案； （2）由长方形圈出的四个数字中上下相邻的两个数相差10，从而可得答案； （3）设圈的四个数中最小的数是x，由题意得：，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）由题意可知，圈出的4个数的个位数字相同，每相邻两个之间相差10； （2）∵长方形圈出的四个数字中上下相邻的两个数相差10， 所以如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字可以表示为； （3）设圈的四个数中最小的数是x， 由题意得：， 解得：， 即这四个数是38，48，58，68. 题型15 方案选择问题 【典例1】．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误． 结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误． 结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确． 综上，正确结论仅1个， 故选：B． 【变式1】．某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：直接列出算式求出利润即可； 方案二：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案三：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：直接销售鲜奶可以获利： （元）， 方案二：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案三：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， ∵， ∴第三种方案获利较多． 故选：C． 题型16 幻方问题 【典例1】．“幻方”历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行，每列，每条对角线上三个数的和都相等，如图就是一个三阶幻方的一部分，则该三阶幻方每行上三个数的和都是 ． 6 7 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”列方程（组）求解即可． 【详解】解：如表： 6 7 则，， 解得：，， 则，即， 解得：， 则该三阶幻方每行上三个数的和都是． 故答案为：． 【变式1】．幻方起源于中国，如图是一个已经填好部分数字的幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，则图中x表示的值为 ． 【答案】0 【分析】根据题意，利用第一列与第二行数字之和相等即可求解．本题关键是读懂题意，然后列出方程即可求解． 【详解】由题可知第一列与第二行数字之和相等， ∵有一个相同的数字，故剩下两个数字之和相同，即，求得． 故答案为：0． 【变式2】．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方是最简单的幻方．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方、在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．则这个“幻方”中的的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，，然后求出结果即可． 【详解】解：如图，设另外三个圆圈中的数分别为x，y，z， ∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个小三角形各顶点上数字之和相等， ∴，整理得，解得：； ，整理得：， 把代入得：， 解得：； 故选：C． 题型17 其他问题 【典例1】．“六一”游园活动丰富多彩． 这个班男生和女生各有多少人？ 【答案】这个班男生有人，女生有人． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． 设这个班男生有人，则女生有人，根据题意列方程求解，即可得男生人数，代入女生人数的表达式计算，即可得女生人数． 【详解】解：设这个班男生有人，则女生有人， 根据题意可得 解得， ∴（人） 答：这个班男生有人，女生有人． 【变式1】．数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当时，则 秒． 【答案】5或 【分析】本题主要考查数轴上动点问题以及一元一次方程的应用，根据题意表示出，，分以下两种情况讨论，当点在点右侧，得到，，当点在点左侧，得到，，再结合“”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：由题知，，， 原点为O， 当点在点右侧， 有，， ， ， 解得， 当点在点左侧， 有，， ， ， 解得， 故答案为：5或． 一、单选题 1．甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．设甲班原有人数是x人，可列出方程（　　） A．98+x＝x﹣3 B．98﹣x＝x﹣3 C．（98﹣x）+3＝x D．（98﹣x）+3＝x﹣3 【答案】D 【分析】直接根据两班人数正好相等列方程即可． 【详解】解：设甲班原有人数是x人， （98﹣x）+3＝x﹣3． 故选：D． 【点睛】此题主要考查根据等量关系列方程，解题的关键是找出等量关系． 2．某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（　　） A．22+x＝2×26 B．22+x＝2（26﹣x） C．2（22+x）＝26﹣x D．22＝2（26﹣x） 【答案】B 【分析】抽调人后，第一组的人为22+x，第二组为26-x，再按照题干条件列方程即可. 【详解】解：抽调人后，第一组的人为22+x，第二组为26-x，由题意列方程22+x=2（26-x）， 故选择B. 【点睛】本题考查了根据题意列一元一次方程. 3．某班学生共40人，外出参加植树活动，根据任务不同，要分成甲、乙、丙三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比为1︰2︰5，则甲小组有（     ） A．5人 B．10人 C．20人 D．25人 【答案】A 【详解】根据三个小组人数的比例，设甲小组的人数为x，则乙小组的人数为2x，丙小组的人数为5x. 因为三个小组的人数相加应该等于班级总人数，故可以列出如下方程： x+2x+5x=40 合并同类项，得 8x=40， 系数化为1，得 x=5， 即甲小组有5人. 故本题应选A. 4．小明用长16cm的铁丝围成一个长方形，并且长方形的长比宽多2cm，设这个长方形的长为xcm，则x的值为（） A．9 B．5 C．7 D．10 【答案】B 【分析】设长方形的长x米，宽为（x-2）米，根据题意可得周长为16米，据此列方程求解即可． 【详解】解：设长方形的长x米，则宽为（x-2）米， 由题意得，2[x+（x-2）]=16．解得x=5； 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握并准确计算是解题的关键. 5．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可． 【详解】解：设上个月卖出x双，根据题意得 （1+10%）x=330． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键． 6．现要对一栋楼进行清扫，队单独做5天完成，队单独做8天完成．若队先做1天，然后队、队合作完成了余下的工作，设队清扫了天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．本题属于工程问题，需根据两队的工作效率和工作时间建立方程，队单独完成需5天，每天完成；队单独完成需8天，每天完成；队先单独工作1天，之后与队合作天，总工作量为1，建立方程即可得到答案． 【详解】解：设队清扫了天，则队的工作量为；队的工作量为；总工作量为1，因此有： 故选：A． 7．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零件任务÷原计划每天生产的零件个数-(零件任务+120)÷实际每天生产的零件个数=3 【详解】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6， 所以根据时间列的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据时间得到相应的等量关系是解决本题的关键． 8．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题：若设城中有户人家，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设城中有户人家，根据鹿的总数列出方程．本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据题目中的数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设城中有户人家．由题意可得 ， 故选：A． 9．小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（    ） 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 1.2 x 中性笔 3.5 总计 13 34 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准数量关系，正确列出方程是解决本题的关键．根据题意填表，然后列出方程即可得到答案． 【详解】解：填表如下： 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 中性笔 总计 根据题意得：，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：B． 10．某超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过100元不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折； （3）一次性购物超过300元一律八折； 兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（    ） A．288元 B．288元或332元 C．332元 D．288元或316元 【答案】D 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100， 即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元． （2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280． ①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315． 即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元． 综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款： 360×0.8=288元 395×0.8=316元 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 二、填空题 11．某班有40名学生，其中男生有名，女生比男生多4名，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；由某班学生人数等于男生人数与女生人数的和列出方程，即可求解． 【详解】解：男生有名，女生比男生多4名，则女生有名， 由题意得：， 解得：， 故答案为：18． 12．某村积极植树造林，原计划每天植树60棵，实际每天植树80棵，结果比预计时间提前4天完成植树任务，则计划植树 棵． 【答案】960 【分析】设计划植树棵，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设计划植树棵，由题意可得： 解得： 故答案为960． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到题中的等量关系是解题的关键． 13．某队有55人，每人每天平均挖土2.5方或运土3方，为合理安排劳力，使挖出的土及时运走，则应分配 人挖土， 人运土． 【答案】 30 25 【分析】设分配挖土的为人，则运土的为人，根据题意列出一元一次方程解决问题． 【详解】设分配挖土的为人，则运土的为人，根据题意，得， 解得 则运土的为（人）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 14．王老师带领一些学生参加夏令营，甲旅行社说：“参加我社的夏令营，老师可以免费．”乙旅行社说：“参加我社的夏令营，学生每人可优惠5%，老师半价优惠．”两社的原价均为每人100元，那么王老师带领的学生为 人时，两家旅行社费用一样． 【答案】10 【分析】设王老师带领x名同学参加夏令营时，两家旅行社费用是一样的，由题意得等量关系：甲旅行社x名学生的费用＝乙旅行社学生的费用＋老师的费用，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设王老师带领x名同学参加夏令营时，两家旅行社费用是一样的，由题意得： 100x＝100×（1﹣5%）×x+50， 解得：x＝10， 故答案为：10 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，正确表示出甲乙两旅行社的费用． 15．随着通讯市场的竞争日益激烈，某通讯公司的收费标准按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为 元． 【答案】 【分析】设原收费标准每分钟为x元，则根据题意找到等量关系，列出等式(x−a)(1−25%)=b，解此方程即可． 【详解】解：设原收费标准每分钟为x元， 由题意得，(x−a)(1−25%)=b， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列代数式，列代数式实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转化，列代数式时，可以借助方程，设出未知数，列出等式，从而表达出所求代数式． 16．一个个位数是4的三位数，如果把4换到最左边，所得数比原数的3倍还多98，若设这个三位数去掉尾数4，剩下两位数是x，求原数．可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这个三位数去掉尾数4，剩下两位数是x，根据“把4换到最左边，所得数比原数的3倍还多98，”即可列出方程． 【详解】解：设这个三位数去掉尾数4，剩下两位数是x，根据题意得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 17．甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点(12点)同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇． 【答案】 【详解】设分针旋转x周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周，根据题意可得：60x=720（x﹣1），解得：x=．所以分针旋转周，时针和分针第一次相遇． 18．点是数轴上不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为2，若三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”，则符合“和谐三点”的点表示的数为 ． 【答案】或或； 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设点表示的数为，根据“和谐三点”的定义分三种情况讨论，利用数轴上两点之间的距离和一元一次方程分别求解即可． 【详解】解：设点表示的数为， ①当点到点和点的距离相等时， 则， 解得：； ②当点到点和点的距离相等时， 则， 解得：； ③当点到点和点的距离相等时， 则， 解得：； 综上可知，符合“和谐三点”的点表示的数为或或， 故答案为：或或； 三、解答题 19．某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，已知成人票每张8 元，学生票每张5 元，所得票款可能是6932元吗？如果可能，成人票比学生票多售出多少张？ 【答案】可能，成人票比学生票多售出288张． 【分析】设学生票数为x张，成人票数为（1000-x）张，根据题意，得，解得，再求出成人票的张数，作差即可． 【详解】解：可能， 设学生票数为x张，成人票数为（1000-x）张， 根据题意，得， 解得． 所以成人票：1000-356=644（张）， 成人票比学生票多售出：（张）． 答：成人票比学生票多售出288张． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键． 20．某景区A、B两个区域由两段坡路组成，一段上坡路、一段下坡路．游客晓晓从A区到B区需要50分钟，从B区原路返回A区需要45分钟，若晓晓上坡的速度为40米/分，下坡的速度为60米/分，求A区到B区的路程． 【答案】区与区相距2280米 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设从区到区走上坡路需分钟，则走下坡路需分钟，求出A区与B区的距离，根据从B区原路返回A区需要45分钟列出方程，求出从区到区的上坡路程和下坡路程，进而得出A区到B区的路程． 【详解】解：设从区到区走上坡路需分钟，则走下坡路需分钟， ， 解得， （米）． 答：区与区相距2280米． 21．某电商决定在国庆期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利39元．求这种服装每件的成本是多少元？ 【答案】这种服装每件的成本是150元． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设这种服装每件的成本是元，则标价为元，售价为元．利用售价减去成本等于利润建立方程求解即可． 【详解】解：设这种服装每件的成本是元，则标价为元，售价为元， 由题意，得， 解得． 答：这种服装每件的成本是150元． 22．甲､乙两人约定步行从学校出发，沿同一路线到距离学校的图书馆看书．甲先出发，步行的速度是：乙比甲晚出发，比甲早到达图书馆． （1）求乙步行的速度； （2）求甲出发多长时间乙追上甲．（要求列方程解答） 【答案】甲出发20min后乙追上甲． 【分析】（1）根据速度=路程÷时间计算即可； （2）设甲出发后乙追上甲，则此时乙出发，列出方程计算即可； 【详解】（1）．即乙的速度为； （2）设甲出发后乙追上甲， 则此时乙出发， 根据题意得：， 解得． 即甲出发20min后乙追上甲． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键． 23．李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，请你用所学的知识解决以下问题．（篱笆的占地面积忽略不计） (1)如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？ (2)如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？ 【答案】(1)鸡舍面积432平方米； (2)如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积平方米或391平方米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）首先设鸡舍的宽为米，则长为米，根据题意可得等量关系：篱笆总长60米，再解方程求出鸡舍的长宽，再求面积即可； （2）分两种情况讨论，以鸡舍的长与墙为对面和以鸡舍的宽与墙对面两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：设鸡舍的宽为米，则长为米，依题意得： ， 解得：， 所以鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积（平方米）． 答：鸡舍面积432平方米； （2）解：设鸡舍的宽为米，则鸡舍的长． Ⅰ．当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得： ， 解得：， 所以鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积（平方米）． Ⅱ．当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得： ， 解得：， 所以鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积（平方米）． 答：如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积平方米或391平方米． 24．甲、乙和丙三人一起去派遣，乙和丙是徒步旅行的好手，他们每小时都可以走6公里，甲的脚力不行，他驾驶一辆小型电动汽车，可以坐两个人，但坐不下三个，这辆车每小时跑30公里，这三个朋友采取下面这个方案：他们一起出发，丙乘甲开的车，乙走路，过一会儿甲丢下丙让他继续走路，甲回去接乙．然后他们俩驾车直至追上丙，此时，他们进行了轮换，即丙换上去坐车，乙又步行，这就回到了开始时的情形，这样整个过程不断重复直至必要的次数． (1)他们每小时前进多少公里？ (2)旅行中有几分之几的时间汽车上只有一个人？ 【答案】(1)公里 (2)旅行中有四分之一的时间汽车上只有一个人 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及逻辑判断，理解题意，列出方程求解是解题关键． （1）设甲和丙开了x小时车，甲返回接乙，甲与丙x小时开车行程为公里，乙x小时步行路程为公里，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意，甲乙丙从出发到再次相聚，其间，甲返回去接乙这段时间是独自一人在车上，由第（1）问可知这段时间是小时，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：设甲和丙开了x小时车，甲返回接乙， 甲与丙x小时开车行程为公里，乙x小时步行路程为公里， 此时甲与乙相距公里， 此处甲接上乙需要的时间是（小时）， 此时，甲丙距离为（公里）， 甲追上丙需要的时间是（小时）， 甲和乙开车追上丙时，三人的行程所花时间是（小时）， 其中丙步行所用时间（小时）， 这时，三人离起点的距离是（公里）， 则他们每小时前进的路程是（公里） （2）根据题意，甲乙丙从出发到再次相聚，其间，甲返回去接乙这段时间是独自一人在车上， 由第（1）问可知这段时间是小时， 甲乙丙从出发到再次相聚共用的时间是小时， 因此，即旅行中有四分之一的时间汽车上只有一个人． 25．为做好期末冲刺复习，某同学制作了一个“期末冲刺日历表”，从最后天起，将距离期末考试的天数填进了日历表里面，根据该日历表，回答以下问题：    (1)如图，用一个“十”字型的方框随机框住日历中的个数字，方框中所有数字之和为，求与的数量关系；正中间的数为； (2)如图，用一个“”型的方框随机框住日历中的个数，则该个数之和能否为，若能，求出“”型框中最大的数；若不能，请说明理由； (3)如图，用“”型的方框随机框住日历中的个数字，再用“倒”型方框随机框出个数字（所框数字可以重复），问：“”型框三个数之和与“倒”型框三个数之和能否相等？若能，请举出一组符合条件的例子；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】本题围绕日历表中数字规律，通过设未知数表示方框内数字，利用整式运算和方程求解来解决问题． （1）根据“十”字型方框数字与中间数的位置关系表示各数并求和； （2）设“T”型方框中间数，同理表示各数求和后列方程判断； （3）设“V”和“倒V”型方框数字，分别求和后分析是否相等 ． 本题主要考查了日历表中数字的规律探索以及整式的加减运算、一元一次方程的应用，熟练掌握通过设未知数表示数，利用运算和方程解决规律与数量关系问题是解题的关键． 【详解】（1）解：设正中间的数为，上面的数为，左边的数为，右边的数为，下面的数为， ； （2）解：设正中间的数为，左边的数为，右边的数为，下面的数为，最下面的数为， ， ，解得， 没有个数之和为； （3）解：设“”型框三个数为，，， ， 设“倒”型框三个数为，，， ， “”型框三个数之和与“倒”型框三个数之和不相等． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 一元一次方程的应用 教学目标 1. 知道解一元一次方程的应用的一般步骤； 2. 掌握常见列方程解应用题的几种类型。 教学重难点 1.重点 （1）会按要求列一元一次方程； （2）熟悉常见的一元一次方程的应用题型； （3）用方程的思想解决实际问题。 2.难点 （1）幻方、方案选择、销售盈亏等问题； （2）一元一次方程在数轴等其他数学模型种的应用。 知识点1 一元一次方程的应用 一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 二、常见列方程解应用题的几种类型 1．和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第1， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第2， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析（画图分析可详见教材例9、例10）． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 【即学即练】 1．某数的比它的2倍少5，设某数为，列方程为 ． 2．甲班有54人，乙班有48人，要使甲班的人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 4．小明以的速度从家步行到学校上学，放学时以的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多，求小明上学路上所花的时间．设上学路上所花的时间为，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 6．某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 题型01 按要求列方程 【典例1】．用方程解答下列问题： (1)的倍与的和等于的倍与的差，求； (2)与的积等于与的和，求； (3)与的和的倍等于与的差的倍，求； (4)的倍与的和的等于与的差的，求． 【变式1】．甲数减去乙数的差为，且甲数的3倍等于乙数的2倍，则较大的数为 ． 【变式2】．一个数减去与的差，结果等于，求这个数 题型02 配套问题 【典例1】．某工厂有26名工人，每名工人每天可加工100个A部件或80个B部件，2个A部件和1个B部件配套，为使每天加工的A部件和B部件刚好配套．设安排x名工人加工A部件，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【变式1】．制作一张桌子需要1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材可用来制作桌子，设用木材制作桌面，根据制成的桌面与桌腿恰好配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型03 工程问题 【典例1】．某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合作，设完成此项工程需x天，由题意得方程（    ） A． B． C． D． 题型04 销售盈亏问题 【典例1】．某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的7折出售将赚25元，则每件服装的成本价为（   ） A．185元 B．190元 C．195元 D．200元 【变式1】．某个服装店以每件99元的价格卖出两件上衣，其中一件盈利，另一件亏本．该服装店卖出这两件上衣（   ） A．不赚不亏 B．赚了 C．亏了 D．无法比较 题型05 比赛积分问题 【典例1】．某次考试100道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣1分，小李共得100分，那么他不做或做错多少题（   ） A．20 B．25 C．30 D．80 【变式1】．2025年亚足联U-20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛事之一， 比赛于2025年2月12日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热情．某校特举办校园足球比赛，赛制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分，星光队进行了10场比赛，其中胜了5场总共得14分，那么该队负了（　　） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 题型06 数字问题 【典例1】．三个连续偶数的和比中间的一个数大12，则这三个偶数的和为 【变式1】．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为9，如果将个位上的数字与十位上的数字对调后所得新数比原数小9，那么原两位数是 ． 题型07 行程问题 【典例1】．原本的铁路从到全长公里，现在建造了一条公里长的高速铁路，高速铁路上的列车速度是原本速度的倍，因此从到的旅行时间缩短了小时，那么，原本铁路上的列车速度为 千米/小时． 【变式1】．某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上返回到地，共乘船小时，已知船在静水中的速度是每小时千米，水流速度是每小时千米，若两地距离为千米，则两地之间的距离是 ． 题型08 和差倍分问题 【典例1】．花园小学六年级学生中，女生占，后来又转来15名女生，这时女生占六年级总人数的，六年级原来有学生多少人？ 【变式1】．果园里桃树的棵数相当于梨树棵数的，相当于苹果树棵数的，如果梨树比苹果树少棵，这个果园里桃树、梨树、苹果树各多少棵？ 题型09 比例分配问题 【典例1】．张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【变式1】．甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 题型10 古代问题 【典例1】．《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为 ． 【变式1】．盈不足问题作为我国数学的古典名题，在2000多年前的《九章算术》一书中有很多详尽而深刻的阐述，如书中的“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？”题目大意是：“今有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，会多11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，求买鸡的人数、鸡的价格各是多少？”则物价是 钱．（钱是古代货币的一种计量单位） 题型11 利息问题 【典例1】．李先生把x元存入银行，定期3年，年利率是，到期本利和是3240元，则可列方程： ． 【变式1】．小帅把压岁钱按定期一年存入银行．当时该银行一年期定期存款的年利率为．到期支取时，利息为19.8元，则小帅的这笔压岁钱共 元，一年后小帅实得本息和为 元． 题型12 几何问题 【典例1】．如果一个长方形的周长是，宽比长少，那么这个长方形的长和宽分别是多少？ 【变式1】．如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，其中两个小正方形相等，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 平方厘米． 题型13 水费、电费问题 【典例1】．某地实行阶梯电价，第一档电量为每月不超过200度，每度电0.5元；第二档电量为每月超过200度但不超过400度的部分，每度电0.6元；第三档电量为每月超过400度的部分，每度电0.8元．若某用户一个月缴电费260元，求该用户这个月的用电量． 【变式1】．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； (2)若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； (3)若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； (4)若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 题型14 日历问题 【典例1】．将连续的奇数按如下图所示的规律排列． (1)十字框中的五个数的平均数与27有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【变式1】．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）； （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来． 题型15 方案选择问题 【典例1】．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 题型16 幻方问题 【典例1】．“幻方”历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行，每列，每条对角线上三个数的和都相等，如图就是一个三阶幻方的一部分，则该三阶幻方每行上三个数的和都是 ． 6 7 【变式1】．幻方起源于中国，如图是一个已经填好部分数字的幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，则图中x表示的值为 ． 【变式2】．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方是最简单的幻方．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方、在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．则这个“幻方”中的的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型17 其他问题 【典例1】．“六一”游园活动丰富多彩． 这个班男生和女生各有多少人？ 【变式1】．数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当时，则 秒． 一、单选题 1．甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．设甲班原有人数是x人，可列出方程（　　） A．98+x＝x﹣3 B．98﹣x＝x﹣3 C．（98﹣x）+3＝x D．（98﹣x）+3＝x﹣3 2．某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（　　） A．22+x＝2×26 B．22+x＝2（26﹣x） C．2（22+x）＝26﹣x D．22＝2（26﹣x） 3．某班学生共40人，外出参加植树活动，根据任务不同，要分成甲、乙、丙三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比为1︰2︰5，则甲小组有（     ） A．5人 B．10人 C．20人 D．25人 4．小明用长16cm的铁丝围成一个长方形，并且长方形的长比宽多2cm，设这个长方形的长为xcm，则x的值为（） A．9 B．5 C．7 D．10 5．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（    ） A． B． C． D． 6．现要对一栋楼进行清扫，队单独做5天完成，队单独做8天完成．若队先做1天，然后队、队合作完成了余下的工作，设队清扫了天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题：若设城中有户人家，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（    ） 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 1.2 x 中性笔 3.5 总计 13 34 A． B． C． D． 10．某超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过100元不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折； （3）一次性购物超过300元一律八折； 兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（    ） A．288元 B．288元或332元 C．332元 D．288元或316元 二、填空题 11．某班有40名学生，其中男生有名，女生比男生多4名，则 ． 12．某村积极植树造林，原计划每天植树60棵，实际每天植树80棵，结果比预计时间提前4天完成植树任务，则计划植树 棵． 13．某队有55人，每人每天平均挖土2.5方或运土3方，为合理安排劳力，使挖出的土及时运走，则应分配 人挖土， 人运土． 14．王老师带领一些学生参加夏令营，甲旅行社说：“参加我社的夏令营，老师可以免费．”乙旅行社说：“参加我社的夏令营，学生每人可优惠5%，老师半价优惠．”两社的原价均为每人100元，那么王老师带领的学生为 人时，两家旅行社费用一样． 15．随着通讯市场的竞争日益激烈，某通讯公司的收费标准按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为 元． 16．一个个位数是4的三位数，如果把4换到最左边，所得数比原数的3倍还多98，若设这个三位数去掉尾数4，剩下两位数是x，求原数．可列方程为 ． 17．甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点(12点)同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇． 18．点是数轴上不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为2，若三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”，则符合“和谐三点”的点表示的数为 ． 三、解答题 19．某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，已知成人票每张8 元，学生票每张5 元，所得票款可能是6932元吗？如果可能，成人票比学生票多售出多少张？ 20．某景区A、B两个区域由两段坡路组成，一段上坡路、一段下坡路．游客晓晓从A区到B区需要50分钟，从B区原路返回A区需要45分钟，若晓晓上坡的速度为40米/分，下坡的速度为60米/分，求A区到B区的路程． 21．某电商决定在国庆期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利39元．求这种服装每件的成本是多少元？ 22．甲､乙两人约定步行从学校出发，沿同一路线到距离学校的图书馆看书．甲先出发，步行的速度是：乙比甲晚出发，比甲早到达图书馆． （1）求乙步行的速度； （2）求甲出发多长时间乙追上甲．（要求列方程解答） 23．李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，请你用所学的知识解决以下问题．（篱笆的占地面积忽略不计） (1)如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？ (2)如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？ 24．甲、乙和丙三人一起去派遣，乙和丙是徒步旅行的好手，他们每小时都可以走6公里，甲的脚力不行，他驾驶一辆小型电动汽车，可以坐两个人，但坐不下三个，这辆车每小时跑30公里，这三个朋友采取下面这个方案：他们一起出发，丙乘甲开的车，乙走路，过一会儿甲丢下丙让他继续走路，甲回去接乙．然后他们俩驾车直至追上丙，此时，他们进行了轮换，即丙换上去坐车，乙又步行，这就回到了开始时的情形，这样整个过程不断重复直至必要的次数． (1)他们每小时前进多少公里？ (2)旅行中有几分之几的时间汽车上只有一个人？ 25．为做好期末冲刺复习，某同学制作了一个“期末冲刺日历表”，从最后天起，将距离期末考试的天数填进了日历表里面，根据该日历表，回答以下问题：    (1)如图，用一个“十”字型的方框随机框住日历中的个数字，方框中所有数字之和为，求与的数量关系；正中间的数为； (2)如图，用一个“”型的方框随机框住日历中的个数，则该个数之和能否为，若能，求出“”型框中最大的数；若不能，请说明理由； (3)如图，用“”型的方框随机框住日历中的个数字，再用“倒”型方框随机框出个数字（所框数字可以重复），问：“”型框三个数之和与“倒”型框三个数之和能否相等？若能，请举出一组符合条件的例子；若不能，请说明理由． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$