专题01 平面直角坐标系与一次函数（5知识&7题型&3易错&5方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材沪科版

专题01 平面直角坐标系与一次函数（5知识&7题型&3易错&5方法清单） 【清单01】平面直角坐标系的概念与点的坐标特征 核心定义平面直角坐标系：由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，水平数轴为x轴（横轴），竖直数轴为y轴（纵轴），两轴交点为原点O，坐标系将平面分为四个象限和坐标轴。 点的坐标：平面内任意一点P，过P作x轴垂线，垂足对应x轴上的数为横坐标；作y轴垂线，垂足对应y轴上的数为纵坐标，记作。 各象限及坐标轴上点的坐标特征 位置 坐标特征 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴上 （x为任意实数） y轴上 （y为任意实数） 原点 对称点的坐标特征 . 【清单02】平面直角坐标系中的图形变换 点的平移规律：“左减右加横坐标，上加下减纵坐标” ； 坐标系中图形面积计算 割补法：将不规则图形分割或补成矩形、三角形等规则图形，利用规则图形面积公式计算； 公式法：若三角形顶点为、、，则面积 【清单03】一次函数的概念与解析式 一次函数的定义：一般形式：形如（、为常数，且）的函数，叫做一次函数。 特殊形式：当时，函数变为（），此时为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 解析式的三种形式： 一般式：（） 斜截式：（为斜率，为直线在y轴上的截距，） 两点式：若直线过和（），则解析式为. 【清单04】一次函数的图象与性质 一次函数的图象特征 图象形状：一次函数的图象是一条直线，因此也叫直线 必过点：正比例函数必过原点；一次函数必过和两个点 一次函数的性质（与k、b的关系） k的符号 函数的增减性 b的符号 直线经过的象限 y随x的增大而增大 第一、二、三象限 y随x的增大而增大 第一、三象限 y随x的增大而增大 第一、三、四象限 y随x的增大而减小 第一、二、四象限 y随x的增大而减小 第二、四象限 y随x的增大而减小 第二、三、四象限 【清单05】一次函数的实际应用 待定系数法求解析式的步骤 . 实际问题建模的一般步骤 . 【题型一】平面直角坐标系中点的坐标特征 【例1】（2025秋•中牟县期中）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，a2+3），那么点P所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先判断横、纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标的特征判断即可． 【解答】解：∵a2≥0， ∴a2+3＞0， ∵﹣2＜0， ∴点P（﹣2，a2+3）在第二象限， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 【变式1-1】（2025春•喀什地区期末）点P在第二象限内，且到x轴．y轴的距离分别为3和5，则点P的坐标是（　　） A．（﹣5，3） B．（5，﹣3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 【分析】先得到P的横纵坐标可能的值，进而根据点在第二象限的符号特点可得具体坐标． 【解答】解：设P（a，b）， 根据题意得：a＝±5，b＝±3， ∵点P在第二象限内， ∴a＜0，b＞0， ∴a＝﹣5，b＝3， ∴P（﹣5，3），故选：A． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键． 【变式1-2】（2025秋•崂山区期中）若点A（n﹣3，n+5）在x轴上，则点B（n﹣2，n+2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，求出n的值，进而求出点B的坐标，进行判断即可． 【解答】解：由题意，得：n+5＝0， ∴n＝﹣5， ∴B（﹣7，﹣3）， ∴点B在第三象限， 故选：C． 【点评】本题考查判断点所在的象限，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【题型二】平面直角坐标系中的图形变换 【例2】（2025秋•河源期中）在平面直角坐标系内，点P（5，1）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后的点坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（3，4） C．（8，3） D．（8，﹣1） 【分析】根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加计算即可． 【解答】解：由题意得，点P（5，1）平移后的坐标为（5﹣3，1﹣2），即（2，﹣1）， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【变式2-1】（2025秋•扬州期中）点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为（4，3），将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系x′O′y′，在新坐标系x′O′y′中，点A的坐标为（　　） A．（4，3） B．（7，0） C．（1，5） D．（7，1） 【分析】将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位，y轴向左平移3单位，即相当于将点A向下平移2个单位，再向右平移3单位，根据左加右减，上加下减的规律求解即可． 【解答】解：∵点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为（4，3），将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位，y轴向左平移3单位， ∴在新坐标系x′O′y′中，点A的坐标为（4+3，3﹣2），即（7，1）． 故选：D． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记左加右减，上加下减的规律是解题的关键． 【变式2-2】（2025秋•福田区期中）将点M（﹣2，3）向右平移n个单位长度到达点N，若点N的横坐标和纵坐标相等，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平移时点的坐标变化规律，表示出点N的坐标，再根据点N的横坐标和纵坐标相等建立关于n的方程即可解决问题． 【解答】解：∵将点M（﹣2，3）向右平移n个单位长度到达点N， ∴N（﹣2+n，3）， ∵点N的横坐标和纵坐标相等， ∴﹣2+n＝3，解得n＝5． 故选：D． 【点评】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 【题型三】一次函数的概念辨析 【例3】（2025秋•河源期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝x2+2 B． C．y＝2x+1 D．y＝kx+b 【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k≠0）的函数是一次函数，逐一排除即可． 【解答】解：根据一次函数的定义逐项分析判断如下： A、y＝x2+2，x的次数为2，不是一次函数，不符合题意； B、，不是一次函数，不符合题意； C、y＝2x+1，是一次函数，符合题意； D、y＝kx+b，若k＝0，则不是一次函数，因此不一定是一次函数，不符合题意；故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【变式3-1】（2025秋•市南区期中）下列y与x之间的函数关系式：①y＝x；②y；③；④y＝﹣x+10；⑤y＝kx+b；⑥y＝x（x﹣1）．其中一定是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可． 【解答】解：一次函数有①y＝2x；④y＝﹣x+10，共2个． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 【变式3-2】（2025春•岳阳楼区期末）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（　　） A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2 【分析】根据正比例函数的定义可知k+1≠0，b﹣2＝0，从而可求得k、b的值． 【解答】解：∵y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数， ∴k+1≠0，b﹣2＝0． 解得k≠﹣1，b＝2．故选：D． 【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义得到k+1≠0，b﹣2＝0是解题的关键． 【题型四】一次函数的图象与性质 【例4】（2025秋•淮上区期中）一次函数y＝kx+1的图象经过第一、二、三象限，那么一次函数y＝x+k的图象经过的象限是（　　） A．一，二，三 B．一，三，四 C．二，三，四 D．一，二，四 【分析】在一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过第一、二、三象限， ∴k＞0， ∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、二、三象限， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【变式4-1】（2025秋•舒城县期中）直线y＝﹣2x+b经过（x1，y1）和（x2，y2），若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合x1＜x2，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵直线y＝﹣2x+b经过（x1，y1）和（x2，y2），且x1＜x2， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【变式4-2】（2025秋•肇源县期中）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线y＝2x+5平行 【分析】根据一次函数解析式得到，一次函数图象经过第一、三、四象限，由此即可求解． 【解答】解：一次函数y＝2x﹣1， 当x＝0时，y＝﹣1，故A选项正确，不符合题意； ∵2＞0，﹣1＜0， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，故B选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意； ∵一次函数y＝2x﹣1向上平移6个单位，得到y＝2x+5， ∴它的图象与直线y＝2x+5平行，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数解析式中各项系数与图象的特点是解题的关键． 【题型五】待定系数法求一次函数解析式 【例5】（2024秋•台儿庄区期末）如图，四边形OABC是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标是（3，4），则直线AC对应的函数表达式为（　　） A．y B．y3 C．y D．y 【分析】先根据长方形性质和B点坐标求出A，C两点坐标，然后设直线AC对应的函数表达式为y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），将A，C两点坐标代入表达式，进而得到直线AC的函数表达式． 【解答】解：因为四边形OABC是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴，y上，点B的坐标是（3，4）， 根据长方形的性质，对边相等且平行， 所以OA的长度等于点B的横坐标3，即A点坐标为（3，0）； OC的长度等于点B的纵坐标4，即C点坐标为（0，4）． 设直线AC对应的函数表达式为y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）． 把A（3，0），C（0，4）分别代入y＝kx+b中，得到方程组． 将b＝4代入3k+b＝0，可得3k+4＝0，移项得到3k＝﹣4， 解得． 所以直线AC对应的函数表达式为． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数表达式的求解以及长方形的性质知识点，掌握以上性质是解题的关键． 【变式5-1】（2025•富锦市开学）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和点（﹣1，﹣1），则k，b的值分别为（　　） A．2，1 B．2，﹣1 C．﹣2，1 D．﹣2，﹣1 【分析】把已知点的坐标代入函数解析式，可以列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组可以求得它们的值． 【解答】解：由题意，得， ∴． ∴k和b的值分别是2和1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 【变式5-2】（2025•青秀区开学）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，5），每当x增加1个单位时，y就增加4个单位，则此函数表达式是（　　） A．y＝﹣4x﹣5 B．y＝4x﹣3 C．y＝4x+1 D．y＝4x﹣1 【分析】根据题意得出一次函数经过点（3，9），进而求出k，b即可求解． 【解答】解：由条件可知一次函数y＝kx+b的图象经过点（2+1，5+4），即点（3，9）， 把点A（2，5），点（3，9）代入解析式得： ， 解得：， ∴此函数表达式是y＝4x﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，理解题意是解题的关键． 【题型六】一次函数图象的交点问题 【例6】（2025•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】先将点B代入y＝﹣x+4，求出b，即可确定方程组的解． 【解答】解：将点A（﹣1，b）代入y＝x+4， 得b＝﹣1+4＝3， ∴A（﹣1，3）， ∴方程组的解为， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键． 【变式6-1】（2025秋•济南期中）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于（2，﹣1）， ∴一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为y＝kx+b﹣1，y＝mx+n﹣1， 则一次函数y＝kx+b﹣1与y＝mx+n﹣1的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为（2，﹣2）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握该知识点是关键． 【变式6-2】（2025春•城厢区期中）我们知道：方程组的解与两直线的交点坐标的关系如双胞胎兄弟一样．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m），则关于x、y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先将点A的横坐标代入y＝x+4求得其纵坐标，横坐标为方程组x的值，纵坐标为方程组y的值． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m）， ∴m＝﹣1+4＝3， 即直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b的交点坐标为（﹣1，3）， ∴关于x、y的方程组的解为． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【题型七】一次函数的实际应用 【例7】（2025秋•江西期中）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3千米时收费14元，超过部分每千米收费2.4元．设乘客白天乘坐出租车的路程为x千米，乘车费为y元． （1）求y与x之间的关系式，并注明自变量的取值范围； （2）当x＝6时，求乘车费y的值． 【分析】（1）根据题意分段表示出关系式即可； （2）将x＝6代入对应解析式进行计算． 【解答】解：（1）路程不超过3千米时收费14元，超过部分每千米收费2.4元． 由题意知，当0≤x≤3时，y＝14； 当x＞3时，y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8； ∴； （2）当x＝6时，y＝2.4×6+6.8＝21.2． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并列出表达式是解题的关键． 【变式7-1】（2025秋•漳州期中）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，A市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过5吨时，水价为每吨3元；超过5吨时，超过的部分按每吨4元收费．该市某户居民6月份用水x吨，应交水费y元． （1）当x＞5时，求y与x的函数关系式． （2）如果该户居民这个月交水费31元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得可把y＝31代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：y＝3×5+4（x﹣5）＝4x﹣5； 即y＝4x﹣5（x＞5）； （2）如果该户居民这个月交水费31元， 由31＞15可知x＞5， ∴当y＝31时，则由（1）可得：4x﹣5＝31， 解得：x＝9； 答：这个月该户用了9吨水． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 【变式7-2】（2025秋•宁海县期中）某班计划采购A，B两种型号的羽毛球拍，已知购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需426元，购买4副A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元． （1）求A、B两种型号羽毛球拍的单价． （2）该班准备采购A、B两种型号的羽毛球拍共20副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由． 【分析】（1）设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，根据“购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需426元，购买4副A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元”建立方程组，解方程组即可得； （2）设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为W元，则采购B型羽毛球拍（20﹣m）副，结合（1）的结论可得W＝8m+1640，再根据“A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍”求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得． 【解答】解：（1）设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元， 由题意得：， 解得， 答：A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元． （2）最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元，理由： 设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为W元，则采购B型羽毛球拍（20﹣m）副， 由（1）的结论得：W＝90m+82（20﹣m）＝8m+1640， ∵A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍， ∴， 解得， 在内，W随m的增大而增大， 又m是整数 则当m＝14时，W取得最小值，最小值为8×14+1640＝1752， 此时20﹣m＝20﹣14＝6， 答：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键． 【题型一】混淆象限与坐标轴上点的坐标特征致错 【例1】（2024秋•丹徒区期末）点P在第二象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（　　） A．（﹣6，2） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（2，﹣6） 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：∵点P在第二象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为﹣2，纵坐标为6， ∴点P的坐标为（﹣2，6）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一、二、三、四象限内各点的符号分别为（+，+）、（﹣，+）、（﹣，﹣）、（+，﹣）． 【变式1-1】（2025•海南）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为（﹣1，0）、（1，1），则“强”的坐标为（　　） A．（3，3） B．（2，3） C．（4，3） D．（4，5） 【分析】根据已知建立适当的平面直角坐标系，即可解答． 【解答】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示： 则“强”的坐标为（2，3），故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 【变式1-2】（2025春•五华区期末）如果点A（m﹣8，m﹣2）在x轴上，那么点B（m+1，m﹣6）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算出点B的横纵坐标的值，即可得解． 【解答】解：由题意得，m﹣2＝0，解得，m＝2， ∴m+1＝3，m﹣6＝﹣4， ∴B（m+1，m﹣6）在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟知x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 【题型二】一次函数中忽略k≠0的条件致错 【例2】（2025秋•五华县期中）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数据此列得关于m的方程及不等式，解得m的值即可． 【解答】解：已知函数是关于x的一次函数， 则m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式2-1】（2024秋•东平县期末）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．1 【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k≠0），进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵y关于x的函数是一次函数， ∴m﹣2≠0，m2﹣3＝1， ∴m≠2，m＝±2， 即m＝﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 【变式2-2】（2024春•泗水县月考）若函数为一次函数，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．0 【分析】根据一次函数的定义，列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值即可． 【解答】解：∵函数为一次函数， ∴m﹣2≠0，m2﹣3＝1， ∴m＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，平方根的应用，掌握一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1是解题关键． 【题型三】一次函数增减性与k的符号关系混淆致错 【例3】（2025秋•雁塔区期中）若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，则y1与y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法比较大小 【分析】由k＝m2+1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合﹣2＜1，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k＝m2+1＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，且﹣2＜1， ∴y1＜y2． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【变式3-1】（2025秋•蜀山区期中）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（x1，y1）和（x2，y2），且k＞0，b＜0，当x1＜0＜x2时，有（　　） A．y1＜y2＜0 B．y1＞b＞y2 C．y1＜b＜y2 D．y1＞y2＞0 【分析】由k＞0，b＜0，则y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，所以y随x的增大而增大，由x1＜0＜x2即可求解． 【解答】解：一次函数y＝kx+b中， ∵k＞0，b＜0， ∴函数图象经过第一、三、四象限， ∴y随x的增大而增大， ∵x1＜0＜x2， ∴y1＜b＜y2，故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【变式3-2】（2025秋•庐阳区月考）已知关于x的一次函数y＝ax+4﹣2a．当﹣2≤x≤5时，函数有最大值7，则a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝4 C．a＝0.75或a＝1 D．a＝﹣0.75或a＝1 【分析】分类讨论：a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝5时，y有最大值7，然后把y＝7代入函数关系式可计算出对应a的值；a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣2时，y有最大值7，然后把y＝7代入函数关系式可计算对应a的值． 【解答】解：根据一次函数的性质，分类讨论如下： ①a＞0时，y随x的增大而增大， 则当x＝5时，y有最大值7，把x＝5，y＝7代入函数关系式得7＝5a+4﹣2a， 解得a＝1； ②a＜0时，y随x的增大而减小， 则当x＝﹣2时，y有最大值7，把x＝﹣2，y＝7代入函数关系式得7＝﹣2a+4﹣2a， 解得a＝﹣0.75， 所以a＝1或a＝﹣0.75， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质．熟练掌握该知识点是关键． 【题型一】象限内点的坐标特征判断方法 核心技巧：抓住各象限横、纵坐标的正负性，先判断单个坐标的符号，再对应象限；坐标轴上的点优先判断特殊坐标（x轴y=0，y轴x=0）。适用场景：判断点所在象限、根据象限求字母取值范围。 【例1】（2025秋•未央区期中）在平面直角坐标系中，点A（2a﹣1，a+2）在第一象限的角平分线上，则a的值为　3　 ． 【分析】根据第一象限的角平分线上点的特征，横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可． 【解答】解：∵点A（2a﹣1，a+2）在第一象限的角平分线上， ∴2a﹣1＝a+2． 解得a＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查的是点的坐标，熟知第一象限的角平分线上点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键． 【变式1—1】（2025春•惠东县期末）平面直角坐标系中，若点A（a﹣2，a+1）在y轴上，则点A的坐标为 　（0，3）　 ． 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a﹣2＝0，求出a的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（a﹣2，a+1）在y轴上， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2， ∴a+1＝3， ∴点A的坐标为 （0，3）． 故答案为：（0，3）． 【点评】此题主要考查了点的坐标，熟知y轴上的点的横坐标为零是解题关键． 【变式1—2】（2025秋•南岸区期中）若点A（a+4，2a﹣6）在x轴上，则实数a的值为　3　 ． 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0即可求出a的值． 【解答】解：∵点A（a+4，2a﹣6）在x轴上， ∴2a﹣6＝0， ∴a＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键． 【题型二】待定系数法求一次函数解析式的技巧 核心技巧：若已知两点，直接代入列二元一次方程组；若已知图象过特殊点（如与坐标轴交点），优先代入特殊点简化计算；正比例函数只需一个点即可求解析式。 适用场景：已知点的坐标求一次函数解析式。 【例2】（2025春•石景山区期中）一个一次函数的图象经过点（﹣2，3），且与坐标轴围成的直角三角形有两边相等时，这个一次函数的表达式为 y＝x+5或y＝﹣x+1　 ． 【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由题意b≠0，图象与两轴交点分别为，根据与坐标轴围成的直角三角形有两边相等可得k＝±1，再把（﹣2，3）代入y＝±x+b中即可算出b的值即可． 【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由题意b≠0， 图象与两轴交点分别为， ∵函数图象与坐标轴围成的直角三角形有两边相等， ∴， 解得k＝±1， 把点（﹣2，3）代入y＝±x+b中，当k＝1时，3＝﹣2+b， 解得b＝5；当k＝﹣1时，3＝﹣（﹣2）+b， 解得b＝1； 所以，函数解析式为y＝x+5或y＝﹣x+1．故答案为：y＝x+5或y＝﹣x+1． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，理解题意、确定k的取值是解题的关键． 【变式2—1】（2025•宁夏一模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线AB对应的函数表达式是y＝﹣3x+10　 ． 【分析】过点A作AC∥x轴，过点B作BD∥y轴，两条直线相交于点E，根据ASA定理得出△ABE≌△BOD，故可得出AC及DE的长，再用待定系数法求解析式，由此可得出结论． 【解答】解：如图，过点A作AC∥x轴，过点B作BD∥y轴，两条直线相交于点E， ∵AC∥x轴，BD∥y轴， ∴AC⊥BD， ∴∠E＝90°， ∴∠ACO＝∠E＝∠BDO＝90°， 又∵∠ABO＝90°， ∴∠DOB+∠OBD＝90°，∠ABE+∠OBD＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠BOD＝∠ABE，∠OBD＝∠BAE． ∵点B的坐标为（3，1）， ∴OD＝3，BD＝1． 在△ABE与△BOD中， ， ∴△ABE≌△BOD（ASA）， ∴AE＝BD＝1，BE＝OD＝3， ∴AC＝OD﹣BD＝2，DE＝BD+BE＝4， ∴A（2，4）， 设直线AB解析式为：y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+10， 故答案为：y＝﹣3x+10． 【点评】本题主要考查的是待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2—2】（2025春•南岗区月考）如果一次函数y＝kx+b（k≠0）当自变量x的取值范围是﹣1≤x≤3时，函数y的取值范围是﹣2≤y≤6，那么k＝　±2　 ． 【分析】当k＜0时，根据一次函数的增减性得到当x＝﹣1时，y＝6，当x＝3时，y＝﹣2；当k＞0时，根据一次函数的增减性得到当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝3时，y＝6，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【解答】解：当k＜0时，y随x增大而减小， ∵当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤6， ∴， ∴k＝﹣2， 当k＞0时，y随x增大而增大， ∵当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤6， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝3时，y＝6， ∴， ∴k＝2， 故答案为：±2． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【题型三】一次函数图象象限判断技巧 核心技巧：先看k的符号确定增减性，再看b的符号确定直线与y轴交点位置，两者结合即可判断图象经过的象限。 适用场景：根据k、b判断图象象限，或根据图象象限反推k、b的符号。 【例3】（2025秋•崂山区期中）一次函数y1＝kx﹣b与y2＝bx﹣k在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，求出两个一次函数图象的交点，据此进行判断即可． 【解答】解：由kx﹣b＝bx﹣k得， x（k≠b）， 所以两条直线交点的横坐标为﹣1， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象，能根据题意得出两条直线交点的横坐标为﹣1是解题的关键． 【变式3—1】（2025春•丽江期末）正比例函数y＝kx（k≠0）函数值y随x的增大而增大，则y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用正比例函数的性质得出k的取值范围，进而得出一次函数经过的象限． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数与正比例函数的图象，正确得出k的符号是解题关键． 【变式3—2】（2025秋•五华县期中）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0，则kb＜0；由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，故此选项符合题意； B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号是关键． 【题型四】一次函数交点问题的解题技巧 核心技巧：两直线交点坐标即为对应函数解析式联立方程组的解；若交点在某坐标轴上，可先利用坐标轴坐标特征求出交点，再代入函数式求解参数。 适用场景：求两直线交点、根据交点位置求参数值。 【例4】（2025•泗阳县三模）一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解为 x＝﹣2　 ． 【分析】结合图象，确定与x轴交点的坐标的横坐标，就是方程的解． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图象与x轴交点的坐标的横坐标为x＝﹣2， ∴kx+b＝0的解为x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键． 【变式4—1】（2025秋•石景山区期中）在同一平面直角坐系中，直线y＝2x+4与y＝x+b相交于点A（1，m），则关于x，y的方程组的解为　　 ． 【分析】把交点坐标代入直线y＝﹣x﹣2求解得到m的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答． 【解答】解：∵直线y＝2x+4经过A（1，m）， ∴m＝2×1+4＝6， ∴交点P坐标为（1，6）， ∵方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标． 【变式4—2】（2025秋•望江县期中）已知方程组的解为，则一次函数y＝3x﹣3与yx+3的交点P的坐标是　（，1）　 ． 【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．结合本题，那么一次函数y＝3x﹣3与yx+3的交点P的坐标就是方程组的解． 【解答】解：方程组的解为；即x，y＝1同时满足方程组中的两个方程； 因此点（，1）同时满足两个一次函数的解析式． 所以一次函数y＝3x﹣3与yx+3的交点P的坐标是（，1）． 故答案为：（，1）． 【点评】本题考查的是一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【题型五】一次函数实际应用的建模技巧 核心技巧：先确定自变量和因变量，再根据实际中的等量关系（如利润、路程、总价公式）列出函数式，最后根据实际意义确定自变量的取值范围。适用场景：解决销售、行程、工程等实际问题中的函数建模。 【例5】（2025秋•高新区期中）甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度y（m）与气球上升的时间x（min）之间的关系如图所示．给出下列说法：①甲气球上升过程中，y与x之间的关系式为y＝x+5；②10min时，甲气球在乙气球下方；③当两只气球高度差为15m时，上升时间为50min；④上升60min时，乙气球距离地面的高度为40m．其中正确的有　①②③　 ．（填序号） 【分析】①利用待定系数法求出解析式即可判断；②观察图象看10min时甲乙谁的图象在上方即可判断；③分别求出两个气球的上升速度，再列方程解答即可判断；④根据乙气球的上升速度列式计算即可判断． 【解答】解：设甲气球上升过程中y与x的函数关系为：y＝kx+b，观察图象可知，函数图象经过点（0，5）和点（20，25）， 则， 解得， 故甲气球上升过程中y与x的函数关系为：y＝x+5，所以①正确； 观察图象可知，10min时，甲气球在乙气球的下方，所以②正确； 由甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝x+5，可知甲气球的上升速度为1m/min， 观察图象可知，乙气球用时20min从15m上升至25m， 故乙气球的上升速度为：（25﹣15）÷20＝0.5m/min， 设上升时间为xmin时，两气球高度差为15m， 根据题意，5+x﹣（15+0.5x）＝15， 解得x＝50， 故两气球高度差为15m时，上升时间为50min，所以③正确； 上升60min时，乙气球距离地面高度为：15+0.5×60＝45m，所以④错误， 综上，错误的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查一次函数的实际应用，用到了数形结合的思想，读懂题意，求出两个气球的上升速度是解题的关键． 【变式5—1】（2025秋•蕉城区期中）如图，A，B两地相距20km，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（km）与时间t（h）之间的关系，下列说法：①乙晚出发1h；②乙出发3h后追上甲；③甲的速度是4km/h；④乙先到达B地．正确的是　①③④　 （只填序号）． 【分析】观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果． 【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确； 乙出发3﹣1＝2小时后追上甲，故②错误； 甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确； 乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时）， 则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时）， 乙到达B地用的时间为：20÷6＝3（小时）， ∵1+345， ∴乙先到达B地，故④正确； 正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息． 【变式5—2】（2025•铁东区开学）A，B两地相距225km，C地在A，B两地之间，甲，乙二人分别驾车从A地前往B地，乙比甲晚出发0.5小时，乙到达C地后停留1小时，然后按原速继续行驶，甲、乙二人同时到达B地．甲、乙两人距A地的路程分别记为y甲（km），y乙（km）．与甲行驶时间x（h）的函数关系如图所示．在乙驾车从A地行驶到C地的过程中，当甲、乙二人相距20km时，x的值为　0.7或2.3　 ． 【分析】由图象可得，乙驾车的速度为225÷（4.5﹣0.5﹣1）＝75（km/h），进而求出G（2.5，150），利用待定系数法求出乙驾车从A地到C地的函数关系式为y乙＝75x﹣37.5（0.5≤x≤2.5）以及甲驾车的函数关系式为y甲＝50x，再根据甲、乙二人相距20km，求出对应的x的值即可． 【解答】解：由图可知，乙驾车的速度为225÷（4.5﹣0.5﹣1）＝75（km/h）， ∵乙在C地停留1小时， ∴点G的横坐标为3.5﹣1＝2.5， ∴乙车从A地行驶到C地的时间为2.5﹣0.5＝2（h）， ∴A、C两地的路程2×75＝150（km）， ∴G（2.5，150）， 设乙驾车从A地到C地的函数关系式为y乙＝kx+b（k≠0）， ∵函数图象过（0.5，0），（2.5，150）， ∴， 解得， ∴y乙＝75x﹣37.5（0.5≤x≤2.5）， 设y甲＝mx， ∵函数图象过（4.5，225）， ∴225＝4.5m， 解得m＝50， ∴y甲＝50x， ∵甲、乙二人相距20km， 当50x﹣（75x﹣37.5）＝20时， 解得x＝0.7； 当75x﹣37.5﹣50x＝20时， 解得x＝2.3； 故答案为：0.7或2.3． 【点评】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式，从函数图象获取必要的信息是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系与一次函数（5知识&7题型&3易错&5方法清单） 【清单01】平面直角坐标系的概念与点的坐标特征 核心定义平面直角坐标系：由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，水平数轴为x轴（横轴），竖直数轴为y轴（纵轴），两轴交点为原点O，坐标系将平面分为四个象限和坐标轴。 点的坐标：平面内任意一点P，过P作x轴垂线，垂足对应x轴上的数为横坐标；作y轴垂线，垂足对应y轴上的数为纵坐标，记作。 各象限及坐标轴上点的坐标特征 位置 坐标特征 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴上 （x为任意实数） y轴上 （y为任意实数） 原点 对称点的坐标特征 . 【清单02】平面直角坐标系中的图形变换 点的平移规律：“左减右加横坐标，上加下减纵坐标” ； 坐标系中图形面积计算 割补法：将不规则图形分割或补成矩形、三角形等规则图形，利用规则图形面积公式计算； 公式法：若三角形顶点为、、，则面积 【清单03】一次函数的概念与解析式 一次函数的定义：一般形式：形如（、为常数，且）的函数，叫做一次函数。 特殊形式：当时，函数变为（），此时为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 解析式的三种形式： 一般式：（） 斜截式：（为斜率，为直线在y轴上的截距，） 两点式：若直线过和（），则解析式为. 【清单04】一次函数的图象与性质 一次函数的图象特征 图象形状：一次函数的图象是一条直线，因此也叫直线 必过点：正比例函数必过原点；一次函数必过和两个点 一次函数的性质（与k、b的关系） k的符号 函数的增减性 b的符号 直线经过的象限 y随x的增大而增大 第一、二、三象限 y随x的增大而增大 第一、三象限 y随x的增大而增大 第一、三、四象限 y随x的增大而减小 第一、二、四象限 y随x的增大而减小 第二、四象限 y随x的增大而减小 第二、三、四象限 【清单05】一次函数的实际应用 待定系数法求解析式的步骤 . 实际问题建模的一般步骤 . 【题型一】平面直角坐标系中点的坐标特征 【例1】（2025秋•中牟县期中）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，a2+3），那么点P所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（2025春•喀什地区期末）点P在第二象限内，且到x轴．y轴的距离分别为3和5，则点P的坐标是（　　） A．（﹣5，3） B．（5，﹣3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 【变式1-2】（2025秋•崂山区期中）若点A（n﹣3，n+5）在x轴上，则点B（n﹣2，n+2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型二】平面直角坐标系中的图形变换 【例2】（2025秋•河源期中）在平面直角坐标系内，点P（5，1）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后的点坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（3，4） C．（8，3） D．（8，﹣1） 【变式2-1】（2025秋•扬州期中）点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为（4，3），将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系x′O′y′，在新坐标系x′O′y′中，点A的坐标为（　　） A．（4，3） B．（7，0） C．（1，5） D．（7，1） 【变式2-2】（2025秋•福田区期中）将点M（﹣2，3）向右平移n个单位长度到达点N，若点N的横坐标和纵坐标相等，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型三】一次函数的概念辨析 【例3】（2025秋•河源期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝x2+2 B． C．y＝2x+1 D．y＝kx+b 【变式3-1】（2025秋•市南区期中）下列y与x之间的函数关系式：①y＝x；②y；③；④y＝﹣x+10；⑤y＝kx+b；⑥y＝x（x﹣1）．其中一定是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-2】（2025春•岳阳楼区期末）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（　　） A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2 【题型四】一次函数的图象与性质 【例4】（2025秋•淮上区期中）一次函数y＝kx+1的图象经过第一、二、三象限，那么一次函数y＝x+k的图象经过的象限是（　　） A．一，二，三 B．一，三，四 C．二，三，四 D．一，二，四 【变式4-1】（2025秋•舒城县期中）直线y＝﹣2x+b经过（x1，y1）和（x2，y2），若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【变式4-2】（2025秋•肇源县期中）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线y＝2x+5平行 【题型五】待定系数法求一次函数解析式 【例5】（2024秋•台儿庄区期末）如图，四边形OABC是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标是（3，4），则直线AC对应的函数表达式为（　　） A．y B．y3 C．y D．y 【变式5-1】（2025•富锦市开学）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和点（﹣1，﹣1），则k，b的值分别为（　　） A．2，1 B．2，﹣1 C．﹣2，1 D．﹣2，﹣1 【变式5-2】（2025•青秀区开学）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，5），每当x增加1个单位时，y就增加4个单位，则此函数表达式是（　　） A．y＝﹣4x﹣5 B．y＝4x﹣3 C．y＝4x+1 D．y＝4x﹣1 【题型六】一次函数图象的交点问题 【例6】（2025•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025秋•济南期中）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025春•城厢区期中）我们知道：方程组的解与两直线的交点坐标的关系如双胞胎兄弟一样．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m），则关于x、y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【题型七】一次函数的实际应用 【例7】（2025秋•江西期中）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3千米时收费14元，超过部分每千米收费2.4元．设乘客白天乘坐出租车的路程为x千米，乘车费为y元． （1）求y与x之间的关系式，并注明自变量的取值范围； （2）当x＝6时，求乘车费y的值． 【变式7-1】（2025秋•漳州期中）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，A市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过5吨时，水价为每吨3元；超过5吨时，超过的部分按每吨4元收费．该市某户居民6月份用水x吨，应交水费y元． （1）当x＞5时，求y与x的函数关系式． （2）如果该户居民这个月交水费31元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【变式7-2】（2025秋•宁海县期中）某班计划采购A，B两种型号的羽毛球拍，已知购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需426元，购买4副A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元． （1）求A、B两种型号羽毛球拍的单价． （2）该班准备采购A、B两种型号的羽毛球拍共20副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由． 【题型一】混淆象限与坐标轴上点的坐标特征致错 【例1】（2024秋•丹徒区期末）点P在第二象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（　　） A．（﹣6，2） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（2，﹣6） 【变式1-1】（2025•海南）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为（﹣1，0）、（1，1），则“强”的坐标为（　　） A．（3，3） B．（2，3） C．（4，3） D．（4，5） 【变式1-2】（2025春•五华区期末）如果点A（m﹣8，m﹣2）在x轴上，那么点B（m+1，m﹣6）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型二】一次函数中忽略k≠0的条件致错 【例2】（2025秋•五华县期中）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【变式2-1】（2024秋•东平县期末）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．1 【变式2-2】（2024春•泗水县月考）若函数为一次函数，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．0 【题型三】一次函数增减性与k的符号关系混淆致错 【例3】（2025秋•雁塔区期中）若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，则y1与y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法比较大小 【变式3-1】（2025秋•蜀山区期中）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（x1，y1）和（x2，y2），且k＞0，b＜0，当x1＜0＜x2时，有（　　） A．y1＜y2＜0 B．y1＞b＞y2 C．y1＜b＜y2 D．y1＞y2＞0 【变式3-2】（2025秋•庐阳区月考）已知关于x的一次函数y＝ax+4﹣2a．当﹣2≤x≤5时，函数有最大值7，则a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝4 C．a＝0.75或a＝1 D．a＝﹣0.75或a＝1 【题型一】象限内点的坐标特征判断方法 核心技巧：抓住各象限横、纵坐标的正负性，先判断单个坐标的符号，再对应象限；坐标轴上的点优先判断特殊坐标（x轴y=0，y轴x=0）。适用场景：判断点所在象限、根据象限求字母取值范围。 【例1】（2025秋•未央区期中）在平面直角坐标系中，点A（2a﹣1，a+2）在第一象限的角平分线上，则a的值为　　 ． 【变式1—1】（2025春•惠东县期末）平面直角坐标系中，若点A（a﹣2，a+1）在y轴上，则点A的坐标为 　　 ． 【变式1—2】（2025秋•南岸区期中）若点A（a+4，2a﹣6）在x轴上，则实数a的值为　　 ． 【题型二】待定系数法求一次函数解析式的技巧 核心技巧：若已知两点，直接代入列二元一次方程组；若已知图象过特殊点（如与坐标轴交点），优先代入特殊点简化计算；正比例函数只需一个点即可求解析式。 适用场景：已知点的坐标求一次函数解析式。 【例2】（2025春•石景山区期中）一个一次函数的图象经过点（﹣2，3），且与坐标轴围成的直角三角形有两边相等时，这个一次函数的表达式为 y＝x+5或y＝﹣x+1　 ． 【变式2—1】（2025•宁夏一模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线AB对应的函数表达式是　 ． 【变式2—2】（2025春•南岗区月考）如果一次函数y＝kx+b（k≠0）当自变量x的取值范围是﹣1≤x≤3时，函数y的取值范围是﹣2≤y≤6，那么k＝　　 ． 【题型三】一次函数图象象限判断技巧 核心技巧：先看k的符号确定增减性，再看b的符号确定直线与y轴交点位置，两者结合即可判断图象经过的象限。 适用场景：根据k、b判断图象象限，或根据图象象限反推k、b的符号。 【例3】（2025秋•崂山区期中）一次函数y1＝kx﹣b与y2＝bx﹣k在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3—1】（2025春•丽江期末）正比例函数y＝kx（k≠0）函数值y随x的增大而增大，则y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3—2】（2025秋•五华县期中）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【题型四】一次函数交点问题的解题技巧 核心技巧：两直线交点坐标即为对应函数解析式联立方程组的解；若交点在某坐标轴上，可先利用坐标轴坐标特征求出交点，再代入函数式求解参数。 适用场景：求两直线交点、根据交点位置求参数值。 【例4】（2025•泗阳县三模）一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解为 　 ． 【变式4—1】（2025秋•石景山区期中）在同一平面直角坐系中，直线y＝2x+4与y＝x+b相交于点A（1，m），则关于x，y的方程组的解为　　 ． 【变式4—2】（2025秋•望江县期中）已知方程组的解为，则一次函数y＝3x﹣3与yx+3的交点P的坐标是　　 ． 【题型五】一次函数实际应用的建模技巧 核心技巧：先确定自变量和因变量，再根据实际中的等量关系（如利润、路程、总价公式）列出函数式，最后根据实际意义确定自变量的取值范围。适用场景：解决销售、行程、工程等实际问题中的函数建模。 【例5】（2025秋•高新区期中）甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度y（m）与气球上升的时间x（min）之间的关系如图所示．给出下列说法：①甲气球上升过程中，y与x之间的关系式为y＝x+5；②10min时，甲气球在乙气球下方；③当两只气球高度差为15m时，上升时间为50min；④上升60min时，乙气球距离地面的高度为40m．其中正确的有　　 ．（填序号） 【变式5—1】（2025秋•蕉城区期中）如图，A，B两地相距20km，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（km）与时间t（h）之间的关系，下列说法：①乙晚出发1h；②乙出发3h后追上甲；③甲的速度是4km/h；④乙先到达B地．正确的是　　 （只填序号）． 【变式5—2】（2025•铁东区开学）A，B两地相距225km，C地在A，B两地之间，甲，乙二人分别驾车从A地前往B地，乙比甲晚出发0.5小时，乙到达C地后停留1小时，然后按原速继续行驶，甲、乙二人同时到达B地．甲、乙两人距A地的路程分别记为y甲（km），y乙（km）．与甲行驶时间x（h）的函数关系如图所示．在乙驾车从A地行驶到C地的过程中，当甲、乙二人相距20km时，x的值为　　 ． 学科网（北京）股份有限公11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $