专题09 一元函数的导数及其应用（12大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第二册

专题09 一元函数的导数及其应用（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【知识清单2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【知识清单3 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【知识清单4 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 4．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【知识清单5 函数的极值】 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识清单6 函数的最值】 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【知识清单7 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【知识清单8 导数中的不等式问题】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识清单9 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【知识清单10 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 题型1 变化率问题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 4．（24-25高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 题型2 导数的概念 6．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 7．（24-25高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 8．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 10．（24-25高二上·河南安阳·期末）若，则 . 题型3 导数的运算 11．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则 ． 15．（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数． (1)； (2)． 题型4 曲线的切线问题 16．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 18．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数及点． (1)若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程； (2)若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值． 题型5 函数的单调性问题 21．（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 25．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 题型6 函数的极值问题 26．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 29．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 30．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 题型7 函数的最值问题 31．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数（且）存在最小值，当变化时，有（   ） A．最大值 B．最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．以上说法都不正确 34．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 35．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 题型8 利用导数研究函数零点（方程根） 36．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·山西吕梁·期末）函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（24-25高二上·云南昆明·期末）有两个零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 40．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线. (1)求在处的切线方程. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 41．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 42．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 44．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 45．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求的最大值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 参考数据：． 题型10 利用导数证明不等式 46．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； (2)证明：． 47．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个极值点，证明：． 48．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式：. 49．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数，. (1)若，求证：； (2)若方程有2个不同的解，求实数的取值范围. 50．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 题型11 导数在实际问题中的应用 51．（24-25高二上·湖北十堰·期末）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（    ） A．80 B．90 C．100 D．110 52．（24-25高二上·湖南常德·期末）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·山西·期末）已知某商品成本与销量的函数关系式为，单价与销量的函数关系式为，则当利润最大时， . 54．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 55．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 题型12 导数新定义 56．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高三上·湖南·月考）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高三上·山东滨州·期末）设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 60．（24-25高二下·全国·月考）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元函数的导数及其应用（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【知识清单2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【知识清单3 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【知识清单4 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 4．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【知识清单5 函数的极值】 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识清单6 函数的最值】 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【知识清单7 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【知识清单8 导数中的不等式问题】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识清单9 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【知识清单10 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 题型1 变化率问题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】由平均变化率计算公式求解． 【解答过程】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 2．（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【解答过程】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 【答案】80 【解题思路】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度. 【解答过程】因为. 所以该物体时，物体的瞬时速度为. 故答案为：80. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据的含义即可求解， （2）根据平均变化率的计算公式即可求解， （3）根据瞬时变化率的定义，利用极限即可求解.. 【解答过程】（1）表示航天飞机未发射时的高度，表示航天飞机发射后的高度． （2），即第内高度的平均变化率为． （3）， 即第末高度的瞬时变化率为． 它说明在第末附近，航天飞机的高度大约以的速度增加． 题型2 导数的概念 6．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解答过程】因为，即， 即，则. 故选：A. 7．（24-25高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【解题思路】由导数的定义可得； 【解答过程】. 故选：C. 8．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【解答过程】，所以， 故选：C. 9．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 【答案】 【解题思路】由解析式求出，代入即可求. 【解答过程】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高二上·河南安阳·期末）若，则 . 【答案】 【解题思路】根据导数的定义求值. 【解答过程】由题意：， 所以. 故答案为：. 题型3 导数的运算 11．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【解答过程】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C. 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可． 【解答过程】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选：D 13．（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【解答过程】由，即，即， 所以是常数， 当时，，所以， 当时，，得. 故选：D. 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则 ． 【答案】2 【解题思路】先根据导数的运算求，再把代入求值. 【解答过程】因为，所以. 故答案为：2. 15．（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】利用导数的运算法则及复合函数求导求解. 【解答过程】（1） ； （2） . 题型4 曲线的切线问题 16．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜率式，即可求解. 【解答过程】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】求，利用导数的几何意义可求的值. 【解答过程】由题意得，函数的定义域为，且， ∴， ∵曲线在点处的切线与直线垂直， ∴，即，故. 故选：D. 18．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线的倾斜角. 【解答过程】因为，所以，则， 所以曲线C在点P处的切线的斜率为，则倾斜角为. 故选：B. 19．（24-25高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【解题思路】利用导数的几何意义求解即可. 【解答过程】函数的定义域为，由在点处的切线方程是 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以， 故答案为：. 20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数及点． (1)若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程； (2)若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）先求导函数，再代入求出导数值即可求出切线的斜率，最后点斜式求出直线方程； （2）设出切点坐标，利用导数及斜率坐标公式列式计算得解. 【解答过程】（1）由点在的图象上，得，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1，得，解得， 所以的值为. 题型5 函数的单调性问题 21．（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，即可求解. 【解答过程】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 22．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【解答过程】，由题，恒成立， 即在上恒成立， 则. 对于函数， 其在上单调递减，在上单调递增，所以， 则. 故选：B. 23．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 故选：B. 24．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【解题思路】对函数求导，令导函数大于零求解即可. 【解答过程】由题意， 由得， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 25．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； （3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【解答过程】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 题型6 函数的极值问题 26．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性和极值结合零点存在定理计算求解. 【解答过程】函数的定义域为，， 令，， 所以当时， ， 所以在单调递减，图象连续不断， 又因为，， 所以存在唯一，使得，所以， 所以函数在时，时， 所以函数在单调递增，单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间上存在极值， 所以的最大值为1， 故选：B. 27．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【解答过程】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 28．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 【答案】B 【解题思路】求导，令求出或2，检验后得到. 【解答过程】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求. 故． 故选：B. 29．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【解题思路】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【解答过程】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 30．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程. （2）求导，对的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域. （3）利用（2）的结论，可求问题（3）. 【解答过程】（1）当时，，. 又，所以. 所以切点坐标为，切线斜率为1， 所以切线方程为即. （2）因为， 当时，恒成立，函数在区间单调递增． 当时，令，解得， 在区间，，函数单调递减， 在区间，，函数单调递增. 综上可知：当时，函数在区间单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，函数无极值， 当时，函数在取得极小值， 所以，解得，所以． 所以实数的取值范围为：. 题型7 函数的最值问题 31．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，再由导函数求出其单调性可得最小值为. 【解答过程】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C. 32．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意，设，则，利用导数讨论函数的性质求出即可. 【解答过程】设，则， 所以，令， 则， 令，函数单调递减， 令，函数单调递增， 所以， 即的最小值为. 故选：C. 33．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数（且）存在最小值，当变化时，有（   ） A．最大值 B．最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．以上说法都不正确 【答案】A 【解题思路】对求导，判断函数的单调性确定最值从而得到的范围，再对求导判断单调性即可判断最值情况. 【解答过程】，定义域为， ， 令，得，因为， 所以当时，；当时，. 当时，，故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 此时不存在最小值，所以. 当时，，故当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 在处取得最小值， 即，， ，令，得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，无最小值. 故选：A. 34．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 【答案】 【解题思路】对函数求导，按的不同取值讨论在时的单调性，进而可得最值，解出的值即可. 【解答过程】由题意可得，， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时， 当时，，单调递减， 此时，解得，不满足； 综上所述， 故答案为：. 35．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的单调递减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值. 【解答过程】（1）当时，，该函数的定义域为， 则，由得， 所以，函数的单调递减区间为. （2），其中， 当时，对任意的，，在上单调递增， 此时，； 当时，对任意的，，在上单调递减， 此时，； 当时，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 题型8 利用导数研究函数零点（方程根） 36．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【解答过程】令，可得， 令，则直线与函数的图象有三个交点， ，令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数的图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 37．（24-25高二上·山西吕梁·期末）函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求导可得函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求. 【解答过程】，令，则，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时取最小值， 又，， 所以=0在上各有一解，所以有两个零点， 故选：B. 38．（24-25高二上·云南昆明·期末）有两个零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导，，分和两中情况讨论，分析函数的单调性和最值，根据题意可知函数的最小值小于零即可，解不等式即可求出结果. 【解答过程】函数的定义域为R，求导得， 当，即时，，所以函数在上单调递减， 所以函数至多有1个零点，不合题意； 当，即时，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 因为函数有两个零点， 所以， 即， 令，则，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以且， 所以且，解得且. 所以的取值范围为. 故选：A. 39．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)函数的单调增区间为，单调减区间为. (2) 【解题思路】（1）求该函数的定义域，求导，根据导数判断函数的单调性； （2）分离参数，并构造函数，利用导数得出的大致图像，进而由与的图象有两个交点结合图像得出所求范围. 【解答过程】（1）函数的定义域为，， 令，即，解得. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 综上，函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由题意在上有两个不同的根. 可化为， 令，则问题转化为与的图象有两个交点. , 令，则，. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，， 当时，，则， 当时，的增长速度远慢于的增长速度，所以. 因为与的图象有两个交点，所以. 综上，的取值范围为. 40．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线. (1)求在处的切线方程. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为， 所以，，即切点为， 又，所以切线方程为，即； （2）因为， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，，且当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 41．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据函数解析式求出，分离参数可求答案. 【解答过程】由，得，求导得， 因为，所以恒成立. 令， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，所以，即最小值为1. 故选：C. 42．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【解答过程】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 43．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】首先可得，依题意可得对任意恒成立，从而得到对任意恒成立，则对任意恒成立，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为对任意恒成立，显然， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以对任意恒成立， 又当时，当时，， 当时，，显然满足对任意恒成立， 当时不等式对任意恒成立， 等价于对任意恒成立； 综上可得，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即实数的取值范围是. 故答案为：. 44．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【解题思路】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【解答过程】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则 ， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 45．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求的最大值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 参考数据：． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用导数判断函数的单调性，从而求出最大值； （2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断单调性求解即可. 【解答过程】（1）的定义域为，，令，得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以， 所以的最大值为； （2）对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 所以，， 令，，， 令，得， 当时，，在单调递减； 当时， ，在单调递增， 且，， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 题型10 利用导数证明不等式 46．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； (2)证明：． 【答案】(1)在区间单调递减，在区间单调递增 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先求导，再结合导数与函数单调性的关系判断即可. （2）由（1）得，==，判断可知要证，即证，．令，利用导数判断函数的最小值，证得，即可求证. 【解答过程】（1）由 ，， 得．     因为，令，所以．     当时，，在区间单调递减；     当时，，在区间单调递增．     所以，在区间单调递减，在区间单调递增． （2）由（1）得，==． 所以，要证， 只需证，即证，． 令， 则． 0 ↘ 极小值 ↗ 所以．     因此，对于任意正数，恒成立． 所以当时，恒成立． 47．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个极值点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求出函数的导数，再按进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间. （2）由（1）求出的范围，再结合韦达定理将用表示，进而构造函数，利用导数推理得证. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 方程中，， 当时，恒成立，，在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为， 递减区间为. （2）由（1）知，有两个极值点，则， ， 令函数，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递减，， 所以. 48．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）先将不等式化为，讨论，，三种情况，结合分离参数的方法，分别求解即可； （2）先由（1）知恒成立，两边取对数得到，进而可得，整理即可证明结论成立. 【解答过程】（1）， 当时，不等式显然成立， 当时，恒成立，令，则 因此时，，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，， 当时，恒成立，令，此时恒成立， 所以在单调递减，而时，且， 所以当时，， 综上. （2）由（1）知恒成立，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时成立， 所以 所以. 49．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数，. (1)若，求证：； (2)若方程有2个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）分别构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （2）依题意可得，令，结合函数的单调性得到，从而得到与有两个交点，结合（1）中函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解. 【解答过程】（1）当时，，令， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即； 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上可得； （2）由，可得， 所以， 令，显然在上单调递增， 由， 所以，则， 依题意可得与有两个交点， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，则， 由当时，当时， 所以，即实数的取值范围为. 50．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【解答过程】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 题型11 导数在实际问题中的应用 51．（24-25高二上·湖北十堰·期末）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（    ） A．80 B．90 C．100 D．110 【答案】B 【解题思路】根据题意，由条件可得利润与产量的函数关系式，然后求导即可得到结果. 【解答过程】设利润为，则． 因为，所以当时，，当时，， 故利润最大时． 故选：B. 52．（24-25高二上·湖南常德·期末）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意画出截面图，设相应的变量，建立函数，利用函数导数求解最值即可求解. 【解答过程】作经过球心的截面，如图所示， 设为球心，矩形为圆柱的轴截面， 为圆柱底面圆的直径，为球的半径， 设，则， 则圆柱的体积为：， 所以，令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当该圆柱的体积取最大值时，的值为， 所以. 故选：D. 53．（24-25高二上·山西·期末）已知某商品成本与销量的函数关系式为，单价与销量的函数关系式为，则当利润最大时， . 【答案】14 【解题思路】先求出利润与销量的关系式，再结合导数求最值即可. 【解答过程】设利润为，则. 因为，所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减.故当时，利润取得极大值，也是最大值. 故利润最大时，. 故答案为：14. 54．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【解题思路】（1）设每瓶饮料的利润为（分），由题意列出其解析式，通过求导判断其单调性，即得及此时瓶子的半径； （2）由（1）分析，易得及此时瓶子的半径. 【解答过程】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 55．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【答案】(1) (2)当时容积取最大值，且最大值为. 【解题思路】（1）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式，结合实际意义可得出的取值范围； （2）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为材料利用率为，所以，即； 因为长方形铁皮长为，宽为，故， 综上，. （2）铁皮盒体积，其中， ，令，得，列表如下： 极大值 所以，函数在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为. 题型12 导数新定义 56．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，然后直接解方程可判断BCD；根据零点存在定理可判断A. 【解答过程】对于A选项，，， 令， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点， 所以，函数有“巧值点”； 对于B选项，，则， 由可得，即，矛盾， 所以，函数没有“巧值点”； 对于C选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”； 对于D选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”. 故选：B. 57．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解. 【解答过程】对于A， ， ， 由，得 ，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于B， ， ， 由，得 ， 因为，，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于C， ， ， 由，得 ， 令 ， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值，且， 所以无解， 所以函数不存在“二倍阶值点”； 对于D， ， ， 由，得， 令 ，， 所以在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理可知在上存在零点， 所以方程有解， 所以函数存在“二倍阶值点”. 故选：C. 58．（24-25高三上·湖南·月考）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对各个选项的函数求导，根据“坚定点”的定义判断方程是否有解即可. 【解答过程】对选项A：，令，则，解得，，存在“坚定点”； 对选项B：，在上单调递减， 时，，时，； 在上单调递增，时，，时，， 所以关于的方程在上有一解，存在“坚定点”； 对选项C：，令， 则，即，显然是“坚定点”； 对选项D：，令，则，因为且，所以不存在“坚定点”． 故选：D. 59．（24-25高三上·山东滨州·期末）设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】(1)是上的“函数”，理由见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）求出，结合题中定义验证即可； （2）（ⅰ）分析可知，任意的恒成立．时，可得，时，可得出，时，可得出，利用导数分析函数在区间、上的单调性，综合可得出实数的取值范围； （ii）由题意可得，．利用导数先证明：，，即证，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求其最小值，即可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （2）（ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 60．（24-25高二下·全国·月考）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)存在， (3) 【解题思路】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【解答过程】（1） 时，， 函数在区间上是凹函数． （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $