专题01 集合与常用逻辑用语（期末复习知识清单）高一数学上学期人教A版

该高中数学知识清单系统梳理“集合与常用逻辑用语”专题，涵盖集合概念与表示、集合关系、运算、充分必要条件、全称与存在量词六大知识范畴，搭建从基础定义到运算性质再到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“星级标注”区分重难点（如集合中元素特征标★★★），题型分类配变式训练（如集合关系判断及参数求解），设易错专题警示元素互异性等问题，融入二级结论与方法清单（如德摩根律、正难则反思想），培养学生数学思维与数学语言表达能力，既方便学生自主查漏补缺，也为教师教学设计提供精准素材。

专题01集合与常用逻辑用语（6知识&9题型&2易错&1方法清单） 【清单01】集合的概念与表示 一、集合的概念★ 1.元素:一般地,把 统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 3.集合相等:构成两个集合的元素是 的. 4.集合与元素的关系： 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A a  A a不属于集合A 二、集合中元素的特征★★★ (1)确定性——对于一个给定的集合,它的元素必须是 .也就是说,如果给定 一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. (2)互异性——对于一个给定的集合,它的元素一定是 的.也就是说,集合 中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算为 元素. (3)无序性——对于一个给定的集合,它的元素并无 ,即任何两个元素都 是可以交换顺序的. 三、集合的表示★★★★ 1.列举法 把集合的所有元素 ,并 表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法 (1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. (2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的 . 特别提醒： 用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合．如集合表示函数的定义域；集合表示函数的值域；集合表示函数的点集；集合表示方程的解集. 3.常见数集的表示★★ 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 【清单02】集合之间的关系 一、子集、真子集、集合相等★★★★ 概念 图示 性质 子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的  ,记作   (或  ),读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集,即A⊆  A; 对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆  C 集合 相等 一般地,如果集合A的 元素都是集合B的元素,同时集合B的 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作        A⊆B,且B⊆A⇔A=B; A=B,且B=C,则A=C 真子集 如果集合  ,但存在元素x∈B,且 ,就称集合A是集合B的真子集,记作 (或 )   A⫋B,且B⫋C,则A⫋C; A⊆B,且A≠B,则A⫋B 二、空集★★ 定义 的集合叫做空集 符号            规定 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 二级结论： 若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2. 三、Venn图★★ 在数学中,经常用平面上封闭曲线的 代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示. 【清单03】集合的交集、并集及补集运算 一、集合的并集与交集★★★★★ 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 并集 一般地,由所有属于集合A  属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作  (读作“A并B”) A∪B=       A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪⌀=⌀∪A=A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B),A⊆B⇔A∪B=B 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 交集 一般地,由所有属于集合A 属于集合B的元素 组成的集合,称为集合A与B的交集,记作  (读作“A交B”) A∩B=        A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩⌀=⌀∩A=⌀,(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B,A⊆B⇔A∩B=A 二、集合的全集与补集★★★★ 1.全集 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 2.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中 集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作  符号语言 =     图形语言   运算性质 ⊆U,=⌀,=U,()=A,A∪()=U,A∩()=⌀ 二级结论：1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A∩()=⇔()∪B=U； 2.德摩根律①；② 【清单04】充分条件、必要条件及充要条件 一、充分条件与必要条件★★★★★ 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q,记作     由p不能推出q,记作   条件关系 p是q的      p不是q的      q是p的      q不是p的      二、充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q   ,又有q⇒p,就记作  p⇔q    .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件. 【清单05】全称量词与存在量词 一、全称量词与全称量词命题★★ 全称量词 全称量词命题 全称量词命题的真假判断 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做  ,并用符号“  ”表示 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为 全真为真,一假为假 二、存在量词与存在量词命题★★ 存在量词 存在量词命题 存在量词命题的真假判断 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做  ,并用符号“  ”表示 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为  一真为真,全假为假 【清单06】全称量词与存在量词命题的否定★★★★ 命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 p:∀x∈M,p(x) ¬p:      存在量词命题 存在量词命题 p:∃x∈M,p(x) ¬p:  全称量词命题 【题型一】判断集合之间的关系 【例1】（2025-2026湖北武汉期中）已知集合,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,∵,∴表示所有奇数,也表示所有奇数,∴,故选D． 【归纳总结】判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含. 【变式1-1】（2025-2026陕西汉中期中）已知集合,则（   ） A． B． C． D． 【题型二】利用集合之间的关系求参数 【例2】（2025-2026河北省五校联合教研体期中）已知集合,,若,则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 【答案】B 【解析】集合,因为,,所以的值为2,故选B. 【变式2-1】（2025-2026安徽鼎尖名校期中）已知集合,若,则满足条件的实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025-2026湖北黄冈期中）已知集合,若,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025-2026安徽六安期中）已知集合,若,则实数的取值集合为. 【题型三】集合的基本运算 【例3】（2025-2026江苏连云港期中）已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合,,所以.故选B 【归纳总结】进行集合的交、并、补运算注意三点： (1)意义化：分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形构成的集合． (2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来． (3)求出有关集合中方程、不等式的解,不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍． 【变式3-1】（2025-2026福建莆田期中）已知集合,,则（） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025-2026安徽合肥期中）已知集合,则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025-2026江苏南京期中）已知全集,,,则图中阴影部分表示的集合为．    【题型四】利用集合的运算求参数 【例4】（2025-2026内蒙古赤峰期中）已知集合,若,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以,又因为,所以, 所以的取值范围是.故选A. 【变式4-1】（2025-2026江苏南通期中）已知集合,集合,若,则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025-2026山东枣庄期中）已知集合,若,则 【题型五】充分条件、必要条件的判定 【例5】（2025-2026天津滨海新区期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】,得,因为集合是集合的真子集,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B. 【归纳总结】对充分条件与必要条件的理解 充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立” 【变式5-1】（2025-2026四川省成都蓉城联盟期中）已知命题,,则p是q的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（2025-2026山东省青岛期中）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型六】充分条件、必要条件的应用 【例6】（2025-2026江苏淮安市高中协作体期中）已知集合,.若“”是“”的必要条件,则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为“”是“”的必要条件,所以,由, 所以,解得,所以实数的取值范围是,故选B 【归纳总结】从集合角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件． 【变式6-1】（2025-2026上海市复旦大学附中期中）设α：,β：,若α是β的充分条件,则实数a的取值范围是． 【变式6-2】（2025-2026陕西渭南期中）已知命题：“方程至少有一个解”,若的一个必要不充分条件为“”,则实数的取值范围是. 【题型七】含量词命题真假的判定 【例7】（2025-2026浙江省钱塘联盟期中）下列命题正确的是（    ） A． B．是的充分不必要条件 C． D．菱形的两条对角线相等 【答案】B 【解析】选项A：对于方程,判别式,所以方程无实数根,故A错误；选项B：当时,成立,充分性成立,当时,解得,必要性不成立, 所以是的充分不必要条件,故B正确；选项C：当时,满足条件,但此时,故C错误；选项D：菱形的两条对角线不一定相等,故D错误.故选B 【变式7-1】（2025-2026湖南岳阳市平江县期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．,方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若,则 D．存在一个实数x,使等式成立 【题型八】含量词命题的否定 【例8】（2025-2026广东深圳期中）命题“,使得”的否定为（    ） A．,使得 B．,使得 C．,使得 D．,使得 【答案】C 【解析】原命题是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以命题“,使得”的否定为“,使得 ”.故选C 【归纳总结】对全称（存在）命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词． ②对原命题的结论进行否定． 【变式8-1】（2025-2026广东省惠州期中）,否定是（   ） A．, B．, C．, D．, 【题型九】含量词命题及否定的应用 【例9】（2024-2025山东省单县调研）若命题“存在,”为假命题,则实数的取值范围是 【答案】 【解析】由题意可知,任意,是真命题,当时,成立, 当时,,得,综上可知,的取值范围是. 【变式9-1】（2025-2026云南玉溪月考）若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025-2026河北省部分高9月联合测评）若命题“任意”为假命题,则实数a的取值范围是． 【题型一】利用集合之间的关系求参数,忽略元素的互异性致错 【例1】（2024-2025云南昆明市期末）已知集合,,则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【答案】B 【解析】因为,,,所以,所以或,即或. 当时,,集合中的元素不满足互异性,舍去；当时,,满足. 综上,.故选B 【点评】本题求出,易忽略检验是否满足元素的互异性. 【易错提醒】在判断集合中元素的个数时,不少同学常因忽视互异性,疏于检验而出错．一般地,在解集合中的未知元素时,要将所得值回归集合中,检验集合是否满足互异性,若不满足互异性,则应舍去. 【变式1-1】（2025-2026上海市香山中学期中）已知集合,,且,则的值为. 【题型二】利用或求参数忽略为空集致错 【例2】（2025-2026黑龙江佳木斯市期中）已知集合满足,则实数的值是（   ） A．0或 B．1或 C．0或或1 D．0或 【答案】C 【解析】因为,且,当时,符合题意；当时,又,所以或,解得或,综上可得实数的取值集合为.故选C. 【点评】本题时也满足条件 【易错提醒】涉及到“”或“,且B≠”的问题,一定要分A＝和A≠两种情况讨论,不要忽视空集的情况． 【变式2-1】（2025-2026湖南衡阳）已知集合,已知,若,则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【题型一】利用正难则反求解数学问题 解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题. 【例1】已知A＝{x|x2＋x＋a≤0},B＝{x|x2－x＋2a－1＜0},C＝{x|a≤x≤4a－9},且A,B,C中至少有一个不是空集,求a的取值范围． 【解析】这个问题的反面即是三个集合全为空集, 即解得≤a＜3, 从而所求a的取值范围为. 【变式1—1】（2025-2026江苏淮安市高中协作体期中）设命题,；命题, (1)若为真命题,求实数的取值范围； (2)若为假命题,求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01集合与常用逻辑用语（6知识&9题型&2易错&1方法清单） 【清单01】集合的概念与表示 一、集合的概念★ 1.元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 3.集合相等:构成两个集合的元素是一样的. 4.集合与元素的关系： 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a∈ A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A a ∉ A a不属于集合A 二、集合中元素的特征★★★ (1)确定性——对于一个给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,如果给定 一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. (2)互异性——对于一个给定的集合,它的元素一定是互不相同的.也就是说,集合 中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算为一个 元素. (3)无序性——对于一个给定的集合,它的元素并无先后顺序,即任何两个元素都 是可以交换顺序的. 三、集合的表示★★★★ 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法 (1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. (2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 特别提醒： 用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合．如集合表示函数的定义域；集合表示函数的值域；集合表示函数的点集；集合表示方程的解集. 3.常见数集的表示★★ 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 【清单02】集合之间的关系 一、子集、真子集、集合相等★★★★ 概念 图示 性质 子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 ,记作 A⊆B   (或 B⊇A  ),读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集,即A⊆  A; 对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆  C 集合 相等 一般地,如果集合A的任何一元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作  A=B     A⊆B,且B⊆A⇔A=B; A=B,且B=C,则A=C 真子集 如果集合 A⊆B ,但存在元素x∈B,且x∉A  ,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)   A⫋B,且B⫋C,则A⫋C; A⊆B,且A≠B,则A⫋B 二、空集★★ 定义 不含任何元素的集合叫做空集 符号       ⌀     规定 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 二级结论： 若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2. 三、Venn图★★ 在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示. 【清单03】集合的交集、并集及补集运算 一、集合的并集与交集★★★★★ 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 并集 一般地,由所有属于集合A或  属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作 A∪B (读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈B}       A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪⌀=⌀∪A=A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B),A⊆B⇔A∪B=B 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 交集 一般地,由所有属于集合A且 属于集合B的元素 组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B  (读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈B}       A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩⌀=⌀∩A=⌀,(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B,A⊆B⇔A∩B=A 二、集合的全集与补集★★★★ 1.全集 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 2.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作  符号语言 ={x|x∈U,且x∉A}     图形语言   运算性质 ⊆U,=⌀,=U,()=A,A∪()=U,A∩()=⌀ 二级结论：1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A∩()=⇔()∪B=U； 2.德摩根律①；② 【清单04】充分条件、必要条件及充要条件 一、充分条件与必要条件★★★★★ 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q,记作 p⇒q     由p不能推出q,记作 q⇏p  条件关系 p是q的充分条件     p不是q的充分条件     q是p的必要条件     q不是p的必要条件     二、充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q   ,又有q⇒p,就记作  p⇔q    .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件. 【清单05】全称量词与存在量词 一、全称量词与全称量词命题★★ 全称量词 全称量词命题 全称量词命题的真假判断 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 ,并用符号“∀ ”表示 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x)     全真为真,一假为假 二、存在量词与存在量词命题★★ 存在量词 存在量词命题 存在量词命题的真假判断 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 ,并用符号“ ∃ ”表示 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x)     一真为真,全假为假 【清单06】全称量词与存在量词命题的否定★★★★ 命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 p:∀x∈M,p(x) ¬p: ∃x∈M,¬p(x)     存在量词命题 存在量词命题 p:∃x∈M,p(x) ¬p: ∀x∈M,¬p(x)     全称量词命题 【题型一】判断集合之间的关系 【例1】（2025-2026湖北武汉期中）已知集合,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,∵,∴表示所有奇数,也表示所有奇数,∴,故选D． 【归纳总结】判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含. 【变式1-1】（2025-2026陕西汉中期中）已知集合,则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程的两根分别为,所以集合,故,,,,故A,B,C错误,D正确.故选D. 【题型二】利用集合之间的关系求参数 【例2】（2025-2026河北省五校联合教研体期中）已知集合,,若,则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 【答案】B 【解析】集合,因为,,所以的值为2,故选B. 【变式2-1】（2025-2026安徽鼎尖名校期中）已知集合,若,则满足条件的实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且,所以,又因为,所以或,当时,,此时满足,该情况成立；当时,或：若,则,此时满足,该情况成立；若,则,此时满足,该情况成立； 所以满足条件的的个数为3个.故选C. 【变式2-2】（2025-2026湖北黄冈期中）已知集合,若,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合,解得,集合,解得, 说明集合中的元素都属于集合,即.故选B 【变式2-3】（2025-2026安徽六安期中）已知集合,若,则实数的取值集合为. 【答案】 【解析】由题意得,,当时,,满足； 当时,,则或,解得或.综上,实数的取值集合为. 【题型三】集合的基本运算 【例3】（2025-2026江苏连云港期中）已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合,,所以.故选B 【归纳总结】进行集合的交、并、补运算注意三点： (1)意义化：分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形构成的集合． (2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来． (3)求出有关集合中方程、不等式的解,不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍． 【变式3-1】（2025-2026福建莆田期中）已知集合,,则（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,,所以.故选A． 【变式3-2】（2025-2026安徽合肥期中）已知集合,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,或,则,则. 故选D. 【变式3-3】（2025-2026江苏南京期中）已知全集,,,则图中阴影部分表示的集合为．    【答案】 【解析】由Venn图可知,图中阴影部分区域表示为,,, 或,,或, 【题型四】利用集合的运算求参数 【例4】（2025-2026内蒙古赤峰期中）已知集合,若,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以,又因为,所以, 所以的取值范围是.故选A. 【变式4-1】（2025-2026江苏南通期中）已知集合,集合,若,则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由,则,故实数的取值范围为.故选B. 【变式4-2】（2025-2026山东枣庄期中）已知集合,若,则 【答案】2 【解析】由,得,则或,当时,得,则,集合中元素不满足互异性,舍去；当时,解得或,若,则,,合题意； 若,则,集合中元素不满足互异性,舍去；综上,. 【题型五】充分条件、必要条件的判定 【例5】（2025-2026天津滨海新区期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】,得,因为集合是集合的真子集,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B. 【归纳总结】对充分条件与必要条件的理解 充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立” 【变式5-1】（2025-2026四川省成都蓉城联盟期中）已知命题,,则p是q的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若,则一定成立,故；若,则或,不一定有,故. 因此,是的充分不必要条件.故选A. 【变式5-2】（2025-2026山东省青岛期中）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【谢谢】由且,得；反之,由,得且,或者且, 所以“且”是“”的充分不必要条件.故选A 【题型六】充分条件、必要条件的应用 【例6】（2025-2026江苏淮安市高中协作体期中）已知集合,.若“”是“”的必要条件,则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为“”是“”的必要条件,所以,由, 所以,解得,所以实数的取值范围是,故选B 【归纳总结】从集合角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件． 【变式6-1】（2025-2026上海市复旦大学附中期中）设α：,β：,若α是β的充分条件,则实数a的取值范围是． 【答案】. 【解析】由α是β的充分条件,可得是的子集,即 【变式6-2】（2025-2026陕西渭南期中）已知命题：“方程至少有一个解”,若的一个必要不充分条件为“”,则实数的取值范围是. 【答案】 【解析】对于命题：“方程至少有一个解”,若,则,解得,符合题意； 若,则,解得且；综上所述：.若的一个必要不充分条件为“”, 可知集合是集合的真子集,则,解得,所以实数的取值范围是. 【题型七】含量词命题真假的判定 【例7】（2025-2026浙江省钱塘联盟期中）下列命题正确的是（    ） A． B．是的充分不必要条件 C． D．菱形的两条对角线相等 【答案】B 【解析】选项A：对于方程,判别式,所以方程无实数根,故A错误；选项B：当时,成立,充分性成立,当时,解得,必要性不成立, 所以是的充分不必要条件,故B正确；选项C：当时,满足条件,但此时,故C错误；选项D：菱形的两条对角线不一定相等,故D错误.故选B 【变式7-1】（2025-2026湖南岳阳市平江县期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．,方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若,则 D．存在一个实数x,使等式成立 【答案】C 【解析】因为B,D是存在量词命题,故应排除;对于A,当时,方程无实数根,故A错误, 由不等式性质知,C是真命题.故选C. 【题型八】含量词命题的否定 【例8】（2025-2026广东深圳期中）命题“,使得”的否定为（    ） A．,使得 B．,使得 C．,使得 D．,使得 【答案】C 【解析】原命题是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以命题“,使得”的否定为“,使得 ”.故选C 【归纳总结】对全称（存在）命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词． ②对原命题的结论进行否定． 【变式8-1】（2025-2026广东省惠州期中）,否定是（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】C 【解析】因为,否定是,.故选C. 【题型九】含量词命题及否定的应用 【例9】（2024-2025山东省单县调研）若命题“存在,”为假命题,则实数的取值范围是 【答案】 【解析】由题意可知,任意,是真命题,当时,成立, 当时,,得,综上可知,的取值范围是. 【变式9-1】（2025-2026云南玉溪月考）若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为真命题,故需满足,解得, 故使命题p为假命题的实数的取值范围为.故选C 【变式9-2】（2025-2026河北省部分高9月联合测评）若命题“任意”为假命题,则实数a的取值范围是． 【答案】 【解析】由于“任意”为假命题,所以“”为真命题, 所以,在区间上,当或4 时,取得最大值为,所以． 【题型一】利用集合之间的关系求参数,忽略元素的互异性致错 【例1】（2024-2025云南昆明市期末）已知集合,,则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【答案】B 【解析】因为,,,所以,所以或,即或. 当时,,集合中的元素不满足互异性,舍去；当时,,满足. 综上,.故选B 【点评】本题求出,易忽略检验是否满足元素的互异性. 【易错提醒】在判断集合中元素的个数时,不少同学常因忽视互异性,疏于检验而出错．一般地,在解集合中的未知元素时,要将所得值回归集合中,检验集合是否满足互异性,若不满足互异性,则应舍去. 【变式1-1】（2025-2026上海市香山中学期中）已知集合,,且,则的值为. 【答案】 【解析】因为,,且,所以或, 解得或或,根据集合的元素的互异性可得,且, 所以,此时,,满足,所以. 【题型二】利用或求参数忽略为空集致错 【例2】（2025-2026黑龙江佳木斯市期中）已知集合满足,则实数的值是（   ） A．0或 B．1或 C．0或或1 D．0或 【答案】C 【解析】因为,且,当时,符合题意；当时,又,所以或,解得或,综上可得实数的取值集合为.故选C. 【点评】本题时也满足条件 【易错提醒】涉及到“”或“,且B≠”的问题,一定要分A＝和A≠两种情况讨论,不要忽视空集的情况． 【变式2-1】（2025-2026湖南衡阳）已知集合,已知,若,则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时,,解得；当时,,解得, 综上,,即实数m的取值范围为,故选C 【题型一】利用正难则反求解数学问题 解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题. 【例1】已知A＝{x|x2＋x＋a≤0},B＝{x|x2－x＋2a－1＜0},C＝{x|a≤x≤4a－9},且A,B,C中至少有一个不是空集,求a的取值范围． 【解析】这个问题的反面即是三个集合全为空集, 即解得≤a＜3, 从而所求a的取值范围为. 【变式1—1】（2025-2026江苏淮安市高中协作体期中）设命题,；命题, (1)若为真命题,求实数的取值范围； (2)若为假命题,求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题,求实数的取值范围. 【解析】（1）若是真命题,则,得, 故实数的取值范围为. （2）若是假命题,则,是真命题, 由解得,即实数的取值范围是. （3）先求出当命题、都是真命题时的取值范围,结合补集思想可求得结果 为真命题时,, 由（2）可知,为真命题时,或, 若、都是真命题,则, 所以若、至多有一个为真命题,则,即实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $