专题07 抛物线的定义、方程与几何性质十一种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题07 抛物线的定义、方程与几何性质十种常考题型 题型一：抛物线的定义及标准方程 题型二：轨迹问题——抛物线 题型三：抛物线的几何性质及应用 题型四：抛物线上的点到定点的距离及最值 题型五：抛物线中距离的和、差最值问题 题型六：抛物线的对称性及其应用 题型七：抛物线的焦半径问题 题型八：抛物线中的三角形（四边形）周长、面积问题 题型九：抛物线的焦点弦问题 题型十：抛物线的实际应用问题 题型一：抛物线的定义及标准方程 1.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（  ） A．18 B．9 C．4 D．2 3.若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 4.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（  ） A． B． C． D． 5.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 6.已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为 ． 7.已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 8.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则__________ 题型二：轨迹问题——抛物线 9.已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 10.已知动点满足，则动点的轨迹是（  ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 11.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 12.与圆及圆都内切的圆的圆心在（  ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 13.已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 题型三：抛物线的几何性质及应用 14.点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 15.已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（  ） A． B． C． D． 16.（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（  ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 17.已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为___________ 18.若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 19.已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 题型四：抛物线上的点到定点的距离及最值 20.已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为（  ） A．8 B． C．9 D．3 21.设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 22.已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 . 23.已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为_____________ 24.已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ． 题型五：抛物线中距离的和、差最值问题 25.已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（  ） A．4 B．6 C．7 D．8 26.已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 27.已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 28.(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（  ） A．平分 B． C．直线，直线与抛物线的准线相交于同一点 D．点是轴上一动点，当最小时，点的坐标为 29.已知是抛物线上一点，则的最小值为 ．   30.已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为______________ 31.已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 32.已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为__________ 33.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是___________ 题型六：抛物线的对称性及其应用 34.若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（  ） A． B． C． D． 35.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（  ） A．2 B． C．4 D． 36.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为____________ 37.已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 38.已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 题型七：抛物线的焦半径问题 39.已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（  ） A． B．1 C． D．2 40.已知点在曲线上，，其中点的坐标为，则（  ） A．2 B． C． D．3 41.设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 42.知抛物线：（）的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，，点在上，则（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 43.已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（  ） A．3 B．6 C．9 D．36 44.(多选)已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（  ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 45.(多选)已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（  ） A．满足的点恰有两个 B．满足面积为的点恰有三个 C．的最小值为3 D．的最小值为 题型八：抛物线的焦点弦问题 46.（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（  ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 47.(多选)已知为平面直角坐标系的原点，抛物线的焦点到准线距离为2，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则（  ） A．当与轴垂直时， B．是钝角 C．设点的横坐标为，点的横坐标为，则 D．延长与准线交于，则 48.(多选)已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（  ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 49.(多选)已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（  ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 题型九：抛物线中的三角形（四边形）周长、面积问题 50.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（  ） A．1 B． C．2 D． 51.设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（  ） A． B． C． D． 52.已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（  ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 53.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 54.已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为,若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，则的面积为_______________. 55.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 题型十：抛物线的实际应用问题 56.如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（  ） A． B． C． D． 57.如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（  ） A． B． C． D． 58.世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（  ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 59.如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（  ）    A．50m B． C．55m D． 60.已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线的定义、方程与几何性质十种常考题型 题型一：抛物线的定义及标准方程 题型二：轨迹问题——抛物线 题型三：抛物线的几何性质及应用 题型四：抛物线上的点到定点的距离及最值 题型五：抛物线中距离的和、差最值问题 题型六：抛物线的对称性及其应用 题型七：抛物线的焦半径问题 题型八：抛物线中的三角形（四边形）周长、面积问题 题型九：抛物线的焦点弦问题 题型十：抛物线的实际应用问题 题型一：抛物线的定义及标准方程 1.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解析】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 2.已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（  ） A．18 B．9 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案. 【解析】由抛物线定义得， 又，解得． 故选：D 3.若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【解析】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 4.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可. 【解析】由题可知：焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为， 所以或， 则. 故选：D 5.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【解析】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 6.已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为 ． 【答案】4 【分析】由条件结合抛物线定义即可求解. 【解析】抛物线的焦点，准线为， 由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6，      则， 代入横坐标可得，即， 所以的中点坐标为或， ， 所以以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程为或， 圆心到轴距离为，所以与截得的弦长为， 故答案为：4. 7.已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 【答案】2 【分析】根据条件推得，利用抛物线的定义可得点在准线上，求得点的横坐标，再利用对称性即得答案. 【解析】 如图，因为， 所以，故 于是点在准线上， 由，关于轴对称，得. 故答案为：2. 8.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则__________ 【答案】 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【解析】 如图所示，设，由，， 由可知准线方程为， 根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以， 故答案为：． 题型二：轨迹问题——抛物线 9.已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【解析】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D. 10.已知动点满足，则动点的轨迹是（  ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】先对原方程合理变形，再结合抛物线的定义求解轨迹类型即可. 【解析】因为， 所以， 由两点间距离公式得方程左侧为点到点的距离， 由点到直线的距离公式得方程右侧为到直线的距离， 可得到点的距离和到直线的距离相等， 而且点不在直线上，结合抛物线定义得到点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选：D 11.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以，其方程为， 故选：A. 12.与圆及圆都内切的圆的圆心在（  ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【答案】B 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求圆的圆心为，半径为，如图所示， ，， 所以，且， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的双曲线的左支． 故选：B. 13.已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【答案】 或 【分析】利用抛物线轨迹方程的概念求解. 【解析】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 题型三：抛物线的几何性质及应用 14.点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【解析】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 15.已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为， 将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的方程为，标准方程为， 则，所以，，故抛物线的准线方程为. 故选：C. 16.（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（  ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论 【解析】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 17.已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为___________ 【答案】 【分析】设出双曲线方程（引入参数），将抛物线准线方程代入可表示出，由此即可列方程求解参数，进而得解. 【解析】由题意，设等轴双曲线C的方程为：，而抛物线的准线的准线为， 将代入得，，由题意， 所以，解得，所以C的实轴长为. 故答案为： 18.若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 【答案】 【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义得到关于的方程，求解即可. 【解析】由得，所以准线方程为， 因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2， 即，解得， 故答案为：. 19.已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据中线关系可得与垂直，即可得，进而可得，代入抛物线方程即可求解. 【解析】因为O为中点，轴平行于准线，所以为的中点， 因为，所以与垂直，因为，所以， 所以，故，代入可得， 化简得， 由于，所以，（舍去）， 故答案为：2 题型四：抛物线上的点到定点的距离及最值 20.已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为（  ） A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【解析】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 21.设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【解析】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 22.已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 . 【答案】/0.0625 【分析】根据点在抛物线上求出抛物线的标准方程，利用抛物线的定义及性质求出结果. 【解析】因为点在抛物线上，所以，故抛物线的标准方程为， 由抛物线的定义知，抛物线上的点到其焦点的距离等于到其准线的距离， 因为抛物线准线方程为,所以抛物线上点到焦点距离等于, 因为,所以， 故抛物线上的点到其焦点距离的最小值为. 故答案为： 23.已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为_____________ 【答案】 【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得， ，然后整理换元转化为二次函数求最值. 【解析】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点， 该抛物线的准线方程为，设， 由抛物线的定义得，要使最小，则需最大， 如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1， ，且， 所以，令，则， 所以，由， 而， 得，取得最小值，则的最小值为． 故答案为：． 24.已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案. 【解析】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号.则的最大值为. 故答案为：. 题型五：抛物线中距离的和、差最值问题 25.已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（  ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值. 【解析】方法一：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小2， ，化简得， 即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线． 方法二：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小 动点到点的距离等于到直线的距离， 点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 即抛物线方程为． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得， 则，当三点共线时， 取得最小值，最小值为． 故选：C． 26.已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【解析】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A. 27.已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【解析】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 28.(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（  ） A．平分 B． C．直线，直线与抛物线的准线相交于同一点 D．点是轴上一动点，当最小时，点的坐标为 【答案】ACD 【分析】由抛物线的光学性质得轴，直线过点轴，结合点坐标可求出点的坐标，对于A，求出，再结合抛物线的光学性质分析判断，对于B，根据的坐标求解判断，对于C，分别求出直线，直线与抛物线的准线的交点判断，对于D，求出点关于轴的对称点，则，当直线与轴的并点为时，最小，从而可求出点的坐标. 【解析】如图，由抛物线，得其焦点为，准线方程为. 由抛物线的光学性质得轴，直线过点轴. 因为，所以，即，代入，得，则， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即. 由，解得，或，所以. 对于A，，故，所以. 又因为轴，轴，所以，故， 所以，即平分，故A正确. 对于B，因为，所以，故B错误. 对于C，因为，所以直线的方程为，由得直线与抛物线的准线的交点为， 又轴，，所以直线与抛物线的准线的交点为，即点， 则直线，直线与抛物线的准线相交于同一点，故C正确. 对于D，点关于轴的对称点为，所以， 当最小时，点在直线上， 因为，所以直线为，即， 当时，，所以点的坐标为.故D正确. 故选：ACD. 29.已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：．    30.已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为______________ 【答案】3 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【解析】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故答案为：3 31.已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 【答案】6 【分析】分析抛物线的焦点和准线，确定点为焦点，利用抛物线定义，将转化为到准线的距离，分析的最小值，结合的定值，得到周长的最小值表达式，即可得解. 【解析】根据题意，则，所以抛物线的焦点坐标为，即定点，准线为，如图所示. 故的周长为，其中为定值，又根据抛物线的定义， 所以当三点共线时取得最小值， 此时，解得. 故答案为：6. 32.已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为__________ 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案. 【解析】抛物线的焦点为，准线方程是． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接． 因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 当时，取最小值，即，所以的最小值为1． 故答案为：1． 33.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是___________ 【答案】3 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【解析】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故答案为：3. 题型六：抛物线的对称性及其应用 34.若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线关于x轴对称求解即可 【解析】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上. 故选：B. 35.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【解析】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 36.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为____________ 【答案】 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解析】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故答案为：. 37.已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，不妨设在坐标原点，则关于轴对称，可求得的坐标，进而计算可求得. 【解析】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 则不妨设在坐标原点，则关于轴对称， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 38.已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 【答案】/ 【分析】设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可. 【解析】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. 题型七：抛物线的焦半径问题 39.已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】过作垂直于的准线，垂足为，过作轴，垂足为D.通过，得到，进而求得，即可求解. 【解析】如图， 过作垂直于的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，，,所以， 所以. 设，则.所以. 因为轴，所以，过作轴，垂足为. 因为，又， 解得：，， 又， 所以.所以，解得. 故选：B. 40.已知点在曲线上，，其中点的坐标为，则（  ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意可知为抛物线的焦点，再由焦半径等于，列等式即可得到的值，进而确定曲线方程，再讲点的横坐标代入，即可得到纵坐标的绝对值. 【解析】因为，所以为抛物线的焦点，且，则，得， 则抛物线方程为.点在曲线上，所以，则. 故选：C. 41.设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 42.知抛物线：（）的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，，点在上，则（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由已知先求出点的坐标，由即可求得，利用抛物线的定义即可求解. 【解析】由题意有：当时，，所以， 所以，解得，又因为，所以. 故选：B. 43.已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（  ） A．3 B．6 C．9 D．36 【答案】C 【分析】首先根据中点求出点的横坐标的关系，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可将的表达式写出来，最后根据基本不等式的性质可求出 最大值. 【解析】因为点在抛物线上， 所以设，可得，， 因为线段的中点到轴的距离为2， 所以. 因为焦点，准线方程为，所以 由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得 ，所以 因为的横坐标均大于0，所以， 所以的最大值为4. 所以当时，即时，取最大值为9. 故选：C. 44.(多选)已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（  ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】根据的最小值即为，求得p，判断A；利用抛物线的焦半径公式可判断B；根据求出的纵坐标，结合焦半径公式判断C；判断P点位置，利用的几何意义，几何作图分析，可求得其最小值，判断D. 【解析】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1， 则有，解得，A正确； 抛物线的方程为，焦点，准线，设，， 对于B，点，由抛物线的定义知，， 有，所以M到x轴距离，B不正确； 对于C，，， 由得：，即， 又，即，则，解得，， 于是得，C正确； 对于D，抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方， 过点P作于，交抛物线于点Q，连接， 过A作于，连AF，AP，，如图， 显然， 当且仅当点A与Q重合时取等号， 所以，D正确． 故选：ACD. 45.(多选)已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（  ） A．满足的点恰有两个 B．满足面积为的点恰有三个 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于选项A：依据线段垂直平分线上的性质得到的点在AF垂直平分线上，得到满足条件的只有一个. 对于选项B：由三角形面积公式得出.结合图形特点，判断有三个这样的点. 对于选项C：根据三角形两边之和大于第三边，.算出，得到最小值判断. 对于选项D：过作轴平行线，利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，.算出，得到最小值判断. 【解析】满足的点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与仅有一个交点，故A错误； 设到直线的距离为，，则，所以在直线或轴上，这样的点有三个，故B正确； 如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，故C正确； 如图2，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值，故D正确． 故选：BCD． 题型八：抛物线的焦点弦问题 46.（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（  ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【解析】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 47.(多选)已知为平面直角坐标系的原点，抛物线的焦点到准线距离为2，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则（  ） A．当与轴垂直时， B．是钝角 C．设点的横坐标为，点的横坐标为，则 D．延长与准线交于，则 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的定义可得方程可判断A，利用韦达定理可判断C，结合数量积小于0可判断B，利用求直线与准线的交点坐标可判断D． 【解析】由抛物线的焦点到准线距离为2可得：， 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，当与轴垂直时， 由焦点坐标为，把代入抛物线方程得， 此时，所以，故A错误； 当斜率存在时，设过抛物线的焦点的直线方程为，与抛物线， 联立消得：， 又设交点，则，当直线斜率不存在时，， 而，故C正确， 再由， 又因为点不在直线上，所以是钝角，故B正确； 由直线方程为：，与准线的交点纵坐标为：， 又因为，所以纵坐标为：， 又因为，所以纵坐标为：， 即,故D正确； 故选：BCD. 48.(多选)已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（  ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【答案】ACD 【分析】对于A，联立直线方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理即可判断；对于B，由抛物线的性质即可判断；对于C，结合内错角相等即可得证；对于D，设直线OB与准线l交于，只需说明重合即可. 【解析】抛物线的焦点，准线，点，设， 对于A，直线，由， 消去y得，所以，所以，故A正确： 对于B，，线段BD中点横坐标， 弦BD中点到准线的距离为，因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误； 对于C，由，得，同理， 则，故C正确． 对于D，设直线，联立，得，则， 直线，直线OB与准线l交于， 联立，解得， 又，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线．故D正确． 故选：ACD 49.(多选)已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（  ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对A，由抛物线的定义，可得，得；对B，证明，可得，得解；对C，在中，可证结合抛物线定义得，得解；对D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，由抛物线定义结合相似三角形可得，进而求出得范围，得解. 【解析】如图，作于点于点．    对于A，由抛物线的定义得，，所以， 所以是以为斜边的直角三角形，即，故A正确； 对于B，由，，得，所以， 因为，所以，又， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C，在中，由，可知，所以， 所以，所以，故C错误； 对于D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，， 则，则，由，可得， 所以，因为是关于的减函数， 又，所以，所以， 又．所以的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 题型九：抛物线中的三角形（四边形）周长、面积问题 50.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义得出的坐标，即可求出面积. 【解析】根据题意，可知， 因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故， 所以的面积为， 故选：B. 51.设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，由此即可得解. 【解析】 如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 则，， 抛物线的焦点， 直线过定点， 因为，， 所以， 所以. 故选：B. 52.已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（  ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 【答案】AC 【分析】将直线方程与抛物线方程联立，根据直线方程的点斜式，求出直线、的方程，利用弦长公式求出、，可判断A；根据抛物线定义可表示、，利用根于系数的关系求出求出值，可判断B；利用向量的数量积，利用根与系数的关系求,可判断C；四边形 面积利用基本不等式可判断D. 【解析】设 ，，的方程为， 由 可得， 则  ， 所以， 同理可得， 则有，所以A正确； 若，由， 得， 即， 解得 ，故B错误； 与 无关，同理, 故，故C正确； 因为，所以四边形 的面积 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故D错误． 故选：AC. 53.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可. 【解析】由抛物线的光学性质知，直线与轴的交点为抛物线的焦点， 的焦点为，故与轴的交点横坐标为， 根据题意，画出草图，如下图所示， 令得，解得，又过焦点， 所以方程为：， 即，联立， 得，解得或，所以 ∴的边上的高为， 又， 所以， 故答案为：. 54.已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为,若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，则的面积为_______________. 【答案】. 【分析】根据抛物线求出，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可. 【解析】抛物线：的焦点关于其准线的对称点为， 于是，解得：， 所以抛物线的方程为. ，直线的方程为，设，， 由消去x得：，则， 所以的面积. 故答案为： 55.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【解析】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积 题型十：抛物线的实际应用问题 56.如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 57.如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 58.世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（  ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 59.如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（  ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【解析】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 60.已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1);(2)能;(3)3 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【解析】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $