专题07 三角函数（14大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题07 三角函数（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 任意角】 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. (3)角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向——顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称α=β. (5)角的加、减法 ①角的加法 设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α，β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. 【知识清单2 弧度制】 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【知识清单3 三角函数的定义】 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【知识清单4 同角三角函数的基本关系】 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【知识清单5 诱导公式】 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【知识清单6 三角函数的图象与性质】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【知识清单7 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【知识清单8 两角和与差的三角函数公式】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识清单9 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【知识清单10 函数y=Asin(ωx+φ)】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【知识清单11 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【知识清单12 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【知识清单13 拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 题型1 任意角 1．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列角中与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（24-25高一上·山西·期末）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·期末）已知角，则的终边在第 象限. 题型2 角度与弧度的互化 6．（24-25高一上·山东济南·期末）将化为弧度为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·天津河西·期末）将化成角度为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河北承德·期末）在世界级的比赛当中，参加滑雪大跳台项目的女子选手所进行的空中转体动作的旋转度数分为720度、900度、1080度、1260度、1440度5个维度，则1260度的弧度数为 . 10．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）（1）将化成角度； （2）用弧度表示第二象限的角的集合. 题型3 弧长与扇形面积的有关计算 11．（24-25高一上·广东揭阳·期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏无锡·期末）如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 15．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 题型4 任意角的三角函数的定义 16．（24-25高一上·广西河池·期末）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 18．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 19．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知点是角α的终边上一点，则 ． 20．（24-25高一上·天津·月考）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 题型5 同角三角函数的基本关系 21．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 22．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 23．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，求 . 25．（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知，且A为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值； 题型6 诱导公式 26．（24-25高一上·云南昭通·期末），那么（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·河南商丘·期末）（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·山西大同·期末） ． 30．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 题型7 三角函数的图象及其应用 31．（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 33．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 35．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数其中. (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 题型8 三角函数的单调性问题 36．（24-25高一上·重庆·期末）若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 39．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数满足且在区间上单调递减．则的取值范围是 ． 40．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为，求的最小值． 题型9 三角函数的图象与性质的综合 41．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 42．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为 43．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数不是中心对称图形 B．函数在上只有1个零点 C．函数在上有2个零点 D．函数的最大值为1 44．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则不等式的解集为 ． 45．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 题型10 两角和与差的三角函数公式 46．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则=（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·重庆长寿·期末） ． 50．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知. (1)求的值； (2)若且，求的值. 题型11 二倍角公式及其应用 51．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（    ） A． B． C． D．1 53．（24-25高一上·河南三门峡·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，则 . 55．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知锐角，满足，. (1)求的值； (2)求的值. 题型12 三角函数的图象变换 56．（24-25高一上·贵州黔南·期末）要得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 57．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 60．（24-25高一上·宁夏固原·期末）将的图象横坐标缩小到原来的一半，再向左平移个单位得到的图象. (1)写出的解析式； (2)求时的值域. 题型13 由部分图象求函数的解析式 61．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 62．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 63．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（   ） A． B． C． D． 64．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数的部分图象如图所示，则 . 65．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围. 题型14 三角函数的应用 66．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 67．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 68．（24-25高一上·北京密云·期末）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 69．（24-25高一上·山东烟台·期末）某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为 单位：    70．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动后距离地面的高度为，转一周大约需要. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角函数（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 任意角】 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. (3)角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向——顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称α=β. (5)角的加、减法 ①角的加法 设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α，β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. 【知识清单2 弧度制】 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【知识清单3 三角函数的定义】 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【知识清单4 同角三角函数的基本关系】 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【知识清单5 诱导公式】 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【知识清单6 三角函数的图象与性质】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【知识清单7 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【知识清单8 两角和与差的三角函数公式】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识清单9 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【知识清单10 函数y=Asin(ωx+φ)】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【知识清单11 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【知识清单12 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【知识清单13 拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 题型1 任意角 1．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列角中与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据终边相同的角的表示判断即可. 【解答过程】与终边相同的角是，， 当时，，当时，． 结合选项可知只有与终边相同． 故选：B． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【解答过程】因为，易知的终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解题思路】利用钝角的取值范围得出的范围即可得出其对应象限. 【解答过程】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A. 4．（24-25高一上·山西·期末）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据终边相同的角的知识来确定正确答案. 【解答过程】与角终边相同的角一定可以写成的形式，其中， 令，可得与终边相同，其他选项均不符合． 故选：D. 5．（24-25高一上·上海·期末）已知角，则的终边在第 象限. 【答案】一 【解题思路】把角化成到间角表示即可求出所在象限. 【解答过程】，即角与角终边相同，而角是第一象限， 所以的终边在第一象限. 故答案为：一. 题型2 角度与弧度的互化 6．（24-25高一上·山东济南·期末）将化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据角度制和弧度制转化即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：C. 7．（24-25高一上·天津河西·期末）将化成角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用弧度制和角度值的转化关系即可. 【解答过程】， 故选：B. 8．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【解答过程】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 9．（24-25高一上·河北承德·期末）在世界级的比赛当中，参加滑雪大跳台项目的女子选手所进行的空中转体动作的旋转度数分为720度、900度、1080度、1260度、1440度5个维度，则1260度的弧度数为 . 【答案】 【解题思路】利用角度与弧度的互化公式把角度化成弧度即可. 【解答过程】因为． 故答案为：. 10．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）（1）将化成角度； （2）用弧度表示第二象限的角的集合. 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）根据弧度与角度的互化公式求解即可； （2）根据象限角的定义，结合第二象限的角的特点进行求解即可. 【解答过程】（1）； （2）因为在第二象限， 所以终边落在第二象限的角的集合为： . 题型3 弧长与扇形面积的有关计算 11．（24-25高一上·广东揭阳·期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据大的扇形面积减去小的扇形面积可求得结果. 【解答过程】，转化为弧度制为， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 则曲边四边形的面积为：. 故选：B. 12．（24-25高一上·江苏无锡·期末）如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由弧长公式得到每段的弧长，相加后得到答案. 【解答过程】由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为， 第二段圆弧长度为，第三段圆弧长度为， 第四段圆弧长度为，第五段圆弧长度为， 所以“蚊香”的长度为. 故选：B. 13．（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求的长，利用扇形的面积公式求解. 【解答过程】因为，， 由得： . 所以几何图形的面积为：. 故选：B. 14．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 【答案】 【解题思路】根据弧长及扇形面积公式计算求解即可. 【解答过程】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以， 则该弧所在的扇形面积为. 故答案为：. 15．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【答案】(1)， (2)，栅栏长度的最小值为40米 【解题思路】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【解答过程】（1）利用扇形的面积公式可得 所以，； （2）依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米． 题型4 任意角的三角函数的定义 16．（24-25高一上·广西河池·期末）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用三角函数的定义即可求解. 【解答过程】根据三角函数的定义，可得. 故选：A. 17．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【解答过程】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D. 18．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【解答过程】因为α的终边经过点，且， 所以，再由，解得， 由正切函数定义得：， 故选：A． 19．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知点是角α的终边上一点，则 ． 【答案】 【解题思路】先求出的值，再根据三角函数的定义计算即得. 【解答过程】点即， 依题意，. 故答案为:. 20．（24-25高一上·天津·月考）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)当；当； (2). 【解题思路】（1）结合三角函数的定义即可求解； （2）结合三角函数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以当， 当 （2）若为第二象限角，则， 所以. 题型5 同角三角函数的基本关系 21．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【解答过程】因为， 所以 . 故选：A. 22．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【解题思路】将 两边平方，可得，计算进而可求解. 【解答过程】将 两边平方，得， 即，所以， 所以 故选：. 23．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【解答过程】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 24．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，求 . 【答案】 【解题思路】切弦转化，将分子分母同时除以，从而将原式化为仅含有的表达式，再代入已知值计算. 【解答过程】． 故答案为：. 25．（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知，且A为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值； 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据同角三角函数之间的关系可得到结果； （2）将分式化简为有关正切的值，即可求得结果. 【解答过程】（1）因为，且A为第三象限角， 根据，可得， 根据； （2）将同时除以得， 由（1）可得， 所以. 题型6 诱导公式 26．（24-25高一上·云南昭通·期末），那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角函数的诱导公式，可得答案. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 27．（24-25高一上·河南商丘·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式得到. 【解答过程】. 故选：B. 28．（24-25高一上·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式化简即可求出. 【解答过程】 , 故选：. 29．（24-25高一上·山西大同·期末） ． 【答案】0 【解题思路】根据诱导公式化简计算即可. 【解答过程】原式 ． 故答案为：0. 30．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【解答过程】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又 ，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故. 题型7 三角函数的图象及其应用 31．（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解答过程】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 32．（24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】作出函数图象即可求解. 【解答过程】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 故选：B. 33．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数奇偶性，结合图象利用赋值法、排除法即可得结果. 【解答过程】因为，， 且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A和C； 当时，，所以， 排除选项D，只有选项B符合题意. 故选：B. 34．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 【答案】(1)表格见解析 (2)简图见解析 (3) 【解题思路】（1）运用三角函数的对应关系求解填写； （2）根据列表，结合五点法画图即可； （3）根据函数图象，结合零点概念得解. 【解答过程】（1） x 0 -1 0 1 1 0 1 2 （2）根据上表和五点法，画出函数图象如下： （3）当时，令，得：. ∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.即此时与的图象有2个交点， ∴. 35．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数其中. (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）单调递增区间：；单调递减区间： (2)存在实数，证明见解析 【解题思路】（1）利用五点作图法来画出图象，根据图象写出单调区间. （2）由来进行判断和证明 【解答过程】（1）（i）当时，列表如下： 0 0 1 0 1 2 描点如图： （ii）由图可知，单调递增区间：； 单调递减区间：. （2）存在实数，使得的图象是中心对称图形； 对称中心为. 下证明：①对于任意. 所以 ； ②对于任意，. 所以 ； 综上所述，存在实数，使得的图象关于中心对称. 题型8 三角函数的单调性问题 36．（24-25高一上·重庆·期末）若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意可得，即可求出，再由的取值范围求出的取值范围，从而确定左端点的取值范围，即可得到，解得即可. 【解答过程】函数在区间上单调递增且， 所以，解得， 由，则，则， 所以，解得，即正数的取值范围为. 故选：A. 37．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦型函数的周期性与单调性逐项判断，即可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，A满足条件； 对于B选项，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，B不满足条件； 对于C选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上单调递增，D不满足条件. 故选：A. 38．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【解答过程】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 39．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数满足且在区间上单调递减．则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由结合的取值范围可得出的值，分、、三种情况讨论，根据求出的取值范围，根据函数在区间上的单调性可得出区间之间的包含关系，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为且，所以，，则， 当时，，该函数在上不单调，不合乎题意； 当时，由可得， 因为函数在区间上单调递减， 所以，， 所以，，解得， 由可得，又由于，则，则， 因为，则，此时，； 当时，由可得， 由于内层函数在上单调递减，函数在区间上单调递减， 所以，函数在上单调递增， 则， 所以，，解得， 由得，由于，则， 由于，则，可得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 40．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据正弦函数单调减区间，即令，即可得解. （2）根据正弦函数的性质，即可求出的范围，得到的最小值. 【解答过程】（1）函数， 由，得 所以的单调减区间，. （2）若在区间上的最大值为，可得， 且当时，取得最大值， 即有，解得，则的最小值为． 题型9 三角函数的图象与性质的综合 41．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【解题思路】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【解答过程】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B. 42．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为 【答案】B 【解题思路】根据余弦函数的性质一一判断. 【解答过程】因为，所以的最小正周期，故A错误； 当，则，因为在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误； 当，则，所以， 所以在上不存在最小值，故D错误. 故选：B. 43．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数不是中心对称图形 B．函数在上只有1个零点 C．函数在上有2个零点 D．函数的最大值为1 【答案】C 【解题思路】通过判别的奇偶性可判别A；分情况求函数的零点可判别B、C；通过求复合函数的值域可判别D. 【解答过程】对于A，因为，，， ，∴是中心对称图形，故A不正确； 对于B，C，当时，，令得，解得； 当时，，令得，解得. 所以函数在上有2个零点，故B不正确，C正确； 令，因为，而在上单调递增，所以，即函数的最大值为.故D不正确 故选：C. 44．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】由图像的两条对称轴距离的最小值得周期，根据周期公式求得，再由的零点求得，进而得到的解析式，结合正弦函数的图像即可得求得不等式的解集. 【解答过程】因为函数图象的两条对称轴间距离的最小值为， 所以,. 所以. 因为为的一个零点，所以， 即，所以 因为，所以，所以 由，得 所以 所以 不等式的解集为. 故答案为：. 45．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为； (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【解答过程】（1）最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上m的取值范围是. 题型10 两角和与差的三角函数公式 46．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两角差的正切公式可求得的值. 【解答过程】因为，则. 故选：B. 47．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用同角平方和为1公式和两角差正弦公式求值即可. 【解答过程】因为，都是锐角，所以， 又因为 所以 则 ， 故选：C. 48．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，，由两角差的余弦公式展开可得，根据同角三角函数的基本关系可得和的值，代入即可求解. 【解答过程】解：，都是锐角，，， ，， . 故选：D. 49．（24-25高一上·重庆长寿·期末） ． 【答案】 【解题思路】利用余弦的和差公式计算. 【解答过程】原式=. 故答案为：. 50．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知. (1)求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据已知可得，再由商数关系得，最后应用和角正切公式、诱导公式求的值； （2）根据已知得，再由及差角正弦公式求的值. 【解答过程】（1）， ， ； . （2），， ， 由（1）知：，则. 题型11 二倍角公式及其应用 51．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接利用二倍角的余弦公式求解即可. 【解答过程】. 故选：D. 52．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简计算即可. 【解答过程】原式 . 故选：A. 53．（24-25高一上·河南三门峡·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先将已知等式进行化简，得到关于的表达式，再换元利用二倍角公式求出的值. 【解答过程】由可得. 因为，变形为.得到. 两边同时平方得，即. 设，则，即.解得或. 当时，，得到，. 当时，，得到， 由于，这种情况舍去. 故选：D. 54．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，则 . 【答案】 【解题思路】由二倍角公式，然后构造齐次式，由的值求得结果. 【解答过程】. 故答案为：. 55．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知锐角，满足，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用平方关系求出，，可得，代入运算得解； （2）由（1）求出得解. 【解答过程】（1）由为锐角，，可得. 又由、为锐角、有， 又由，有. 有 . （2）由， 又由， 可得. 题型12 三角函数的图象变换 56．（24-25高一上·贵州黔南·期末）要得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解题思路】根据函数的图象变换，可得答案. 【解答过程】因为，所以为了得到的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：C. 57．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据伸缩变换得到，再根据左加右减得到平移后的解析式. 【解答过程】图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 再把所得曲线向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 故选：A. 58．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据偶函数的定义求得，则，利用三角函数图象的平移变换可得，结合利用整体代换法求出余弦函数单调区间即可. 【解答过程】因为为偶函数，所以， 即， 所以，解得，所以. 将曲线向左平移个单位长度后， 得到曲线， 函数的减区间即为函数的增区间. ，所以， 即，所以函数的增区间为）. 故选：C. 59．（24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，进而，结合正弦函数的图象与性质建立关于的不等式组，解之即可求解. 【解答过程】由题意知，， 由，得， 若在区间内没有零点， 则，解得， 由，当时，，当时，，当时，不符合， 所以的取值范围为. 故答案为：. 60．（24-25高一上·宁夏固原·期末）将的图象横坐标缩小到原来的一半，再向左平移个单位得到的图象. (1)写出的解析式； (2)求时的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据伸缩和平移变换规律求函数的解析式； （2）利用代入法，以及余弦函数的性质求函数的值域. 【解答过程】（1）将横坐标缩小到原来的一半，得到. 再向左平移个单位，得到， （2）当时，， 所以 因此的值域为. 题型13 由部分图象求函数的解析式 61．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 【答案】D 【解题思路】根据图像可得，然后逐项判断即可. 【解答过程】根据图像可得，，解得， 又，所以，故A错误； 又过点，， 由五点作图法可知，，周期，故B错误； ，， 又，所以函数在区间上不单调，故C错误； ， 解得，又， 所以，所以共有8100个零点，故D正确； 故选：D. 62．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 【答案】C 【解题思路】根据函数图象对称轴间的距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D. 【解答过程】由题意相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，当时，，故． 由可得，由函数最大值为2可得，因此． A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误． B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误． C选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，C正确． D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误． 故选：C． 63．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据最值可确定；由图象可确定最小正周期，由此可得；代入可求得，由此可得. 【解答过程】，，，； 最小正周期，，即， ，，， 又，，. 故选：B. 64．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数的部分图象如图所示，则 . 【答案】2 【解题思路】结合图象，，先求出周期，即可得. 【解答过程】结合图象，， 则，所以. 故答案为：2. 65．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据图象，利用的图象与性质，可得，再利用，即可求解； （2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求解. 【解答过程】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，又，则， 所以， 又因为，得， 因为，则，所以，解得， 所以. （2）将函数的图象向左平移个单位长度， 可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则. 当时，则，所以，则. 所以的值域为. 题型14 三角函数的应用 66．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【解题思路】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【解答过程】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 67．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 【答案】D 【解题思路】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断A；依题意，分别求出得解析式，判断B，C；根据提议，令，求出的取值范围，判断D. 【解答过程】对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误； 对于B，设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，故B，C错误 ； 对于D，， 当距地面高度超过38m时，即，即， 即，解得， 又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确， 故选：D. 68．（24-25高一上·北京密云·期末）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将代入解析式得到，得到解析式，代入求出答案. 【解答过程】将代入中得， ，即， 因为，所以，所以，解得， 故， 当时，. 故选：D. 69．（24-25高一上·山东烟台·期末）某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为 单位：    【答案】40 【解题思路】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案. 【解答过程】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，    设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，， 或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 故答案为： 70．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动后距离地面的高度为，转一周大约需要. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【解答过程】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $