专题15 直线与圆锥曲线综合考查题型全归纳（压轴题7大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15直线与圆锥曲线综合考查题型全归纳 目录(Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 典例详解 类型一、中点弦 … 类型二、弦长 5 类型三、面积 12 类型四、定点问题 21 类型五、定值问题… 30 类型六、定直线问题. 40 类型七、圆锥曲线与向量 48 压轴专练 60 典例详解 方类型一、中点弦 点差法在圆锥曲线中的结论 b2 =e2-1台焦点在x轴 (1)椭圆：kB上=kB·ko 1 e2-1 台焦点在y轴 =c-1e焦点在轴 b2 (2)双曲线：k4 ..yo=kakov= a2 1 一焦点在y轴 e2-1 1/108 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 kB=卫台开口向右 yo k=-卫台开口向左 (3)抛物线： yo 飞B=点分开口向上 2 =- 台开口向下 p 1.(25-26高二上浙江·期中)已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为F(3,0),过F的直线1与椭圆C交 于A、B两点若AB的中点为(1，-1)，则椭圆C的方程为() A. 2,y2 4+i51 B. x2.y2 1891 C.2 2 5+6 =1 D. 2 y2 2+3=1 【答案】B 【分析】结合点差法化简即可求解 【详解】设国C的方程为+若=a>0>0,小，W.叫，小 则x+x2=2,y1+y2=-2, 由直线过F(3,0)与AB的中点(1，-)，则=1-0=， 1-32 由导+茶1，手+答-1相减符各+任-，+0， a2 b2 a2 b2 即+=0 +a=0→a=26, 2+1 又c=3,a2-b2=9,解得a2=18,b2=9, 故椭圆C的方程为云+上=1 189 故选：B 2.(24-25高二上甘肃酒泉期未)已知椭圆上+ 9+4 =1与直线1交于A,B两点，若点P(-1,)为线段AB的中 点，则直线的方程是() A.9x+4y+5=0 B.9x-4y+13=0 C.4x+9y-5=0 D.4x-9y-13=0 2/108 函学科风网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】设点A(x,y),B(x2,y2),利用题设条件得出x+x2=-2,+y2=2,利用点差法得到 4(y1+y2)y-y2)+9(x+x2)(x1-x2)=0,代入结论整理得直线1的斜率，即可求出直线1的方程 【详解】设点A(x,y),B(x2,y2),因点P(-1,1)为线段AB的中点，则x+x2=-2,y,+2=2,(*) 又A0x,B0,)在椭圆上+=1（即4y'+9r2=36)上，则4+9x=36①，4+9x=36②， 94 由0-②，可得4(0y+》20y-y2)+9(x1+x2)x1-x2)=0, 将《代入化简得0)=96，即名子-子可知直线的斜率为 故直线1的方程为：y-1=9x+),即9x-4y+13=0 4 故选：B 32425货上山西太螺期未)已直线2x-3y-1=0与双曲线C:号若-口>06>0相交于4、8 两个不同点，点D(2,1是AB的中点，则双曲线C的离心率为() 4 A.2 B.2 C. D.25 3 【答案】D 【分析】利用点差法可求 a,结合e 63 可得出双曲线C的离心率的值 a 【详解】设点A(,小、B(,,由题意可得k6=上-业-名 因为点D(2,1)是AB的中点，则 x+x3=4 乃+2=2'1 b2 因为 ,这两个等式作差可得-龙-广-及， a2 =1 b2 所以， b2-2-2-+丛2.y--2.2_1 a= -发x+6x-x433' 33 故选：D, 4.(25-26高二上河北保定期中)若双曲线C:上_ =1的焦距为4，直线I与C交于A,B两点，且线段 3/108 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB的中点为N(2,1),则直线I的斜率为() A.2 3 B. C.1 D. 5 3 【答案】A 【分析】先根据双曲线的焦距求出m,然后设Ax,少)，B(x2,y),将其代入双曲线方程得到等式，根据中 点坐标进而可求出直线的斜率 【详解】由双曲线C的焦距为4，得2√m+2=4,解得m=2 设Ax,),B(x2,y2),则 店-片=2则5-川+)=为川男+， x2-y=-2 因为点N(2,1)是线段AB的中点， x1+x2=2×2=4,y+y2=2×1=2,所以2(x1-x2)=(y-y2), 所以k=乃二业=2 x1-x2 故选：A 5.己知抛物线C:y2=2px(p>0),过C的焦点F且倾斜角为 的直线交C于A,B两点，线段AB的中点 4 为1Fw卡3，则P=（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】设W(xoy),A(x,),B(x2,2),代入抛物线方程两式相减可得+y2)k4B=2p,进而求得 6’3 由FwF求得P值 【详解】设V (xo:yo,Ax,,B(x2,y2), =2px两式相减，可得(y+y-小=2p(- 则 y=2px, 所以(y+)片-业=2p,即(y+k0=2p, X1-x2 所以25，=2p,所以%=52 3 代入直线y5-号》， 4/108 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以W 5p 3p 6’3 所以FW= 5p.2+p.224, 解得p=2 62J 33 故选：B 6.已知抛物线C:y2=6x,过点P(1,1的直线1与抛物线C交于A,B两点若PA=PB,则直线1的斜率是() A.3 B.-3 D. 【答案】A 【分析】抛物线的中点弦，运用点差法即可解决 【详解】设Ax,,B(x2,y2, 所以 =6x整理得 =6x 片-=6(x- 因为PA=PB, 所以P是线段AB的中点， 所以y+y2=2, 所以2(-)=6x-x,即4业=3， X1-X2 所以直线1的斜率是3 故选：A 类型二、弦长 ABF《x,-x)2+(y,-y2)2 4B(1+k2)-x2)2 =v1+k2-x2 V1+k2)[(x,+x2)2-4xx2】 (最常用公式，使用频率最高) 5/108 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1+ 2V0%+P-4yy 1.(25-26高二上河北沧州·期中)已知抛物线C:x2=4y,过点P(1,0)作直线1 (1)若直线1与抛物线C只有一个公共点，求直线1的方程； (2)若直线I过点(0，)，且交抛物线C于A、B两点，求线段AB的长 【答案】(1)x=1或y=0或y=x-1 (2)8 【分析】(1)对直线1的斜率是否存在进行分类讨论，在直线I的斜率不存在时，直接验证即可；在直线1的 斜率存在时，设直线的方程为y=k(x-),将该直线方程与抛物线方程联立，由△=0求出k的值，综合可 得出直线I的方程； (2)设Ax,y)、B(x2,y2，将直线1的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长 公式可求得AB的值 【详解】(1)若直线1的斜率不存在，则1的方程为x=1,与抛物线C只有一个公共点，符合题意； 若直线1的斜率存在，设1的方程为y=k(x-), 联立 y=kx-消去y得x2-4+4k=0 1x2=4y 因为直线1与抛物线C只有一个公共点， 所以△=16k2-16k=0,解得k=0或k=1, 此时直线l的方程为y=0或y=x-1. 综上，直线1的方程为x=1或y=0或y=x-1. (2)因为直线1过点P(1,0),又过点(0,1)，所以直线1的方程为y=-x+1, 设、8，为小，联立化消去海广-6+1=0，则5+=6. 因为点(0,1为抛物线C的焦点，故AB=,+y2+2=8, 即线段AB的长为8. 6/108 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26高二上江苏常州期中)在平面直角坐标系x0y中，己知点M-2,0),点N(2,0),动点P(x,y)满 足：直线PM与直线PN的斜率之积是4 (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)直线1与(1)中轨迹C相交于A,B两点，且Q(1,1为AB的中点，求弦长AB 【管10号+ =1(x≠士2) )5105 21 【分析】(1)借助斜率公式计算后化简即可得： (2)设出直线方程及两交点坐标，联立直线方程与曲线方程，消去y可得与两交点横坐标有关韦达定理， 再借助点Q为AB中点，代入计算后结合弦长公式即可得 【详解】1)依题意，kwkw=y0y-0=-3 x十2x-24x≠2，化简得之+=.(x≠2 43 故动点P的轨迹C的方程为？+)=1x≠士2)： 43 (2)若直线I斜率不存在，则AB中点纵坐标为O,不合题意； 故直线I斜率存在，设：y=kc+t,A(,y)、B(x2,y2, y=kx+t 联立x2,y2 3=1’消去y，有4k2+3)x2+8kx+42-12 △=64k212-44k2+3(412-12=483-t2+4k2）>0, 即P<3+42,+2三4+3，志 412-12 4k2+3 由Q,1为B的中点，则+五=42=1，化简得4物=4状+3， 2 4k2+3 则-4川=4+3，整理得-43 7/108 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7)2 则=1-=1+经-子故写5=2， -12 27 则*4-4 80_5v105 Q ⊙ 2 3（②5-26商二上山东济商期中〉已加双自发号号-a>06>0)的右焦点为5B0,新近找方程为 y=t√2x (1)求双曲线的标准方程； (2)过F的直线I交双曲线于A,B两点，且|AB=4V3,求1的方程 【答案】0①-上-1 36 (2)x=±√2y+3或x=3 【分析】(1)根据题意，建立a,b,c得方程求出a2,b2,得解： (2)当直线l的斜率为0时，显然不合题意；当直线1的斜率不为0时，设直线1的方程为x=my+3,与双 曲线方程联立可得根与系数关系，利用弦长公式求出AB,进而求得m,得解 【详解】(1)因为双曲线的渐近线方程为y=±V2x,所以2=√2，即b=2a 又点F(3,0)是双曲线的右焦点，所以c=3, 得b2+a2=9,所以b2=6,a2=3, 所以双曲线的方程为￡上 =1 36 (2)当直线1的斜率为0时，显然有|AB=2V3≠4V3,不合题意，舍去； 8/108 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当直线I的斜率不为0时，设直线1的方程为x=y+3, x2 y2 =1 联立直线与双曲线方程 36,消x得2m2-1)y2+12my+12=0, x=my+3 2m2-1≠0 设A(x,),B(x2y2,则 △=48m2+1>0' 12m 12 y1+y2=- 2m2-'y42m2-1 所以=+m.45m1-45,即1+m=2m-, 2m2-1 解得m2=2或0，即m=±√2或0， 所以1的方程为x=±V2y+3或x=3 F. B 4.2526底上江丙景德能期中)已为图E:号+云=川口>6>0的底心率为5。布焦点与短轴两个 2 顶点所连成三角形的面积为√5. (1)求椭圆E的方程； (②)直线y=x+m与椭圆E有两个交点A,B,求m的取值范围，并求弦长AB最大值 【案】0号y=1 ②-5<m<5,4i@ 5 【分析】(1)借助离心率及椭圆性质计算即可得； (2)联立曲线方程与直线方程，消去y后可得与交点横坐标有关的一元二次方程，借助根的判别式计算可 得m的范围，利用韦达定理及弦长公式计算即可得弦长最大值 9/108 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 e=- a 2 a=2 【详解】(1)由题意可得 √3=x2b×c=bc,解得b=1 a2=b2+c2 c=5 则椭圆E的方程为+y=1; 4 (2)设Ax,),Bx2,y2) 联立 +=1 ,消去y,可得5x2+8mx+4m2-4=0, y=x+m 由直线y=x+m与椭圆E有两个交点，则△=(8m)-4×54m2-4>0, 化简得80-16m2>0,解得-√5<m<√5； 5,=4m24 则x+x=-8m 5 AB=Vx-x)+y-2)2=Vx-3)'+(x+m-x2-m)月 =2x-x=2x+x2-4x 44 64m2-4×54m2-4 5 25 580-16m.4W5.5-m, 5 由-5<m<√5，则当m=0时，AB有最大值， 且a8-4y5.5-4i0 5 5 5.(25-26高二上湖南期中)已知0为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(p,)在 抛物线C上，且FM=3. 10/108 专题15 直线与圆锥曲线综合考查题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、中点弦 1 类型二、弦长 3 类型三、面积 4 类型四、定点问题 6 类型五、定值问题 8 类型六、定直线问题 10 类型七、圆锥曲线与向量 11 压轴专练 13 类型一、中点弦 点差法在圆锥曲线中的结论 （1）椭圆： （2）双曲线： （3）抛物线： 1．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 5．已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点.若，则直线的斜率是（    ） A．3 B． C． D． 类型二、弦长 （最常用公式，使用频率最高） 1．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知抛物线，过点作直线. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； (2)若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于两点，且为的中点，求弦长. 3．（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 4．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点与短轴两个顶点所连成三角形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆E有两个交点，，求的取值范围，并求弦长最大值. 5．（25-26高二上·湖南·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 类型三、面积 三角形的面积问题 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，= 2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 1．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过右焦点F且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积. 2．（24-25高二下·河南·月考）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 3．（2025高二上·江苏南通·专题练习）已知椭圆的焦距与椭圆的焦距相等，且经过点 (1)求的方程； (2)若直线与相交于、两点，且、关于直线对称，为的对称中心，且的面积为，求的值． 4．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 5．（24-25高二上·广东深圳·月考）圆锥曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线.定直线称为准线，比值称为离心率，称为焦半径.如图，为曲线的左、右焦点，该曲线离心率，准线.动点在曲线的右支上.设的平分线与轴、轴分别交于点. (1)求曲线的标准方程； (2)求的取值范围； (3)设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的最大值. 类型四、定点问题 圆锥曲线的定点问题 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 1．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：以为直径的圆过定点． 5．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 6．在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程 (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上． 类型五、定值问题 圆锥曲线的定值问题 1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 2、直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 1．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为.是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二上·广西河池·月考）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 5．在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 6．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)点为双曲线的左右顶点，为双曲线上异于的点，求的值； (3)点在双曲线上，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值. 类型六、定直线问题 定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线． 1．已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求证； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 2．设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8． (1)求抛物线的方程； (2)过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上． 3．已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时， (1)求E的标准方程： (2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上． 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知点F为椭圆的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆于点.过点P作椭圆的切线，交x轴于点Q. (1)求椭圆的方程； (2)求点Q的坐标； (3)过点Q的直线交椭圆于A，B两点，过点A作x轴的垂线与直线交于点D，求证：线段的中点在定直线上. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 类型七、圆锥曲线与向量 三点共线问题的解题策略 （1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等来证明三点共线； （2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线； （3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线； （4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第三点也在该直线上； （5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线； （6）面积法：通过计算求出以三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”。 1．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点． (1)若的顶点都在抛物线上，且的重心恰是抛物线的焦点，求直线的方程； (2)设斜率为的直线过点，且与抛物线交于不同的两点，若，求斜率的值． 2．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点到直线l的距离取最大值时， . (1)求椭圆C的标准方程; (2)若，求的面积. 3．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点，点F为椭圆E的右焦点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点作直线l交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点． ①若，求直线l的斜率； ②若过点A作直线的垂线，垂足为Q，点N为线段的中点，求证：B，Q，N三点共线． 4．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 5．已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，. (1)求椭圆的方程； (2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程； (3)设，，求的取值范围. 6．（24-25高二下·湖北·期末）已知双曲线的离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点（均不与点重合）.求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； (3)在（2）的条件下，若直线分别与两渐近线交于两点，问是否存在实数使得是线段的两个三等分点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 1．（25-26高二上·新疆喀什·月考）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 2．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，求证： (1)线段AB的中点在一条定直线上 (2)为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率） 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线与抛物线交于，两点（，均异于坐标原点），且满足． (1)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程． 4．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 5．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点. (1)当直线的倾斜角为时，求； (2)设为坐标原点，直线，分别与直线交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 6．（25-26高二上·江西上饶·期中）已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 8．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左顶点作直线与椭圆的另一个交点为，若点是线段AB垂直平分线上一点，且满足，求实数的值. 9．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，且经过点，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过且与双曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的面积. 10．已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. 11．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 12．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 13．阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线. 14．（25-26高二上·河北保定·期中）已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． (1)若点在上，求的渐近线方程． (2)当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 15．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 16．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． (1)求的方程； (2)当时，求的方程； (3)设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17．（25-26高二上·浙江丽水·期中）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 18．已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. (1)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (2)当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 19．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为.    (1)当点坐标为时，求直线的方程； (2)求四边形面积S的取值范围 (3)记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过定点. 20．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的焦距为，，为的左、右焦点，为上一动点，的面积最大为． (1)求的标准方程； (2)过点作斜率为1的直线，直线与交于点，，求的面积； (3)过点作斜率之和为2的两条直线，，与交于点，，与交于点，，线段，的中点分别为，，试问：直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由． 21．（25-26高二上·江苏连云港·期中）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 22．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知平面直角坐标系中，动点分别与两定点连线的斜率之积为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知点，，且点为轨迹在第一象限的点，点关于原点的对称点为． （i）设点到直线的距离分别为，求的取值范围： （ii）设轨迹在处的切线为，射线交于点．求证：． 23．（25-26高二上·湖北武汉·月考）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 24．已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 25．（2025高二上·全国·专题练习）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 26．（23-24高二上·湖北·期中）已知点在双曲线上． (1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明：点恒在一条定直线上． 27．（24-25高二下·浙江·月考）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，记线段的中点的轨迹为曲线．过作直线与曲线交于另一点． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若P在第一象限，且直线的斜率为1，的面积为，求此时的坐标； (3)若，，直线与曲线的另一个交点分别为，直线交于点．问：点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $