专题04 类周期函数与嵌套函数的零点问题（专项训练4大重点题型）高一数学人教A版2019必修第一册

专题04 类周期函数与嵌套函数的零点问题 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、类周期函数（难点） 1 题型二、内外自复合型的零点问题（重点） 2 题型三、内外双函数复合型的零点问题（难点） 2 题型四、二次型因式分解型的零点问题（难点） 3 B综合攻坚・能力跃升 3 题型一、类周期函数（难点） 1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）（多选题）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为 D．若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为 2．函数在R内满足为偶函数，且当时，，函数，则当时，方程所有根的和为 ． 3．已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 其中所有正确结论的序号是 ． 题型二、内外自复合型的零点问题（重点） 1．已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，方程的所有实数根之和为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 3．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则函数的零点个数为 ． 题型三、内外双函数复合型的零点问题（难点） 1．（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有1个零点 B．当时，有4个零点 C．可能有6个零点 D．当的零点个数最多时，的取值范围为 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 题型四、二次型因式分解型的零点问题（难点） 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选题）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南新乡·期中）（多选题）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A． B． C．8 D．16 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为 4．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 1．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 5．（25-26高一上·山东·期中）（多选题）已知函数，，若方程有4个不同的实数根，则实数可能的取值为（   ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）（多选题）已知函数函数，则（   ） A． B． C．若恒成立，则实数的取值范围是 D．若，则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是 7．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）（多选题）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．若函数恰有4个零点，则 B．关于的方程有8个不同的实数解 C．当时，不等式恒成立 D．函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为 8．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选题）设函数的定义域为，若对任意，存在唯一的实数满足，则可以是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为 ． 10．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数，若方程无实根，则实数的范围为 ． 11．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 12．（25-26高一上·浙江·期中）已知定义在上的单调函数满足，若方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 13．（25-26高一上·江苏南京·期中）定义在上的函数满足,且当时，.若关于的方程至多有三个不同的解，则正实数的取值范围是 . 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 类周期函数与嵌套函数的零点问题 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、类周期函数（难点） 1 题型二、内外自复合型的零点问题（重点） 4 题型三、内外双函数复合型的零点问题（难点） 8 题型四、二次型因式分解型的零点问题（难点） 12 B综合攻坚・能力跃升 15 题型一、类周期函数（难点） 1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）（多选题）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为 D．若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据推导即可；对于B，令，再结合已知区域的函数关系式即可求解；对于C，画出函数的图像，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围；对于D，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围． 【详解】对于A，因为，所以， 当时，，则， 所以，故A正确； 对于B，由A知，，因此当时，， 故由，则，故， 其开口向下，且对称轴为，所以在上单调递减，故B错误； 对于C，方程的实数根可看作函数与直线图象交点的横坐标， 由题可作出的图象如图所示， 若，则是与在对称轴为对应区间上交点的横坐标， ，，，故C正确； 对于D，同C分析，若在上有4个实数根， 则与的图象有4个交点，由图知，则的取值范围为，故D正确． 故选：ACD． 2．函数在R内满足为偶函数，且当时，，函数，则当时，方程所有根的和为 ． 【答案】12 【分析】由题可得函数与都关于对称，画出函数的大致图象利用数形结合即得. 【详解】因为为偶函数， ∴，即函数关于对称， 又，， 即函数关于对称， 当时，， 方程的所有根即为函数与的图象交点的横坐标， 作出函数与的图象， 由图可知当时,函数与的图象共有12个交点，且两两关于对称， 所以方程所有根的和为. 故答案为：12. 3．已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】分区间讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断①，特殊化取可判断②，由数形结合判断③，借助图象归纳规律可判断④. 【详解】当时，； 当 时，； 当，则， ； 当，则， ； 当，则， ； 当，则，； 依次类推，作出函数的图像： 对于①，函数有4个零点，即与有4个交点， 如图，直线的斜率应该在直线m， l的斜率之间， 又，，，故①正确； 对于②，当时，有3个交点，与不符合，故②错误； 对于③，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确； 故答案为：①③ 题型二、内外自复合型的零点问题（重点） 1．已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据解析式，作出图象，根据有7个零点，可得与的图象有7个交点，分别讨论、、、和，5种不同的情况，根据图象交点个数，分析判断，可得a的范围，即可得答案. 【详解】当时，单调递减， 当时，单调递减，当时，单调递增， 作出图象，如图所示    因为函数有7个零点，所以有7个根， 即与的图象有7个交点， 令，则， 当时，与的图象只有一个交点，此时，    因为，所以与图象只有一个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，且为-1和2， 则和与图象共有4个交点，不符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为，    则， 此时与共有7个交点，符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为， 则， 此时与共有6个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，设为， 则， 若时，此时与共有4个交点，不符合题意， 若时，此时与共有3个交点，不符合题意，参考上图， 综上，a的取值范围是，则可以为2. 故选：A 2．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，方程的所有实数根之和为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】通过和都是奇函数，交点横坐标和为0，即可求解. 【详解】，定义域为， ， 所以为奇函数， 令，由题意定义域为， ， 所以为奇函数， 又也是奇函数， 所以方程的所有实数根，即为函数和图象交点的横坐标， 因为为奇函数，也是奇函数， 所以函数和图象交点的横坐标的和为0， 即方程的所有实数根之和为0， 故选：C 3．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】 【分析】计算可得，令，求解，可得的所有可能取值，再分类讨论，求出所有符合要求的的值即可得. 【详解】， 令，则令， 则当时，则，解得， 由，故舍去，故； 当时，，解得或； 即有三解，分别为、与； 而， 由时，， 则当时，与无解， 由时，， 则当时，无解； 当，令，即，解得或； 当时，令，即，解得； 令，即，解得， 由，故舍去，故； 综上可得，函数的零点有：、、、. 故答案为：. 题型三、内外双函数复合型的零点问题（难点） 1．（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解. 【详解】令，则，如图， 由图像可知，和均最多有2个不同的根， 所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是. 故选：B 2．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案. 【详解】令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，，其在定义域内单调递减，令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和， 由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求， 此时，故，令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为，，1，2，4， 所以最大整数解和最小整数解之积为． 故选：A． 3．（多选题）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有1个零点 B．当时，有4个零点 C．可能有6个零点 D．当的零点个数最多时，的取值范围为 【答案】BCD 【分析】由题可得求的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，分别作出函数，的图象，利用数型结合及零点的嵌套可逐项求解判断. 【详解】A：的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，函数，的图象如图， 当时，无解；当时，的解为，则有两个解，故A错误； B：当时，设方程的解为，，易得，， 则，均有两个根，所以有个解，即有个解，故B正确. C：当时，易得方程的解为，，，则，，，均有个解，所以有个解，即有个解，故C正确. D：当时，设方程的解为，，，易得，，， 则，均有个解，最多有个解，所以最多有个解， 当有个解时，则，即， 所以当的解最多时，的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 【答案】 【分析】作出函数图象，进行分析，因为最多有两个零点，根据一个零点对应最多4个解，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解； 当时，有4个解；当时，有3个解； 当时，有1个解；因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足，即 ，解得， 有3个解，有3个解，设即，， 则应满足，.综上所述，的取值范围为. 故答案为： 题型四、二次型因式分解型的零点问题（难点） 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选题）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意有，得或，由解得，即有3个不等的实根，作出的函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，所以，所以或， 由有，，解得，即，故A正确； 所以有3个不等的实根， 作出的函数图像： 由图可知：，故B正确；，故C正确；由， ，所以， 由，所以，故D错误， 故选：ABC. 2．（25-26高一上·河南新乡·期中）（多选题）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A． B． C．8 D．16 【答案】CD 【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象， 由，可得. 由图可知，与有且两个不同的交点， 即方程有两个不等的实根， 而方程有三个不等的实根 得到方程有且只有一个实根， 即与有且只有一个交点， 故或，解得或. 故选：CD. 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为 【答案】 【分析】通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解参数范围. 【详解】画出函数的图像如下图所示， 当时，，在处取得最小值， 时单调递减，时单调递增； 当时，，在处取得最大值， 时单调递增，时单调递减. 令，则方程转化为. 要使原方程有个相异的实根，需有两个不同实根， 且每个对应有个解. 由的图像可知，需在内，因此的两根均在内. 设，需满足： ①判别式或； ②对称轴； ③. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 4．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 【答案】或 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， 所以或，如图，画出函数的大致图象，   时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或 1．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 2．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得， 故选：D. 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围. 【详解】原方程可化为， 而的解为或或，若，则或或， 由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解， 当时，，此时有3个实数解，不合题意． 当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然． 当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意． 当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足， 故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时， 注意到，且， 故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意. 故选：B 4．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】B 【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【详解】由得， 在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 记，因此时，， 函数的零点个数，即的正解的个数，即的正解的个数， 即函数与函数的交点个数， 令，它在上是减函数，，，，，当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有三个交点， 所以的零点个数为3. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：利用函数零点的意义，将函数的零点转化为函数的图象交点，并作出图象是求解的关键. 5．（25-26高一上·山东·期中）（多选题）已知函数，，若方程有4个不同的实数根，则实数可能的取值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】BC 【分析】令，问题化为函数与的图象有2个不同的交点，画出函数的图象，数形结合即可得. 【详解】令，则原方程化为， 根据二次函数的性质，时对应有2个值，时对应有1个值，时没有对应值， 由函数的图象（参见如图是一部分，时顺势往右上延申）可知，对于任意的实数,关于的方程至多有2个根，所以要使方程有4个不同的实数根，则关于的方程必须有2个根，即, 同时有2个不同的实数根， 综上，，则函数与有2个不同的交点，如下示意图， 由图可知，即所求a的取值范围是. 故选：BC 6．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）（多选题）已知函数函数，则（   ） A． B． C．若恒成立，则实数的取值范围是 D．若，则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是 【答案】ACD 【分析】AB选项，画出的图象，要想使得，只需考虑，分别求出对应的自变量取值范围，B错误，A正确；C选项，恒成立，由函数图象可知，故，解得；D选项，令，得到或，对应两个解，，对应三个解，即，，故，D正确. 【详解】AB选项，画出的图象，如下： 不妨设，则， 要想使得，只需考虑， 令，解得， 令，解得， 且，故不存在，使得，B错误，A正确； C选项，， 恒成立，即， 恒成立， 由函数图象可知，要想恒成立， 需满足，解得， 则实数的取值范围是，C正确； D选项，若，令， 即，故或， 显然对应两个解，，令得， 对应三个解，即， 且，， 故， 则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是 故选：ACD 【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 7．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）（多选题）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．若函数恰有4个零点，则 B．关于的方程有8个不同的实数解 C．当时，不等式恒成立 D．函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为 【答案】CD 【分析】由题作出函数图象，利用数形结合，对A：将题意转化为与有4个交点，结合图象分析判断；对B：将题意转化为与的交点个数，分析判断；对C：转化为恒成立，即可判断；对D：根据图象结合题意运算求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 依次类推，作出函数的大致图象， 若函数恰有5个零点，即与有5个交点， 此时直线过点，所以，； 同理，若函数恰有3个零点，即与有3个交点， 此时直线过点，所以，， 则函数恰有4个零点时，有，故A错； 由图象规律可知与的交点个数是10，故B错； 由，，，，，， 任意实数，不等式恒成立，等价于恒成立， 由图知函数在的每一个上顶点的纵坐标为 ，且， 即恒成立，故C对； 函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为 ，故D对. 故选：CD． 8．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选题）设函数的定义域为，若对任意，存在唯一的实数满足，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由函数满足的条件，逐个选项验证即可. 【详解】若，定义域为，则， 即， 因为，且单调递增， 所以对任意，存在唯一的实数满足，A正确； 若，定义域为， 则， 即， 当时，，而，无解，不符合，B错误； 若，定义域为，则， 即， 取，得，而，不符合题意，C错误； 若，定义域为，则， 即 而的值域为，的值域为，且单调递增， 所以对任意，存在唯一的实数满足，D正确； 故选：AD 9．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据二次不等式的解法，求出函数值域的范围，根据分段函数性质，对函数值进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】函数在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，，， 有且只有一个整数解可知解集非空，则，因为， 可知当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为； 当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为， 综上．的取值范围为． 10．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数，若方程无实根，则实数的范围为 ． 【答案】 【分析】对于嵌套函数，先讨论不同范围下内函数的根的个数，再研究此时外函数无根的情况，从而得到答案. 【详解】①若无实根， 即，解得, 又， 则， 即方程无实根， ②若有两个相等实根，即, 则， 即方程无实根， ③若有两个不相等实根，即, 当的图像与x轴相切时， 函数的最小值为，若方程无实根，则需最小值大于0，即，解得，结合本情形下的条件，可得， 所以当时，方程无实根， 综上可得：m的范围是， 故答案为：. 11．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意作出函数的图像， 由，令，有， 即，化简得， 解得或，若方程有且仅有5个不同实数根， 所以或，解得或， 即，所以， 故答案为：. 12．（25-26高一上·浙江·期中）已知定义在上的单调函数满足，若方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由单调性求出解析式，转化为与图像有两个交点，数形结合求的取值范围即可. 【详解】由题意设，则， 因为函数，，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，， 所以， 则， 设，则与的图象有2个交点． 因为在单调递增且， 所以当时，，则不会有两个交点； 当时，在单调递增，在单调递减，且，可得， 所以． 故答案为：.    13．（25-26高一上·江苏南京·期中）定义在上的函数满足,且当时，.若关于的方程至多有三个不同的解，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】该题要通过数形结合来解决，通过观察函数解析式和画函数图象来发现规律，如注意到二次函数过定点,并在图象上发现该二次函数与至少有两个交点，再去研究什么情况下至多再有一交点，即可得出结论. 【详解】 设, 因为, 根据零点存在定理，存在,使得 同理，, 根据零点存在定理，存在,使得. 因此，要使与至多有三个交点，结合图象可知，当时,与的函数图象应相切或没有公共点， 即在上恒成立. 当时，则 恒成立, 因为,因此可参变分离得恒成立,下求的最大值. 因为, 考虑的情况即可.令,则 当且仅当时，取到等号. 因此， 故答案为：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $